飛行器結構動力學 第5章 彈性體振動

1、第5章 工程振動測試和實驗飛飛 行行 器器 結結 構構 動動 力力 學學 飛行器設計工程系飛行器設計工程系第第5 5章章 彈性體振動彈性體振動第5章 工程振動測試和實驗 西北工業(yè)大學西北工業(yè)大學 第第5 5章章 彈性體振動彈性體振動飛飛 行行 器器 結結 構構 動動 力力 學學 第5章 工程振動測試和實驗第第5 5章章 工程振動測試和實驗工程振動測試和實驗5.1 5.1 弦的振動弦的振動 5.2 5.2 桿的縱向振動桿的縱向振動 5.3 5.3 軸的扭轉振動軸的扭轉振動 5.4 5.4 梁的彎曲振動梁的彎曲振動 5.5 5.5 簡支梁情形簡支梁情形 5.6 5.6 固支梁情形固支梁情形 5.7

2、 5.7 懸臂梁情形懸臂梁情形 5.8 5.8 振型函數(shù)的正交性振型函數(shù)的正交性 5.9 5.9 主振型疊加法主振型疊加法 第5章 工程振動測試和實驗第5章 工程振動測試和實驗第第5 5章章 工程振動測試和實驗工程振動測試和實驗5.1 5.1 弦的振動弦的振動 第5章 工程振動測試和實驗第5章 工程振動測試和實驗5.1 弦弦 的的 振振 動動 前面幾章，我們討論的都是前面幾章，我們討論的都是離散體系統(tǒng)離散體系統(tǒng)，這一，這一章我們將討論章我們將討論連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)，連續(xù)系統(tǒng)是由彈性體元件，連續(xù)系統(tǒng)是由彈性體元件組成的組成的 本章討論本章討論理想彈性體理想彈性體的振動。所謂理想彈性體是的振動。所謂

3、理想彈性體是指滿足以下三個條件的連續(xù)系統(tǒng)模型：指滿足以下三個條件的連續(xù)系統(tǒng)模型： 均勻分布均勻分布 各向同性各向同性 服從虎克定律服從虎克定律第5章 工程振動測試和實驗 彈性體具有彈性體具有分布的物理參數(shù)分布的物理參數(shù)（質量、阻尼、剛度），彈性體的（質量、阻尼、剛度），彈性體的空間位置需用無數(shù)多個點的坐標來確定。也就是說，彈性體具有空間位置需用無數(shù)多個點的坐標來確定。也就是說，彈性體具有無無限多個自由度。限多個自由度。 這些主振型之間也存在著關于質量和剛度的正交性；這些主振型之間也存在著關于質量和剛度的正交性；通過對一些簡單形狀的彈性體的振動分析，將會看到通過對一些簡單形狀的彈性體的振動分析，

4、將會看到: : 任何一個彈性體具有無限多個自然頻率以及與之相應的主振型；任何一個彈性體具有無限多個自然頻率以及與之相應的主振型； 彈性體的自由振動也可以表示為各主振動的線性疊加；彈性體的自由振動也可以表示為各主振動的線性疊加； 對于彈性體的動響應分析主振型疊加法仍然是適用的。對于彈性體的動響應分析主振型疊加法仍然是適用的。5.1 弦弦 的的 振振 動動 第5章 工程振動測試和實驗 設理想柔軟的細弦張緊于兩個固定點之間，張力為設理想柔軟的細弦張緊于兩個固定點之間，張力為T 跨長跨長為為 l，弦單位長度的質量為，弦單位長度的質量為 ，兩支點連線方向取為，兩支點連線方向取為x 軸，與軸，與 x軸垂直

