基于動態(tài)生成機制的混沌平衡優(yōu)化算法及應用

1、基于動態(tài)生成機制的混沌平衡優(yōu)化算法及應用摘 要：針對平衡優(yōu)化(EO)算法收斂速度慢、求解精度低、易陷入局部極值等不足，提出一種基于動態(tài)生成機制的混沌平衡優(yōu)化算法(DGEO)。該算法采用混沌平衡池引領策略增強個體之間的信息交互，引入非線性動態(tài)生成機制平衡全局搜索和局部開發(fā)能力；同時利用黃金差分策略對位置更新后的個體進行變異，改善算法過于依賴平衡池的問題，提高算法局部開發(fā)能力。選取16個基準函數(shù)和30個CEC2014測試函數(shù)進行實驗仿真，結(jié)果表明DGEO算法較標準EO算法、改進的EO算法以及其他元啟發(fā)式算法具有更好的尋優(yōu)性能，并通過優(yōu)化3個帶約束的工程實例,佐證了DGEO的有效性和可行性。關(guān)鍵詞：

2、平衡優(yōu)化算法； 混沌平衡池； 非線性生成機制；黃金差分變異；工程優(yōu)化中圖分類號：TP301文獻標識碼：A文章編號：網(wǎng)絡出版地址：Chaos equilibrium optimization algorithm based on dynamic generation mechanism and its applicationAbstractIn order to overcome the disadvantages of equilibrium optimization (EO) algorithm, such as slow convergence, low solution accuracy

3、 and easy to fall into local extremums, a chaos equilibrium optimization algorithm based on dynamic generation mechanism (DGEO) was proposed. In this algorithm, a chaotic equilibrium pool leading strategy is adopted to enhance the information interaction between individuals, and a nonlinear dynamic

4、generation mechanism is introduced to balance the global search and local development capabilities. At the same time, the golden difference strategy is used to mutate the individuals after the position update, so as to improve the problem that the algorithm relies too much on the balanced pool and i

5、mprove the local development ability of the algorithm.Sixteen reference functions and 30 CEC2014 test functions are selected for experimental simulation. The results show that DGEO algorithm has better performance than standard EO algorithm, improved EO algorithm and other meta-heuristic algorithms.

6、 The effectiveness and feasibility of DGEO algorithm are verified by optimizing three constrained engineering examples.Key wordsEquilibrium optimization algorithm; Chaos equilibrium pool; Nonlinear generation mechanism; Gold differential mutation; Engineering optimization1 引言元啟發(fā)式算法因其結(jié)構(gòu)簡單、易于實現(xiàn)和魯棒性高等優(yōu)

7、點，在解決高度復雜優(yōu)化問題中受到越來越多的關(guān)注。近十年來，研究人員受各種生物行為和物理現(xiàn)象的啟發(fā)相繼提出了許多元啟發(fā)式算法，如粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimization, PSO)算法1，鯨魚優(yōu)化算法(Whale Optimization Algorithm，WOA)2，樽海鞘群算法(Salp Swarm Algorithm，SSA)3，蜉蝣算法(Mayfly Algorithm，MA)4等。平衡優(yōu)化(Equilibrium Optimizer, EO)5算法是2019年由Faramarzia等人提出的一種新型元啟發(fā)算法，具有控制參數(shù)少、靈活性好、易于實現(xiàn)等優(yōu)點，同時對

8、于許多復雜優(yōu)化問題也具有明顯的優(yōu)越性，自開發(fā)以來已成功應用于多個領域，例如：文獻6將EO算法應用于多模態(tài)醫(yī)學圖像融合中，有效的提高了融合圖像的質(zhì)量和保留了輸入圖像的邊緣信息；文獻7利用EO算法求解交直流混合電網(wǎng)的最優(yōu)潮流問題，其目標是最小化總發(fā)電成本、發(fā)電環(huán)境排放、總功率損失和母線電壓偏差；文獻8利用EO算法來改進隨機向量函數(shù)連接網(wǎng)絡，增強了對聚甲基丙烯酸甲酯板材激光切割的預測能力。然而，EO算法同其他元啟發(fā)式算法一樣，存在易陷入局部最優(yōu)、收斂速度慢、求解精度低等缺點。為提高EO算法的性能，國內(nèi)外學者相繼對EO算法進行改進。文獻9利用高斯變異和基于種群劃分與重構(gòu)概念的探索機制改進EO算法，避免

