高中數(shù)學(xué) 歸納法教學(xué)課件 新人教A版選修2ppt課件

1、2.3數(shù)學(xué)歸納法第一課時(shí)）數(shù)學(xué)歸納法第一課時(shí)）問題情境一問題情境一已知數(shù)列已知數(shù)列 的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為na22) 55(nnan（1 1求出其前四項(xiàng)，你能得到什么樣的猜想？求出其前四項(xiàng)，你能得到什么樣的猜想？（2 2你的猜想正確嗎？你的猜想正確嗎？對(duì)于數(shù)列，對(duì)于數(shù)列，na)1(2111nnnaaa)(*Nn （1求出數(shù)列前求出數(shù)列前4項(xiàng)項(xiàng),你能得到什么猜你能得到什么猜想？想？（2你認(rèn)為你的結(jié)論一定正確嗎？你認(rèn)為你的結(jié)論一定正確嗎？如何證明猜想是正確的？如何證明猜想是正確的？11a問題情境二問題情境二是否用行之有效，有限的步驟進(jìn)行證明呢？是否用行之有效，有限的步驟進(jìn)行證明呢？骨牌全倒下，需

2、要哪些條件呢？骨牌全倒下，需要哪些條件呢？1、第幾塊骨牌，數(shù)列第幾項(xiàng)都是與正整數(shù)有關(guān)的問題2、共同點(diǎn)是任意前一個(gè)的情況都可以推出后一個(gè)的情況相似性體現(xiàn)在哪些方面？多米諾骨牌與我們要解決多米諾骨牌與我們要解決的問題二有相似性嗎？的問題二有相似性嗎？ 數(shù)學(xué)建構(gòu)數(shù)學(xué)建構(gòu) 類比多米諾骨牌游戲牌全倒條件，證明類比多米諾骨牌游戲牌全倒條件，證明 要證明當(dāng)要證明當(dāng)n=1時(shí)猜想成立，由條件知，時(shí)猜想成立，由條件知，n=1時(shí)猜想成立時(shí)猜想成立 即要證明若當(dāng)即要證明若當(dāng)n=k時(shí)命題成立，則時(shí)命題成立，則n=k+1時(shí)時(shí)命題也成立命題也成立. （1已知第一張牌要倒下已知第一張牌要倒下111111,(),21nnnna

3、aaaa已 知猜 想（2要保證任意前一塊倒下，后一塊也倒下要保證任意前一塊倒下，后一塊也倒下 完成了這兩個(gè)步驟以后就可以證明上述猜完成了這兩個(gè)步驟以后就可以證明上述猜想對(duì)于所有的正整數(shù)想對(duì)于所有的正整數(shù)n都是成立的。都是成立的。 1,)11(121)a1(a21a時(shí)，1kn則1,a時(shí)猜想成立，即kn假設(shè)kk1kk所以對(duì)任意正整數(shù)所以對(duì)任意正整數(shù)n n，猜想都成立，即數(shù)列，猜想都成立，即數(shù)列的通項(xiàng)為的通項(xiàng)為1na 1,)11(121)a1(a21a時(shí)，1kn則1,a時(shí)猜想成立，即kn假設(shè)kk1kk綜合綜合1 1和和2 2），知對(duì)任意正整數(shù)），知對(duì)任意正整數(shù)n n，猜，猜想都成立，即數(shù)列的通項(xiàng)為想

4、都成立，即數(shù)列的通項(xiàng)為1na(1)(1)當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)，由條件知猜想成立。時(shí)，由條件知猜想成立。（2）情景二的證明過程情景二的證明過程概念建構(gòu)一般地證明一個(gè)與正整數(shù)一般地證明一個(gè)與正整數(shù)n n有關(guān)的命題，可按有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：下列步驟進(jìn)行： 1.1.（歸納奠基（歸納奠基) )證明當(dāng)證明當(dāng)n n取第一個(gè)值取第一個(gè)值n0n0時(shí)命題成立；時(shí)命題成立；2.2.（歸納遞推假設(shè)當(dāng)（歸納遞推假設(shè)當(dāng)n=k(kn=k(kN N* *，kn0)kn0)時(shí)命題成立，時(shí)命題成立，證明當(dāng)證明當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)命題也成立。時(shí)命題也成立。只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)于從只要完成這兩個(gè)步驟，就可

