第二章順序統(tǒng)計量與樣本極差

1、2.5 順序統(tǒng)計量與樣本極差順序統(tǒng)計量與樣本極差個個觀觀測測值值，后后得得到到的的第第觀觀測測值值，由由小小到到大大排排列列值值是是將將樣樣本本個個次次序序統(tǒng)統(tǒng)計計量量，它它的的取取該該樣樣本本的的第第稱稱為為的的樣樣本本，是是取取自自總總體體設(shè)設(shè)iiXXXXXin)(21,),min(21)1(nXXXX 一、順序統(tǒng)計量及其分布一、順序統(tǒng)計量及其分布定義：定義：其中其中稱為該樣本的稱為該樣本的最小次序統(tǒng)計量，最小次序統(tǒng)計量，),max(21)(nnXXXX 稱為該樣本的最大次序統(tǒng)計量稱為該樣本的最大次序統(tǒng)計量。同同。既既不不獨獨立立，分分布布也也不不相相一一般般情情況況下下，)()2()1(

2、,nXXX例1：的離散均勻分布的離散均勻分布的分布為僅取的分布為僅取設(shè)總體設(shè)總體2 , 1 , 0XXP012313131。率率相相同同，都都為為種種，每每一一組組觀觀測測值值的的概概有有，其其一一切切可可能能取取值值個個樣樣本本，現(xiàn)現(xiàn)從從中中取取出出271273,33321 XXX下面，我們分別求出各次序統(tǒng)計量的邊緣分布，下面，我們分別求出各次序統(tǒng)計量的邊緣分布，說明上面結(jié)論的正確性。說明上面結(jié)論的正確性。2719321)0(33)1( XP27727132)1(33)1( XP271)2()1( XP的的概概率率分分布布列列為為)1(X)1(XP012271927727127731)0(3

3、2323)2( CCXP)2 , 0 , 0(),1 , 0 , 0(),0 , 0 , 0(27731)2(32323)2( CCXP)2 , 2 , 2(),2 , 2 , 1 (),2 , 2 , 0(27132772771)1()2( XP的的概概率率分分布布列列為為)2(X)2(XP0122772713277271)0()3( XP277271272)1(3)3( XP27192772711)2()3( XP的的概概率率分分布布列列為為)3(X)3(XP0122712772719的聯(lián)合分布列為的聯(lián)合分布列為與與)2()1(XX)1(X)2(X012012277279273027427

4、300271補充內(nèi)容補充內(nèi)容則則此此事事件件發(fā)發(fā)生生的的概概率率為為即即，次次，發(fā)發(fā)生生了了設(shè)設(shè)次次獨獨立立重重復復的的試試驗驗，。進進行行了了，并并且且滿滿足足相相應應發(fā)發(fā)生生的的概概率率分分別別為為個個可可能能的的結(jié)結(jié)果果，記記為為設(shè)設(shè)每每次次試試驗驗有有)(, 2 , 11,21212121NnnnkinANppppppAAAkkiikkkknknnkpppnnnN212121!這就是多項分布的概率公式。這就是多項分布的概率公式。 下面我們僅就總體的分布為連續(xù)情況下，討論次下面我們僅就總體的分布為連續(xù)情況下，討論次序序統(tǒng)計量的抽樣分布。統(tǒng)計量的抽樣分布。二、單個次序統(tǒng)計量的分二、單個次序

5、統(tǒng)計量的分布布定理定理1：的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為個個次次序序統(tǒng)統(tǒng)計計量量為為樣樣本本，則則第第，分分布布函函數(shù)數(shù)為為的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)總總體體)(21,)()(knXkXXXxFxfX ).()(1)()!()!1(!)(1xfxFxFknknxfknkk 證明：內(nèi)”內(nèi)”取值落在區(qū)間取值落在區(qū)間“次序統(tǒng)計量“次序統(tǒng)計量，考慮下面的事件，考慮下面的事件對任意的實數(shù)對任意的實數(shù),()(xxxXxk ”個觀測值大于個觀測值大于，有，有于于個觀測值小于等個觀測值小于等之間，而有之間，而有個觀測值落在個觀測值落在的樣本中有的樣本中有“樣本容量為“樣本容量為xxknxkxxxn 1,(1xxx