9、了算法向最優(yōu)解停滯的趨勢。文獻10提出了一種基于當前適應度值的自適應位置更新策略，通過改善EO算法過于依賴平衡池的問題，提高了算法跳出局部最優(yōu)能力。文獻11采用拉普拉斯分布和反向?qū)W習策略來增大搜索區(qū)域，提高了種群的多樣性。文獻12將EO算法與熱交換優(yōu)化算法融合，提升了算法的全局搜索能力。文獻13將距離因素和精英進化策略引入EO算法中，提高了算法的勘探能力。以上文獻均從不同方面對EO算法進行改進研究，使EO算法的性能得到了一定程度的改善，但如何更好地提高求解精度和收斂速度，平衡全局搜索能力和局部開發(fā)能力仍需進一步研究。鑒此，本文提出一種非線性動態(tài)生成機制和黃金差分的混沌平衡優(yōu)化算法(Chaos

10、equilibrium optimization algorithm based on dynamic generation mechanism, DGEO)。首先，利用混沌序列的隨機性、遍歷性以及規(guī)律性特點，引入一種混沌平衡池引領策略，增強個體之間的信息交互，從而避免無效地搜索；其次，利用非線性動態(tài)生成機制對生成速率進行自適應調(diào)整，平衡全局搜索和局部開發(fā)能力；最后，采用黃金差分策略對位置更新后的個體進行變異，改善了候選解位置更新過于依賴平衡池的問題，提高算法的局部開發(fā)能力。通過對16個基準函數(shù)和30個CEC2014函數(shù)進行實驗仿真，并與PSO、WOA、SSA、MA、灰狼優(yōu)化算法(Grey W

11、olf Optimization，GWO)14、算術(shù)優(yōu)化算法15(Arithmetic Optimization Algorithm，AOA）、正余弦算法(Sine Cosine Algorithm，SCA)16、黑猩猩優(yōu)化算法(Chimp Optimization Algorithm，ChOA)17、以及文獻9的m-EO、文獻10的AEO、文獻11的OB-L-EO、文獻12的HEO、文獻13的E-SFDBEO進行比較，以驗證本文改進算法的有效性。2 平衡優(yōu)化算法EO算法來源于控制體積質(zhì)量動態(tài)平衡的物理模型，模型描述了控制容積內(nèi)質(zhì)量進入、離開和生成的物理過程，通常采用一階常微方程來描述，其數(shù)學

12、模型如式(1)所示：式中，V表示控制容積，C為濃度，Q為控制容積的容量流率，Ceq為平衡狀態(tài)下的濃度，G表示控制容積的質(zhì)量生成速率。求解式(1)所示的微分方程可得：式中，C0為初始濃度，t0為初始時間，F(xiàn)為指數(shù)項系數(shù)，為流動率。EO算法與其他元啟發(fā)算法一樣，通過隨機初始化候選解集合，其數(shù)學模型如式(4)所示：式中，Ci表示第i個個體的位置，randi為0,1之間的隨機數(shù)，Cmax、Cmin為種搜索空間的上下邊界。式中，Ceq(1)、Ceq(2)、Ceq(3)、Ceq(4)為當前迭代四個最優(yōu)個體，Ceq(ave)為四個最優(yōu)個體的平均值，并且5個候選解被選中的概率均為0.2。指數(shù)項系數(shù)F為更好的平

