橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、2.2 橢圓2.2.1 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 通過(guò)圖片我們看到，在我們所生活的世界中，通過(guò)圖片我們看到，在我們所生活的世界中，隨處可見(jiàn)橢圓這種圖形，而且我們也已經(jīng)知道了橢隨處可見(jiàn)橢圓這種圖形，而且我們也已經(jīng)知道了橢圓的大致形狀，那么我們能否動(dòng)手畫(huà)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的橢圓的大致形狀，那么我們能否動(dòng)手畫(huà)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的橢圓呢？圓呢？1.1.了解橢圓的實(shí)際背景，感受橢圓在刻畫(huà)現(xiàn)了解橢圓的實(shí)際背景，感受橢圓在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用（重點(diǎn)）（重點(diǎn)）2 2掌握橢圓的定義，會(huì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程掌握橢圓的定義，會(huì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. .（重點(diǎn)、難點(diǎn)）（重點(diǎn)、難點(diǎn)） 探究點(diǎn)探究點(diǎn)1 1 橢圓的定

2、義橢圓的定義根據(jù)剛才的實(shí)驗(yàn)請(qǐng)同學(xué)們回答下面幾個(gè)題：根據(jù)剛才的實(shí)驗(yàn)請(qǐng)同學(xué)們回答下面幾個(gè)題：1.1.在畫(huà)橢圓的過(guò)程中，細(xì)繩的兩端的位置是固定的在畫(huà)橢圓的過(guò)程中，細(xì)繩的兩端的位置是固定的還是運(yùn)動(dòng)的？還是運(yùn)動(dòng)的？2.2.在畫(huà)橢圓的過(guò)程中，繩子的長(zhǎng)度變了沒(méi)有？說(shuō)明在畫(huà)橢圓的過(guò)程中，繩子的長(zhǎng)度變了沒(méi)有？說(shuō)明了什么？了什么？3.3.在畫(huà)橢圓的過(guò)程中，繩子長(zhǎng)度與兩定點(diǎn)距離大小在畫(huà)橢圓的過(guò)程中，繩子長(zhǎng)度與兩定點(diǎn)距離大小有怎樣的關(guān)系？有怎樣的關(guān)系？ 思考：思考： 結(jié)合實(shí)驗(yàn)，請(qǐng)同學(xué)們思考：橢圓是怎樣定結(jié)合實(shí)驗(yàn)，請(qǐng)同學(xué)們思考：橢圓是怎樣定義的？義的？討論討論：若把繩長(zhǎng)記為若把繩長(zhǎng)記為2a，兩定點(diǎn)間，兩定點(diǎn)間的距離記為

3、的距離記為2c(c0).（1）當(dāng)）當(dāng)2a2c時(shí)，軌跡是時(shí)，軌跡是 ；（2）當(dāng)）當(dāng)2a=2c時(shí)，軌跡時(shí)，軌跡 是是 ； （3）當(dāng)）當(dāng)2a0)2c(c0)，M與與F1 1和和F2 2 的距離的和等于的距離的和等于2a(2a2c0) .2a(2a2c0) .請(qǐng)同學(xué)們自己完成剩下的步驟，求出橢圓的方程請(qǐng)同學(xué)們自己完成剩下的步驟，求出橢圓的方程. .解：解：以焦點(diǎn)以焦點(diǎn)F F1 1,F,F2 2的所在直線(xiàn)為的所在直線(xiàn)為x x軸，線(xiàn)段軸，線(xiàn)段F F1 1F F2 2的的垂直垂直平分線(xiàn)平分線(xiàn)為為y y軸，建立平面直角坐標(biāo)系軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOyxOy( (如圖如圖). ). 設(shè)設(shè)M(xM(x, y )

4、, y )是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓的焦距為的焦距為2c(c0)2c(c0)，M M與與F F1 1和和F F2 2的距離的的距離的和等于正常數(shù)和等于正常數(shù)2a 2a (2a2c)(2a2c) ，則，則F F1 1，F(xiàn) F2 2的坐標(biāo)分別是的坐標(biāo)分別是( ( c,0)c,0)、(c,0)(c,0) . .x xF F1 1F F2 2M MOy y由橢圓的定義得由橢圓的定義得因?yàn)橐驗(yàn)橐祈?xiàng)，再平方移項(xiàng)，再平方整理得整理得兩邊再平方，得兩邊再平方，得它表示焦點(diǎn)在它表示焦點(diǎn)在y y軸上的橢圓軸上的橢圓. .它表示焦點(diǎn)在它表示焦點(diǎn)在x x軸上的橢圓軸上的橢圓. .1oFyx2FM1

5、12 2yoFFMx橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有哪些特征呢？橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有哪些特征呢？【提升總結(jié)提升總結(jié)】22221 0 xyabab 22221 0yxabab圖圖 形形方方 程程焦點(diǎn)坐標(biāo)、位置焦點(diǎn)坐標(biāo)、位置F( (c，0)0)在軸上在軸上F(0(0，c) )在軸上在軸上a,b,c之間的關(guān)系之間的關(guān)系c2 2= =a2 2- -b2 2P=M|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定定 義義1 12 2yoFFMx1oFyx2FM兩類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)方程的對(duì)照表：兩類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)方程的對(duì)照表：注注: :哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在相應(yīng)的哪條坐標(biāo)軸上！哪個(gè)分母大，焦點(diǎn)就在相應(yīng)的哪條坐標(biāo)軸上！判定下列橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，并指明