5、以斷定命題對(duì)于從n0n0開開始的所有正整數(shù)始的所有正整數(shù)n n都成立都成立. .這種證明方法就叫做 。數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法概念建構(gòu)222222(1)(1) 12(1) 11234(1)6kkkkk目標(biāo)：例例 利用數(shù)學(xué)歸納法證明：利用數(shù)學(xué)歸納法證明：學(xué)以致用學(xué)以致用22222*(1)(21)1234().6nnnnnN 兩個(gè)步驟和一個(gè)結(jié)論缺一不可兩個(gè)步驟和一個(gè)結(jié)論缺一不可: 第一步是奠基步驟，是命題論證的基礎(chǔ)，第一步是奠基步驟，是命題論證的基礎(chǔ)，稱之為稱之為 歸納奠基根底）；歸納奠基根底）； 第二步是歸納步驟，是推理的依據(jù)，能否第二步是歸納步驟，是推理的依據(jù)，能否由特殊推廣到一般，它反映了無限遞

6、推關(guān)由特殊推廣到一般，它反映了無限遞推關(guān)系，其中系，其中 “假設(shè)假設(shè)n=k時(shí)成立時(shí)成立” 稱為歸納假稱為歸納假設(shè)。設(shè)。 第三步是總體結(jié)論，也不可少。第三步是總體結(jié)論，也不可少。1、已知三角形內(nèi)角和為180，四邊形的內(nèi)角和為360，五邊形的內(nèi)角和為540，于是有：凸n邊形的內(nèi)角和為(n-2)180，若用數(shù)學(xué)歸納法證明，第一步驗(yàn)證n取第一個(gè)正整數(shù)時(shí)命題成立，則第一個(gè)正整數(shù)取值為 _ 2 2、用數(shù)學(xué)歸納法證明、用數(shù)學(xué)歸納法證明 （a1a1），在驗(yàn)證），在驗(yàn)證n=1n=1等式成立時(shí)等式成立時(shí) ，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是，左邊應(yīng)取的項(xiàng)是_._.221111nnaaaaa3 3、用數(shù)學(xué)歸納法證明、用數(shù)學(xué)歸納法證明:

7、(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1 3(2n-1):(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1 3(2n-1)時(shí)，在證明時(shí)，在證明n=k+1n=k+1時(shí)：左邊代數(shù)式時(shí)：左邊代數(shù)式為為 ，共有共有 項(xiàng)，項(xiàng)，從從k k到到k+1k+1左邊需要增乘的代數(shù)式為左邊需要增乘的代數(shù)式為 321aa(k+1)+1(k+1)+2(k+1)+(k+1)K+1自我測評(píng))(12212212kkkk（即即（12+4+6+8+2n=n2+n+1(nN*)證明證明 ：假設(shè)當(dāng)：假設(shè)當(dāng)n=kn=k時(shí)等式成立，即時(shí)等式成立，即 2+4+6+8+2k=k2+k+1(k 2+4+6+8+2k=k2+k+1(kN N* *) )

8、那么，當(dāng)那么，當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)，有時(shí)，有 2+4+6+8+2k+2 2+4+6+8+2k+2k+1)k+1) =k2+k+1+2(k+1) =k2+k+1+2(k+1) =(k+1)2+(k+1)+1 , =(k+1)2+(k+1)+1 ,因此，對(duì)于任何因此，對(duì)于任何n nN N* *等式都成立等式都成立。缺乏缺乏“遞推基礎(chǔ)遞推基礎(chǔ)”這就是說，當(dāng)這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí),命題也成立命題也成立.11111(1)()()22312111=2(1)1kkkkk左邊右邊*111(3)()1 223(1)1nnNnnn沒有用上沒有用上“假假設(shè)設(shè)”，故此法，故此法不是數(shù)學(xué)歸納不是數(shù)學(xué)歸納法法請(qǐng)修

9、改為數(shù)學(xué)請(qǐng)修改為數(shù)學(xué)歸納法歸納法證明證明 當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)時(shí),左邊左邊= , 212111) 1(1321211kkkk假設(shè)假設(shè)n=k(kN*)時(shí)原等式成立時(shí)原等式成立 ，即，即此時(shí)，原等式成立。此時(shí)，原等式成立。 那么那么n=k+1時(shí)時(shí),由由 知知,對(duì)一切正整數(shù)對(duì)一切正整數(shù)n,原等式均正確原等式均正確. 11=1+12右邊證明證明 當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)時(shí),左邊左邊= , 21211*111(3)()1 223(1)1nnNnnn1) 1(1321211kkkk11111 22 3(1)(1) (2)111 (1) (2)(1) 1kkkkkkkkkk 這這才才是是數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)歸歸納納法法假設(shè)假設(shè)n=k(kN*)時(shí)原等式成立時(shí)原等式成立 ，即，即21111右邊右邊= 此時(shí)，原等式成立。此時(shí)，原等式成立。 那么那么n=k+1時(shí)時(shí),這就是說，當(dāng)這就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí),命題也成立命題也成立.由由 知知,對(duì)一切正整數(shù)對(duì)一切正整數(shù)n,原等式均正確原等式均正確. (2)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟：兩個(gè)步驟，