邏輯代數(shù)基本公式及定律

1、（1）11.211.2邏輯代數(shù)基本公式和基本定理邏輯代數(shù)基本公式和基本定理11.2.1 邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算11.2.2 邏輯代數(shù)的基本公式邏輯代數(shù)的基本公式11.2.3 邏輯代數(shù)的基本定理邏輯代數(shù)的基本定理第第1111章章 組合邏輯電路組合邏輯電路 概述部分概述部分（2）概述部分概述部分 在二值邏輯中，邏輯代數(shù)中的邏輯變量取在二值邏輯中，邏輯代數(shù)中的邏輯變量取值只有兩個(gè)：值只有兩個(gè)：1（邏輯（邏輯1）、）、0（邏輯（邏輯0）。）。0和和1表示兩個(gè)對(duì)立的邏輯狀態(tài)。表示兩個(gè)對(duì)立的邏輯狀態(tài)。開(kāi)關(guān)的閉合或斷開(kāi)一件事情的是與非一件事情的是與非信號(hào)的有無(wú)信號(hào)的有無(wú)電平的高低電

2、平的高低（3）11.2.1 11.2.1 邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算基本邏輯運(yùn)算：基本邏輯運(yùn)算：與與 ( and )、或或 (or ) 、 非非 ( not )。一、一、“與與”邏輯邏輯與邏輯：與邏輯：決定事件發(fā)生的各條件中，所有條件決定事件發(fā)生的各條件中，所有條件都具備，事件才會(huì)發(fā)生（成立）。都具備，事件才會(huì)發(fā)生（成立）。規(guī)定規(guī)定: 開(kāi)關(guān)合為邏輯開(kāi)關(guān)合為邏輯“1” 開(kāi)關(guān)斷為邏輯開(kāi)關(guān)斷為邏輯“0” 燈亮為邏輯燈亮為邏輯“1” 燈滅為邏輯燈滅為邏輯“0” EYABC（4）&ABCY邏輯符號(hào)：邏輯符號(hào)：AYBC00001000010011000010101001101

3、111邏輯式：邏輯式：Y=ABC邏輯乘法邏輯乘法（邏輯與）（邏輯與）真值表真值表EYABC真值表特點(diǎn)真值表特點(diǎn): 有有0出出0, 全全1出出1與邏輯運(yùn)算規(guī)則：與邏輯運(yùn)算規(guī)則：0 0=0 0 1=01 0=0 1 1=1（5）二、二、 “或或”邏輯邏輯AEYBC或邏輯：或邏輯：決定事件發(fā)生的各條件中，有一個(gè)或一個(gè)決定事件發(fā)生的各條件中，有一個(gè)或一個(gè)以上的條件具備，事件就會(huì)發(fā)生（成立）。以上的條件具備，事件就會(huì)發(fā)生（成立）。規(guī)定規(guī)定: 開(kāi)關(guān)合為邏輯開(kāi)關(guān)合為邏輯“1” 開(kāi)關(guān)斷為邏輯開(kāi)關(guān)斷為邏輯“0” 燈亮為邏輯燈亮為邏輯“1” 燈滅為邏輯燈滅為邏輯“0” （6）AYBC000010010101110

4、10011101101111111真值表真值表1ABCY邏輯符號(hào)：邏輯符號(hào)：邏輯式：邏輯式：Y=A+B+C邏輯加法邏輯加法(邏輯或邏輯或)AEYBC真值表特點(diǎn)：真值表特點(diǎn)： 有有1出出1, 全全0出出0?；蜻壿嬤\(yùn)算規(guī)則或邏輯運(yùn)算規(guī)則:0+0=0 0+1=11+0=1 1+1=1（7）三、三、 “非非”邏輯邏輯“非非”邏輯：邏輯：決定事件發(fā)生的條件只有一個(gè)，條件決定事件發(fā)生的條件只有一個(gè)，條件不具備時(shí)事件發(fā)生（成立），條件具備不具備時(shí)事件發(fā)生（成立），條件具備時(shí)事件不發(fā)生。時(shí)事件不發(fā)生。規(guī)定規(guī)定: 開(kāi)關(guān)合為邏輯開(kāi)關(guān)合為邏輯“1” 開(kāi)關(guān)斷為邏輯開(kāi)關(guān)斷為邏輯“0” 燈亮為邏輯燈亮為邏輯“1” 燈滅為