6、1k1kn，的概率為的概率為等于等于樣本的每一個分量小于樣本的每一個分量小于)(xFx，的概率為的概率為落入?yún)^(qū)間落入?yún)^(qū)間)()(,(xFxxFxxx ，的概率為的概率為大于大于)(1xxFxx 種。種。共有共有個分量分成這樣三組，個分量分成這樣三組，而將而將)!()!1(!knknn 分布可得分布可得的分布函數(shù)，則由多項的分布函數(shù)，則由多項記記于是若以于是若以)()(kkXxF)()(xFxxFkk knkxxFxFxxFxFknkn )(1)()()()!( ! 1)!1(!1，并令，并令兩邊除以兩邊除以0 xxxxFxxFxfkkxk )()(lim)(0 ).()(1)()!()!1(!

7、1xfxFxFknknknk 證畢。推論推論1：的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為序統(tǒng)計量序統(tǒng)計量的假定下，最小最大次的假定下，最小最大次在定理在定理)()1(,1nXX ).()()()()(1)(111xfxFnxfxfxFnxfnnn 例例1：為樣本，則為樣本，則，設(shè)總體分布為設(shè)總體分布為nXXXU,)1 , 0(21 111000)(xxxxxF 其它其它0101)(xxf數(shù)數(shù)為為個個次次序序統(tǒng)統(tǒng)計計量量的的密密度度函函其其第第k10)1()!()!1(!)(1 xxxknknxfknkk。為貝塔分布為貝塔分布)1,( knkBe三、多個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合分布三、多個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合分布下

8、面我們討論任意兩個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合分布下面我們討論任意兩個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合分布。定理定理2：的聯(lián)合概率密度函數(shù)為的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，的假定下，次序統(tǒng)計量的假定下，次序統(tǒng)計量在定理在定理jiXXji ),(1)()( ),()()(1)()()()!()!1()!1(!),(11zfyfzFyFzFyFjnijinzyfjnijiij . zy 證明：證明：”，事件“，事件“以及以及對增量對增量,(,(,)()(zzzXyyyXzyzyji yiXXXnn個個觀觀測測值值小小于于等等于于中中有有的的樣樣本本“容容量量為為1,21 ”個大于個大于，而余下，而余下一個落入?yún)^(qū)間一個落入?yún)^(qū)間，個落入?yún)^(qū)

9、間個落入?yún)^(qū)間，一個落入?yún)^(qū)間一個落入?yún)^(qū)間zzjnzzzzyyijyyy ,(,(1,(1i11ij1jnyyyzzz于是由多項分布可得于是由多項分布可得),(,()()(zzzXyyyXPji jnijizzFzzfyyFzFyyfyFjnijin )(1)()()()()()!( ! 1)!1( ! 1)!1(!11時，有時，有，的連續(xù)性，當?shù)倪B續(xù)性，當考慮到考慮到00)( zyxFzyzzzXyyyXPzyfjizyij ),(,(lim),()()(00 ).()()(1)()()()!()!1()!1(!11zfyfzFyFzFyFjnijinjniji 證畢。證畢。推論推論2：的聯(lián)合密

10、度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為的樣本，則的樣本，則為為是容量是容量，的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為設(shè)總體設(shè)總體)()1(21,)(nnXXnXXXxFX 其它其它0)()()()()1(),(21zyzfyfyFzFnnzyfnn練習練習是否獨立？是否獨立？函數(shù)，并討論函數(shù)，并討論的聯(lián)合密度的聯(lián)合密度所確定的次序統(tǒng)計量所確定的次序統(tǒng)計量樣本樣本的的為為上的均勻分布，求容量上的均勻分布，求容量服從區(qū)間服從區(qū)間設(shè)總體設(shè)總體)2()1()2()1(21,2 1 , 0XXXXXXX 下面我們給出任意三個或更多個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合下面我們給出任意三個或更多個次序統(tǒng)計量的聯(lián)合密度函數(shù)。密度函數(shù)。定理定理3：的聯(lián)合密度