13、衡開發(fā)與探索能力，數(shù)學模型如式(6)所示：式中，a1為常數(shù)，r、為0,1之間的隨機數(shù)，sign為符號函數(shù)，t是隨迭代次數(shù)增加從1非線性遞減到0，其數(shù)學模型如式(7)所示：式中，t為當前迭代次數(shù)，Tmax為最大迭代次數(shù)，a2為常數(shù)。質(zhì)量生成速率G是EO算法中最重要環(huán)節(jié)之一，為增強算法的全局與局部開發(fā)能力，數(shù)學模型如式(8)所示：式中，G0數(shù)學模型如下所示：式中，r1，r2為0,1之間的隨機數(shù)，GCP為生成速率的控制參數(shù)，GP為生成概率，Ceq為平衡池中的隨機候選解，C為當前個體位置。綜上所述，EO算法的位置更新數(shù)學模型如式(11)所示：式中，V為單位體積，其他變量同上。3 基于動態(tài)生成機制的混沌

14、平衡優(yōu)化算法3.1 混沌平衡池引領策略在EO算法中，種群的位置更新由自身位置和平衡池中精英個體之間的濃度信息決定，尋優(yōu)過程中，個體之間缺乏信息交互，導致個體盲目跟隨精英個體。為了避免算法無效地搜索，提高算法的收斂速度，本文考慮到混沌序列的隨機性、遍歷性和規(guī)律性的特點18，對平衡池的候選解進行混沌變異，利用當前個體與混沌變異個體之間的粒子濃度強弱引領種群的尋優(yōu)方向，其具體操作過程如下：1)將平衡池中的候選解由解空間映射到0,1區(qū)間，得到混沌序列(t)，其數(shù)學模型如式(12)所示：式中，LB=min(Ceq,pool)、UB=max(Ceq,pool)；2)利用式(13)對(t)進行切比雪夫混沌迭

15、代，有3)將進行切比雪夫映射后的混沌序列映射至解空間內(nèi)，得到對應的混沌個體D，其數(shù)學模型如式(14)所示：4)計算當前個體位置和混沌個體位置的適應度并比較適應度值大小，然后確定當前個體位置更新模式，即當前個體適應度值小于混沌個體適應度值時，則種群受當前個體位置吸引較大；反之，受混沌個體位置影響較大。其數(shù)學模型如式(15)所示：式中，Ct i為當前個體位置，f(Ct i)、f(D)分別為當前個體、混沌個體的適應度值，為收縮因子。3.2 非線性動態(tài)生成機制由式(11)可知，EO算法的全局搜索和局部開發(fā)能力由指數(shù)項系數(shù)F和生成速率G進行控制，而生成速率G的取值決定于控制參數(shù)GCP。由式(10)可知，

16、在整個迭代過程中，固定值的生成概率GP難以擬合算法的非線性收斂過程，從而難以平衡算法的全局搜索和局部開發(fā)能力。為解決這一問題，本文基于控制參數(shù)GCP提出一種非線性動態(tài)生成機制，其數(shù)學模型如式下：式中，為收斂調(diào)整因子，取值為0.4，為控制參數(shù)，取值為0.2，t為當前迭代次數(shù)，Tmax為最大迭代次數(shù)。由式(17)、(18)可知，改進的生成概率GP為非線性遞增函數(shù)，改進參數(shù)r1為非線性遞減函數(shù)。在迭代初期時，r1下降速度緩慢且長時間處于較大值，同時GP緩慢上升，提高控制參數(shù)GCP的生成概率，以便增強算法的全局搜索能力；在迭代后期，r1下降緩慢并處于較小值，同時GP上升緩慢并處于較大值，以便降低控制參

17、數(shù)GCP的生成概率，充分發(fā)揮平衡池的引領作用，提高算法的局部開發(fā)能力。3.3 黃金差分變異策略在EO算法中，候選解的位置更新過于依賴平衡池的四個最優(yōu)個體位置及其平均值，當平衡池中的個體陷入局部極值時，其他候選解也可能陷入局部極值，縮小了種群的全局搜索空間，這也是標準EO算法求解精度不高的主要原因之一。為解決這一問題，受文獻19和文獻20共同啟發(fā)，本文提出一種黃金差分變異策略，將式(11)位置更新后的候選解進行黃金差分變異，其數(shù)學模型如式(19)所示：式中，C1為當前最優(yōu)個體位置，C2為當前次優(yōu)個體位置，1、2分別是取值0,和0,2之間的隨機數(shù)，1、2是根據(jù)黃金分割比率得到的黃分割系數(shù)，其數(shù)學模

