單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)(b)

1、2022年2月1日12022年2月1日22022年2月1日32022年2月1日4回顧：回顧：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題22222)2()1 ()2(1sss )2(12stg 21相對(duì)位移相對(duì)位移tifDetx)(基座位移規(guī)律基座位移規(guī)律 ：tiemDkxxcxm21111 )(111tiDex22221)2()1 ()(ssss 21112)(sstgs 絕對(duì)位移絕對(duì)位移)(21tifDexxxxfkc1xmx0mkxxfc1x支承運(yùn)動(dòng)情況支承運(yùn)動(dòng)情況2022年2月1日5tmekxxcxMsin2 mxc2k2kteMkctmesi

2、n2xMkcxtem)sin()(tBtx222)2()1 (1ss kmeB2 2112sstg 0sMk 0偏心質(zhì)量情況偏心質(zhì)量情況)sin()(11tBtx22221)2()1 (sss 解解1：解解2：MmeB 1單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題2022年2月1日6 慣性式測(cè)振儀慣性式測(cè)振儀 tifDex基礎(chǔ)位移基礎(chǔ)位移x ： m 相對(duì)于外殼的相對(duì)位移相對(duì)于外殼的相對(duì)位移動(dòng)力方程動(dòng)力方程 ：0)(kxxcxxmf tiemDkxxcxm2 DsssA22221)2()1 ( 振幅振幅 ：1lim As0s當(dāng)儀器的固有頻率遠(yuǎn)小于外殼振

3、動(dòng)當(dāng)儀器的固有頻率遠(yuǎn)小于外殼振動(dòng)頻率時(shí)，儀器讀數(shù)的幅值頻率時(shí)，儀器讀數(shù)的幅值 A1 接近接近外殼振動(dòng)的振幅外殼振動(dòng)的振幅 D低固有頻率測(cè)量?jī)x用于測(cè)量振低固有頻率測(cè)量?jī)x用于測(cè)量振動(dòng)的位移幅值，稱為動(dòng)的位移幅值，稱為Dkcm機(jī)器外殼機(jī)器外殼fxx儀器儀器單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題2022年2月1日7DsssA22221)2()1 (當(dāng)儀器的固有頻率遠(yuǎn)大于外殼振動(dòng)頻率時(shí)，儀器讀數(shù)的幅值當(dāng)儀器的固有頻率遠(yuǎn)大于外殼振動(dòng)頻率時(shí)，儀器讀數(shù)的幅值 A1與外殼加速度的幅值成正比與外殼加速度的幅值成正比 )()2()1 (12022221DssAA1 還

4、可寫(xiě)為：還可寫(xiě)為：10lim As00s高固有頻率測(cè)量?jī)x用于測(cè)量振動(dòng)的加速度幅值，稱為高固有頻率測(cè)量?jī)x用于測(cè)量振動(dòng)的加速度幅值，稱為2D：被測(cè)物體的加速度幅值：被測(cè)物體的加速度幅值)(1220Dkcm機(jī)器外殼機(jī)器外殼0s單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題2022年2月1日8另一種分析方法另一種分析方法受力圖受力圖tDxfsin基礎(chǔ)位移假定為正弦基礎(chǔ)位移假定為正弦:動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程 ：0)()(ffxxkxxcxm ffkxxckxxcxm x 取絕對(duì)位移取絕對(duì)位移mxm )(fxxk)(fxxctcDtkDcossin kcmfx疊加原理

5、，解為右端兩項(xiàng)解之和疊加原理，解為右端兩項(xiàng)解之和 ：)cos()2()1 (1)sin()2()1 (1)(12221222 tsskcDtsskkDtx21112sstg 單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題2022年2月1日另一種分析方法另一種分析方法kcmfx)cos()2()1 (1)sin()2()1 (1)(12221222 tsskcDtsskkDtx)cos(2)sin()2()1 (11222 tstssD21112sstg kcmc20 s2 0smc 002s tDxfsin基礎(chǔ)位移假定為正弦基礎(chǔ)位移假定為正弦:動(dòng)力學(xué)方程

6、動(dòng)力學(xué)方程 ：0)()(ffxxkxxcxm x 取絕對(duì)位移取絕對(duì)位移單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題2022年2月1日10)cos(2)sin()2()1 ()(11222 tstssDtx21112sstg)cos()2(12)2(11)sin()2()1 ()2(112212222 tssstsssD22)2(12sinss 22)2(11coss stg212 212222)2()1 ()2(1sss 和前述和前述支承運(yùn)動(dòng)支承運(yùn)動(dòng)中中的絕對(duì)位移法結(jié)果的絕對(duì)位移法結(jié)果相同相同)sin()2()1 ()2(1212222 tsssD)s

7、in( tD令：令：令：令：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題2022年2月1日11 工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題2022年2月1日12 振動(dòng)的隔離振動(dòng)的隔離 將作為振源的機(jī)器設(shè)備與地基隔離，以減少對(duì)環(huán)境的影響稱為將作為振源的機(jī)器設(shè)備與地基隔離，以減少對(duì)環(huán)境的影響稱為主動(dòng)隔振主動(dòng)隔振主動(dòng)隔振系數(shù)主動(dòng)隔振系數(shù)隔振后傳到地基的力幅值隔振后傳到地基的力幅值隔振前傳到地基的力幅值隔振前傳到地基的力幅值隔振前機(jī)器傳到地基的力：隔振前機(jī)器傳到地基的力：tie

