角平分線的性質(zhì)與判定

1、已知已知:AOB求作：求作：AOB的平分線的平分線（1）以）以O(shè)為圓心，適當長為半徑作弧，交為圓心，適當長為半徑作弧，交OA于于M，交，交OB于于N。（2）分別以）分別以M、N為圓心，大于為圓心，大于12MN的長為半徑作弧，兩弧在的長為半徑作弧，兩弧在AOB的內(nèi)部交的內(nèi)部交于點于點C。（3）作射線）作射線OC。射線。射線OC即為所求。即為所求。A0BMNC做法：做法：O仔細觀察步驟仔細觀察步驟ABOAOEBCPD 將AOB對折,再折出一個直角三角形(使第一條折痕為斜邊),然后展開,觀察兩次折疊形成的三條折痕,你能得出什么結(jié)論? 可以看一看,第一條折痕是AOB的平分線OC,第二次折疊形成的兩條折

2、痕PD,PE是角的平分線上一點到AOB兩邊的距離,這兩個距離相等.折一折 按照做一做做一做的順序畫AOB的折痕OC ,過點P的垂線段PD、PE ，并度量所畫PD、PE是否等長？畫一畫畫一畫同學甲、乙誰的畫法是正確的?角平分線上的點到角的兩邊的角平分線上的點到角的兩邊的距離相等距離相等 議一議：由折一折和畫一畫你可得到什議一議：由折一折和畫一畫你可得到什么猜想？么猜想？能否用符號語言來翻譯能否用符號語言來翻譯“角平分線上的點到角角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的兩邊的距離相等”這句話請?zhí)钕卤恚哼@句話請?zhí)钕卤恚篜D=PEOC平分平分AOB，PDOA, PEOB, D、E為為垂足垂足于是我們得角的

3、平分線的性質(zhì)：于是我們得角的平分線的性質(zhì)： 角的平角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等分線上的點到角的兩邊的距離相等角平分線的性質(zhì)定理：角平分線的性質(zhì)定理：BADOPEC定理應用所具備的條件：（1）角的平分線；）角的平分線；（2）點在該平分線上；）點在該平分線上；（3）垂直距離。）垂直距離。定理的作用： 證明線段相等。證明線段相等。應用定理的書寫格式：OP 是是 的平分線的平分線AOBOAPD OBPE PD = PE （在角的平分線上的點在角的平分線上的點 到這個角的兩邊的距離相等。到這個角的兩邊的距離相等。）推理的理由有三個，推理的理由有三個，必須寫完全，不能少必須寫完全，不能少了任何一個

4、。了任何一個。 如圖，如圖，AD平分平分BAC（已知）（已知） = ，( ) 在角的平分線上的點到這在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。個角的兩邊的距離相等。ADCBBD CD（） AD平分平分BAC, DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，（ ） DBDC在角的平分線上的點到這個在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。角的兩邊的距離相等。ADCB不必再證全等不必再證全等 如圖，如圖， DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，( ) 在角的平分線上的點到這在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。個角的兩邊的距離相等。ADCBBD CD（）如圖， AOC= BOC,點點

5、P在在OC上，上，PD OA,PE OB,垂足分別為垂足分別為D,E,求證求證PD=PE.一般情況下，我們要證明一個幾何命題時，可以按照類似的步驟進行，即1.1.明確命題中的已知和求證；明確命題中的已知和求證；2.2.根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號表示根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號表示已知和求證；已知和求證；3.3.經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程。論的途徑，寫出證明過程。 反過來，到一個角的兩邊的距離相等的反過來，到一個角的兩邊的距離相等的點是否一定在這個角的平分線上呢？點是否一定在這個角的平分線上呢？ 已知：如圖,QDOA，QEOB，點D、

6、E為垂足，QDQE求證：點Q在AOB的平分線上證明證明: QDOA，QEOB（已知），（已知）， QDOQEO90（垂直的定義）（垂直的定義）在在RtQDO和和RtQEO中中 QOQO（公共邊）（公共邊） QD=QE RtQDO RtQEO（HL） QODQOE 點Q在AOB的平分線上已知：如圖,QDOA，QEOB，點D、E為垂足，QDQE求證：點Q在AOB的平分線上這樣，我們又可以得到一個結(jié)論：這樣，我們又可以得到一個結(jié)論： 到角的兩邊距離相等的點在角的平到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上。分線上。例例 已知：如圖，已知：如圖，ABC的角平分線的角平分線BM、CN相交于相交于點點P.求證：

7、點求證：點P到三邊到三邊AB、BC、CA的距離相等的距離相等.ABCPMNABCPMN例例 已知：如圖，已知：如圖，ABC的角平分線的角平分線BM、CN相交于相交于點點P.求證：點求證：點P到三邊到三邊AB、BC、CA的距離相等的距離相等.證明：證明：過點過點P作作PD 、PE、PF分別垂直于分別垂直于AB、 BC、CA，垂足分別為，垂足分別為D、E、FFDEDE BM是是ABC的角平分線，點的角平分線，點P在在BM上上 PD=PE（在角平分線上的點到角的兩邊在角平分線上的點到角的兩邊 的距離相等）的距離相等） 同理同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即點即點P到邊到邊AB、BC、 CA的

8、距離相等的距離相等想一想，點想一想，點P在在A A 的的 平分線上嗎？這平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？，1 1、在、在RtRtABCABC中，中，BDBD是角平分線，是角平分線，DEABDEAB，垂足為垂足為E E，DEDE與與DCDC相等嗎？為什么？相等嗎？為什么？ ABCDE 2 2 、 如 圖、 如 圖 , O C, O C 是是 A O BA O B 的 平 分 線的 平 分 線 , , 點點 P P 在在 O CO C上上,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分別是垂足分別是DD、E,PD=4cm,E,PD=4cm,則則

9、PE=_cm.PE=_cm.ADOBEPC知識應用知識應用B 思考：思考：如圖所示如圖所示OC是是AOB 的平分線的平分線,P 是是OC上任意上任意一點一點,問問PE=PD?為什么為什么?OAEDCPPD,PE沒有垂直沒有垂直O(jiān)A,OB,它們不是角它們不是角平分線上任一點這個角兩邊的距離平分線上任一點這個角兩邊的距離,所以不一定相等所以不一定相等.思考：思考：要在區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到要在區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路，鐵路距離相等且離公路，鐵路的交叉公路，鐵路距離相等且離公路，鐵路的交叉處米，應建在何處？（比例尺處米，應建在何處？（比例尺 1：20 000）公路鐵路如圖，已知如圖，已知ABCABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE的平分線相交于點的平分線相交于點F F，求證：點求證：點F F在在DAEDAE的平分線上的平分線上 證明：過點F作FGAE于G，F(xiàn)HAD于H，F(xiàn)MBC于MGHM點F在BCE的平分線上， FGAE， FMBCFGFM又點F在CBD的平分線上， FHAD， FMBCFMFHFGFH 點F在DAE的平分線上利用結(jié)論，解決問題練一練 1、如圖，為了促進當?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個度假村.要使這個度假村到三條公路的距離相等,應在何處