18、型如下：在標準的差分變異策略21中,縮放因子的大小決定差分變異操作中差分擾動的程度，如果縮放因子取值過小，則會加快算法收斂，導致算法陷入局部極值；如果縮放因子取值過大，則會使算法收斂變慢。鑒此本文引入黃金正弦因子對差分變異策略進行改進，提出了一種黃金差分變異策略，利用正弦函數(shù)的曲線值域分布特點，增加種群的多樣性；同時利用黃金分割數(shù)得到的系數(shù)可以逐步縮小算法搜索空間，使其個體穩(wěn)步趨近最優(yōu)值，提高了算法的跳出局部極值能力和求解精度。3.4 DGEO實現(xiàn)步驟算法1 DGEO算法，步驟如下Step1設置算法初始參數(shù)，包括種群規(guī)模N，最大迭代次數(shù)Tmax，搜索空間維度d，系數(shù)a1、a2；Step2根據(jù)公

19、式(4)初始化種群；Step3計算個體適應度值，記錄前四個最優(yōu)個體，構(gòu)建平衡池Ceq,pool；Step4 根據(jù)公式(12)(16)執(zhí)行混沌平衡池引領策略；Step5 根據(jù)公式(17)、(18)更新生成概率GP和參數(shù)r1；Step6根據(jù)公式(11)更新候選解位置，重新計算個體適應度值，選出最優(yōu)個體和次優(yōu)個體位置；Step7根據(jù)公式(19)對候選解進行黃金差分變異，并計算變異后和變異前的適應度值，保留適應度值較好的個體；Step8判斷算法是否滿足結(jié)束條件，若滿足，輸出最優(yōu)值，否則返回Step3。3.5 時間復雜度分析時間復雜度是檢驗算法運行效率的關(guān)鍵指標。在EO算法中，假設種群規(guī)模為N，搜索空間

20、維度為d，參數(shù)初始化時間為t1，產(chǎn)生隨機數(shù)的時間為t2，求解適應度的時間為f(d)，對適應度值排序并構(gòu)建平衡池的時間為t3，更新參數(shù)t的時間為t4，種群位置更新時間為t5，則標準EO算法總的時間復雜度為：在改進的DGEO算法中，參數(shù)的初始化和計算適應度的時間和標準的EO算法一樣，迭代的過程中，設引入混沌均衡池引領階段的時間為t6，更新改進的控制參數(shù)GCP的時間為t7，黃金差分變異階段的時間為t8，則DGEO總的時間復雜度為：基于上述分析，本文所提DGEO算法和標準EO算法的時間復雜度屬于同一數(shù)量級，說明DGEO算法最終的時間復雜度并沒有的提高。4 實驗仿真與結(jié)果分析實驗運行環(huán)境為64位Wind

21、ows 7操作系統(tǒng)，CPU為Iter Core i5-7200U，主頻為2.6GHz，內(nèi)存為4GB，算法基于MATLAB R2016a編寫。為充分驗證本文DGEO算法的有效性，采用16個具有不同特征的測試函數(shù)，如表1所示，其中f1f6為連續(xù)單峰測試函數(shù)，f7f12為復雜多峰測試函數(shù)，f13f16為固定低維測試函數(shù)。為確保算法對比的公平性，其算法的基本參數(shù)設置相同：種群規(guī)模N=30，最大迭代次數(shù)Tmax=500，測試函數(shù)維度d為30/100/500。各基本算法內(nèi)部參數(shù)設置如表2所示。表1 基準測試函數(shù)f函數(shù)名維度范圍最優(yōu)值f1Sphere30/100/500-100,1000f2shwefel.