5、的方向取為軸垂直的方向取為 y軸，如圖軸，如圖5-1a，波動方程波動方程圖圖5-1 5-1 弦振動示意圖弦振動示意圖 5.1 弦弦 的的 振振 動動 (a)第5章 工程振動測試和實驗 設弦的振動發(fā)生在設弦的振動發(fā)生在xoy平面內(nèi)，弦的運動可表示為平面內(nèi)，弦的運動可表示為y = y(x,t) 。并假設弦的振動幅度是微小的，即并假設弦的振動幅度是微小的，即y 與與 均為小量；在這些均為小量；在這些假設下，弦的張力假設下，弦的張力T 可近似地看作常量。再設重力與阻尼的影可近似地看作常量。再設重力與阻尼的影響均可略去不計。響均可略去不計。yx 在自由振動中，弦的微元在自由振動中，弦的微元dx 的受力圖

6、如圖的受力圖如圖5-1b,5-1b,運動微運動微分方程分方程為為22sin()sinydxTdxTtxxytansin5.1 弦弦 的的 振振 動動 圖圖5-1 5-1 弦振動示意圖弦振動示意圖(b)第5章 工程振動測試和實驗 故有故有 2222yydxTdxtx整理得整理得 lxtycxy0122222（5-15-1） 式中式中 Tc 弦的運動還必須滿足邊界條件弦的運動還必須滿足邊界條件（5-25-2）0),(), 0(tlyty式（式（5-1）中的）中的c 就是彈性波沿弦向的傳播速度就是彈性波沿弦向的傳播速度。式（。式（5-1）亦）亦稱波動方程稱波動方程。5.1 弦弦 的的 振振 動動 第

7、5章 工程振動測試和實驗 描述弦振動的函數(shù)描述弦振動的函數(shù)y(x,t) 可以分解為空間函數(shù)與時間函數(shù)的乘可以分解為空間函數(shù)與時間函數(shù)的乘積，即積，即)()(),(tYxXtxy（5-35-3） 其中其中 X(t)是是振型函數(shù)振型函數(shù)，它表示整個弦的振動形態(tài)，而，它表示整個弦的振動形態(tài)，而 Y(t)表征點表征點的振動規(guī)律。將（的振動規(guī)律。將（5-3）代入（）代入（5-1）式，可得）式，可得: 2222211dtYdYdxXdXc（5-45-4）要使上式對任意的要使上式對任意的x與與t都成立，必然是二者都等于同一個常數(shù)。都成立，必然是二者都等于同一個常數(shù)。設這一常數(shù)為設這一常數(shù)為，得如下兩個常微分

8、方程，得如下兩個常微分方程特征方程特征方程5.1 弦弦 的的 振振 動動 第5章 工程振動測試和實驗0022222XcdxXdYdtYd 取取 。于是，上述方程可改寫為。于是，上述方程可改寫為20222YdtYd（5-55-5）0222XdxXdc（5-65-6）可解得可解得 tBtAtYcossin)(（5-75-7）xDxCxXcossin)(（5-85-8）5.1 弦弦 的的 振振 動動 第5章 工程振動測試和實驗其中其中C 、D 為積分常數(shù)，另外，由邊界條件（為積分常數(shù)，另外，由邊界條件（5-2），得），得0)0(X0)(lX（5-95-9）（5-105-10）得得0D0sinl （5

9、-115-11）這就是弦振動的這就是弦振動的特征方程特征方程。由此可確定一系列。由此可確定一系列特征值特征值與此相應，可確定一系列與此相應，可確定一系列特征函數(shù)特征函數(shù)，亦稱，亦稱振型函數(shù)振型函數(shù)lxixXisin)(, 2, 1i（5-125-12）（5-135-13）lii, 2, 1i5.1 弦弦 的的 振振 動動 第5章 工程振動測試和實驗與各個特征值相對應，可確定系統(tǒng)的各階與各個特征值相對應，可確定系統(tǒng)的各階自然頻率自然頻率 Tlicii, 2, 1i（5-14 5-14 ）弦對應于各階自然頻率的弦對應于各階自然頻率的主振動主振動為為lxitBtAtYxXtxyiiiiiiisin)

