數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)教育的核心

1、數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)教育的核心柴俊 數(shù)學(xué)教育學(xué)由教育學(xué)和數(shù)學(xué)組成作為一門研究數(shù)學(xué)教育的學(xué)科，無(wú)論數(shù)學(xué)還是教育學(xué)都應(yīng)該得到重視，這是毫無(wú)疑義的但兩者之間還是有不同的功能，教育學(xué)關(guān)心怎么教，而數(shù)學(xué)則是關(guān)心教的內(nèi)容在這當(dāng)中，數(shù)學(xué)應(yīng)該，也必須是數(shù)學(xué)教育的核心，而恰恰是這點(diǎn)被許多人忽視了。一、數(shù)學(xué)教育的去數(shù)學(xué)化現(xiàn)象 在數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)和數(shù)學(xué)課堂教學(xué)評(píng)價(jià)中，近年來(lái)越來(lái)越傾向于關(guān)心教師是否創(chuàng)設(shè)了現(xiàn)實(shí)情境，是否使用了多媒體技術(shù)，課堂氣氛是否活躍等等，而核心的數(shù)學(xué)內(nèi)容反倒是可有可無(wú)起來(lái)了數(shù)學(xué)被邊緣化了，張奠宙教授將之稱為“去數(shù)學(xué)化”，一點(diǎn)也不為過(guò)。這種去數(shù)學(xué)化現(xiàn)象在近年來(lái)一些數(shù)學(xué)教育研究文章也常有出現(xiàn)。 數(shù)學(xué)教育應(yīng)該以數(shù)學(xué)內(nèi)

2、容為核心，而評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的優(yōu)劣，自然應(yīng)該以學(xué)生是否能學(xué)好數(shù)學(xué)為依據(jù)教育手段必須為數(shù)學(xué)內(nèi)容服務(wù)，這是一個(gè)常識(shí)性的問(wèn)題，但現(xiàn)在常識(shí)似乎也有些不靈了。 數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)與教育學(xué)形成的交叉學(xué)科，雖然數(shù)學(xué)教育不能離開(kāi)一般教育規(guī)律的指導(dǎo)，但是僅有一般教育規(guī)律是不夠的，數(shù)學(xué)教育必須研究自己的特殊規(guī)律數(shù)學(xué)教育倘若不能對(duì)一般教育提供特定的規(guī)律性認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)教育學(xué)科就沒(méi)有獨(dú)立存在的價(jià)侮實(shí)際上，數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是如何體現(xiàn)“數(shù)學(xué)的本質(zhì)”、“精中求簡(jiǎn)”、“返樸歸真”，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)特有的“教育形態(tài)”，使得學(xué)生高效率、高質(zhì)量地領(lǐng)會(huì)和體驗(yàn)數(shù)學(xué)的價(jià)值和魅力一句話，數(shù)學(xué)教育應(yīng)該更多地關(guān)注“數(shù)學(xué)”本身沒(méi)有數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)教育，看似熱鬧，實(shí)際上

3、是對(duì)數(shù)學(xué)教育的傷害我們要遏制“去數(shù)學(xué)化”傾向的蔓延，不然將危及數(shù)學(xué)教育的生命。二、教什么比怎么教更重要 數(shù)學(xué)教育之所以稱為數(shù)學(xué)教育是因?yàn)橛辛藬?shù)學(xué)前幾年在數(shù)學(xué)教育界有一句經(jīng)典的名言：“教什么永遠(yuǎn)比怎么教更重要”我對(duì)這句話的理解是，如果教什么(數(shù)學(xué))都沒(méi)有搞清楚，怎么教(教育理論、教育方法等)還有什么意義呢?或者說(shuō)，如果對(duì)自己所教的內(nèi)容不甚了了，還談什么教育方法、教育理念? 隨著教育的普及，對(duì)數(shù)學(xué)的整體要求在逐步降低，這是大勢(shì)所趨但是一個(gè)國(guó)家對(duì)精英人才的培養(yǎng)絕對(duì)是不能放棄的在現(xiàn)代化社會(huì)中很多情況下決定勝負(fù)的往往是少數(shù)精英人才，如微軟、英特爾，它們的成功使美國(guó)在電子信息領(lǐng)域能夠傲視全球近20年來(lái)，科

