第2章軸向拉伸與壓縮

1、Southwest Jiaotong University第第2 2章章 拉伸與壓縮拉伸與壓縮 西南西南交通大學交通大學力學與工程學院力學與工程學院材料力學電子教案材料力學電子教案主要內容主要內容1 1軸力和軸力圖軸力和軸力圖2 2橫截面上的應力橫截面上的應力3 3拉壓桿的強度計算拉壓桿的強度計算4 4斜截面上的應力斜截面上的應力5 5拉（壓）桿的變形與位移拉（壓）桿的變形與位移6 6拉（壓）桿內的應變能拉（壓）桿內的應變能7 7低碳鋼和鑄鐵受拉伸和壓縮時的力學性能低碳鋼和鑄鐵受拉伸和壓縮時的力學性能主要內容主要內容8 8簡單的拉、壓超靜定問題簡單的拉、壓超靜定問題9 9拉（壓）桿接頭的計算拉

2、（壓）桿接頭的計算Southwest Jiaotong University2-1 2-1 軸向拉伸和壓縮的概念軸向拉伸和壓縮的概念此類受軸向外力作用的等截面直桿稱為此類受軸向外力作用的等截面直桿稱為拉桿拉桿或或壓桿壓桿。受力特點：直桿受到一對大小相等，作用線與受力特點：直桿受到一對大小相等，作用線與其軸線重合的外力其軸線重合的外力F作用。作用。變形特點：桿件發(fā)生縱向伸長或縮短。變形特點：桿件發(fā)生縱向伸長或縮短。F F F F 第二章第二章 軸向拉伸和壓縮軸向拉伸和壓縮如上圖中軸向受力的桿件常稱為拉伸或壓縮桿件，簡稱如上圖中軸向受力的桿件常稱為拉伸或壓縮桿件，簡稱拉拉壓桿壓桿。(b)CDF2F

3、2(a)F1F1AB2.1 軸力和軸力圖軸力和軸力圖l 拉壓桿的概念拉壓桿的概念受力特點受力特點：直桿受到一對大小相等，作用線與其軸線重合：直桿受到一對大小相等，作用線與其軸線重合的外力的外力F F作用。作用。變形特點變形特點：桿件發(fā)生縱向伸長或縮短。：桿件發(fā)生縱向伸長或縮短。2.1 軸力和軸力圖軸力和軸力圖l 內力的概念內力的概念 物體因受外力作用而使其內部各部分之間因相對位置物體因受外力作用而使其內部各部分之間因相對位置改變而引起的相互作用。改變而引起的相互作用。 材料力學中的內力，是指外力作用下，物體各質點之間材料力學中的內力，是指外力作用下，物體各質點之間相互作用力的變化量，所以是物體

4、內部各部分之間因外相互作用力的變化量，所以是物體內部各部分之間因外力而引起的附加相互作用力，即力而引起的附加相互作用力，即“附加內力附加內力”； 內力隨外力的增加而加大，隨外力的撤除而消失。內力隨外力的增加而加大，隨外力的撤除而消失。根據可變形固體的連續(xù)性假設可知，物體內部根據可變形固體的連續(xù)性假設可知，物體內部相鄰部分之間的作用力是一個連續(xù)分布的內力相鄰部分之間的作用力是一個連續(xù)分布的內力系，我們所說的系，我們所說的內力內力是該內力系的合成（力或是該內力系的合成（力或力偶）力偶） 2.1 軸力和軸力圖軸力和軸力圖l 截面法截面法軸力及軸力圖軸力及軸力圖F FF F1 1、軸力：橫截面上的內力

5、、軸力：橫截面上的內力2 2、截面法求軸力、截面法求軸力m mm mF FF FN N切切: : 假想沿假想沿m-mm-m橫截面將桿橫截面將桿切開切開留留: : 留下左半段或右半段留下左半段或右半段代代: : 將拋掉部分對留下部分將拋掉部分對留下部分的作用用內力代替的作用用內力代替平平: : 對留下部分寫平衡方程對留下部分寫平衡方程求出內力即軸力的值求出內力即軸力的值 0 xFF FF FN N0 FFNFFN3 3、軸力正負號：拉為正、軸力正負號：拉為正、壓為負壓為負 由于外力的作用線與由于外力的作用線與桿件的軸線重合，內力的桿件的軸線重合，內力的作用線也與桿件的軸線重作用線也與桿件的軸線重

6、合。所以稱為軸力。用符合。所以稱為軸力。用符號號F FN N表示。表示。F FF Fm mm mF FF FN N 0 xFF FF FN N0 FFNFFN引起伸長變形的軸力為正引起伸長變形的軸力為正拉力（背離截面）拉力（背離截面）；引起壓縮變形的軸力為負引起壓縮變形的軸力為負壓力（指向截面）壓力（指向截面）。2.1 軸力和軸力圖軸力和軸力圖用平行于桿軸線的坐標表示橫截面的位置；用平行于桿軸線的坐標表示橫截面的位置；用垂直于桿軸線的坐標表示橫截面上軸力的數值；用垂直于桿軸線的坐標表示橫截面上軸力的數值；所繪出的圖線可以表明軸力與截面位置的關系，稱為所繪出的圖線可以表明軸力與截面位置的關系，稱

7、為軸軸力圖力圖。 2.1 2.1 軸力和軸力圖軸力和軸力圖l 截面法截面法軸力及軸力圖軸力及軸力圖 軸力圖軸力圖 用截面法法求內力的過程中，在截面取分離體前，用截面法法求內力的過程中，在截面取分離體前，作作用于物體上的外力（荷載）不能任意移動或用靜力等效的用于物體上的外力（荷載）不能任意移動或用靜力等效的相當力系替代相當力系替代。例例 試作圖示桿的軸力圖。試作圖示桿的軸力圖。求支反力求支反力kN10RF解：解：A B C D E 20kN 40kN 55kN 25kN 6003005004001800FR 22 F4= 20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNA B C D E 33

