人教版選修空間向量的線性運(yùn)算講義

1、案例（二）-精細(xì)精練課堂 合作 探究重點(diǎn)難點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)一 空間向量的概念 在學(xué)習(xí)空間向量的概念時(shí),要對(duì)比平面向量的有關(guān)概念進(jìn)行理解記憶.(1)向量:具有大小和方向的量叫做向量.(2)相等向量:同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等的向量.(3)零向量:起點(diǎn)與終點(diǎn)重合的向量叫做零向量,記為0.(4)向量的長(zhǎng)度:表示向量a的有向線段的長(zhǎng)度叫做向量的長(zhǎng)度或模,記作|a|.(5)基線:有向線段所在的直線叫做向量的基線.(6)共線向量:如果空間一些向量的基線互相平行或重合,則這些向量叫做共線向量或平行向量,如a平行于b,記作ab. 注意:共線向量(或平行向量)是指向量的基線相互平行或重合,平行向量的基線

2、可能重合,共線向量的基線可能不重合.共線向量(或平行向量)的方向可能同向,也可能反向.如下右圖abcd. 知識(shí)點(diǎn)二空間向量的加法、減法和數(shù)乘向量運(yùn)算 我們可把平面向量的線性運(yùn)算法則,推廣到空間,用來(lái)定義空間向量的加法、減法和數(shù)乘向量運(yùn)算.(1)平面向量求和的三角形法則和平行四邊形法則,對(duì)空間向量也同樣成立.(2)平面向量求和的多邊形法則,對(duì)空間向量也同樣成立.如上右圖=+.這也就是說(shuō),表示相加向量的有向線段依次首尾相接,構(gòu)成的折線從首到尾的向量就是這些相加向量的和為了便于記憶,常把這個(gè)和向量叫做“封口向量”(3)空間向量的加法和數(shù)乘向量運(yùn)算與平面向量一樣,滿足如下運(yùn)算律:加法交換律:a+b=b

3、+a；加法結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)；分配律:(+u)a=a+ua；(a+b)=a+b.(4)兩個(gè)結(jié)論:有限個(gè)向量求和,交換相加向量的順序其和不變;三個(gè)不共面的向量的和等于以這三個(gè)向量為鄰邊的平行六面體的對(duì)角線所表示的向量.說(shuō)明 1.對(duì)于空間任意兩個(gè)非零向量a、b,當(dāng)它們的基線不在任何同一個(gè)平面內(nèi)(兩基線異面),那么總可以通過(guò)平移,把它們移到同一平面內(nèi),這說(shuō)明任意兩個(gè)向量都可以通過(guò)平移,轉(zhuǎn)化為平面向量. 2.向量數(shù)乘的運(yùn)算除了滿足分配律及結(jié)合律外,還有以下些性質(zhì): (1)若a0,1a=2a,則1=2； (2)若0,a1=a2,則a1=a2; (3)1a+2a+na=(1+2+n)a

4、； (4)a1+a2+an=(a1+a2+an). 典型例題分析 題型1 空間向量的有關(guān)概念 【例1】 回答下列問(wèn)題: (1)單位向量一定相等? (2)起點(diǎn)不同,但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是不是相等的向量? (3)相等的非零向量,若起點(diǎn)不同,則終點(diǎn)一定不同,這一判斷正確嗎? (4)空間任意兩個(gè)非零向量都可以平移到同一平面內(nèi)?解析 利用向量的有關(guān)概念進(jìn)行判斷.答案 (1)不一定.單位向量是指模為1,方向卻是不確定的,所以單位向量不定相等.兩個(gè)非零向量相等必須具備兩個(gè)條件:一是模相等,二是方向相同.兩個(gè)條件缺一不可. (2)是. 對(duì)照向量相等必須具備的兩個(gè)條件,這兩個(gè)條件中,并沒(méi)有對(duì)相應(yīng)的有向線