8、F0隔振材料：隔振材料：k，c隔振后系統(tǒng)響應(yīng)：隔振后系統(tǒng)響應(yīng)：222)2()1 (1ss )(01 tiekFx21112sstgkFA0mtieF0隔振前隔振前kcm隔振后隔振后tieF0單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題2022年2月1日13隔振后通過(guò)隔振后通過(guò)k、c傳到地基上的力：傳到地基上的力：222)2()1 (1ss )(01 tiekFx21112sstgkxxcF 1stg212sssmcmckc2200020 )(01)( tiekFkic)(2222021)2()1 ()2(1 tiesssF)(01)21 ( tiesi

9、F隔振材料：隔振材料：k，cmtieF0隔振前隔振前kcm隔振后隔振后tieF0單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題2022年2月1日14隔振前機(jī)器傳到地基的力：隔振前機(jī)器傳到地基的力：tieF0)(22220121)2()1 ()2(1 tiesssFF隔振后通過(guò)隔振后通過(guò)k、c傳到地基上的力：傳到地基上的力：22220max1)2()1 ()2(1sssFF 隔振系數(shù)：隔振系數(shù)：隔振材料：隔振材料：k，cm0i tF e隔振前隔振前kcm隔振后隔振后tieF0主動(dòng)隔振系數(shù)主動(dòng)隔振系數(shù)隔振后傳到地基的力幅值隔振后傳到地基的力幅值隔振前傳到地基

10、的力幅值隔振前傳到地基的力幅值單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題2022年2月1日15例：例：機(jī)器安裝在彈性支承上機(jī)器安裝在彈性支承上 已測(cè)得固有頻率已測(cè)得固有頻率 Hzfn5 .12阻尼比阻尼比15. 0參與振動(dòng)的質(zhì)量是參與振動(dòng)的質(zhì)量是 880kg 機(jī)器轉(zhuǎn)速機(jī)器轉(zhuǎn)速 n2400r/min 不平衡力的幅值不平衡力的幅值 1470N 求：（求：（1）機(jī)器振幅（）機(jī)器振幅（2）主動(dòng)隔振系數(shù)（）主動(dòng)隔振系數(shù)（3）傳到地基上的力幅）傳到地基上的力幅 解：解：頻率比：頻率比：2 . 3216020nfns彈性支承的剛度：彈性支承的剛度： Nmk6220

11、1043. 5)5 .122(880機(jī)器振動(dòng)的振幅機(jī)器振動(dòng)的振幅 ：)(0291. 0)2()1 (12220mmsskFB 主動(dòng)隔振系數(shù)主動(dòng)隔振系數(shù) ：149. 0)2()1 ()2(12222 sss傳到地基上的力幅傳到地基上的力幅 ：NFFm2191470149. 001單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題2022年2月1日16 振動(dòng)的隔離振動(dòng)的隔離 將地基的振動(dòng)與機(jī)器設(shè)備隔離，以避免將振動(dòng)傳至設(shè)備，稱將地基的振動(dòng)與機(jī)器設(shè)備隔離，以避免將振動(dòng)傳至設(shè)備，稱為為被動(dòng)隔振被動(dòng)隔振被動(dòng)隔振系數(shù)被動(dòng)隔振系數(shù)隔振后設(shè)備的振幅隔振后設(shè)備的振幅隔振前設(shè)備

12、的振幅隔振前設(shè)備的振幅tifDex基礎(chǔ)位移：基礎(chǔ)位移：隔振前振幅：隔振前振幅：D隔振后系統(tǒng)響應(yīng)：隔振后系統(tǒng)響應(yīng)：)(2222)2()1 ()2(1)( tiesssDtx2121112sstgstg212 tifDexm隔振前隔振前tifDexkcm隔振后隔振后DDmax1 2222)2()1 ()2(1sss 單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題2022年2月1日17單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題2022年2月1日18 轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速 氣輪機(jī)、發(fā)電機(jī)等高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械在開(kāi)機(jī)或停