4、學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，特別是基于信息技術(shù)的高技術(shù)產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，究其原因是這些技術(shù)的背后都有數(shù)學(xué)技術(shù)在起作用。因此當(dāng)今的世界強(qiáng)國(guó)，都是數(shù)學(xué)強(qiáng)國(guó)。吳文俊院士認(rèn)為“21世紀(jì)是對(duì)制數(shù)權(quán)的爭(zhēng)奪，哪個(gè)國(guó)家的數(shù)學(xué)高人一等，哪個(gè)國(guó)家便可爭(zhēng)霸天下”。數(shù)學(xué)作為精英人才培養(yǎng)基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)，其重要性不言而喻，僅靠作秀式的數(shù)學(xué)教育是不行的。 所以對(duì)于數(shù)學(xué)教師，始終要把教什么放在怎么教的前面，只有確定了教的內(nèi)容，才有研究怎么教的意義數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是實(shí)施數(shù)學(xué)教育理論和方法的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)素質(zhì)是數(shù)學(xué)教育成敗的關(guān)鍵(特別是在高年級(jí))。三、數(shù)學(xué)要有“大視野” 數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)教育的基礎(chǔ)，但不同的視野，對(duì)數(shù)學(xué)就有不同的看法。通常人們對(duì)數(shù)學(xué)的看法

5、是：嚴(yán)謹(jǐn)而美麗的形式，清晰的邏輯框架，訓(xùn)練思維的體操，競(jìng)賽拿名次，考試拿高分，提高升學(xué)率的法寶等等。這是視野受到局限時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)的看法。如果我們擴(kuò)大視野，除了以上這些，還應(yīng)有：蘊(yùn)藏在形式背后火熱的數(shù)學(xué)思想，能創(chuàng)造社會(huì)價(jià)值的數(shù)學(xué)技術(shù)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的過(guò)程，揭開(kāi)自然奧秘的鑰匙等等。也就是說(shuō)要揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)。數(shù)學(xué)不應(yīng)該只是用于考試、選拔人才的過(guò)濾器。進(jìn)行數(shù)學(xué)教育的最終目的是提高民族的數(shù)學(xué)素質(zhì)。那么，什么是大視野的數(shù)學(xué)? 1要揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì) 作為一名數(shù)學(xué)教師，首先要問(wèn)自己：數(shù)學(xué)除了解題之外，還應(yīng)該有什么?各種各類的解題指導(dǎo)，實(shí)際上都是“掐頭去尾燒中段”，只見(jiàn)形式不見(jiàn)思想，只是研究了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一部分。數(shù)學(xué)

6、需要運(yùn)用邏輯，但是數(shù)學(xué)不是邏輯。數(shù)學(xué)教育那就更不能只講邏輯和形式，不講數(shù)學(xué)思想，不去揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)。如果把數(shù)學(xué)比作美麗的科學(xué)女王，那么數(shù)學(xué)中的邏輯成分就是x光片中的那付骨架。所以，我們的數(shù)學(xué)教育，要充分重視對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的形成。 學(xué)過(guò)微積分都知道重要極限lim(1+1/n)n=e。這個(gè)e在中學(xué)數(shù)學(xué)中也已經(jīng)接觸過(guò)，但是除了知道e=2718281828外，絕大部分學(xué)生對(duì)e的意義并不清楚，至于為什么稱以e為底的對(duì)數(shù)為自然對(duì)數(shù)更是茫然。即便我們的學(xué)生能將這個(gè)極限倒背如流，意義又有多大呢? 導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是一種變化率，僅靠背定義、能求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是不能解決問(wèn)題的1998年上海市高考有道數(shù)

7、學(xué)題很能說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題。出乎意料的是相當(dāng)多的學(xué)生竟不知道變化率是何物我們的中學(xué)教師肯定讓學(xué)生做了很多導(dǎo)數(shù)的題目，但這種機(jī)械的訓(xùn)練無(wú)助于學(xué)生對(duì)數(shù)2要有火熱的思想 荷蘭數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育學(xué)家H弗賴登塔爾對(duì)數(shù)學(xué)著作的評(píng)價(jià)是“將火熱的數(shù)學(xué)思考變成了冰冷的美麗”。數(shù)學(xué)的形式化表述確實(shí)有一種邏輯的美，不少人對(duì)此津津樂(lè)道，但是這個(gè)邏輯美是冰冷的，在這個(gè)冰冷美麗的外表下，數(shù)學(xué)創(chuàng)造的原始思想和創(chuàng)新動(dòng)力都被淹沒(méi)在邏輯的海洋中了。數(shù)學(xué)教育要做的最重要的事就是還數(shù)學(xué)的本來(lái)面目，恢復(fù)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)時(shí)的火熱的思考。 火熱的數(shù)學(xué)思考，就是要將數(shù)學(xué)回歸到本原狀態(tài)，回到數(shù)學(xué)原始的樸素的思想狀態(tài)：“返璞歸真”。數(shù)學(xué)教育僅限于從“已知”到“