5、段的起點(diǎn)加任何限制因此看來(lái),表示相等向量的有向線段的起點(diǎn)是很自由的,相等向量的起點(diǎn)位置具有任意性. (3)正確. 因?yàn)樵谄瘘c(diǎn)不同的情形下,如果終點(diǎn)相同,那么這些向量就不平行,即這些向量的方向就不相同,這與向量相等的定義相矛盾. (4)正確. 在空間任取一點(diǎn),過(guò)此點(diǎn)引兩個(gè)與已知非零向量相等的向量,而這兩個(gè)向量所在的直線相交于此點(diǎn),兩條相交直線確定一個(gè)平面,所以兩個(gè)非零向量可以平移到同一平面內(nèi). 規(guī)律總結(jié) 本題共4個(gè)小題,解答每一小題都需對(duì)所學(xué)的知識(shí)有一個(gè)準(zhǔn)確、全面的理解.掌握好概念及相美的基礎(chǔ)知識(shí),是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ).【變式訓(xùn)練1】 回答下列問(wèn)題:（1）模為0的向量是零向量?（2）方向相反的兩

6、個(gè)單位向量互為反向量?（3）起點(diǎn)相同且模相等的向量終點(diǎn)在同一圓周上?（4）a-a=0?答案 (1)正確;(2)正確;(3)不正確;(應(yīng)該是在同一球面上)(4)不正確.(應(yīng)該為a-【例2】 如下圖,在長(zhǎng)、寬、高分別為AB=3,AD=2,AA1=1長(zhǎng)方體ABCD一A1B1C1D1的八個(gè)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中, (1)寫(xiě)出所有的單位向量； (2)寫(xiě)出與相等的所有向量； (3)寫(xiě)出與相反的所有向量； (4)寫(xiě)出模為的所有向量. 解析 應(yīng)用單位向量、相等的向量、相反向量、向量的模的概念及長(zhǎng)方體的性質(zhì)解.即在空間我們將向量對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度稱為該向量的模;將模為1的向量稱為單位向量;將模相等且方向相同

7、的向量稱為相等的向量;將模相等而方向相反的向量稱為相反向量. 在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,因?yàn)殚L(zhǎng)、寬、高分別為AB=3,AD=2,AA1=1,AB1=.答案 (1)單位向量共有:,這八個(gè)； (2)與相等的向量共有,式這三個(gè)； (3)與相反的所有向量共有:,這四個(gè)； (4)模為的向量共有:,這十六個(gè). 錯(cuò)因分析 對(duì)向量的相關(guān)概念理解不透,考慮問(wèn)題不仔細(xì)、不全面,導(dǎo)致答案中出現(xiàn)漏解情況如(1)中易漏掉,這四個(gè)解:(3)中易漏掉這個(gè)解等. 【變式訓(xùn)練2】 如右圖,在棱長(zhǎng)為1的正三棱柱ABC-A1B1C1的六個(gè)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中, (1)單位向量共有多少個(gè)? (2)寫(xiě)出與相等的所

8、有向量； (3)寫(xiě)出與相反的所有向量； (4)寫(xiě)出模為的所有向量. 答案 (1)18個(gè)；(2)；(3),； (4)因?yàn)锳B1=,所以滿足要求的向量共有:,這十二個(gè)題型2 空間向量的線性運(yùn)算【例3】 如右圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中運(yùn)算結(jié)果為的是( )(1)()-；(2)()-；(3)()-；(4)()+.A.(1)(2) B.(2)(3) C.(3)(4) D.(1)(4)解析 在進(jìn)行減法運(yùn)算時(shí),可將減去一個(gè)向量轉(zhuǎn)化為加上這個(gè)向量的相反向量,而在進(jìn)行加法運(yùn)算時(shí),首先考慮這兩個(gè)向量在哪個(gè)平面內(nèi),然后與平面向量求和一樣,運(yùn)用向量運(yùn)算定律、平行四邊形法則、三角形法則及多邊形法

9、則來(lái)求解. 答案 (1)()-=+=+=；(2) (-)-=+=+-2=-2； 因此(1)(2)兩式的運(yùn)算結(jié)果為向量,而(3)(4)運(yùn)算的結(jié)果不為,故應(yīng)選擇A. 規(guī)律總結(jié) 在對(duì)向量進(jìn)行加、減法運(yùn)算時(shí),一定要運(yùn)用其運(yùn)算法則及運(yùn)算定律來(lái)簡(jiǎn)化,特別要注意的是將某些向量進(jìn)行平移,將其轉(zhuǎn)化到同一平面中去求解,另外,本題是一個(gè)選擇題,因此,在計(jì)算出(1)(2)兩式結(jié)果后,就已得到選項(xiàng),故(3)(4)兩式不必計(jì)算,這樣可提高解題速度,體現(xiàn)“小題”小解或巧解的特點(diǎn) 【變式訓(xùn)練3】 在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,化簡(jiǎn)+-等于 ( ) A. B.  C.  D. 答案 +