8、11442.1 軸力和軸力圖軸力和軸力圖2.1 軸力和軸力圖軸力和軸力圖注意假設軸力為拉力注意假設軸力為拉力拉）(kN101NF橫截面橫截面1-11-1：拉）(kN50N2F橫截面橫截面2-22-2：FR 22F4= 20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNA B C D E 331144FRFN1 11A FRF1 FN2A B 222.1 軸力和軸力圖軸力和軸力圖此時取截面此時取截面3-33-3右邊為分離體方便，右邊為分離體方便，仍假設軸力為拉力。仍假設軸力為拉力。拉）(kN204NF橫截面橫截面3-33-3：壓）kN(53NF同理同理FR 22F4= 20kNF3=25kNF2

9、=55kNF1=40kNA B C D E 331144F3 F4 FN3 33D E F4 FN4 33E 2.1 軸力和軸力圖軸力和軸力圖由軸力圖可看出由軸力圖可看出kN502Nmax,N FF20105FN圖圖(kN)FR 22F4= 20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNA B C D E 33114450軸力圖的特點：突變值軸力圖的特點：突變值 = = 集中載荷集中載荷 20105FN圖圖(kN)FR 22F4= 20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNA B C D E 331144502.1 軸力和軸力圖軸力和軸力圖遇到向左的遇到向左的P P， 軸力軸力F

10、FN N 增量為正；增量為正；遇到向右的遇到向右的P P ， 軸力軸力F FN N 增量為負。增量為負。20105FN圖圖(kN)FR 22F4= 20kNF3=25kNF2=55kNF1=40kNA B C D E 33114450軸力軸力( (圖圖) )的簡便求法：的簡便求法： 自左向右自左向右: :2.1 軸力和軸力圖軸力和軸力圖2.1 軸力和軸力圖軸力和軸力圖例：例：FFFq=F/ll2llFR112233FFFqFFFFRF=2qlFF =R解解： 1 1、求支反力、求支反力2.1 軸力和軸力圖軸力和軸力圖FF=N1FF=3Nx1N2FFlFxF1N2lFxF1 2NF 0 xF2F

11、FFq11233FF =RxFF =RFqFFF =RFFFF =RFx10-21RN2lFxFFF2.1 軸力和軸力圖軸力和軸力圖NFFFFFFFq=F/ll2ll主要內容主要內容1 1軸力和軸力圖軸力和軸力圖2 2橫截面上的應力橫截面上的應力3 3拉壓桿的強度計算拉壓桿的強度計算4 4斜截面上的應力斜截面上的應力5 5拉（壓）桿的變形與位移拉（壓）桿的變形與位移6 6拉（壓）桿內的應變能拉（壓）桿內的應變能7 7低碳鋼和鑄鐵受拉伸和壓縮時的力學性能低碳鋼和鑄鐵受拉伸和壓縮時的力學性能問題提出：問題提出：PP2P2P1. 1. 內力大小不能衡量構件強度的大小。內力大小不能衡量構件強度的大小。

12、2. 2. 強度：內力在截面分布集度強度：內力在截面分布集度應力；應力； 材料承受荷載的能力。材料承受荷載的能力。一、應力的概念一、應力的概念1. 1. 定義：定義：由外力引起的內力。2.2 橫截面上的應力橫截面上的應力 工程構件，大多數情形下，內力并非均勻分布，集度的定義不僅準確而且重要，因為“破壞”或“失效”往往從內力集度最大處開始。2.2 橫截面上的應力橫截面上的應力 P AM平均應力平均應力：一點處的應力：一點處的應力：APpMAPAPpAMddlim02. 2. 應力的表示：應力的表示：應力的單位：應力的單位：Pa（帕斯卡）或（帕斯卡）或MPa（兆帕）（兆帕）Pa101GPa1N/m

13、mPa101MPa1N/m1Pa92622.2 橫截面上的應力橫截面上的應力應力分解：應力分解：p M ANANAddlim0ATATAddlim0垂直于截面的應力分量稱為垂直于截面的應力分量稱為“正應力正應力” (Normal Stress)(Normal Stress)；位于截面內的應力分量稱為位于截面內的應力分量稱為“剪應力剪應力”(Shear Stress)(Shear Stress)。 2.2 橫截面上的應力橫截面上的應力變形前變形前1. 1. 變形規(guī)律試驗及平面假設：變形規(guī)律試驗及平面假設：平面假設：平面假設：原為平面的橫截面在變形后仍為平面。原為平面的橫截面在變形后仍為平面。 縱

14、向纖維變形相同?？v向纖維變形相同。a ab bc cd d受載后受載后P PP P d d a a c c b b 二、拉（壓）桿橫截面上的應力二、拉（壓）桿橫截面上的應力橫截面橫截面桿件橫截面上的應力分布規(guī)律是怎么樣的桿件橫截面上的應力分布規(guī)律是怎么樣的? ?從靜力平衡條件無從知曉從靜力平衡條件無從知曉, ,必須從實驗得到必須從實驗得到. .2.2 橫截面上的應力橫截面上的應力均勻材料、均勻變形，內力當然均勻分布。2. 2. 拉伸應力：拉伸應力：AFNAAAFFAAAdddNN根據以上假設，按靜力學求合力的概念可知：根據以上假設，按靜力學求合力的概念可知：NFF FA 對于軸向壓縮的桿件，上

15、式同樣適用。對于軸向壓縮的桿件，上式同樣適用。對應于伸長變形的對應于伸長變形的拉應力為正拉應力為正，對應于縮短變形的，對應于縮短變形的壓應力為負壓應力為負。軸力引起的正應力 ： 在橫截面上均布。危險截面：內力最大的面，截面尺寸最小的面。危險點：應力最大的點。3. 3. 危險截面及最大工作應力：危險截面及最大工作應力：)()(max( NmaxxAxF 直桿、桿的截面無突變、截面到載荷作用點有一定 的距離。4. 4. 公式的應用條件：公式的應用條件：5. Saint-Venant5. Saint-Venant原理：原理： 離開載荷作用處一定距離，應力分布與大小不受外載荷作用方式的影響。AFN 注