10、cossin()()(),(（5-15 5-15 ）而弦的任意一個自由振動都可以表示為這些主振動的疊加，即有而弦的任意一個自由振動都可以表示為這些主振動的疊加，即有 iiiiiiilxitBtAtxytxysin)cossin(),(),(（5-16 5-16 ） 其中各個其中各個Ai 與與Bi由運動的初始條件確定。由運動的初始條件確定。5.1 弦弦 的的 振振 動動 第5章 工程振動測試和實驗 設在初始時刻設在初始時刻 有有0t)()0,()()0,(xgxtyxfxy于是有于是有 iiiiixglxiAxtyxflxiBxy)(sin)0,()(sin)0,(（5-17 5-17 ）5.1

11、 弦弦 的的 振振 動動 第5章 工程振動測試和實驗liilidxlxixglAdxlxixflB00sin)(21sin)(2（5-18 5-18 ）可見，張緊弦的自由振動，除了基頻（最低頻率）振可見，張緊弦的自由振動，除了基頻（最低頻率）振動外，還包含頻率為基頻整數(shù)倍的振動。這種動外，還包含頻率為基頻整數(shù)倍的振動。這種倍頻振倍頻振動動亦稱為亦稱為諧波振動諧波振動。 利用利用三角函數(shù)的正交性三角函數(shù)的正交性，可得，可得 5.1 弦弦 的的 振振 動動 第5章 工程振動測試和實驗 例例5-1 設張緊弦在初始時刻被撥到如圖設張緊弦在初始時刻被撥到如圖5-25-2所示的位置，所示的位置，然后無初速

12、度地釋放。求弦的自由振動然后無初速度地釋放。求弦的自由振動。 解：按題設，有解：按題設，有 lxlxllhlxxlhxy6,)(5660,6)0,(圖圖5-2 5-2 例例5-15-1示意圖示意圖 0)0,(xty5.1 弦弦 的的 振振 動動 第5章 工程振動測試和實驗tTllxtTllxtTllxtTllxhtxy4cos4sin16866. 03cos3sin912cos2sin4866. 0cossin21572),(2 因而弦的自由振動可表示為（只寫出前因而弦的自由振動可表示為（只寫出前4項）：項）： , 2, 1,6sin)(572sin)(512sin12266022iiihdx

13、lxixllhdxlxixlhBllli故有故有 , 2, 1,0iAi5.1 弦弦 的的 振振 動動 第5章 工程振動測試和實驗第第5 5章章 工程振動測試和實驗工程振動測試和實驗5.2 5.2 桿的縱向振動桿的縱向振動 第5章 工程振動測試和實驗第5章 工程振動測試和實驗 5.2 桿的縱向振動桿的縱向振動 設桿的橫截面在振動時仍保持為平面并作整體運動。略去設桿的橫截面在振動時仍保持為平面并作整體運動。略去桿縱向伸縮而引起的橫截面變形。桿縱向伸縮而引起的橫截面變形。 取桿的縱向作為取桿的縱向作為 x 軸，各個截面的縱向位移表示為軸，各個截面的縱向位移表示為u(x,t)。 如圖如圖5-3。桿的

14、微元。桿的微元dx在自由振動中的受力圖也在圖在自由振動中的受力圖也在圖5-3中給出。中給出。圖圖5-3 5-3 等截面細直桿的縱向振動示意圖等截面細直桿的縱向振動示意圖 第5章 工程振動測試和實驗 設桿單位體積的質量為設桿單位體積的質量為 ，桿長為，桿長為 l，截面積為，截面積為A ，材料的彈，材料的彈性模量為性模量為E 。再設任一。再設任一 x 截面處，縱向應變?yōu)榻孛嫣?，縱向應變?yōu)?x) ，縱向張力表示，縱向張力表示為為P(x) ；則由材料力學知；則由材料力學知xuAEAExPxux)()(而在而在x=dx 截面處的張力則為截面處的張力則為)(22dxxuxuAEdxxPP列出桿微元列出桿微