13、機(jī)過(guò)程中經(jīng)過(guò)某氣輪機(jī)、發(fā)電機(jī)等高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械在開(kāi)機(jī)或停機(jī)過(guò)程中經(jīng)過(guò)某 一轉(zhuǎn)速附近時(shí)，支撐系統(tǒng)經(jīng)常會(huì)發(fā)生劇烈振動(dòng)一轉(zhuǎn)速附近時(shí)，支撐系統(tǒng)經(jīng)常會(huì)發(fā)生劇烈振動(dòng)臨界轉(zhuǎn)速臨界轉(zhuǎn)速 在數(shù)值上很接近轉(zhuǎn)子橫向振動(dòng)的固有頻率在數(shù)值上很接近轉(zhuǎn)子橫向振動(dòng)的固有頻率以單盤(pán)轉(zhuǎn)子為例以單盤(pán)轉(zhuǎn)子為例轉(zhuǎn)軸質(zhì)量不計(jì)轉(zhuǎn)軸質(zhì)量不計(jì)oo1Cl/2l/2圓盤(pán)質(zhì)量圓盤(pán)質(zhì)量 m固定在轉(zhuǎn)軸中部固定在轉(zhuǎn)軸中部圓盤(pán)質(zhì)心圓盤(pán)質(zhì)心 C形心形心 O1偏心距偏心距 CO1e圓盤(pán)靜止時(shí)，形心圓盤(pán)靜止時(shí)，形心O1 與旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)中心O重合重合單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題2022年2月1日19oo1Cl

14、/2l/2xy軸以角速度軸以角速度 恒速旋轉(zhuǎn)恒速旋轉(zhuǎn))sin,cos(teytex 由于離心慣性力，軸產(chǎn)由于離心慣性力，軸產(chǎn)生動(dòng)撓度生動(dòng)撓度 OO1= ftoCo1yxexfy圓盤(pán)俯視圖圓盤(pán)俯視圖粘性阻尼力正比于圓盤(pán)粘性阻尼力正比于圓盤(pán)形心形心 O1 的速度的速度質(zhì)心質(zhì)心C的坐標(biāo)：的坐標(biāo)：軸沿軸沿 x 和和 y 方向的橫向方向的橫向剛度：剛度：348lEIk 形心形心 O1 的坐標(biāo)（的坐標(biāo)（x, y）單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題2022年2月1日20oo1Cl/2l/2xy)sin,cos(teytex 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：to

15、Co1yxexfy圓盤(pán)俯視圖圓盤(pán)俯視圖粘性阻尼力正比于圓盤(pán)粘性阻尼力正比于圓盤(pán)形心形心 O1 的速度的速度質(zhì)心質(zhì)心C的坐標(biāo)：的坐標(biāo)：xckxtexdtdm )cos(22軸沿軸沿 x 和和 y 方向的橫向方向的橫向剛度：剛度：348lEIk yckyteydtdm )sin(22即：即： tmekyycymtmekxxcxmsincos22 右端項(xiàng)可看作激振力旋轉(zhuǎn)矢量右端項(xiàng)可看作激振力旋轉(zhuǎn)矢量 在在 x 和和 y 方向上的投影，作用點(diǎn)方向上的投影，作用點(diǎn)C，方，方向沿向沿CO1tieme2單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題2022年2月1日2

16、1toCo1yxexfy圓盤(pán)俯視圖圓盤(pán)俯視圖設(shè)：設(shè)： tmekyycymtmekxxcxmsincos22 mk /0 0：oo1Cl/2l/2xym0/lgl0：靜變形：靜變形單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題2022年2月1日22oo1Cl/2l/2xytoCo1yxexfy圓盤(pán)俯視圖圓盤(pán)俯視圖設(shè)：設(shè)： tmekyycymtmekxxcxmsincos22 mk /0 )2/(0mc 0/ s22221)2()1 (sss 21112sstg 0： )sin()cos(1111teytex2122)(eyx 形心形心O1的運(yùn)動(dòng)軌跡為一個(gè)圓

17、的運(yùn)動(dòng)軌跡為一個(gè)圓22yxf 1e 2222)2()1 (sses 動(dòng)撓度：動(dòng)撓度：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題2022年2月1日oo1Cl/2l/2xytoCo1yxexfy圓盤(pán)俯視圖圓盤(pán)俯視圖 tmekyycymtmekxxcxmsincos22 mk /0 )2/(0mc 0/ s22221)2()1 (sss 21112sstg 可見(jiàn)，當(dāng)阻尼比可見(jiàn)，當(dāng)阻尼比 較小時(shí)，即使轉(zhuǎn)子平衡得很好（較小時(shí)，即使轉(zhuǎn)子平衡得很好（e 很小），動(dòng)撓度很小），動(dòng)撓度 f 也會(huì)相也會(huì)相當(dāng)大，容易使軸破壞，這樣的轉(zhuǎn)速稱為當(dāng)大，容易使軸破壞，這樣的轉(zhuǎn)速稱

18、為臨界轉(zhuǎn)速：臨界轉(zhuǎn)速：形心形心O1的動(dòng)撓度：的動(dòng)撓度：22221)2()1 (ssesef 當(dāng)當(dāng) s=1 時(shí)：時(shí)：2ef mkf 0用每分鐘轉(zhuǎn)速表示：用每分鐘轉(zhuǎn)速表示：min)/(260rnff 轉(zhuǎn)動(dòng)頻率與轉(zhuǎn)子固有頻率相等轉(zhuǎn)動(dòng)頻率與轉(zhuǎn)子固有頻率相等單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題2022年2月1日24oo1Cl/2l/2xytoCo1yxexfy圓盤(pán)俯視圖圓盤(pán)俯視圖 tmekyycymtmekxxcxmsincos22 22221)2()1 (sss 21112sstg 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)1 s0 即即有：有：11 1 )sin()cos(1111