16、意桿平面假設和公式注意桿平面假設和公式 只在桿上離外力作用點稍只在桿上離外力作用點稍遠的部分才正確，而在外力作用點附近的應力情況比較復雜。遠的部分才正確，而在外力作用點附近的應力情況比較復雜。外力作用于桿端的方外力作用于桿端的方式（例如，外力作用式（例如，外力作用在桿件端面的局部或在桿件端面的局部或者整個端面），只會者整個端面），只會影響外力作用處附近影響外力作用處附近橫截面上的應力分布橫截面上的應力分布情況，而影響范圍不情況，而影響范圍不大于桿的橫向尺寸。大于桿的橫向尺寸。2.2 橫截面上的應力橫截面上的應力l 圣維南原理圣維南原理FFFF影響區(qū)影響區(qū)影響區(qū)影響區(qū) 解解：首先作軸力圖。由于此

17、柱為：首先作軸力圖。由于此柱為變截面桿，因此要求出每段柱的橫變截面桿，因此要求出每段柱的橫截面上的正應力，從而確定全柱的截面上的正應力，從而確定全柱的最大工作應力。最大工作應力。50 kN150 kN(b)370FFF30004000240(a),(aMP87. 0N壓應力）AF壓應力）(aMP1 . 1NAF最大工作應力為：最大工作應力為：MPa1 . 12max2.2 橫截面上的應力橫截面上的應力一變截面桿一變截面桿，其截面尺寸及受力如，其截面尺寸及受力如圖所圖所示，試求桿內的最大工作應示，試求桿內的最大工作應力？力？2.2 橫截面上的應力橫截面上的應力樹皮撐裂現象2.2 2.2 橫截面上

18、的應力橫截面上的應力例例 試試求一薄壁圓管在內求一薄壁圓管在內壓力作用下徑向橫截面上的壓力作用下徑向橫截面上的拉應力。已知：拉應力。已知： 。MPa2 mm,5 mm,200pd 可認為徑向截面上的拉應力沿壁厚可認為徑向截面上的拉應力沿壁厚均勻分布均勻分布dbA解：解：dbp2.2 橫截面上的應力橫截面上的應力2RNFF 根據對稱性可得，徑截面上內力處處相等根據對稱性可得，徑截面上內力處處相等dyFN FN dppFR 2.2 橫截面上的應力橫截面上的應力0RsindFF40MPa2(5mm)MPa)(200mm2()d2(ddbpFpbddpb)sind2(02NpbdF AFN2)2(1p

19、dpbdbddyFN FN pFR 主要內容主要內容1 1軸力和軸力圖軸力和軸力圖2 2橫截面上的應力橫截面上的應力3 3拉壓桿的強度計算拉壓桿的強度計算4 4斜截面上的應力斜截面上的應力5 5拉（壓）桿的變形與位移拉（壓）桿的變形與位移6 6拉（壓）桿內的應變能拉（壓）桿內的應變能7 7低碳鋼和鑄鐵受拉伸和壓縮時的力學性能低碳鋼和鑄鐵受拉伸和壓縮時的力學性能umaxn 為使桿件在外力作用下不致發(fā)生斷裂或者顯著的永久變形為使桿件在外力作用下不致發(fā)生斷裂或者顯著的永久變形（即塑性變形），即不致發(fā)生強度破壞，桿件內最大工作應（即塑性變形），即不致發(fā)生強度破壞，桿件內最大工作應力力max不能超過桿件

20、材料所能承受的極限應力不能超過桿件材料所能承受的極限應力u而且要有一而且要有一定的安全儲備。這一強度條件可用下式來表達定的安全儲備。這一強度條件可用下式來表達式中，式中，n 是大于是大于 1 的系數，稱為安全系數。的系數，稱為安全系數。2.3 拉壓桿的強度計算拉壓桿的強度計算l 安全系數與極限應力安全系數與極限應力2.3 拉壓桿的強度計算拉壓桿的強度計算* * 關于安全因數的考慮關于安全因數的考慮（1 1）極限應力的差異；）極限應力的差異； （2 2）構件橫截面尺寸的變異；）構件橫截面尺寸的變異； （3 3）荷載的變異；）荷載的變異； （4 4）計算簡圖與實際結構的差異；）計算簡圖與實際結構的

21、差異； （5 5）考慮強度儲備。）考慮強度儲備。 max材料受拉伸（壓縮）時的極限應力材料受拉伸（壓縮）時的極限應力 u要通過試驗來測定。要通過試驗來測定。 應力除以安全系數得到材料能安全工作的容許應力應力除以安全系數得到材料能安全工作的容許應力 。于。于是強度條件又可寫作是強度條件又可寫作2.3 拉壓桿的強度計算拉壓桿的強度計算l 強度條件強度條件 強度校核強度校核2.3 拉壓桿的強度計算拉壓桿的強度計算l 拉壓桿的強度拉壓桿的強度計算計算- -等直桿等直桿max,NmaxAF 截面選擇截面選擇max,NFA 計算許可載荷計算許可載荷maxN,AF2.3 拉壓桿的強度計算拉壓桿的強度計算例例

22、 圖示三鉸屋架中，均布荷載的集度圖示三鉸屋架中，均布荷載的集度 q =4.2kN/m，鋼拉桿直徑鋼拉桿直徑 d =16mm，許用應力，許用應力 = 170MPa 。試校核拉桿的強度。試校核拉桿的強度。ACB1.42m8.5m9.3m0.4m q2.3 拉壓桿的強度計算拉壓桿的強度計算解：解：1 1、求支反力、求支反力考慮結構的整體平衡并利用其對稱性考慮結構的整體平衡并利用其對稱性0AxF 0 xFkN5 .192m3 . 9kN/m2 . 42qlFFByAyFBy FAx FAy ACB1.42m8.5m9.3m0.4m q2.3 2.3 拉壓桿的強度計算拉壓桿的強度計算取分離體如圖并考慮其

23、平衡取分離體如圖并考慮其平衡 0CM2 2、求鋼拉桿的軸力。、求鋼拉桿的軸力。0)25 . 8()23 . 9(242. 12NAyFqFm42. 1)m23 . 9(2)m25 . 8(2NqFFAym42. 1)m65. 4(kN/m1 . 2)m25. 4(kN5 .192kN3 .26FAy qCA1.42m4.65m4.25mFN FCy FCx 2.3 拉壓桿的強度計算拉壓桿的強度計算3 3、求鋼拉桿的應力并校核強度。、求鋼拉桿的應力并校核強度。kN3 .26NFAFN4/mm)16(N103 .2623MPa131MPa170故鋼拉桿的強度是滿足要求的。故鋼拉桿的強度是滿足要求的