15、元dx的運動方程，得的運動方程，得 dxxuAEtuAdx2222 5.2 桿的縱向振動桿的縱向振動 第5章 工程振動測試和實驗整理得整理得 222221tucxu其中其中 Ec 2)()(),(tUxXtxu 得到類似于（得到類似于（5-5）與（）與（5-6）的常微分方程組，由此）的常微分方程組，由此解得解得U(t) 與與X(x) ： xcDxcCxXtBtAtUcossin)(cossin)(仍然采用分離變量法，將仍然采用分離變量法，將 u= (x,t)表示為表示為 5.2 桿的縱向振動桿的縱向振動 第5章 工程振動測試和實驗這一情形與上節(jié)所述弦的振動相似。邊界條件為這一情形與上節(jié)所述弦的

16、振動相似。邊界條件為0)()0(lXX可得到可得到EliilxixXisin)( 兩端固定的桿兩端固定的桿 5.2 桿的縱向振動桿的縱向振動 第5章 工程振動測試和實驗 兩端自由的桿兩端自由的桿這時，桿兩端的應力必須為零，故邊界條件為這時，桿兩端的應力必須為零，故邊界條件為0)()0(ldxdXdxdX由此得由此得, 2 , 1 , 0,iElii, 2 , 1 , 0,cos)(ilxixXi 5.2 桿的縱向振動桿的縱向振動 第5章 工程振動測試和實驗 一端固定一端自由的桿一端固定一端自由的桿 這時，邊界條件為這時，邊界條件為 0)(0)0(ldxdXX由此得由此得 , 2 , 1 , 0

17、,212iElii, 2 , 1 , 0,)212sin()(ilxixXi 5.2 桿的縱向振動桿的縱向振動 第5章 工程振動測試和實驗 一端固定一端彈性支承的桿（圖一端固定一端彈性支承的桿（圖5-4）圖圖5-4 5-4 一端固定一端彈性支承的桿示意圖一端固定一端彈性支承的桿示意圖 設彈性支承剛度為設彈性支承剛度為k 。這時，邊界條件為。這時，邊界條件為 0)0(X)()(lkXldxdXAE 5.2 桿的縱向振動桿的縱向振動 第5章 工程振動測試和實驗 對應于給定的對應于給定的a值，不難找到各個固有頻率值，不難找到各個固有頻率i的的數(shù)字解。而與各個數(shù)字解。而與各個i相應的振型函數(shù)為相應的振

18、型函數(shù)為 由此得由此得 aklAEclcl/)/tan(xcxXiisin)(0DlcklccAEsincos從后面一個方程可得從后面一個方程可得 5.2 桿的縱向振動桿的縱向振動 第5章 工程振動測試和實驗第第5 5章章 工程振動測試和實驗工程振動測試和實驗5.3 5.3 軸的扭轉振動軸的扭轉振動 第5章 工程振動測試和實驗第5章 工程振動測試和實驗 取圓軸的軸心線作為取圓軸的軸心線作為x 軸，圖軸，圖5-5軸任一軸任一 x截面處的轉角表示為截面處的轉角表示為(x,t) 。設軸長為。設軸長為l ，單位體積的質量為，單位體積的質量為，圓截面對其中心的，圓截面對其中心的極慣量矩為極慣量矩為Ip

19、，材料的剪切彈性模量為，材料的剪切彈性模量為 G 。軸的扭轉應變。軸的扭轉應變?yōu)闉?，作用于微元，作用于微元dx 兩截面上的扭矩分別為兩截面上的扭矩分別為 ，及及 。5.3 軸的扭轉振動軸的扭轉振動假設軸的橫截面在扭轉振動中仍保持為平面作整體轉動。假設軸的橫截面在扭轉振動中仍保持為平面作整體轉動。 xxGIp)(22dxxxGIp圖圖5-5 5-5 軸扭轉振動示意圖軸扭轉振動示意圖第5章 工程振動測試和實驗其中其中 。這與前面得到的波動方程形式完全。這與前面得到的波動方程形式完全一樣，故解的形式也一樣。一樣，故解的形式也一樣。222221tcx/2Gc dxxGItdxIpp2222整理得整理