8、求證”的邏輯鏈的構(gòu)建是不夠的(數(shù)學(xué)考試往往僅限于此)，要用合情合理的數(shù)學(xué)問(wèn)題引起學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。 仍然用例子來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題。 導(dǎo)數(shù)和微分是微分學(xué)中兩個(gè)最基本的概念，又是相互聯(lián)系的從計(jì)算的角度出發(fā)，人們通常將兩者看成是一個(gè)量的兩個(gè)方面，這對(duì)于學(xué)過(guò)如何求導(dǎo)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，在學(xué)習(xí)計(jì)算微分時(shí)是十分方便的但這只是告訴學(xué)生一種計(jì)算的方法、一條捷徑，卻無(wú)助于對(duì)導(dǎo)數(shù)和微分原始思想的理解導(dǎo)數(shù)來(lái)自于對(duì)函數(shù)兩個(gè)變量變化關(guān)系(變化率)研究，它是兩個(gè)變量增量的比的極限；而微分則來(lái)源于對(duì)函數(shù)增量線性部分的研究，是函數(shù)在局部的線性化(這個(gè)思想貫穿整個(gè)微積分，比變化率更深刻)，最后卻殊途同歸，走到了一起

9、，導(dǎo)數(shù)也就被稱為了“微商”，微積分也因此被人們歸類為“線性數(shù)學(xué)”中的一員。如果把這些搞清清楚了，也就掌握了微積分的基本思想。 還有函數(shù)的定義，從初中就開(kāi)始有了，還有“對(duì)應(yīng)說(shuō)”、“映射說(shuō)”等不同定義方法，相信絕大多數(shù)學(xué)生都知道但是為什么要給函數(shù)這樣的定義，能回答這個(gè)問(wèn)題的學(xué)生應(yīng)該不會(huì)很多用最樸素的思想講，函數(shù)的產(chǎn)生來(lái)自于人們對(duì)不同變量相互“依賴”關(guān)系的研究不同的依賴關(guān)系，導(dǎo)致了不同的數(shù)學(xué)確定性依賴關(guān)系，產(chǎn)生了確定性數(shù)學(xué)分析學(xué)；不確定依賴關(guān)系是概率論的基礎(chǔ)。“依賴關(guān)系”是函數(shù)的本質(zhì)，一個(gè)量的變化依賴于另一個(gè)量的變化，是一元函數(shù)；一個(gè)量依賴于多個(gè)量的變化就是多元函數(shù)。這個(gè)想法雖然樸素卻揭示了函數(shù)的本

10、質(zhì)問(wèn)題用這個(gè)思想去研究函數(shù)，不論是“對(duì)應(yīng)說(shuō)”，還是“映射說(shuō)”；也不論單值函數(shù)還是多值函數(shù)，實(shí)在是沒(méi)有什么太大的區(qū)別將這個(gè)思想精確化，就是函數(shù)的定義：有變量x和y，變量x在數(shù)集D中變化，對(duì)于任意xD，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則f，有唯一的y與x對(duì)應(yīng)，稱f是數(shù)集D上的函數(shù)。這個(gè)對(duì)應(yīng)法則就是確定性的依賴關(guān)系。 清華大學(xué)蕭樹(shù)鐵先生關(guān)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的高等數(shù)學(xué)改革研究說(shuō)過(guò)這樣一句話，數(shù)學(xué)教學(xué)“要講推理，更要講道理”。這個(gè)道理就是數(shù)學(xué)應(yīng)有的火熱的思想，應(yīng)該貫串于數(shù)學(xué)教育的整個(gè)過(guò)程。在數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)中這一點(diǎn)更重要。四、數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)是向?qū)W生呈現(xiàn)數(shù)學(xué)的教育形態(tài)數(shù)學(xué)是實(shí)施數(shù)學(xué)教育的基礎(chǔ)，但教材上的數(shù)學(xué)知識(shí)，包括原理、定理、證明

11、和思想方法都是演繹地呈現(xiàn)的，論述雖然嚴(yán)密，接受卻不太容易因?yàn)楫?dāng)學(xué)生面對(duì)嚴(yán)格的定義卻不知道定義背后的數(shù)學(xué)思想和本質(zhì)時(shí)，是很難引起興趣的，也不會(huì)感到數(shù)學(xué)是一門有用的學(xué)科，只會(huì)給人以“難學(xué)”的印象這是數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)問(wèn)題是要將數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)的教育形態(tài)，即用學(xué)生容易接受的方式呈現(xiàn)出來(lái)上面談到的“揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)”、“火熱的數(shù)學(xué)思想”就是具體的方法。 比如，前面所舉的有關(guān)e的例子以e為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，可是為什么是“自然”的?只有當(dāng)學(xué)生了解了自然界一切連續(xù)增長(zhǎng)(或衰退)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型都可以歸結(jié)為以e為底的指數(shù)函數(shù)時(shí)，如了解生物的增長(zhǎng)模型、放射性元素的衰退模型、連續(xù)復(fù)利公式等，都可