19、teytex可得：可得： teytexsincos)sin,cos(teytex 質(zhì)心質(zhì)心C的坐標(biāo)：的坐標(biāo)：0質(zhì)心質(zhì)心C與旋轉(zhuǎn)中心與旋轉(zhuǎn)中心O重合重合圓盤(pán)和彎曲的軸都繞著質(zhì)心圓盤(pán)和彎曲的軸都繞著質(zhì)心C旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)自動(dòng)定心現(xiàn)象自動(dòng)定心現(xiàn)象轉(zhuǎn)動(dòng)頻率遠(yuǎn)大于轉(zhuǎn)子固有頻率轉(zhuǎn)動(dòng)頻率遠(yuǎn)大于轉(zhuǎn)子固有頻率0單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題2022年2月1日25例：葉片模擬試驗(yàn)臺(tái)例：葉片模擬試驗(yàn)臺(tái)葉片質(zhì)量葉片質(zhì)量 158 kg轉(zhuǎn)軸：長(zhǎng)轉(zhuǎn)軸：長(zhǎng) 610mm，直徑，直徑 120mm 彈性模量彈性模量 E2.07 107 N/cm2材料比重材料比重 7.810-3 kg

20、/cm3求：臨界轉(zhuǎn)速求：臨界轉(zhuǎn)速305 mm305 mm120 mm解：解：轉(zhuǎn)軸質(zhì)量轉(zhuǎn)軸質(zhì)量與葉片相比與葉片相比不能忽略不能忽略kgm8 .53108 . 761412322 由瑞利法，轉(zhuǎn)子質(zhì)量為葉片質(zhì)量與轉(zhuǎn)軸等效質(zhì)量的和，即：由瑞利法，轉(zhuǎn)子質(zhì)量為葉片質(zhì)量與轉(zhuǎn)軸等效質(zhì)量的和，即：kgmmm1 .1848 .533517158351721 軸的橫向剛度：軸的橫向剛度：cmNlEIk/1043. 46461121006. 2484863473 臨界轉(zhuǎn)速：臨界轉(zhuǎn)速：min/148001 .1841001043. 4302606rmkn 單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)

21、題工程中的受迫振動(dòng)問(wèn)題2022年2月1日26單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)2022年2月1日27 任意周期激勵(lì)的響應(yīng)任意周期激勵(lì)的響應(yīng)前面討論的強(qiáng)迫振動(dòng)，都假設(shè)了系統(tǒng)受到激勵(lì)為簡(jiǎn)諧激勵(lì)，但前面討論的強(qiáng)迫振動(dòng)，都假設(shè)了系統(tǒng)受到激勵(lì)為簡(jiǎn)諧激勵(lì)，但實(shí)際工程問(wèn)題中遇到的大多是周期激勵(lì)而較少為簡(jiǎn)諧激勵(lì)實(shí)際工程問(wèn)題中遇到的大多是周期激勵(lì)而較少為簡(jiǎn)諧激勵(lì) 假定粘性阻尼系統(tǒng)受到的周期激振力：假定粘性阻尼系統(tǒng)受到的周期激振力： )()(TtFtFT 為周期為周期 傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)：傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)： 1110)sincos(2)(nnntnbtnaatFT21記基頻：記基頻：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系

22、統(tǒng)受迫振動(dòng) / 任意周期激勵(lì)的響應(yīng)任意周期激勵(lì)的響應(yīng)TnTnTtdtntFTbtdtntFTadttFTa110sin)(2cos)(2)(222nnnbacnnnbatg1記：記：n 的偶函數(shù)的偶函數(shù)n 的奇函數(shù)的奇函數(shù) 110)sin(2nnntnca為任一時(shí)刻為任一時(shí)刻 2022年2月1日281110)sincos(2)(nnntnbtnaatF運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程 ： 110)sin(2nnntnca1110)sincos(2nnntnbtnaakxxcxm 疊加原理，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)疊加原理，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng) ：1110)sin()cos(2)(nnnnnnntnkbtnkakatx22

23、22)2()1 (1nssnn 01smk022112snsntgn 12222110)2()1 ()sin()cos(2nnnnnnssnktnbtnaka不計(jì)阻尼時(shí)：不計(jì)阻尼時(shí)： 122110)1 (sincos2)(nnnsnktnbtnakatxka20代表著平衡位置代表著平衡位置 當(dāng)當(dāng) 作用于系統(tǒng)上所產(chǎn)生的靜變形作用于系統(tǒng)上所產(chǎn)生的靜變形 20a周期激勵(lì)通過(guò)傅氏變換被表示成了一系列頻率為基頻整數(shù)倍的簡(jiǎn)諧激勵(lì)的周期激勵(lì)通過(guò)傅氏變換被表示成了一系列頻率為基頻整數(shù)倍的簡(jiǎn)諧激勵(lì)的疊加，這種對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的分析被成為疊加，這種對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的分析被成為諧波分析法諧波分析法 單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度