22、2.2230/100/500-10,100f3Schwefel.1.230/100/500-100,1000f4Schwefel.2.2130/100/500-100,1000f5Step30/100/500-100,1000f6Quartic30/100/500-1.28,1.280f7Schwefel2.2630/100/500-500,500-418.9829*df8Rastrigin30/100/500-5.12,5.120f9Ackley30/100/500-32,320f10Criewank30/100/500-600,6000f11Penalized 130/100/500-50

23、,500f12Apline30/100/500-10,100f13Kowalik4-5,50.0003f14Sheke_140,10-10.1532f15Sheke_240,10-10.4028f16Shekel_340,10-10.5363表2 算法參數(shù)設置算法主要參數(shù)SCAm=2ChOAfmax=2.5, fmin=0SSA/MAg=0.8,gdamp=1,a1=1,a2=1.5,a3=1.5,dance=5PSOvmax=6,vmin=-6,wmax=0.9,wmin=0.6,c1=c2=2GWOamax=2,amin=0WOAamax=2,amin=0,b=1EOa1=2,a2=1,G

24、P=0.5DGEOa1=2,a2=14.1 算法性能對比分析為了驗證DGEO算法的整體性能，使用了八種算法進行比較：EO算法、SCA算法、MA算法、PSO算法、GWO算法、WOA算法、ChOA算法和SSA算法。為了避免算法偶然性帶給性能的比較誤差，對每個測試函數(shù)分別獨立運行30次，通過對比平均值(Mean)和標準差(Std)來判斷優(yōu)化算法的性能，其中平均值反映算法的收斂速度，標準差反映算法的穩(wěn)定性，結(jié)果如表3所示。由表3的數(shù)據(jù)可知，對于連續(xù)單峰測試函數(shù)f1f4，DGEO均能找到其理論最優(yōu)值，同時標準差均為0，證明了算法具有很好的穩(wěn)定性，對于函數(shù)f5、f6，雖未尋到理論最優(yōu)值，但平均值遠高于其余

25、8種算法，且穩(wěn)定性較好。在復雜多峰測試函數(shù)中，DGEO也能得到高精度的解，尤其對于函數(shù)f8、f10、f12，DGEO均能找到理論最優(yōu)值，而其他8種算法均不能。對于函數(shù)f7、f9、f11，DGEO雖未能找到理論最優(yōu)值，但求解精度遠遠優(yōu)于其他8種算法，證明了DGEO具有較好的跳出局部極值能力，同時在標準差的對比中，DGEO的標準差均最小，因此在穩(wěn)定性方面，DGEO算法的魯棒性較好。在固定低維測試函數(shù)中，除函數(shù)f13外，DGEO亦都能找到理論最優(yōu)值，且魯棒性較好，進一步驗證了DGEO算法是行之有效的。表3 9不同算法對基準函數(shù)的優(yōu)化性能比較函數(shù)指標SCAChOASSAMAPSOGWOWOAEODGE

26、OF1Mean2.46E+014.71E-062.23E-071.67E-052.66E+002.65E-273.36E-724.09E-410.00E+00Std6.76E+017.25E-064.00E-074.73E-051.21E+004.47E-271.81E-717.73E-410.00E+00F2Mean1.83E-023.28E-052.06E+006.85E-044.44E+001.23E-164.82E-526.04E-240.00E+00Std2.25E-024.14E-051.54E+001.73E-031.25E+009.51E-171.24E-517.21E-240

27、.00E+00F3Mean1.02E+041.96E+021.45E+035.53E+032.00E+021.05E-054.33E+048.54E-090.00E+00Std6.28E+034.00E+028.12E+021.30E+026.03E+012.32E-051.73E+043.64E-080.00E+00F4Mean3.54E+013.06E-019.72E+004.51E+012.02E+007.53E-074.36E+011.23E-100.00E+00Std1.24E+012.45E-012.18E+002.21E-012.50E-017.96E-072.83E+011.3

28、4E-100.00E+00F5Mean1.43E+013.70E+001.74E-061.19E-052.53E+008.01E-014.07E-018.97E-065.48E-07Std1.31E+014.38E-012.18E-062.22E-051.00E+003.76E-012.14E-016.48E-061.12E-06F6Mean7.04E-022.73E-031.72E-012.54E-021.60E+011.91E-033.27E-031.34E-031.02E-05Std7.33E-021.97E-038.20E-028.93E-031.50E+011.02E-034.12E