10、-=+=+=,故選擇A. 【例4】如右圖,已知平行六面體ABCD-ABCD,點(diǎn)M是棱AA的中點(diǎn),點(diǎn)G在對(duì)角線AC上且CG:GA=2:1,設(shè)=a,=b,=c,試用向量a,b,c表示, 解析 要想用a,b,c表示出所給向量,只需結(jié)合圖形,充分運(yùn)用空間向量加、減法的運(yùn)算律及平行四邊形法則或多邊形法則即可. (1)由平行四邊形法則,得=+=a+b； (2)由平行四邊形或三角形法則,得=+=(a+b)+c=a+b+c； (3）同上,得=+=+=a+b+c； (4)由(2),得=(a+b+c). 答案 (1)=a+b； (2)=a+b+c； (3)=a+b+c； (4)=(a+b+c). 規(guī)律總結(jié) 在用已

11、知向量表示未知向量的時(shí)候,要注意尋求兩者之間的關(guān)系,通常可將未知向量進(jìn)行一系列的轉(zhuǎn)化,將其轉(zhuǎn)化到與已知向量在同一四邊形(更多的是平行四邊形)或三角形中,從而可以建立已知與未知之間的關(guān)系式。另外,在平行六面體中,要注意相等向量之間的代換,例如,在第(3)小題中,利用了=,把轉(zhuǎn)化為,把一個(gè)向量用其他向量來(lái)表示,其實(shí)質(zhì)就是把一個(gè)向量進(jìn)行分解,這也是為學(xué)習(xí)向量共面定理和向量的空間坐標(biāo)表示奠定基礎(chǔ). 【變式訓(xùn)練4】 在正方體中 ABCD中,=a,=b,=c,P是CA的中點(diǎn),M是CD的中點(diǎn),N是CD的中點(diǎn),點(diǎn)Q在CA上,且CQ:QA=4:1,試用a,b,c表示以下向量:(1)；(2)；(3)；(

12、4). 答案 (1)=(+)(a+b+c)；(2)=+=c+b+=a+b+c；(3)=+=b+c+a；(4)=+=+=+(-)=c+(a+b-c)=a+b+c. 題型3 四面體與平行六面體 【例5】 證明平行六面體的體對(duì)角線交于一點(diǎn),并且在交點(diǎn)處互相平分. 解析 可證明體對(duì)角線有相同的中點(diǎn).答案 如上圖所示,平行六面體ABCD-,設(shè)點(diǎn)O是AC的中點(diǎn),則=(+).設(shè)P、M、N分別是BD、CA、DB的中點(diǎn).則=+=+=+(+)=+(-+)=(+)同理可證:=(+),=(+) 由此可知O,P,M,N四點(diǎn)重合故平行六面體的體對(duì)角線相交于一點(diǎn),且在交點(diǎn)處互相平分. 方法指導(dǎo) 利用向量解決立體幾何中的問(wèn)題

13、的一般思路是:將要解決的問(wèn)題用向量表示,用已知向量表示所需向量,對(duì)所需向量進(jìn)行運(yùn)算,再將運(yùn)算結(jié)果轉(zhuǎn)化為要解決的問(wèn)題. 【變式訓(xùn)練5】 如右圖所示,在平行六面體A1B1C1D1一ABCD中,M分成的比為,N分成的比為2,設(shè)=a，=b,=c,試用a、b,c表示.答案 如圖，連接AN,則=+.由已知四邊形ABCD是平行四邊形,故=+=a+b,又M分成的比為,故=-=-(a+b).由已知,N分成的比為2,故=+=-=-=(c+2b),所以=+=(a+b)+(c+2b)=(-a+b+c). 【例6】 如右圖,已知六面體ABCD-是平行六面體.(1)化簡(jiǎn)+,并在圖中標(biāo)出其結(jié)果；（2） 設(shè)M是底面ABCD的

14、中心,=.設(shè)=a+,試求a、的值. 解析 結(jié)合圖形,利用向量加法和減法、數(shù)乘向量的運(yùn)算法則,將未知向量用已知向量表示出來(lái). 答案 (1)取AA的中點(diǎn)為E,則=,又=,=,取F為DC的一個(gè)三等分點(diǎn)(=),=,所以+=+=.(說(shuō)明:表示法不唯一）(2)=+=+=(+)+(+)=(-+)+(+)=+.所以a=,=,=. 方法指導(dǎo) 結(jié)合圖形進(jìn)行計(jì)算時(shí),一定要找準(zhǔn)向量的方向. 【變式訓(xùn)練6】 如右圖所示,從空間一點(diǎn)P出發(fā)引三條射線PA、PB、PC,在PA、PB、PC上分別取=a,=b,=c，點(diǎn)G在上,且=2,H為RS的中點(diǎn),則= .答案 =+=+(+)=-a+c+(-c+b)=-a+(b+c). 規(guī)律