5、邏輯燈滅為邏輯“0” AEYR（8）邏輯符號(hào)：邏輯符號(hào)：邏輯非邏輯非(邏輯反邏輯反)AY0110真值表真值表AEYR真值表特點(diǎn)真值表特點(diǎn): 有有1出出0, 有有0出出1。AY 邏輯式：邏輯式：運(yùn)算規(guī)則：運(yùn)算規(guī)則：10,01AY1（9）四、幾種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算四、幾種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算“與與”、“或或”、“非非”是三種基本的邏輯是三種基本的邏輯運(yùn)算，任何其它的復(fù)雜邏輯運(yùn)算都可以用與、運(yùn)算，任何其它的復(fù)雜邏輯運(yùn)算都可以用與、或、非的組合來(lái)實(shí)現(xiàn)?；?、非的組合來(lái)實(shí)現(xiàn)。CBAY與非：與非：條件條件A、B、C都具都具備，則備，則Y 不發(fā)不發(fā)生。生。&ABCY幾種常用的邏輯運(yùn)算如下表：幾種常用的邏

6、輯運(yùn)算如下表：（10）CBAY或非：或非：條件條件A、B、C任一任一具備，則具備，則Y 不不發(fā)生。發(fā)生。 1ABCYBABABAY異或：異或：條件條件A、B有一個(gè)具備，有一個(gè)具備，另一個(gè)不具備則另一個(gè)不具備則Y 發(fā)生。發(fā)生。=1ABY同或：同或：條件條件A、B相同，則相同，則Y 發(fā)生。發(fā)生。=ABYBABAABY（11）圖圖2.2.3 復(fù)合邏輯的圖形符號(hào)和運(yùn)算符號(hào)復(fù)合邏輯的圖形符號(hào)和運(yùn)算符號(hào)（12）AYBC00011001010111010011101101111110與非邏輯真值表與非邏輯真值表AYBC00011000010011000010101001101110或非邏輯真值表或非邏輯真值

7、表異或邏輯真值表異或邏輯真值表ABY000110101011同或邏輯真值表同或邏輯真值表ABY100010001111（13）2.3 2.3 邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式2.3.1 基本公式基本公式加加運(yùn)算規(guī)則運(yùn)算規(guī)則:0+0=0 ，0+1=1 ，1+0=1，1+1=1乘乘運(yùn)算規(guī)則運(yùn)算規(guī)則:00=0 01=0 10=0 11=1非非運(yùn)算規(guī)則運(yùn)算規(guī)則:1001 AA 0,1,00 AAAAAAAA1, 11,0 AAAAAAAA一、基本定律一、基本定律（14）二、交換律二、交換律三、結(jié)合律三、結(jié)合律四、分配律四、分配律A+B=B+AA B=B AA+(B+C)=(A+

8、B)+C=(A+C)+BA (B C)=(A B) CA(B+C)=A B+A CA+B C=(A+B)(A+C)（15）求證求證: （分配律第（分配律第2條）條） A+BC=(A+B)(A+C)證明證明:右邊右邊 =(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC ; 分配律分配律=A +A(B+C)+BC ; 結(jié)合律結(jié)合律 , AA=A=A(1+B+C)+BC ; 結(jié)合律結(jié)合律=A 1+BC ; 1+B+C=1=A+BC ; A 1=A=左邊左邊（16）五、德五、德 摩根定理摩根定理(反演律）反演律）（De Morgan)證明：證明：真值表法、真值表法、窮舉法窮舉法推廣到多變量：推廣到多變量：

9、CBACBA CBACBA 說(shuō)明：兩個(gè)（或兩個(gè)以上）變量的說(shuō)明：兩個(gè)（或兩個(gè)以上）變量的與非與非（或非或非）運(yùn)算等于兩個(gè)（或兩個(gè)以上）變量的運(yùn)算等于兩個(gè)（或兩個(gè)以上）變量的非或非或（非非與與）運(yùn)算。）運(yùn)算。BABA 1BABA 2（17）用真值表證明摩根定理成立用真值表證明摩根定理成立A B=A+B A+B= A BA B0 00 11 01 1Y1=ABY2=A+B11101110相等相等（18）吸收：多余（吸收：多余（冗余冗余）項(xiàng)，多余（）項(xiàng)，多余（冗余冗余）因子被取消、去）因子被取消、去掉掉 被消化了。被消化了。1.原變量的吸收：原變量的吸收： A + AB = A證明：證明：左式左式=