24、。FCy FCx FAy qCA1.42m4.65m4.25mFN 2.3 2.3 拉壓桿的強度計算拉壓桿的強度計算例例 圖示三角架中，桿圖示三角架中，桿AB由兩根由兩根10號工字鋼組成，號工字鋼組成，桿桿AC由兩根由兩根 80mm 80mm7mm 的等邊角鋼組成。的等邊角鋼組成。兩桿的材料均為兩桿的材料均為Q235鋼，鋼， =170MPa 。試求此結試求此結構的許可荷載構的許可荷載 F 。F1m30ACB2.3 拉壓桿的強度計算拉壓桿的強度計算（1 1）節(jié)點）節(jié)點 A 的受力如圖，其平衡方程為：的受力如圖，其平衡方程為：拉）(21NFF 0 xF解：解： 0yF030cosN1N2FF030

25、sinN1 FF壓）(732. 12NFF得得F1m30ACBAFxyFN2 FN1 302.3 拉壓桿的強度計算拉壓桿的強度計算（2 2）查型鋼表得兩桿的面積）查型鋼表得兩桿的面積（3 3）由強度條件得兩桿的許可軸力：）由強度條件得兩桿的許可軸力：kN24.369N1024.369)mm2172()MPa170(321NF222mm28602)mm1430(A221mm21722)mm1086(A桿桿AC桿桿ABkN20.486N1020.486)mm2860()MPa170(322NF桿桿AC桿桿AB2.3 拉壓桿的強度計算拉壓桿的強度計算kN24.3691NFkN20.4862NFFF2

26、1NFF732. 12N(4) (4) 按每根桿的許可軸力求相應的許可荷載：按每根桿的許可軸力求相應的許可荷載：kN6 .1842kN24.36921N1FF280.7kN280.7kN1.7321.732486.20kN486.20kN1.7321.732 FF FFN2N22 2kN6 .184FF1m30ACB討論討論： N22|1.7322ABABFFAA 根據強度條件，有根據強度條件，有式中式中 A2為單根桿的橫截面面積。于是，有為單根桿的橫截面面積。于是，有21 .7 3 22FA2.3 拉壓桿的強度計算拉壓桿的強度計算在最大起吊重量的情形下，顯然在最大起吊重量的情形下，顯然AB桿

27、的強度尚有富余。桿的強度尚有富余。因此為節(jié)省材料，同時還可以減輕吊車結構的重量，可以因此為節(jié)省材料，同時還可以減輕吊車結構的重量，可以重新設計重新設計AB桿的橫截面尺寸。桿的橫截面尺寸。這種設計實際上是一種這種設計實際上是一種等強度的設計等強度的設計，是保證構件與結構，是保證構件與結構安全的前提下，最經濟合理的設計。安全的前提下，最經濟合理的設計。主要內容主要內容1 1軸力和軸力圖軸力和軸力圖2 2橫截面上的應力橫截面上的應力3 3拉壓桿的強度計算拉壓桿的強度計算4 4斜截面上的應力斜截面上的應力5 5拉（壓）桿的變形與位移拉（壓）桿的變形與位移6 6拉（壓）桿內的應變能拉（壓）桿內的應變能7

28、 7低碳鋼和鑄鐵受拉伸和壓縮時的力學性能低碳鋼和鑄鐵受拉伸和壓縮時的力學性能 實驗表明，拉（壓）桿的強度破壞有時是沿某一斜截面發(fā)實驗表明，拉（壓）桿的強度破壞有時是沿某一斜截面發(fā)生。為了研究其破壞原因，討論斜截面上的應力。生。為了研究其破壞原因，討論斜截面上的應力。kFFkkFkFp問題：問題：?pFF 2.4 斜截面上的應力斜截面上的應力l 拉（壓）桿斜截面上的應力拉（壓）桿斜截面上的應力的正負規(guī)定：以橫截面外法線至斜截面外法線逆時針轉向為正，反之為負仿照前面求正應力的分析過仿照前面求正應力的分析過程，同樣可知斜截面上的應程，同樣可知斜截面上的應力處處相等。力處處相等。kFkFp.2sin2

29、sincossin00 p),2cos1 (2coscos020 pAp0coscosFFFFpAAP用兩個分量來表示：正應力用兩個分量來表示：正應力，切應力，切應力。2.4 斜截面上的應力斜截面上的應力以上的分析結果對壓桿也同樣適用。以上的分析結果對壓桿也同樣適用。應力狀態(tài)應力狀態(tài)：通過一點的所有各截面上的應力其全部情況。：通過一點的所有各截面上的應力其全部情況。 以上兩式表達了通過拉桿內任一點的不同斜截面上以上兩式表達了通過拉桿內任一點的不同斜截面上的正應力和切應力隨的正應力和切應力隨 角而改變的規(guī)律。角而改變的規(guī)律。),2cos1 (20.2sin20l 一點的應力狀態(tài)一點的應力狀態(tài)2.

30、4 斜截面上的應力斜截面上的應力0000045(3) 45sin 2 ( 45 )22 045045045x0450000045(2) 45sin 2 4522 0(1) 0,拉（壓）桿最大切應力發(fā)生在與軸線成拉（壓）桿最大切應力發(fā)生在與軸線成4545 的斜截面上，的斜截面上，其大小為最大正應力的一半。其大小為最大正應力的一半。l 特殊截面上的應力特殊截面上的應力2.4 斜截面上的應力斜截面上的應力烏溪橋的剪切破壞。如圖為鋼筋混凝土橋梁的烏溪橋，烏溪橋的剪切破壞。如圖為鋼筋混凝土橋梁的烏溪橋，在臺灣在臺灣9.21地震中，短柱承受較大剪力，發(fā)生剪切破壞，地震中，短柱承受較大剪力，發(fā)生剪切破壞，出

31、現斜裂縫。出現斜裂縫。2.4 斜截面上的應力斜截面上的應力切應力互等定理：切應力互等定理： 任何受力物體內一點處，兩個相互垂直任何受力物體內一點處，兩個相互垂直截面上與這兩個面的交線垂直方向的切應力，也必定大小相截面上與這兩個面的交線垂直方向的切應力，也必定大小相等，而指向都對著（或都背離）這兩個垂直截面的交線。等，而指向都對著（或都背離）這兩個垂直截面的交線。2sin2,2sin20)90(00090090F(b)l 切應力互等定理切應力互等定理2.4 2.4 斜截面上的應力斜截面上的應力主要內容主要內容1 1軸力和軸力圖軸力和軸力圖2 2橫截面上的應力橫截面上的應力3 3拉壓桿的強度計算拉