11、函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為個次序統(tǒng)計量個次序統(tǒng)計量前前)()2()1(,rXXXr )()()(1)!(!),(11rrnrryfyfyFrnnyyg .21nryyyr 的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為時，時，特別地，當特別地，當)()1(,nXXnr .)()(!),(2111nnnyyyyfyfnyyg 四、樣本極差及其分布四、樣本極差及其分布定義定義2：極差。極差。的樣本的樣本為為量量其次序統(tǒng)計量，稱統(tǒng)計其次序統(tǒng)計量，稱統(tǒng)計是是的樣本，的樣本，是總體是總體設(shè)設(shè)XXXRXXXXXXXnnnn)1()()()2()1(21, 樣本極差樣本極差：反映了觀測值波動的最大幅度。：反映了觀測值波動的最

12、大幅度。定理定理4：的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為，則則樣樣本本極極差差密密度度函函數(shù)數(shù)為為，分分布布函函數(shù)數(shù)為為為為連連續(xù)續(xù)型型隨隨機機變變量量，其其設(shè)設(shè)總總體體nRxfxFX)()( 000)()()()()1()(2zzdxxfzxfxFzxFnnzfnRn練習：練習：的密度函數(shù)。的密度函數(shù)。求樣本極差求樣本極差為樣本，為樣本，設(shè)總體的分布為設(shè)總體的分布為nnRXXXU,)1 , 0(21解：解： dxxfzxfxFzxFnnzfnRn)()()()()1()(2 由定理由定理4可知，樣本極差的密度函數(shù)為，可知，樣本極差的密度函數(shù)為，時，時，當當0 z,010, 10時時，當當 zxzx22)

13、1()()()()()1( nnznnxfzxfxFzxFnn，即即zx 10)1()1()1()(2210zznndxznnzfnnzRn 的密度函數(shù)的密度函數(shù)可得可得nR10 z為參數(shù)為參數(shù)(n-1, 2)的貝塔分布。的貝塔分布。五、樣本分位數(shù)與樣本中位數(shù)五、樣本分位數(shù)與樣本中位數(shù)定義定義3：定義為定義為位數(shù)位數(shù)是有序樣本，則樣本中是有序樣本，則樣本中設(shè)設(shè)5 . 0)()1(,mXXn 為偶數(shù)為偶數(shù)為奇數(shù)為奇數(shù)nXXnXmnnn122215 . 021定義為定義為分位數(shù)分位數(shù)樣本樣本pmp 是整數(shù)是整數(shù)不是整數(shù)不是整數(shù)npXXnpXmnpnpnpp)1()(121定理定理5：的漸近分布為的

14、漸近分布為數(shù)數(shù)分位分位時，樣本時，樣本，則當，則當處連續(xù)且處連續(xù)且在在分位數(shù)，分位數(shù)，為其為其，設(shè)總體密度函數(shù)為設(shè)總體密度函數(shù)為ppppmpnxfxxfpxxf 0)()()();)()1(,(2pppxfnppxNm 的漸近分布為的漸近分布為特別地，樣本中位數(shù)特別地，樣本中位數(shù)5 . 0m).)(41,(5 . 025 . 05 . 0 xfnxNm 充分統(tǒng)計量充分統(tǒng)計量一、充分性的概念一、充分性的概念統(tǒng)計量是把樣本中的信息進行加工處理的結(jié)果，統(tǒng)計量是把樣本中的信息進行加工處理的結(jié)果，可簡化數(shù)據(jù)，便于統(tǒng)計推斷。自然希望這種加工處理可簡化數(shù)據(jù)，便于統(tǒng)計推斷。自然希望這種加工處理不損失原樣本中的

15、信息。簡單地說，不損失原樣本中的信息。簡單地說，不損失信息的統(tǒng)不損失信息的統(tǒng)計量就是充分統(tǒng)計量計量就是充分統(tǒng)計量。例例1： 為研究某個運動員的打靶命中率為研究某個運動員的打靶命中率 ，我們對該，我們對該運動員測試。觀測其運動員測試。觀測其10次射擊，發(fā)現(xiàn)除第三、次射擊，發(fā)現(xiàn)除第三、六次未命中外，其余六次未命中外，其余8次都命中，這樣的觀測結(jié)次都命中，這樣的觀測結(jié)果包括兩種信息果包括兩種信息：(1)打靶打靶10次命中次命中8次次;(2)2次不命中分別出現(xiàn)在第三次和第六次上次不命中分別出現(xiàn)在第三次和第六次上.第二種信息對了解運動員的命中率是沒什么幫助的第二種信息對了解運動員的命中率是沒什么幫助的.