10、A(1+B)原式成立原式成立口訣：口訣：長(zhǎng)中含短長(zhǎng)中含短,留下短。留下短。長(zhǎng)項(xiàng)長(zhǎng)項(xiàng)短項(xiàng)短項(xiàng) =A =右式右式1|2.3.2 若干常用公式若干常用公式-幾種形式的吸收律幾種形式的吸收律（19）2. 反變量的吸收：反變量的吸收： A + A B = A + B 證明：證明：=右式右式口訣：口訣：長(zhǎng)中含反長(zhǎng)中含反,去掉反。去掉反。原原(反反)變量變量反反(原原)變量變量添冗余項(xiàng)添冗余項(xiàng)BAABA 左式左式)AA(BA 1|（20）3.混合變量的吸收：混合變量的吸收： 證明：證明：添冗余因子添冗余因子A B + A C + BC=AB+AC 互互為為反反變量變量=右式右式口訣：口訣：正負(fù)相對(duì)正負(fù)相對(duì),

11、余全完。余全完。（消（消冗余項(xiàng)）冗余項(xiàng)）添加添加BCCAAB 左式左式BC)AA(CAAB BCAABCCAAB )BCACA()ABCAB( CAAB （21）證明：證明： 4. A A B=A B A A B=AA AB = A (A+B) =A BA A B=A A B= ? A(A+B)=A AAABAB （22） 2.4 邏輯代數(shù)的基本定理2.4.1 2.4.1 代入定理代入定理內(nèi)容內(nèi)容：在任何一個(gè)包含變量在任何一個(gè)包含變量A A的邏輯等式中，的邏輯等式中，若以另外一個(gè)若以另外一個(gè)邏輯式邏輯式代替式中所有的變量代替式中所有的變量A A，則等式仍然成立。則等式仍然成立。例：例：用代入規(guī)

12、則證明用代入規(guī)則證明德德 摩根定理摩根定理也適用于多也適用于多變量的情況。變量的情況。二變量的德二變量的德 摩根定理為：摩根定理為：BABA 1BABA 2（23）以（以（B BC C）代入（）代入（1 1）式中）式中B B，以（，以（B+CB+C）代入）代入（2 2）式中）式中B B，則得到：，則得到：CC)(C)(CBAC)(BAC)(BA注：注：代入定理還可以擴(kuò)展其他基本定律代入定理還可以擴(kuò)展其他基本定律的應(yīng)用范圍的應(yīng)用范圍！BABA 1BABA 2（24）2.4.2 2.4.2 反演定理反演定理內(nèi)容：內(nèi)容：將函數(shù)式將函數(shù)式F中所有的中所有的 + 變量與常數(shù)均取反變量與常數(shù)均取反1.遵循先括號(hào)遵循先括號(hào) 再乘法再乘法 后加法的后加法的運(yùn)算順序運(yùn)算順序。2.不是一個(gè)變量上的反號(hào)不是一個(gè)變量上的反號(hào)不動(dòng)不動(dòng)。規(guī)則規(guī)則:用處：用處：實(shí)現(xiàn)互補(bǔ)運(yùn)算（求反運(yùn)算）。實(shí)現(xiàn)互補(bǔ)運(yùn)算（求反運(yùn)算）。新表達(dá)式：新表達(dá)式：F顯然：顯然：FF (反函數(shù)反函數(shù))（25）例例1：1)DC()BA(F1 0DCBAF1 與或式與或式注意括號(hào)注意括號(hào)注意注意括號(hào)括號(hào)DBDACBCAF1 （26）)EDCB(A )EDCB(A 例例2：EDCBAF2 EDCBAF2 與或式與或式反號(hào)不動(dòng)反號(hào)不動(dòng)反號(hào)不動(dòng)反號(hào)不動(dòng)EDACAB