32、壓桿的強度計算4 4斜截面上的應力斜截面上的應力5 5拉（壓）桿的變形與位移拉（壓）桿的變形與位移6 6拉（壓）桿內的應變能拉（壓）桿內的應變能7 7低碳鋼和鑄鐵受拉伸和壓縮時的力學性能低碳鋼和鑄鐵受拉伸和壓縮時的力學性能2.5 拉（壓）桿的變形與位移拉（壓）桿的變形與位移l 胡克定律胡克定律 原長為原長為l的桿件在軸向拉力的桿件在軸向拉力F的作用下，沿軸線方向（的作用下，沿軸線方向（縱向縱向）產生伸長變形，而在與軸向垂直的產生伸長變形，而在與軸向垂直的橫向橫向產生縮短變形。產生縮短變形。 縱向變形：縱向變形：1lll F F all1a1 縱向線應變縱向線應變：ll伸長為正，縮短為負。伸長為

33、正，縮短為負。l可否反映桿件的變形程度？可否反映桿件的變形程度？1m1m的桿伸長的桿伸長2cm2cm與與2 2米的桿伸長米的桿伸長3mm3mm，哪個的變形程度大？，哪個的變形程度大？2.5 拉（壓）桿的變形與位移拉（壓）桿的變形與位移 在線彈性范圍內在線彈性范圍內，正應力，正應力同縱向線應變同縱向線應變滿足正比關系：滿足正比關系：胡克定律胡克定律。EE彈性模量，又稱楊氏模量（紀念彈性模量，又稱楊氏模量（紀念Thomas Young）單位：帕斯卡單位：帕斯卡( (Pa) )Robert Hooke Robert Hooke，英國物理學家、天文學英國物理學家、天文學家，家，17世紀英國最杰出世紀英

34、國最杰出的科學家之一的科學家之一,被稱為被稱為英國的達芬奇。在力學、英國的達芬奇。在力學、光學、天文學等多方面光學、天文學等多方面都有重大成就。都有重大成就。 科學史上著名公科學史上著名公案案牛頓與胡克之爭牛頓與胡克之爭Thomas Young Thomas Young，英英國醫(yī)生、物理學家，光國醫(yī)生、物理學家，光的波動說的奠基人之一。的波動說的奠基人之一。在力學、數學、光學、在力學、數學、光學、聲學、語言學、動物學、聲學、語言學、動物學、埃及學等領域涉獵甚廣。埃及學等領域涉獵甚廣。他對藝術還頗有興趣，他對藝術還頗有興趣，熱愛美術，幾乎會演奏熱愛美術，幾乎會演奏當時的所有樂器，并且當時的所有樂

35、器，并且會制造天文器材，還研會制造天文器材，還研究了保險經濟問題。擅究了保險經濟問題。擅長騎馬，并且會耍雜技長騎馬，并且會耍雜技走鋼絲。走鋼絲。2.5 2.5 拉（壓）桿的變形與位移拉（壓）桿的變形與位移思考：胡克是當時才華橫溢的大師，也確實作出了種種貢獻，然而只能靠著課本上的胡克定律讓我們記住他？1：胡克為波義耳定律貢獻了很多心力，但他是作為波義耳的助手；2：胡克也是光學波動說的主力，但波動說的第一人當屬惠更斯，是惠更斯的光論成為了光學波動論領域的奠基之作；3：他在顯微鏡方面的應用也很贊，但同時代還有荷蘭的列文虎克，他磨制的鏡片更在胡克之上，且顯微鏡固然為我們開啟了微生物大門，但當時人們只是

36、從門口走過，并未有任何深刻的延展；4：他也確實先摸到了萬有引力定律的邊緣，可他沒有耐下心去，最后是牛頓花費了巨大的心力不斷研究，出版了原理，為什么名譽不能歸功于胡克？因為當時有那么多人靠直覺猜測過平方反比定律之下的橢圓軌道，而只有牛頓面對哈雷的提問，有底氣說一句：“我算過?！焙松娅C淵博，在力學、天文、數學、建筑諸多領域均有建樹，他有那么多的機會可以成為一個領域里最杰出的的人才，可是都一一錯過。如果他能在他廣博的知識體系中隨便擇其一深入探索，無疑將取得更大的成就?？上麤]有。http:/ 拉（壓）桿的變形與位移拉（壓）桿的變形與位移NFlEAlE 若桿長方向變形是均勻的若桿長方向變形是均勻的N

37、F llEA 若桿長方向變形是分段均勻的若桿長方向變形是分段均勻的N1ni iiiF llEA l 拉（壓）桿的縱向變形計算拉（壓）桿的縱向變形計算EAEA為拉伸（壓縮）剛度為拉伸（壓縮）剛度2.5 拉（壓）桿的變形與位移拉（壓）桿的變形與位移若桿長方向變形是非均勻，桿件的縱向變形該如何計算？若桿長方向變形是非均勻，桿件的縱向變形該如何計算？N00( )d=( )dllFxxlxxEA F F lxdxOdxFN(x)FN(x)+dFN(x)2.5 拉（壓）桿的變形與位移拉（壓）桿的變形與位移 橫向線應變：橫向線應變：1aaaaa 顯然，顯然，為負值，與為負值，與的正負號恰好相反。的正負號恰好

38、相反。 實驗研究表明，實驗研究表明，在線彈性范圍內在線彈性范圍內， 泊松比泊松比( (Poisson) )，無量綱量。，無量綱量。或或Poisson 法國數學家、物理學法國數學家、物理學家和力學家，是拉格朗日、家和力學家，是拉格朗日、拉普拉斯的得意門生。拉普拉斯的得意門生。 E表明，表明，一點處的橫向線應變與正應力也一點處的橫向線應變與正應力也成正比，但成正比，但正負號相反正負號相反。 E F F all1a1l 橫向變形與泊松比橫向變形與泊松比2.5 拉（壓）桿的變形與位移拉（壓）桿的變形與位移 E和和都是材料的彈性常數，因材料而異，由試驗測定。都是材料的彈性常數，因材料而異，由試驗測定。材