29、-038.36E-041.26E-05F7Mean-3.72E+03-5.71E+03-7.53E+03-9.87E+03-6.59E-03-6.13E+03-1.06E+04-8.84E+03-1.24E+04Std2.96E+026.18E+016.39E+024.99E+021.26E+03872.33141.92E+037.10E+022.82E+02F8Mean4.65E+011.17E+015.69E+015.13E+011.68E+023.45E+003.79E-151.89E-150.00E+00Std4.79E+011.19E+011.71E+012.06E+013.24E+

30、013.51E+001.44E-141.03E-140.00E+00F9Mean1.69E+012.00E+012.85E+001.73E+002.57E+001.04E-134.44E-158.59E-158.88E-16Std7.33E+003.15E-028.67E-015.35E-015.33E-011.58E-142.29E-152.30E-150.00E+00F10Mean1.08E+002.05E-021.93E-022.49E-021.24E-019.72E-041.32E-023.29E-040.00E+00Std5.57E-013.45E-021.38E-022.98E-0

31、24.65E-023.83E-034.25E-021.80E-030.00E+00F11Mean1.44E+044.69E-017.16E+005.20E-014.04E-024.89E-022.27E-024.60E-072.35E-08Std5.90E+041.82E-013.72E+007.08E-012.44E-022.56E-021.45E-023.58E-072.65E-08F12Mean1.54E+004.06E-034.07E+002.19E-046.01E+007.29E-042.16E-392.73E-240.00E+00Std3.19E+001.24E-022.22E+0

32、04.02E-042.90E+007.62E-041.18E-384.45E-240.00E+00F13Mean9.79E-049.79E-041.33E-033.08E-038.97E-049.73E-036.49E-042.35E-033.56E-04Std3.24E-043.24E-045.16E-046.91E-031.30E-041.31E024.45E-046.11E-038.45E-05F14Mean-2.6931-1.6733-7.8901-5.9683-8.0397-9.3935-8.2692-8.1255-10.1532Std1.91521.67983.1123.54852

33、.7392.00682.72142.775.79E-15F15Mean-4.0105-3.6312-9.1095-6.6698-8.9849-10.2252-8.2252-9.3623-10.4028Std1.69751.95822.68523.80572.91150.970323.17392.41341.04E-15F16Mean-4.7637-4.4468-8.0623-7.8211-9.5646-9.9948-7.1163-9.682-10.5363Std2.29251.69233.37843.66192.24282.05863.53522.25412.06E-15 (a) f1 (b)

34、 f2 (c) f3 (d) f7 (e) f11 (f) f12 (g) f14 (h) f15 (l) f16圖1 部分基準函數(shù)收斂曲線4.2 收斂性分析為了更直觀地對比本文算法與其他八種算法的尋優(yōu)性能，突出DGEO算法的優(yōu)勢，圖1給出了部分基準函數(shù)的平均收斂曲線圖，圖中橫坐標表示迭代次數(shù)，縱坐標表示函數(shù)平均最優(yōu)值的對數(shù)值。從圖1可以看出，對于大多數(shù)測試函數(shù)，DGEO算法的收斂精度明顯高于其他算法，表明了加入黃金差分變異策略改善了候選解過于依賴平衡池的問題，提高了算法的跳出局部極值能力。圖1(a)(f)為單峰測試函數(shù)和多峰測試函數(shù)的收斂曲線圖，由圖1可以看出，DGEO算法的收斂速度明顯快于

35、其他算法，尤其對于函數(shù)f1、f2、f3、f12，在相同的迭代次數(shù)下能快速收斂到理論最優(yōu)值，這表明混沌平衡池引領策略糾正了種群盲目的移動方向，避免無效地搜索，從而提高了收斂速度。圖1(g)-(l)為固定多峰測試函數(shù)，由圖可以看出，DGEO算法的停滯次數(shù)明顯少于其他算法，即使短暫陷入局部極值，但也能很快地跳出局部極值，并且快速的收斂時到理論最優(yōu)值，表明了改進的非線性動態(tài)生成機制能更有效地平衡全局搜索和局部開發(fā)。綜上所述，DGEO算法對比其他算法具有更高的求解精度和收斂速度，佐證了本文算法的有效性和優(yōu)越性。4.3 與其他改進EO算法性能對比為了突出改進算法的競爭性，將本文所提DGEO算法與目前最新改