6、a2、b2，并寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)答：在答：在 x x 軸。（軸。（ - 3 3，0 0）和（）和（3 3，0 0）答：在答：在 y y 軸。（軸。（0 0，- 5 5）和（）和（0 0，5 5）分析：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)在分母大的那個(gè)軸上。分析：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)在分母大的那個(gè)軸上。練一練：練一練： 隨堂練習(xí)例1.橢圓 的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）A.(5,0) B(0, 5) C(0, 12) D(12,0)例2. 橢圓上 一點(diǎn)P到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（ ） A.5 B.6 C.4 D.10192522yx11692522yxAC作 業(yè)課本課本p64 p64 練習(xí)練習(xí)1 1 1 1、3

7、 3例例1 1 已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(-2(-2,0), ), (2,0), (2,0), 并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)并且經(jīng)過(guò)點(diǎn) . .求它的標(biāo)準(zhǔn)方程求它的標(biāo)準(zhǔn)方程. .解解: :因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x x軸上軸上, ,所以設(shè)所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為它的標(biāo)準(zhǔn)方程為由橢圓的定義知由橢圓的定義知又因?yàn)橛忠驗(yàn)?, ,所以所以因此因此, , 所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以所以能用其他方能用其他方法求它的方法求它的方程嗎？程嗎？另解另解: :因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x x軸上軸上, ,所以設(shè)它所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為的標(biāo)準(zhǔn)方程為: :聯(lián)立聯(lián)立, ,因此因此,

8、 , 所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為: :又又焦點(diǎn)的坐標(biāo)為焦點(diǎn)的坐標(biāo)為【變式練習(xí)變式練習(xí)】已知橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)已知橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn) 和和 ，求橢圓的，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程. .221(0,0,),mxnymnm n解：解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為則有則有 解得解得 221610 xy所以，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .xyODMP例例2 2 如圖，在圓如圖，在圓 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)P P，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P P作作x x軸的垂線(xiàn)段軸的垂線(xiàn)段PDPD，D D為垂足為垂足. .當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P P在圓上運(yùn)動(dòng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段時(shí)，線(xiàn)段PDPD的中點(diǎn)的中點(diǎn)M M的軌跡是什么

9、？為什么？的軌跡是什么？為什么？解：解：設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)M M的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（x,yx,y）, ,點(diǎn)點(diǎn)P P的的坐標(biāo)為（坐標(biāo)為（x x0 0,y,y0 0）, ,則則因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)P P（x x0 0,y,y0 0）在圓）在圓把點(diǎn)把點(diǎn)0 0=x=x，y y0 0=2y=2y代入方程，得代入方程，得即即所以點(diǎn)所以點(diǎn)M M的軌跡是一個(gè)橢圓的軌跡是一個(gè)橢圓. .從例從例2 2你能發(fā)你能發(fā)現(xiàn)橢圓與圓之現(xiàn)橢圓與圓之間的關(guān)系嗎？間的關(guān)系嗎？例例3 3 如圖，設(shè)點(diǎn)如圖，設(shè)點(diǎn)A A，B B的坐標(biāo)分別是的坐標(biāo)分別是(-5(-5，0)0)和和(5(5，0),0),直線(xiàn)直線(xiàn)AM,BMAM,BM相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)M M，且它

10、們的斜率之積是，且它們的斜率之積是 , ,求求點(diǎn)點(diǎn)M M的軌跡方程的軌跡方程. .yAxMBO解：解：設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)M M的坐標(biāo)（的坐標(biāo)（x,yx,y）, ,因?yàn)橐驗(yàn)辄c(diǎn)點(diǎn)A A的坐標(biāo)是（的坐標(biāo)是（-5,0-5,0）, ,所以所以, ,直直線(xiàn)線(xiàn)AMAM的斜率為的斜率為同理，直線(xiàn)同理，直線(xiàn)BM的斜率的斜率由已知有由已知有化簡(jiǎn)，得點(diǎn)化簡(jiǎn)，得點(diǎn)M的軌跡方程為的軌跡方程為1.1.已知已知F F1 1，F(xiàn) F2 2是橢圓是橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)，的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)過(guò)F F1 1的直線(xiàn)交橢圓于的直線(xiàn)交橢圓于M M，N N兩點(diǎn)，則三角形兩點(diǎn)，則三角形MNFMNF2 2的周長(zhǎng)為（的周長(zhǎng)為（ ） A.10 B.20 A.10 B

11、.20 C.30 D.40 C.30 D.40B ByoF1F2MxND D2.2.橢圓的長(zhǎng)軸是短軸的橢圓的長(zhǎng)軸是短軸的3 3倍，且過(guò)點(diǎn)倍，且過(guò)點(diǎn)A A（3 3，0 0），），則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_._.答案：答案：2222xxyy1 =19981或3.3.已知一個(gè)運(yùn)油車(chē)上的貯油罐橫截面的外輪廓線(xiàn)是已知一個(gè)運(yùn)油車(chē)上的貯油罐橫截面的外輪廓線(xiàn)是一個(gè)橢圓，它的焦距為一個(gè)橢圓，它的焦距為2.4 m2.4 m，外輪廓線(xiàn)，外輪廓線(xiàn)上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和為上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離和為3 m3 m，求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. .解：解：以?xún)蓚€(gè)焦點(diǎn)以?xún)蓚€(gè)焦點(diǎn)F F1 1，F(xiàn) F2 2所在的直線(xiàn)為所在的直線(xiàn)為x x軸，以線(xiàn)軸，以線(xiàn)段段F F1 1F F2 2的垂直平分線(xiàn)為的垂直平分線(xiàn)為y y軸，建立直角坐標(biāo)系，軸，建立直角坐標(biāo)系，則這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為則這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為根據(jù)題意知，根據(jù)題意知，2a=32a=3，2c=2.42c=2.4，即，即a=1.5a=1.5，c=1.2.c=1.2.所以所以b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=1.5=1.52 2-1.2-1.22 2=0.81=0.81，因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為因此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為xOyF1F2P定定 義義圖圖