39、料名稱材料名稱牌號牌號E/GPa低碳鋼低碳鋼Q2352002100.240.28中碳鋼中碳鋼45205低合金鋼低合金鋼16Mn2000.250.30合金鋼合金鋼40CrNiMoA210灰口鑄鐵灰口鑄鐵601620.230.27球墨鑄鐵球墨鑄鐵150180鋁合金鋁合金LY12710.33硬質合金硬質合金380混凝土混凝土15.2360.160.18木材（順紋）木材（順紋）912常用工程材料的彈性模量常用工程材料的彈性模量E和泊松比和泊松比2.5 拉（壓）桿的變形與位移拉（壓）桿的變形與位移2.5 拉（壓）桿的變形與位移拉（壓）桿的變形與位移例例 一階梯狀鋼桿受力如圖，已知一階梯狀鋼桿受力如圖，已

40、知AB段的橫截面面積段的橫截面面積A1=400mm2， BC段的橫截面面積段的橫截面面積A2=250mm2, ,材料的彈性模量材料的彈性模量E=210GPa。試求：。試求：AB、BC段的伸長量和桿的總伸長量；段的伸長量和桿的總伸長量；C截截面相對面相對B截面的位移和截面的位移和C截面的絕對位移。截面的絕對位移。F=40kN C BA BC解：解：由靜力平衡知，由靜力平衡知，AB、BC兩段的軸力均為兩段的軸力均為FF Nl1 =300l2=2002.5 拉（壓）桿的變形與位移拉（壓）桿的變形與位移故故11N1EAlFl mm143. 022N2EAlFl mm152. 0233mm400MPa1

41、0210mm300N1040233mm250MPa10210mm200N1040F=40kNC BA BCl1 =300l2=200AC桿的總伸長桿的總伸長21lllmm295. 0152. 0143. 02.5 拉（壓）桿的變形與位移拉（壓）桿的變形與位移C截面相對截面相對B截面的位移截面的位移)( mm153. 02lCBC截面的絕對位移截面的絕對位移)( mm295. 0lCF=40kNC BA BC 1010110010CCBBCBCBCBCBCBBCxxxxxxxxlll 求圖示變截面柱體頂面的位移。已知，求圖示變截面柱體頂面的位移。已知，F=50N,材料的彈性材料的彈性模量模量E=

42、3000MPa，圖中柱體尺寸單位為，圖中柱體尺寸單位為mm。50 kN150 kN370FFF300040002402.5 拉（壓）桿的變形與位移拉（壓）桿的變形與位移向下）(mm3 . 2l解解：由題意可知，柱體頂面位移等：由題意可知，柱體頂面位移等于全柱的縮短量。于全柱的縮短量。 由于此柱為變截面桿，且上下由于此柱為變截面桿，且上下兩段軸力不等兩段軸力不等, ,因此要分段計算。因此要分段計算。mm3 . 2N11N211EAlFEAlFlll50 kN150 kN(b)370FFF30004000240(a)2.5 拉（壓）桿的變形與位移拉（壓）桿的變形與位移2.5 拉（壓）桿的變形與位移

43、拉（壓）桿的變形與位移橋墩的變形：圖為某橋的橋墩，試分析橋墩在支撐橋面橋墩的變形：圖為某橋的橋墩，試分析橋墩在支撐橋面時的軸向變形。假設橋墩端部受荷載時的軸向變形。假設橋墩端部受荷載F作用，橋墩的橫截作用，橋墩的橫截面面積為面面積為A，材料容重為，材料容重為，彈性模量為，彈性模量為E,橋墩長為橋墩長為L。解解：假設橋墩墩底無位移，即地面彈性模量：假設橋墩墩底無位移，即地面彈性模量E無限大。將橋無限大。將橋墩簡化為下圖計算模型，首先作出軸力圖。墩簡化為下圖計算模型，首先作出軸力圖。F2.5 拉（壓）桿的變形與位移拉（壓）桿的變形與位移EAxxFxd)()d(N橋墩位移是由橋墩自重和外力橋墩位移是

44、由橋墩自重和外力F共同引起的。共同引起的。2.5 拉（壓）桿的變形與位移拉（壓）桿的變形與位移微段微段dx的變形量為：的變形量為：N02( )d2lFxxlEAFlAlEAEA 橋墩的軸向變形為：橋墩的軸向變形為：2.5 拉（壓）桿的變形與位移拉（壓）桿的變形與位移例例 圖示桿系，荷載圖示桿系，荷載 F =100kN, , 求結點求結點A A的位移的位移A。已知兩桿均為長度已知兩桿均為長度l =2m，直徑直徑d =25mm的圓桿的圓桿， =30，桿材，桿材( (鋼鋼) )的彈性模量的彈性模量E = 210GPa。解：先求兩桿的軸力解：先求兩桿的軸力。 cos22N1NFFF 0 xFFFcos

45、21N2N1NFF 0yF得得xyFN2FN1 FABC12AF2.5 拉（壓）桿的變形與位移拉（壓）桿的變形與位移由胡克定律得兩桿的伸長：由胡克定律得兩桿的伸長：21llEAlFEAlF2N1Ncos2EAFlcosd22EFl 根據桿系結構及受力情況的對稱性可知，結點根據桿系結構及受力情況的對稱性可知，結點A A只有豎向位移。只有豎向位移。FABC122.5 拉（壓）桿的變形與位移拉（壓）桿的變形與位移此位置既應該符合兩桿此位置既應該符合兩桿間的約束條件，又滿足間的約束條件，又滿足兩桿的變形量要求。兩桿的變形量要求。關鍵步驟關鍵步驟如何確定桿系變形后結點如何確定桿系變形后結點A的位置？的位