36、進的EO算法：m-EO9、AEO10、OB-L-EO11、HEO12 進行對比，為實現(xiàn)對比的公平性，所有算法的迭代次數(shù)均為500，種群規(guī)模設為30，除固定低維測試函數(shù)f13f16外，其他函數(shù)搜索維度為30/100/500，并獨立運行30次，對比結(jié)果如表4和表5所示，表中“”代表無數(shù)據(jù)。由表4和表5可知，對于單峰函數(shù)f1f3，DGEO在30維、100維和500維求解函數(shù)時，均能尋到理論最優(yōu)值，且魯棒性較好，而其他5種算法都會隨著維度上升導致求解精度和魯棒性下降。對于函數(shù)f4，DGEO雖在100維的情況下要略差于OB-L-EO算法，但在30維和500維時，DGEO要優(yōu)于其他5種算法，且標準差均為0

37、。對于函數(shù)f5、f6，雖然都未能找到理論最優(yōu)值，但DGEO在各個維度下都要優(yōu)于其他5種算法。對于f7函數(shù)，雖DGEO在500維的求解精度略差于m-EO，但標準差要優(yōu)于m-EO和其他4種算法，說明DGEO的魯棒性更好。對于函數(shù)f11，DGEO在100維和500維的情況下要略差于m-EO，說明DGEO在求解高維多峰優(yōu)化問題時性能上仍需加強。此外對于函數(shù)f12f16，在5種算法求解精度低和穩(wěn)定性差的情況下，DGEO仍具有較高的求解精度和穩(wěn)定性，并且除f13外，DGEO亦都能找到理論最優(yōu)值。綜上所述，與改進的m-EO、AEO、OB-L-EO、E-SFDBEO、HEO相比，DGEO算法的性能更具有顯著的

38、優(yōu)勢。表4 與其他改進EO算法在不同維度下的對比結(jié)果fdm-EO9AEO10OB-L-EO11HEO12E-SFDBEO12DGEOMeanStdMeanStdMeanStdMeanStdMeanStdMeanStdf1300.00E+000.00E+001.62E1047.47E1046.76E2120.00E+005.60E-1960.00E+001.77E-2170.00E+000.00E+000.00E+001001.53E-3040.00E+001.47E974.93E970.00E+000.00E+000.00E+000.00E+005000.00E+000.00E+003.56E

39、781.48E771.09E-2060.00E+000.00E+000.00E+00f2303.93E-1670.00E+001.38E563.65E561.93E1088.00E1080.00E+002.75E-941.73E-1146.68E-1140.00E+000.00E+001003.09E-1611.58E-1601.99E523.36E520.00E+000.00E+000.00E+000.00E+005001.36E-1605.90E-1603.70E439.08E432.97E-1081.61E-1070.00E+000.00E+00f3302.71E-3060.00E+00

40、4.24E382.30E376.93E1870.00E+006.44E-1983.09E-1061.42E-2010.00E+000.00E+000.00E+001008.50E-2970.00E+004.01E091.99E080.00E+000.00E+000.00E+000.00E+005004.63E-2930.00E+002.64E+027.78E+024.17E-1840.00E+000.00E+000.00E+00f4302.31E-1591.17E-1581.94E469.14E464.73E1031.6E1021.22E-962.02E-952.03E-1061.07E-10

41、50.00E+000.00E+001002.83E-1579.04E-1574.53E421.42E410.00E+000.00E+001.52E-3140.00E+005001.48E-1547.46E-1545.05E282.35E271.05E-995.73E-997.39E-3070.00E+00f5309.23E-054.18E-056.45E064.98E069.09E055.98E051.11E-031.34E-035.48E-071.12E-061005.28E-034.24E-033.49E+007.01E-011.53E012.05E019.17E-044.50E-0450