20、得列出列出運動微分方程運動微分方程，可得，可得5.3 軸的扭轉振動軸的扭轉振動第5章 工程振動測試和實驗 例例5-2 設軸的一端固定，另一端附有圓盤，如圖設軸的一端固定，另一端附有圓盤，如圖5-65-6。圓盤。圓盤的轉動慣量為的轉動慣量為I 。試考察這一系統(tǒng)的扭振固有頻率與振型函數(shù)。試考察這一系統(tǒng)的扭振固有頻率與振型函數(shù)。 圖圖5-6 5-6 例例5-25-2示意圖示意圖解：設軸的解：設軸的扭轉振動扭轉振動可表示為可表示為)()(),(txXtx且有且有 tBtAtcossin)(xcDxcCxXcossin)(5.3 軸的扭轉振動軸的扭轉振動第5章 工程振動測試和實驗軸在軸在l端截面處的端截

21、面處的扭矩扭矩應為應為 軸在固定端的軸在固定端的邊界條件邊界條件為為0)0(X（a a） ),( tlxGIp而這一扭矩就等于圓盤的而這一扭矩就等于圓盤的慣性力矩慣性力矩),(22tlxI考慮到考慮到 )()(),(tldxdXtlx)()()(),(22222tlXdtdlXtlx（b b）5.3 軸的扭轉振動軸的扭轉振動第5章 工程振動測試和實驗這就是軸在這就是軸在 l 端的端的邊界條件邊界條件。故有故有)()(2lIXldxdXGIp0D由式（由式（b b）可得）可得 tan（c c）其中其中IlIclp, 式（式（c c）即軸系的）即軸系的特征方程特征方程。的物理意義為軸的轉動慣量與的

22、物理意義為軸的轉動慣量與圓盤轉動慣量之比。圓盤轉動慣量之比。5.3 軸的扭轉振動軸的扭轉振動由式（由式（a a）可得）可得 第5章 工程振動測試和實驗 如近似地取如近似地取 ，則（，則（c c）式化簡為）式化簡為 下表給出對應于各個不同的下表給出對應于各個不同的 值時，基本特征值時，基本特征特征值特征值1 的值。的值。112/0.010.010.100.100.300.300.500.500.700.700.900.901.001.001.501.500.100.100.320.320.520.520.650.650.750.750.820.820.860.860.980.982.002.00

23、3.003.004.004.005.005.0010.010.020.020.01001001.081.081.201.201.271.271.321.321.421.421.521.521.571.57tgIlGIIlIcpp22（d d）上式也就是略去軸的質量后所得單自由度系統(tǒng)的上式也就是略去軸的質量后所得單自由度系統(tǒng)的固有頻率公式固有頻率公式。 5.3 軸的扭轉振動軸的扭轉振動第5章 工程振動測試和實驗33tg這時有這時有 31IlGIp（e e） 上式也就是將軸的轉動慣量的三分之一加到圓盤上后所得單自上式也就是將軸的轉動慣量的三分之一加到圓盤上后所得單自由度扭振系統(tǒng)的固有頻率公式。只要

24、軸的轉動慣量不大于圓盤的轉由度扭振系統(tǒng)的固有頻率公式。只要軸的轉動慣量不大于圓盤的轉動慣量，那么計算基頻的近似式（動慣量，那么計算基頻的近似式（e e）在實用上已足夠準確了。）在實用上已足夠準確了。 綜上所述，弦的橫振、桿的縱振與軸的扭振都導致同一形式的綜上所述，弦的橫振、桿的縱振與軸的扭振都導致同一形式的波動方程。它們的運動具有共同的規(guī)律，如表波動方程。它們的運動具有共同的規(guī)律，如表5-15-1。進一步的近似可取進一步的近似可取 5.3 軸的扭轉振動軸的扭轉振動第5章 工程振動測試和實驗 弦的橫振弦的橫振桿的縱振桿的縱振軸的扭振軸的扭振物物理理參參數(shù)數(shù) 弦的張力弦的張力 弦的線質量弦的線質量