46、置？ABC12A21A2A1AA2.5 拉（壓）桿的變形與位移拉（壓）桿的變形與位移coscos21AAAAAA即即 coscos21llA由變形圖即確定結點由變形圖即確定結點A A的的位移。由幾何關系得位移。由幾何關系得22cos2dEFl21A2A1AA)(mm293. 130cos)mm25()MPa10210()mm102)(N10100(222333A代入數值得代入數值得 2.5 拉（壓）桿的變形與位移拉（壓）桿的變形與位移桿件幾何尺寸的桿件幾何尺寸的改變，標量改變，標量此例可以進一步加深對變此例可以進一步加深對變形和位移兩個概念的理解。形和位移兩個概念的理解。變形變形位移位移結點位

47、置的移動，結點位置的移動，矢量矢量與各桿件間的約束有關，實與各桿件間的約束有關，實際是變形的幾何相容條件。際是變形的幾何相容條件。二者間的函數關系二者間的函數關系ABC12A2.5 拉（壓）桿的變形與位移拉（壓）桿的變形與位移解：已得解：已得MPa40NbF此值小于鋼的比此值小于鋼的比例極限例極限(Q235(Q235鋼的鋼的比例極限約為比例極限約為200MPa)200MPa)。例例 求例題求例題2-32-3中所示薄壁圓環(huán)其直徑的改變量中所示薄壁圓環(huán)其直徑的改變量 已知已知 dGPa210E。 MPa,2 mm,5 mm,200pd2NpbdF dbp2.5 拉（壓）桿的變形與位移拉（壓）桿的變

48、形與位移不計內壓力不計內壓力p的影響，則薄的影響，則薄壁圓環(huán)的周向變形為壁圓環(huán)的周向變形為EAsFsddNEAdFd)2/(N20Nd)2/(dEAdFsss2)2/(NEAdF又又ddds)(d EAdFdNmm038. 0200Pa10210Pa104096dEddyFN FN pFR 2.5 拉（壓）桿的變形與位移拉（壓）桿的變形與位移sss圓環(huán)的周向應變圓環(huán)的周向應變 與圓與圓環(huán)直徑的相對改變量環(huán)直徑的相對改變量 有如下關系：有如下關系：ds注意：注意：ddddddp2.6 材料受拉伸和壓縮時的力學性能材料受拉伸和壓縮時的力學性能影響因素影響因素內部因素：材料成分、組織結構等。內部因素

49、：材料成分、組織結構等。外部因素：受力狀態(tài)、溫度、加載方式等。外部因素：受力狀態(tài)、溫度、加載方式等。獲取方式獲取方式 ： 試驗測定試驗測定試驗標準試驗標準GB/T 228-2002 金屬材料室溫拉伸試驗方法金屬材料室溫拉伸試驗方法GB/T 7314-2005 金屬材料室溫壓縮試驗方法金屬材料室溫壓縮試驗方法力學性能力學性能材料受外力作用下在強度和變形方面所表現出來的性能。材料受外力作用下在強度和變形方面所表現出來的性能。圓截面試樣：圓截面試樣： 或或dL50矩形截面試樣：矩形截面試樣： AL3 .110或或AL65. 50dL1000/ 2cLLd0/ 2cLLbl 試驗試件試驗試件2.6 材

50、料受拉伸和壓縮時的力學性能材料受拉伸和壓縮時的力學性能拉伸試件拉伸試件壓縮試件壓縮試件圓截面短柱體（用于金屬材料）：圓截面短柱體（用于金屬材料）： 310dL正方形截面短柱體（用于非金屬材料）：正方形截面短柱體（用于非金屬材料）： 310bL2.6 材料受拉伸和壓縮時的力學性能材料受拉伸和壓縮時的力學性能加載方式：加載方式：控制試件勻速變形，加載速率可能對力學性能產生影響。控制試件勻速變形，加載速率可能對力學性能產生影響。MTSMTS材料試驗機材料試驗機 電子萬能試驗機電子萬能試驗機 試驗機：給試樣加載，使其產生變形，同時測定試樣的抗力。試驗機：給試樣加載，使其產生變形，同時測定試樣的抗力。

51、變形傳感器：用來測量試樣的微小變形。（引伸計）變形傳感器：用來測量試樣的微小變形。（引伸計）驅動部分驅動部分橫梁橫梁機架機架變形傳感器變形傳感器下夾頭下夾頭上夾頭上夾頭載荷傳感器載荷傳感器試驗機結構試驗機結構 試樣試樣2.6 材料受拉伸和壓縮時的力學性能材料受拉伸和壓縮時的力學性能OFL0AF 0LL 第第階段：彈性階段階段：彈性階段-OB-OB段段第第階段：屈服階段階段：屈服階段-BE-BE段段第第階段：強化階段階段：強化階段-EG-EG段段第第階段：局部變形階段階段：局部變形階段( (頸縮階段頸縮階段)-GH)-GH段段四個階段：四個階段：拉伸圖拉伸圖拉伸圖：拉伸圖：F-L曲線曲線 為了消

52、除試件幾何尺寸的影為了消除試件幾何尺寸的影響，將試件拉伸圖轉換為應力響，將試件拉伸圖轉換為應力應變曲線。應變曲線。0AF 0LL A0試件的初始橫截面積；試件的初始橫截面積；L0試件的初始標距長度；試件的初始標距長度；應力應力- -應變曲線應變曲線ABCDEGH名義應力：名義應力：名義應變：名義應變：l 低碳鋼拉伸時的力學性能低碳鋼拉伸時的力學性能2.6 材料受拉伸和壓縮時的力學性能材料受拉伸和壓縮時的力學性能O E 彈性階段：彈性階段：OBOB段段卸除載荷后，變形可恢復。卸除載荷后，變形可恢復。彈性極限彈性極限e比例極限比例極限p彈性階段的最大應力（彈性階段的最大應力（B點）點） 彈性極限彈

53、性極限e符合線性關系的最大應力（符合線性關系的最大應力（A點）點） 比例極限比例極限p胡克定律：胡克定律：e和和p雖然意義不同，但數值上非常接近，工程上通常不加雖然意義不同，但數值上非常接近，工程上通常不加區(qū)分，用一個數值來處理，統(tǒng)稱為彈性極限。區(qū)分，用一個數值來處理，統(tǒng)稱為彈性極限。應力應力- -應變曲線應變曲線EABCDEGH2.6 材料受拉伸和壓縮時的力學性能材料受拉伸和壓縮時的力學性能屈服階段：屈服階段：BEBE段段應變顯著增加，應力在小范圍內波動，應變顯著增加，應力在小范圍內波動，有不可恢復變形（有不可恢復變形（塑性塑性）產生。）產生。應力第一次下降前的最大應力（應力第一次下降前的最