42、04.92E-025.50E-028.99E+012.30E-033.46E-031.91E-03f6302.47E-042.23E-041.10E-035.87E044.70E043.05E041.18E-057.32E-053.11E-042.64E-041.02E-051.26E-051003.47E-042.50E-040.00238.46E041.47E041.22E041.25E-041.12E-045005.11E-043.90E-040.00480.00233.98E-044.43E-042.02E-041.66E-04f730-1.22E+041.02E+038.91E+03

43、621.17049.06E+039.28E+02-1.24E+042.82E+02100-4.19E+049.63E+002.58E+041.34E+032.85E+042.09E+03-4.19E+041.63E+00500-2.09E+051.87E+027.62E+045.92E+03-1.96E+051.13E+02f8300.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+001000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.

44、00E+000.00E+000.00E+000.00E+005000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+00f9308.88E-160.00E+005.98E151.79E158.88E164.01E318.88E-160.00E+008.88E-160.00E+008.88E-160.00E+001008.88E-160.00E+006.81E151.70E158.88E168.88E168.88E-160.00E+005008.88E-160.00E+007.52E152.03E158.88E-160.0

45、0E+008.88E-160.00E+00f10300.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+001000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+005000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+000.00E+00f11306.26E-063.92E-065.22E075.00E076.29E064.

46、35E061.79E-055.06E-052.35E-082.65E-081002.18E-051.78E-053.45E-028.20E-035.83E041.14E038.00E-033.54E-035001.98E-052.25E-056.44E-013.48E-029.75E-021.75E-02f12301.65E-1650.00E+004.88E-1152.56E-1140.00E+000.00E+001001.65E-1640.00E+000.00E+000.00E+005005.61E-1600.00E+003.92E-1091.38E-1080.00E+000.00E+00表

47、5 與其他改進EO算法在固定低維下的對比結(jié)果(d=4)fm-EO9AEO10OB-L-EO11HEO12E-SFDBEO13DGEOMeanStdMeanStdMeanStdMeanStdMeanStdMeanStdf131.55E-014.93E-011.10E-023.70E-034.61E043.47E041.02E+003.87E+004.60E-041.64E-043.56E-048.45E-05f14-9.33E+002.23E+008.45E+002.44E+001.02E+019.12E06-1.02E+015.79E-15f15-1.01E+011.35E+009.47E+0

48、02.13E+001.04E+017.99E06-1.04E+011.04E-15f16-1.03E+019.87E-019.82E+001.87E+001.02E+011.36E+00-1.05E+012.06E-154.4 Wilcoxon秩和檢驗上述仿真中，均未對每次結(jié)果進行獨立的比較。為了更加全面地體現(xiàn)算法性能，本文采用Wilcoxon秩和檢驗來驗證DGEO每次運行結(jié)果是否在統(tǒng)計上與其他算法存在顯著性差異。秩和檢驗在p=5%的顯著性水平下進行，p值小于5%時，拒絕H0假設,表明兩種對比算法具顯著性差異；否則接受H0假設，說明兩種算法尋優(yōu)結(jié)果在整體上是相同的22。表6給出了16個測試函數(shù)

49、下DGEO與SCA、ChOA、SSA、MA、PSO、GWO、WOA、EO共8種算法的秩和檢驗p值，表中“R”表示顯著性判斷結(jié)果，符號“+”、“=”、“-”分別表示DGEO算法秩和統(tǒng)計結(jié)果優(yōu)于、等于和差于其他對比算法。從表6可知，所有p值遠小于5%，表明了DGEO算法與其他8種算法之間存在顯著性差異，并且DGEO顯著更優(yōu)。表6 Wilcoxon秩和檢驗結(jié)果函數(shù)SCAChOASSAMAPSOGWOWOAEOp-value Rp-value Rp-value Rp-value Rp-value Rp-value Rp-value Rp-value Rf13.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +f23.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +f33.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +3.31E-20 +f