25、彈性模量彈性模量 截面積截面積 密度密度剪切彈性模量剪切彈性模量截面極慣性矩截面極慣性矩 密度密度 截面的截面的位移位移橫向位移橫向位移縱向位移縱向位移轉轉 角角單位長度單位長度的質量或的質量或轉動慣量轉動慣量 截面處力截面處力（或扭矩）（或扭矩） 表表5-15-1 弦的橫振、桿的縱振與軸的扭振對比表弦的橫振、桿的縱振與軸的扭振對比表ApITEGpIxyxxyTxyEAxyGIpA5.3 軸的扭轉振動軸的扭轉振動第5章 工程振動測試和實驗c/T/E/G222221tycxy)()(tYxXyyiiicxDcxCxXtBtAtYiiiiiiiiiicossin)(,cossin)(0)()0(l

26、XX0)( )0( lXX0)( )0(lXXlcii/3,2,1ilcii/lcii212lxiXisinlxiXicoslxiXi212sin3,2,1i3,2,1i 弦的橫振弦的橫振桿的縱振桿的縱振軸的扭振軸的扭振 波速波速 運動微運動微分方程分方程 通解通解 邊界條件邊界條件兩端固定兩端固定兩端自由兩端自由一端固定一端固定一端自由一端自由 固有頻率固有頻率 振型函數(shù)振型函數(shù) 5.3 軸的扭轉振動軸的扭轉振動第5章 工程振動測試和實驗第第5 5章章 工程振動測試和實驗工程振動測試和實驗5.4 5.4 梁的彎曲振動梁的彎曲振動 第5章 工程振動測試和實驗第5章 工程振動測試和實驗 假設梁具

27、有對稱平面，且在彎曲振動中梁的軸線（以下稱假設梁具有對稱平面，且在彎曲振動中梁的軸線（以下稱為撓曲線）始終保持在這一對稱平面內(nèi)。取梁未變形時的軸線為撓曲線）始終保持在這一對稱平面內(nèi)。取梁未變形時的軸線方向為方向為x軸（向右為正），取對稱面內(nèi)與軸（向右為正），取對稱面內(nèi)與x軸垂直的方向為軸垂直的方向為 y軸軸（向上為正）。（向上為正）。5.4 梁的彎曲振動梁的彎曲振動圖圖5-7 5-7 梁彎曲振動示意圖梁彎曲振動示意圖梁撓曲線的微分方程梁撓曲線的微分方程第5章 工程振動測試和實驗 方程（方程（5-205-20）就是等截面梁在集度為）就是等截面梁在集度為q的分布力作用下的的分布力作用下的撓曲線微分

28、方程撓曲線微分方程。 ( , )yy x t 除了理想彈性體與微幅振動的假設外，還假設梁的長度與除了理想彈性體與微幅振動的假設外，還假設梁的長度與截面高度之比是相當大的。梁撓曲線的微分方程可表示為截面高度之比是相當大的。梁撓曲線的微分方程可表示為MxyEI22（5-195-19）即即QxyEI33（5-205-20） 梁在彎曲振動時，其撓曲線隨時間而變化，可表示為梁在彎曲振動時，其撓曲線隨時間而變化，可表示為 5.4 梁的彎曲振動梁的彎曲振動第5章 工程振動測試和實驗22tyq（5-215-21）將式（將式（5-215-21）代入方程（）代入方程（5-205-20），即得等截面梁自由），即得等