54、大應力（C點點） 上屈服點上屈服點除第一次下降的最小應力外，屈服除第一次下降的最小應力外，屈服階段的最小應力（階段的最小應力（D點點） 下屈服點下屈服點下屈服點定義為材料的屈服極限下屈服點定義為材料的屈服極限s磨消后拋光的試件表面上可見大約與軸線成磨消后拋光的試件表面上可見大約與軸線成45的的滑移線滑移線。進入屈服階段后，試件的橫截面積和標距發(fā)生顯著改變，因此得到的名進入屈服階段后，試件的橫截面積和標距發(fā)生顯著改變，因此得到的名義應力和名義應變都不再是真實值。義應力和名義應變都不再是真實值。O 上屈服點上屈服點下屈服點下屈服點應力應力- -應變曲線應變曲線ABCDEGH2.6 材料受拉伸和壓縮

55、時的力學性能材料受拉伸和壓縮時的力學性能 Eepe 強化階段：強化階段：EG段段此階段如要增加應變，必須增大應力，此階段如要增加應變，必須增大應力，材料產生材料產生強化強化。強化階段內的最大名義應力（強化階段內的最大名義應力（G點點） 強度極限（或抗拉強度）強度極限（或抗拉強度）b卸載卸載立即再加載立即再加載沿卸載線回到卸載時應力，然后按后續(xù)加載曲線變化。沿卸載線回到卸載時應力，然后按后續(xù)加載曲線變化。放置一段時間后再加載放置一段時間后再加載再次進入屈服的應力超過卸載時應力再次進入屈服的應力超過卸載時應力冷作硬化冷作硬化冷作硬化對力學性能的影響冷作硬化對力學性能的影響比例極限升高，塑性變形減小

56、，但抗拉強度不變。比例極限升高，塑性變形減小，但抗拉強度不變。2.6 材料受拉伸和壓縮時的力學性能材料受拉伸和壓縮時的力學性能O 強度極限強度極限b b應力應力- -應變曲線應變曲線ABCDEGHp e pb不變不變pO%100001 LLL 局部變形階段（頸縮階段）：局部變形階段（頸縮階段）：GH段段名義應力下降，試件的局部橫截面出現名義應力下降，試件的局部橫截面出現急劇收縮，直至斷裂。急劇收縮，直至斷裂。應力應力- -應變曲線應變曲線ABCDEGH描述材料塑性好壞的兩個指標：描述材料塑性好壞的兩個指標：伸長率伸長率試件拉斷后標距范圍內平均的塑性試件拉斷后標距范圍內平均的塑性變形百分率。變形

57、百分率。%100010 AAA 斷面收縮率斷面收縮率試件斷口處橫截面面積試件斷口處橫截面面積的塑性收縮百分率。的塑性收縮百分率。L1試件拉斷后標距刻線間的距離。試件拉斷后標距刻線間的距離。A1斷口處的最小橫截面積。斷口處的最小橫截面積。脆性材料：脆性材料：5%2.6 材料受拉伸和壓縮時的力學性能材料受拉伸和壓縮時的力學性能MPa240sMPa390bQ235鋼的主要強度指鋼的主要強度指標：標： Q235鋼的塑性指標：鋼的塑性指標： %30%20%60Q235鋼的彈性指標：鋼的彈性指標： GPa210200E通常通常 的的材料稱為材料稱為塑性材料塑性材料；%5 的的材料稱為材料稱為脆性材料脆性材

58、料。%52.6 材料受拉伸和壓縮時的力學性能材料受拉伸和壓縮時的力學性能1. .低碳鋼的屈服強度低碳鋼的屈服強度s s，強度極限，強度極限s sb b都是以相應載荷除以都是以相應載荷除以試樣試樣原始橫截面積原始橫截面積得到的，實際上得到的，實際上此時試樣直徑已顯著縮小此時試樣直徑已顯著縮小，因而他們是因而他們是名義應力（工程應力）名義應力（工程應力）。2.2.低碳鋼的強度極限低碳鋼的強度極限b b是試樣拉伸時是試樣拉伸時最大的名義應力最大的名義應力，并并非斷裂時的應力非斷裂時的應力。3.3.超過屈服階段后的應變仍是以試樣工作段的伸長量除以超過屈服階段后的應變仍是以試樣工作段的伸長量除以工工作段

59、原長作段原長所得，因而是所得，因而是名義應變（工程應變）名義應變（工程應變）。4.4.伸長率是把拉斷后整個伸長率是把拉斷后整個工作段的均勻塑性伸長變形工作段的均勻塑性伸長變形和和頸縮頸縮部分的局部塑性伸長變形部分的局部塑性伸長變形都包括在內的一個都包括在內的一個平均塑性伸長率平均塑性伸長率；標準試樣之所以規(guī)定標距與橫截面積（或直徑）之比，原因標準試樣之所以規(guī)定標距與橫截面積（或直徑）之比，原因在此。在此。要點要點1.1.強度極限強度極限s sb b是否為材料在拉伸過程中所承受的最大應力？是否為材料在拉伸過程中所承受的最大應力？2.2.低碳鋼的同一圓截面試樣上，若同時畫有兩種標距，試問所得低碳鋼

60、的同一圓截面試樣上，若同時畫有兩種標距，試問所得伸長率伸長率1010 和和5 5 哪一個大？哪一個大？ 2.6 材料受拉伸和壓縮時的力學性能材料受拉伸和壓縮時的力學性能應力應力- -應變曲線從低應力水平開應變曲線從低應力水平開始就不是直線關系；始就不是直線關系；只能采用割線彈性模量；只能采用割線彈性模量；沒有屈服、只有唯一拉伸強度沒有屈服、只有唯一拉伸強度指標指標b b；沒有沒有頸縮階段，頸縮階段，斷口平齊，伸斷口平齊，伸長率非常小，拉伸強度長率非常小，拉伸強度b b基本上基本上就是試件拉斷時橫截面上的真實就是試件拉斷時橫截面上的真實應力。應力。 伸長率很小，是脆性材料伸長率很小，是脆性材料l