12、以用y=yoekt來(lái)表示(注1)，其中A稱為連續(xù)增長(zhǎng)率(當(dāng)k>0)，或連續(xù)衰減率(當(dāng)k<0)，才會(huì)對(duì)“自然”有真實(shí)感受，會(huì)對(duì)自然對(duì)數(shù)有更深刻的理解，也會(huì)對(duì)相關(guān)的生物學(xué)和物理學(xué)知識(shí)有興趣，就會(huì)感到數(shù)學(xué)是有用的，不是僅僅作為高考和升學(xué)的工具(當(dāng)然自然對(duì)數(shù)的廣泛使用還與它在微積分中的特殊地位有關(guān))。 還是談指數(shù)函數(shù)，教師怎樣向?qū)W生呈現(xiàn)指數(shù)函數(shù)的“教育形態(tài)”?多數(shù)教師在教指數(shù)函數(shù)時(shí)會(huì)給出一個(gè)指數(shù)函數(shù)的圖形來(lái)說(shuō)明指數(shù)函數(shù)的特性，這很好但由于工具的局限(如黑板、紙張不夠大)，這個(gè)圖形往往是在一個(gè)很小的局部范圍內(nèi)描述指數(shù)函數(shù)的特性，很少會(huì)去注意指數(shù)函數(shù)的這種增長(zhǎng)(當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí))究竟會(huì)給我們帶來(lái)

13、什么如果我們結(jié)合用數(shù)值方法來(lái)考察指數(shù)函數(shù)，就會(huì)讓學(xué)生感受到指數(shù)函數(shù)的令人驚奇的增長(zhǎng)性。例如y=101x，底數(shù)僅比1大001取x=10，10110= 1104622。沒(méi)有看出這個(gè)指數(shù)函數(shù)有什么令人吃驚的增長(zhǎng)性，與線性函數(shù)y=1+00lx當(dāng)x=10時(shí)的取值110相差很小。但是當(dāng)取x=2000，x=5000時(shí)，則有什么結(jié)果呢?容易算得1012000 439286205，已經(jīng)很了不起了，而10l500040445X1021就是天文數(shù)字了，已經(jīng)不是線性函數(shù)所能比擬的了。通過(guò)這種方法學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)的認(rèn)識(shí)會(huì)比畫一個(gè)簡(jiǎn)單的圖形深刻的多。 再如，“分?jǐn)?shù)”對(duì)于小學(xué)生是一個(gè)比較不容易接受的概念，一些教材在處理分?jǐn)?shù)時(shí)

14、往往只是用黑體字標(biāo)識(shí)出“分?jǐn)?shù)的定義”，“分?jǐn)?shù)的大小定義”，“分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算、乘除運(yùn)算定義”等等至于為什么要研究分?jǐn)?shù)，基本不提但教師在講授這些內(nèi)容時(shí)卻不能這樣教對(duì)于分?jǐn)?shù)學(xué)生可能會(huì)問(wèn)：“既然已經(jīng)有了小數(shù)，分?jǐn)?shù)不過(guò)是兩數(shù)相除得到的小數(shù)，為什么還要引進(jìn)分?jǐn)?shù)呢?”即便學(xué)生不問(wèn)，教師也要啟發(fā)學(xué)生問(wèn)解決了這個(gè)問(wèn)題，才能獲得數(shù)學(xué)的真諦分?jǐn)?shù)在形式上看上去與小數(shù)類似，只不過(guò)換了一個(gè)形式，但它們的數(shù)學(xué)本質(zhì)是完全不一樣的分?jǐn)?shù)來(lái)自人類的社會(huì)實(shí)踐，是“某一個(gè)總體等分后的各種不同的份數(shù)”的表達(dá)如12，在不同大小總體下代表的真實(shí)數(shù)量是不一樣的(總體是10，12就是5，總體是20，12就是10)，但是它們的“份數(shù)”，即分?jǐn)?shù)是一樣的。分?jǐn)?shù)難就難在這里如果在教學(xué)中全然無(wú)視這些“為什么”，不能將分?jǐn)?shù)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榻逃螒B(tài)，只要求學(xué)生照規(guī)矩演算，學(xué)生如何能掌握分?jǐn)?shù)的實(shí)質(zhì)，怎會(huì)對(duì)分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣呢? 要將數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)