15、方法 總結(jié) (1)準(zhǔn)確理解“向量相等”的概念:只要兩向量方向相同且模相等,則此兩向量相等,與向量起點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)； (2)向量平行與直線平行是截然不同的兩個(gè)概念,如ab,未必有a與b所在的直線平行； (3)兩向量的模相等是兩向量相等的必要不充分條件； (4)注意實(shí)數(shù)與向量乘積的特殊情況:當(dāng)=0時(shí),a=0；當(dāng)0時(shí),若a=0,有a=0. (5)記住常用關(guān)系、常用數(shù)據(jù):在ABC中,+=0；以向量a,b為鄰邊的平行四邊形中,a+b與a一b表示的是兩條對(duì)角線所在的向量.a+b與|a-b為兩條對(duì)角線的長(zhǎng)；a-b表示的是由b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的一條有向線段. (6)向量算式的化簡(jiǎn)問(wèn)題:解題時(shí)要細(xì)致觀察,分析所

16、涉及的向量在圖形中的位置特點(diǎn),靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想. (7)實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量,記為a,它的模與方向規(guī)定如下:|a|=|·|a|.當(dāng)>0時(shí),與a的方向相同；當(dāng)<0時(shí),a與a的方向相反；當(dāng)=0時(shí),a=0.定時(shí) 鞏固 檢測(cè)基礎(chǔ)訓(xùn)練1.下列命題是真命題的是 （ ） A.分別表示空間向量的有向線段所在的直線不同在任何平面,則這兩個(gè)向量不是共面向量 B若|a|=|b|,則a,b的長(zhǎng)度相等而方向相同或相反 C.若向量,滿足|>|,且與同向,則> D.若兩個(gè)非零向量與滿足+=0,則 【答案】 D(點(diǎn)撥:A中向量可平移,B中a與b的終點(diǎn)在一球面上,C中向量不能比較大

17、小,)2.已知正方體ABCD-的中心為O,則在下列各結(jié)論中正確的結(jié)論共有 （ ） +與+是一對(duì)相反向量； -與-是一對(duì)相反向量； +與+是一對(duì)相反向量； -與-是一對(duì)相反向量. A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)9 【答案】 C(點(diǎn)撥:畫(huà)圖,利用向量的運(yùn)算可得:是相反向量；是相等向量；是相反向量；是相反向量.)3.點(diǎn)D是空間四邊形OABC的邊BC的中點(diǎn),=a,=b，=c,則為 ( ) A.(a+b)-c B.(c+a)-b C.(b+c)-a D.a+(b+c) 【答案】 C點(diǎn)=+=-a+(+)=-a+(b+c).)4.有下列命題: 當(dāng)R,且a1+a2+an=0時(shí),a1+a2+an=0；

18、當(dāng)1,2,nR,且1+2+n=0時(shí),1a+2a+na=0； 當(dāng)1,2,nR,且1+2+n=0時(shí),a1,a2,an是n個(gè)向量,且 a1+a2+,an=0,則1a1+2a2+nan=0.其中真命題有 ( ) A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)【答案】 C(點(diǎn)撥:由于a1+a2+an=(a1+a2+an)=0=0,故命題為真命題.由于1a+2a+na=(1+2+n)a=0×a=0,故命題也為真命題.命題為假命題,例如當(dāng)n=2時(shí),取1=1,2=-1,a1=a(a0),a2=-a,則1a1+2a2=a+(-1)(-a)=2a0,但此時(shí)有1+2=0,a1+a2=0,命題不成立.)5.設(shè)有四邊形ABCD,O為空間任意一點(diǎn),且+=+,則四邊形ABCD是 ( ) A.空間四邊形 B.平行四邊形 C.等腰梯形 D.矩形【答案】 B點(diǎn)撥:+=,+=,由=.四邊形為平行四邊形.)6.如右圖所示的空間四邊形ABCD中,M、G分別是BC、CD的中點(diǎn),則-+等于 ( ) A