29、截面梁自由彎曲振彎曲振動的微分方程動的微分方程0122244tyaxy（5-225-22）其中其中 。方程（。方程（5-225-22）是）是4 4階偏微分方程，也需根據(jù)階偏微分方程，也需根據(jù)梁的支承情形附加適當?shù)倪吔鐥l件。所以，在數(shù)學上這類問題梁的支承情形附加適當?shù)倪吔鐥l件。所以，在數(shù)學上這類問題常稱為偏微分方程的邊值問題。常稱為偏微分方程的邊值問題。 /2EIa 應用達朗伯原理，在梁上加以分布的慣性力為應用達朗伯原理，在梁上加以分布的慣性力為 彎曲振動的微分方程彎曲振動的微分方程5.4 梁的彎曲振動梁的彎曲振動第5章 工程振動測試和實驗該處撓度與轉角都為零，即有該處撓度與轉角都為零，即有0)

30、,(0),(txyty0或或 l（5-235-23） 鉸支端鉸支端 該處撓度與彎矩都為零，即該處撓度與彎矩都為零，即有有0),(0),(22txyEIty0或或l（5-245-24） 常見的邊界條件常見的邊界條件 固支端固支端 5.4 梁的彎曲振動梁的彎曲振動第5章 工程振動測試和實驗 自由端自由端該處彎矩與剪力都為零，即有該處彎矩與剪力都為零，即有0),(0),(3322txyEItxyEI0l或或（5-255-25） 幾何邊界條件：對撓度或轉角的限制條件。幾何邊界條件：對撓度或轉角的限制條件。 力邊界條件：對彎矩與剪力的限制條件。力邊界條件：對彎矩與剪力的限制條件。邊界條件的分類邊界條件的

31、分類5.4 梁的彎曲振動梁的彎曲振動第5章 工程振動測試和實驗 采用分離變量法。假設方程（采用分離變量法。假設方程（5-225-22）的解可表示為）的解可表示為 )()(),(tYxXtxy（5-265-26）將式（將式（5-265-26）代人方程（）代人方程（5-225-22），得），得 442221dxXdXadtYdY彎曲振動的微分方程的解彎曲振動的微分方程的解 要使上式對于任何要使上式對于任何x與與t值都能成立，必須使二者值都能成立，必須使二者都等于同一個常數(shù)，和前面關于波動方程的討論一樣，都等于同一個常數(shù)，和前面關于波動方程的討論一樣，只有當這一常數(shù)取負值時，才有對應于振動運動的解。

32、只有當這一常數(shù)取負值時，才有對應于振動運動的解。5.4 梁的彎曲振動梁的彎曲振動第5章 工程振動測試和實驗故可以把這一常數(shù)記為故可以把這一常數(shù)記為2 。 xt于是有于是有0222YdtYd（5-275-27）aXdxXd2444,0（5-285-28）（5-275-27）的）的通解通解為為 tBtAtYcossin)(（5-295-29）方程（方程（5-285-28）是一個）是一個4 4階常系數(shù)線性常微分方程階常系數(shù)線性常微分方程，它的，它的特征方程特征方程為為0445.4 梁的彎曲振動梁的彎曲振動第5章 工程振動測試和實驗044其其特征值特征值為為 jj4321,故方程（故方程（5-285-

33、28）的）的通解通解為為 xjxjxxeDeDeDeDxX4321)( 引用雙曲函數(shù)，可將上述通解改寫成引用雙曲函數(shù)，可將上述通解改寫成xCxCxshCxchCxXsincos)(4321（5-305-30）其中其中 為為積分常數(shù)積分常數(shù)。 4321,CCCC5.4 梁的彎曲振動梁的彎曲振動第5章 工程振動測試和實驗 鉸支端鉸支端0 ,022XdxXdX（5-245-24） 自由端自由端0 ,0 33XdxXdX（5-255-25）這時，這時，邊界條件邊界條件相應地轉化為相應地轉化為 固支端固支端0,0XdxdXX（5-235-23） 5.4 梁的彎曲振動梁的彎曲振動第5章 工程振動測試和實驗