24、系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 任意周期激勵(lì)的響應(yīng)任意周期激勵(lì)的響應(yīng)2022年2月1日291110)sincos(2)(nnntnbtnaatF復(fù)數(shù)形式表示復(fù)數(shù)形式表示 歐拉公式歐拉公式 ：)(21cos111tintineetn)(2sin111tintineeitn TntdtntFTa1cos)(2n的偶函數(shù)的偶函數(shù)n的奇函數(shù)的奇函數(shù)nnaannbb TntdtntFTb1sin)(2,2nnnibaF 200aF 記：記：則：則：2nnnibaFntinneFtF1)(周期激勵(lì)的復(fù)數(shù)形式：周期激勵(lì)的復(fù)數(shù)形式：2nnnibaF2T（取（取 ） 221)(1TTtindtetFT TtindtetFT1

25、)(1 11011222ntinnnntinnneibaeibaa其中：其中：2nniba TdttnitntFTsin)cos(111單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 任意周期激勵(lì)的響應(yīng)任意周期激勵(lì)的響應(yīng)2022年2月1日30ntinneFtF1)(系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程 ： ntinneFkxxcxm1 與教材（與教材（2.3.3）相同）相同 221)(1TTtinndtetFTF疊加原理，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：疊加原理，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：ntninneAx)(122112snsntgn ntninneniAx)(11ntninnenAx)(2121 求導(dǎo)求導(dǎo) ：代入運(yùn)動(dòng)方程代入運(yùn)動(dòng)方程

26、 ：ntinnntninnneFekAnicAnmAn11)(1212ninFeicnmnkAn)(1212ninFensisnkAn )21 (22niinFeenssnkAnn 2222)2()1 (01s0200212 kmmckc得得 ：nnnFkA1 2222)2()1 (1nssnn 因此有因此有 ：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 任意周期激勵(lì)的響應(yīng)任意周期激勵(lì)的響應(yīng)2022年2月1日31ntninneAx)(122112snsntgn 系統(tǒng)響應(yīng)系統(tǒng)響應(yīng) ：ntinneFakxxcxm120 nnnFkA1 2222)2()1 (1nssnn ntninneFnssn

27、kx)(22221)2()1 (1 和和 分別為第分別為第n次諧波激勵(lì)所對(duì)應(yīng)的振幅放大因子和相位差次諧波激勵(lì)所對(duì)應(yīng)的振幅放大因子和相位差 nn單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 任意周期激勵(lì)的響應(yīng)任意周期激勵(lì)的響應(yīng)2022年2月1日32例：例：質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到周期方波激勵(lì)質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到周期方波激勵(lì) 求系統(tǒng)響應(yīng)求系統(tǒng)響應(yīng) TtTFTtFtF2,20,)(00)(tF0F0F0T2/Tt610 1 . 00 問(wèn)：為什么在常值力問(wèn)：為什么在常值力F0作用下，系作用下，系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)？統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)？單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 任意周期激勵(lì)的響應(yīng)任意周期激勵(lì)的響應(yīng)2022年

28、2月1日解：解：激勵(lì)的周期：激勵(lì)的周期： 0122 T0彈簧質(zhì)量系統(tǒng)固有頻率彈簧質(zhì)量系統(tǒng)固有頻率 610激勵(lì)力的基頻激勵(lì)力的基頻 ：T26011110)sincos(2)(nnntnbtnaatFTnTnTtdtntFTbtdtntFTadttFTa110sin)(2cos)(2)(2因因 a0 一周期內(nèi)總面積為一周期內(nèi)總面積為0 =0T, 02Ttn1cos2T區(qū)間區(qū)間 內(nèi)，內(nèi)， 關(guān)于關(guān)于 為反為反對(duì)稱，對(duì)稱， 而而 關(guān)于關(guān)于 對(duì)稱對(duì)稱)(tF=0 11sinnntnb)(tF0F0F0T2/Tt610 1 . 00 單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 任意周期激勵(lì)的響應(yīng)任意周期激

29、勵(lì)的響應(yīng)2022年2月1日34 11sin)(nntnbtF TntdtntFTb1sin)(22, 0T區(qū)間區(qū)間 內(nèi)內(nèi))(tF4T關(guān)于關(guān)于為對(duì)稱為對(duì)稱 tn1sin4T而而n取偶數(shù)時(shí)，取偶數(shù)時(shí)，關(guān)于關(guān)于反對(duì)稱反對(duì)稱 ,2TT區(qū)間區(qū)間 內(nèi)內(nèi))(tF43T關(guān)于關(guān)于為對(duì)稱為對(duì)稱 tn1sin43T而而n取偶數(shù)時(shí)，取偶數(shù)時(shí)，關(guān)于關(guān)于反對(duì)稱反對(duì)稱 0nb6 , 4 , 2n因此因此)(tF0F0F0T2/Tt單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 任意周期激勵(lì)的響應(yīng)任意周期激勵(lì)的響應(yīng)2022年2月1日35 11sin)(nntnbtF TntdtntFTb1sin)(2當(dāng)當(dāng) n 取奇數(shù)時(shí)取奇數(shù)時(shí)