16、的的信信息息。有有關(guān)關(guān)不不會會丟丟失失任任何何與與命命中中率率種種場場合合僅僅記記錄錄使使用用在在這這為為觀觀測測到到的的命命中中次次數(shù)數(shù)。，令令。，不不命命中中為為，命命中中為為即即取取值值非非，每每個個次次觀觀測測，得得到到設(shè)設(shè)對對該該運運動動員員進進行行了了一一般般地地 TTXXTXXXnnjn110110,，這個分布，這個分布有一個樣本分布有一個樣本分布樣本樣本)(),(1XFXXXn 。也有一個抽樣分布也有一個抽樣分布的信息；統(tǒng)計量的信息；統(tǒng)計量包含了樣本中一切有關(guān)包含了樣本中一切有關(guān))(),(1tFXXTTTn 的的一一切切信信息息。一一樣樣概概括括了了有有關(guān)關(guān)像像樣樣分分布布的的

17、信信息息，也也就就是是期期望望抽抽有有關(guān)關(guān)并并且且不不損損失失任任何何代代替替原原始始樣樣本本我我們們期期望望用用統(tǒng)統(tǒng)計計量量 )()(XFtFXTT，可能有兩種情況：，可能有兩種情況：的條件分布的條件分布的情況下樣本的情況下樣本的取值為的取值為考察在統(tǒng)計量考察在統(tǒng)計量)|(tTXFXtT 的的信信息息；，此此條條件件分分布布仍仍含含有有依依賴賴于于參參數(shù)數(shù) )|()1(tTXF的信息。的信息。，此條件分布已不含，此條件分布已不含不依賴于參數(shù)不依賴于參數(shù) )|()2(tTXF之中。之中。的信息都含在統(tǒng)計量的信息都含在統(tǒng)計量有關(guān)有關(guān)的信息消失了，這說明的信息消失了，這說明，有關(guān)，有關(guān)條件分布條件

18、分布到到布布”的出現(xiàn)使得從樣本分”的出現(xiàn)使得從樣本分后者表明，條件“后者表明，條件“TtTXFXFtT )|()(例例2:，有有任任意意的的一一組組的的取取值值后后，對對，則則在在給給定定令令為為樣樣本本，設(shè)設(shè)總總體體為為二二點點分分布布 niinnntxxxTXXTXXb1111)( ,), 1()|,(11tTxXxXPnn )(),(11tTPtTxXxXPnn )(),(1111111tXPxtXxXxXPniiniinnn )()()(11111tXPxtXPxXPniiniinniii tnttnxtxtxnxCniiniiniinii )1()1()1(111111111)1(t

19、nC1 無關(guān)無關(guān)與與 ，有，有，一組一組后，對任意后，對任意的取值的取值，在給定，在給定，若令若令)(,)2(21121sxxxxsSSnXXSn )|,(11sSxXxXPnn )(),(,11sSPsSxXxXPnn )(),(21331211sXXPxXxXxsXxXPnn sssxsnxsCniinii 22)1()1(33sxnxCniinii2233)1( 有關(guān)有關(guān)與與 定義定義1:無關(guān)。無關(guān)。的條件分布與的條件分布與的取值后，的取值后，給定給定的充分統(tǒng)計量，如果在的充分統(tǒng)計量，如果在為為稱稱，統(tǒng)計量，統(tǒng)計量分布函數(shù)為分布函數(shù)為，總體，總體是來自某個總體的樣本是來自某個總體的樣本設(shè)設(shè) nnnXXXTXXTTxF