30、 0nb6 , 4 , 2nnFtdtnFTtdtntFTbTTn04010014sin8sin)(2 5 , 3 , 1n于是，周期性激勵(lì)于是，周期性激勵(lì) F(t) 可寫(xiě)為：可寫(xiě)為： 5 , 3 , 11011sin14sin)(nnntnnFtnbtF)5sin513sin31(sin41110 tttF單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 任意周期激勵(lì)的響應(yīng)任意周期激勵(lì)的響應(yīng)2022年2月1日36)5sin513sin31(sin4)(1110 tttFtF5 , 3 , 110)sin(4nnntnkFx則有：則有：2222)2()1 (1nssnnn 22112snsntgn

31、 01s其中：其中： 當(dāng)不計(jì)阻尼時(shí)：當(dāng)不計(jì)阻尼時(shí)： 5 , 3 , 11220sin)1 (14ntnsnnkFx系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程 ：)(tFkxxcxm 單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 任意周期激勵(lì)的響應(yīng)任意周期激勵(lì)的響應(yīng)2022年2月1日37單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)2022年2月1日38單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 非周期激勵(lì)的響應(yīng)非周期激勵(lì)的響應(yīng)2022年2月1日39 非周期激勵(lì)的響應(yīng)非周期激勵(lì)的響應(yīng) 對(duì)于脈沖激勵(lì)情形，系統(tǒng)只有暫態(tài)響應(yīng)而不存在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)對(duì)于脈沖激勵(lì)情形，系統(tǒng)只有暫態(tài)響應(yīng)而不存在穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 單位脈沖力可利用狄拉克（單位脈沖

32、力可利用狄拉克（Dirac）分布函數(shù)）分布函數(shù)(t) 表示表示 函數(shù)也稱為函數(shù)也稱為單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)，定義為：，定義為： )()(0)( ttt且且1)(dtt)(t的圖象用位于時(shí)刻的圖象用位于時(shí)刻、長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為 1 的有向線段表示的有向線段表示 )(tt10單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 非周期激勵(lì)的響應(yīng)非周期激勵(lì)的響應(yīng)2022年2月1日40函數(shù)：函數(shù)： )()(0)( ttt1)(dtt)(t 是一個(gè)廣義函數(shù)是一個(gè)廣義函數(shù)可以看作矩形脈沖、脈沖面積為可以看作矩形脈沖、脈沖面積為 1 而脈沖寬度而脈沖寬度趨于零時(shí)的極限趨于零時(shí)的極限 )(lim)(0 tt=為其它ttt

33、 0)(1其中：其中：)(t也可以定義為其它形狀的面積為也可以定義為其它形狀的面積為 1 的脈沖的脈沖 量綱：量綱：1/秒秒 )(tt10)(tt01單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 非周期激勵(lì)的響應(yīng)非周期激勵(lì)的響應(yīng)2022年2月1日41 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì): )()()(fdtttf特別地，當(dāng)時(shí)刻特別地，當(dāng)時(shí)刻 = 0 時(shí)，有時(shí)，有 ：)0()()(fdtttf實(shí)際應(yīng)用時(shí)，通常實(shí)際應(yīng)用時(shí)，通常 f (t) 在在0t時(shí)才有意義時(shí)才有意義 tfdtttf0)()()(沖量沖量為為0I的的脈沖力脈沖力可借助可借助函數(shù)表示為：函數(shù)表示為： )()(0tItF 當(dāng)當(dāng) I0 =1 時(shí)，為時(shí)

34、，為單位脈沖力單位脈沖力 )(1)(ttF單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 非周期激勵(lì)的響應(yīng)非周期激勵(lì)的響應(yīng)2022年2月1日現(xiàn)求處于現(xiàn)求處于零初始條件零初始條件下的系統(tǒng)對(duì)下的系統(tǒng)對(duì)單位脈沖力單位脈沖力的響應(yīng)的響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)記：記： 0+、0- 為單位脈沖力的前后時(shí)刻為單位脈沖力的前后時(shí)刻 運(yùn)動(dòng)微分方程與初始條件可合寫(xiě)為：運(yùn)動(dòng)微分方程與初始條件可合寫(xiě)為： 0)0(, 0)0()(1xxtkxxcxm 或或脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng) dttkxdtdtxcdtxm)( 乘乘dt ：xd0 dxdtx 在脈沖力作用的瞬間，位移來(lái)在脈沖力作用的瞬間，位移來(lái)不及變化，但速度可產(chǎn)生突變不

35、及變化，但速度可產(chǎn)生突變 0 xdx令：令：dttxmd)()(tt00-0+如果沖量為如果沖量為 ，0I)()(0tItF 脈沖力則為脈沖力則為 ： dttIxmd)(0單位脈沖力單位脈沖力單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 非周期激勵(lì)的響應(yīng)非周期激勵(lì)的響應(yīng)2022年2月1日43dttxmd)(兩邊在區(qū)間兩邊在區(qū)間-00t內(nèi)對(duì)時(shí)間積分：內(nèi)對(duì)時(shí)間積分： 0000)(dtxmdtt )0()0(1xmxmmx1)0(在單位脈沖力的作用下，系統(tǒng)的速度發(fā)生了突變，但在這一瞬在單位脈沖力的作用下，系統(tǒng)的速度發(fā)生了突變，但在這一瞬間，位移則來(lái)不及有改變，即有：間，位移則來(lái)不及有改變，即有：x(

36、0+) = x(0-) 又當(dāng)又當(dāng) t 0+ 時(shí)，脈沖力作用已經(jīng)結(jié)束，所以時(shí)，脈沖力作用已經(jīng)結(jié)束，所以 t 0+ 時(shí)，有：時(shí)，有： mxxkxxcxm1)0(, 0)0(0 質(zhì)量越大，質(zhì)量越大， 越小越小)0( x 質(zhì)量越小，質(zhì)量越小， 越大越大)0( x 沖量為沖量為 的脈沖力：的脈沖力：0ImIx0)0(單位脈沖力：?jiǎn)挝幻}沖力：dttIxmd)(0單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 非周期激勵(lì)的響應(yīng)非周期激勵(lì)的響應(yīng)2022年2月1日44 mxxkxxcxm1)0(, 0)0(0 系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)位初始位移為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)位初始位移為零、而初始速度為零、而初始速度為 1/m 的

37、自由振動(dòng)的自由振動(dòng) 記為記為 h(t) temthtxdtdsin1 )()(0無(wú)阻尼系統(tǒng)：無(wú)阻尼系統(tǒng)： tmthtx00sin1 )()( 若單位脈沖力不是作用在時(shí)刻若單位脈沖力不是作用在時(shí)刻 t = 0，而是作用在，而是作用在 t =時(shí)刻：時(shí)刻： )(sin1 )()(0 temthdtd解為：解為： 如果系統(tǒng)在如果系統(tǒng)在 t=時(shí)刻受到?jīng)_量為時(shí)刻受到?jīng)_量為 I0 的任意脈沖力作用，則系統(tǒng)的任意脈沖力作用，則系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)可用脈沖響應(yīng)函數(shù)表示為暫態(tài)響應(yīng)可用脈沖響應(yīng)函數(shù)表示為 ：tthItx),()(0)sincos()(00000txxtxetxdddt 單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振

38、動(dòng) / 非周期激勵(lì)的響應(yīng)非周期激勵(lì)的響應(yīng)2022年2月1日45 任意非周期激勵(lì)的響應(yīng)任意非周期激勵(lì)的響應(yīng) 當(dāng)處于零初始條件的系統(tǒng)受到任意激振力時(shí)，當(dāng)處于零初始條件的系統(tǒng)受到任意激振力時(shí)，可以將激振力可以將激振力 F(t) 看作一系列脈沖力的疊加看作一系列脈沖力的疊加 對(duì)于時(shí)刻對(duì)于時(shí)刻 t =的脈沖力的脈沖力系統(tǒng)受脈沖作用后產(chǎn)生速度增量：系統(tǒng)受脈沖作用后產(chǎn)生速度增量：mdF)( 并引起并引起 t 各個(gè)時(shí)刻的響應(yīng)各個(gè)時(shí)刻的響應(yīng) 系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng) ：dthFdx)()(dt)(tF其沖量為：其沖量為：dF)(由線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)對(duì)任意激振力的響應(yīng)應(yīng)等于系統(tǒng)由線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)

39、對(duì)任意激振力的響應(yīng)應(yīng)等于系統(tǒng)在時(shí)間區(qū)間在時(shí)間區(qū)間t0內(nèi)各個(gè)脈沖響應(yīng)的總和內(nèi)各個(gè)脈沖響應(yīng)的總和 tdthFtx0)()()(得：得：杜哈梅杜哈梅(Duhamel)積分積分 tdtddteFm0)()(sin)(10)(sin1 )()(0 temthdtd單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 非周期激勵(lì)的響應(yīng)非周期激勵(lì)的響應(yīng)2022年2月1日46tdthFtx0)()()(利用卷積性質(zhì)：利用卷積性質(zhì)： tdhtFtx0)()()(若有初始條件，則：若有初始條件，則： tdtddddtdteFmtxxtxetx0)(0000)(sin)(1 )sincos()(00若阻尼為零，則：若阻尼為

40、零，則： tdtFmtxtxtx00000000)(sin)(1)sincos()( tdtddteFm0)()(sin)(10單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 非周期激勵(lì)的響應(yīng)非周期激勵(lì)的響應(yīng)2022年2月1日47例：無(wú)阻尼彈簧質(zhì)量系統(tǒng)例：無(wú)阻尼彈簧質(zhì)量系統(tǒng) 000 , 00,)(ttttQtF)(tF0Q00tt在在（0，t0）時(shí)間間隔內(nèi)受到突加的矩形脈沖力作用時(shí)間間隔內(nèi)受到突加的矩形脈沖力作用求：求： 系統(tǒng)響應(yīng)系統(tǒng)響應(yīng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 非周期激勵(lì)的響應(yīng)非周期激勵(lì)的響應(yīng)2022年2月1日48解法一：解法一： tdtFmtx000)(sin)(1)(

41、tdtmQ0000)(sin)cos1 (0200tmQ )cos1 (00tkQ 000 , 00,)(ttttQtF)(tF0Q00tt00tt （1） 時(shí)時(shí)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 非周期激勵(lì)的響應(yīng)非周期激勵(lì)的響應(yīng)2022年2月1日49 000 , 00,)(ttttQtF)(tF0Q00tt tdtFmtx000)(sin)(1)()(sin0)(sin10000000 tttdtdtQmcos)(cos1000000tttQm cos)(cos0000tttkQ 0tt （2） 時(shí)時(shí)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 非周期激勵(lì)的響應(yīng)非周期激勵(lì)的響應(yīng)20

42、22年2月1日50 000 , 00,)(ttttQtF)(tF0Q00tt0tt （2） 時(shí)時(shí)cos)(cos)(0000tttkQtx 00tt （1） 時(shí)時(shí))cos1 ()(00tkQtx 00000000 , cos)(cos0 ),cos1 ()(tttttkQtttkQtx因此，系統(tǒng)響應(yīng)：因此，系統(tǒng)響應(yīng)：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 非周期激勵(lì)的響應(yīng)非周期激勵(lì)的響應(yīng)2022年2月1日51解法二：解法二：)(tF0Q00tt 00000000 , cos)(cos0 ),cos1 ()(tttttkQtttkQtx當(dāng)當(dāng)t t0 時(shí)激振力已經(jīng)去除，此時(shí)系統(tǒng)將以時(shí)刻時(shí)激振

43、力已經(jīng)去除，此時(shí)系統(tǒng)將以時(shí)刻t =t0 時(shí)的位移和時(shí)的位移和速度為初始條件做自由振動(dòng)，稱為速度為初始條件做自由振動(dòng)，稱為殘余振動(dòng)殘余振動(dòng)t t0 時(shí)的響應(yīng)可以求解如下時(shí)的響應(yīng)可以求解如下先求得先求得t =t0 時(shí)刻的位移和速度：時(shí)刻的位移和速度： )cos1 ()(0000tkQtx sin)(00000tkQtx t t0 時(shí)的響應(yīng)：時(shí)的響應(yīng)：)(sin)()(cos)()(0000000tttxtttxtx )(sin sin)(cos )cos1 (0000000000tttkQtttkQ cos)(cos0000tttkQ 單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 非周期激勵(lì)的響應(yīng)

44、非周期激勵(lì)的響應(yīng)2022年2月1日52例例：試確定一個(gè)自由度系統(tǒng)對(duì)圖中施力函數(shù)的無(wú)阻尼響應(yīng)：試確定一個(gè)自由度系統(tǒng)對(duì)圖中施力函數(shù)的無(wú)阻尼響應(yīng) tttttQttQtF221211, 0,0,)()(tF1Q2Q01tt2t單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 非周期激勵(lì)的響應(yīng)非周期激勵(lì)的響應(yīng)2022年2月1日5310tt （1） 時(shí)時(shí) tdtFmtx000)(sin)(1)( tdtmQ0001)(sin)cos1 (0201tmQ )cos1 (01tkQ )(tF1Q2Q01tt2t tttttQttQtF221211, 0,0,)(解法一：解法一：k單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受

45、迫振動(dòng) / 非周期激勵(lì)的響應(yīng)非周期激勵(lì)的響應(yīng)2022年2月1日21ttt（2） 時(shí)時(shí) tdtFmtx000)(sin)(1)()(sin)(sin111020010 tttdtQdtQm)(cos1 cos)(cos11002010010ttQtttQm )(cos1 cos)(cos1020101ttkQtttkQ )(tF1Q2Q01tt2t tttttQttQtF221211, 0,0,)(單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 非周期激勵(lì)的響應(yīng)非周期激勵(lì)的響應(yīng)2022年2月1日55tt 2（3） 時(shí)時(shí) tdtFmtx000)(sin)(1)()(tF1Q2Q01tt2t tttt

46、tQttQtF221211, 0,0,)()(sin)(sin1211020010 tttdtQdtQm)(cos)(coscos)(cos1102002010010ttttQtttQm )(cos)(coscos)(cos102020101ttttkQtttkQ 單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 非周期激勵(lì)的響應(yīng)非周期激勵(lì)的響應(yīng)2022年2月1日56解法二：解法二：)(tF1Q2Q01tt2t)(tF1Q01tt)(tF2Q01tt2t=+)(tF0Q00tt一個(gè)自由度系統(tǒng)對(duì)矩形沖量的無(wú)阻尼反應(yīng)：一個(gè)自由度系統(tǒng)對(duì)矩形沖量的無(wú)阻尼反應(yīng)： )2( ,cos)(cos) 1 (0 ),cos1 ()(00000000tttttkQtttkQtxt0：矩形沖量持續(xù)的時(shí)間：矩形沖量持續(xù)的時(shí)間單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)受迫振動(dòng) / 非周期激勵(lì)的響應(yīng)非周期激勵(lì)的響應(yīng)2022年2月1日