34、 在具體考察各種支承情形下梁彎曲振動固有頻率在具體考察各種支承情形下梁彎曲振動固有頻率與與振型函數(shù)振型函數(shù)之前，先將邊界條件中要用到的之前，先將邊界條件中要用到的X(x)的各的各階導導數(shù)列出如下：階導導數(shù)列出如下：cossin)( 4321xCxCxchCxshCxXsincos)( 43212xCxCxshCxchCxXcossin)( 43213xCxCxchCxshCxX （5-315-31）（5-325-32） （5-335-33）5.4 梁的彎曲振動梁的彎曲振動第5章 工程振動測試和實驗第第5 5章章 工程振動測試和實驗工程振動測試和實驗5.5 5.5 簡支梁情形簡支梁情形 第5章

35、工程振動測試和實驗第5章 工程振動測試和實驗 5.5 簡簡 支支 梁梁 情情 形形 簡支梁的簡支梁的邊界條件邊界條件為為0)0(X（5-345-34）0)(lX（5-355-35）0)0( X（5-365-36）0)( lX（5-375-37）有有 031CC031CC02C031CC于是，于是，特征方程特征方程為為0sinl（5-385-38）第5章 工程振動測試和實驗由此得由此得特征值特征值為為 ,2,1,ilii（5-395-39）與此相應的與此相應的固有頻率固有頻率值為值為 ,2,1,)42ilEIii（5-405-40）而對應的而對應的振型函數(shù)振型函數(shù)為為,2,1,sinsin)(i

36、xlixxXii（5-415-41）與與 對應的對應的主振動主振動可表示為可表示為 ixlitBtAtYxXtxyiiiiiiisin)cossin()()(),(（5-425-42）5.5 簡簡 支支 梁梁 情情 形形第5章 工程振動測試和實驗簡支梁的自由振動則可表示為各個主振動的疊加，即簡支梁的自由振動則可表示為各個主振動的疊加，即 iiiiiiixlitBtAtxytxysin)cossin(),(),(（5-435-43）設在設在 時，梁的初始撓度與初始速度為時，梁的初始撓度與初始速度為0t)()0 ,()()0 ,(xgxtyxfxy則由式（則由式（5-435-43），）， 得得 d

37、xlxixglpAdxlxixflBliilisin)(21sin)(200（5-445-44）5.5 簡簡 支支 梁梁 情情 形形第5章 工程振動測試和實驗但在但在x =處有一微段處有一微段 于受撞擊而獲得初速度，即有于受撞擊而獲得初速度，即有 例例5-3 設簡支梁在設簡支梁在 t = 0 時未發(fā)生位移，即有時未發(fā)生位移，即有0)(xf22022)(xxxvxg或當，當，試求梁的自由彎曲振動。試求梁的自由彎曲振動。 解：則由式（解：則由式（5-445-44），可得），可得0iBlilvdxlxivlAiiisin2sin21225.5 簡簡 支支 梁梁 情情 形形第5章 工程振動測試和實驗i

38、iitlxililvtxysinsinsin12),(2l 設撞擊發(fā)生在梁的中點處，即設撞擊發(fā)生在梁的中點處，即 處，則有處，則有tlxtlxtlxalvtlxtlxtlxlvtxy5312553311sin5sin251sin3sin91sin(sin2sin5sin1sin3sin1sinsin1(2),( 可見，在此情形下，只發(fā)生那些與中點截面對稱的主振動，可見，在此情形下，只發(fā)生那些與中點截面對稱的主振動，（即（即 ）而它們的振幅則按）而它們的振幅則按 遞減。遞減。 ,5,3,1i2/1 i于是由式（于是由式（5-435-43），有），有5.5 簡簡 支支 梁梁 情情 形形第5章 工程

39、振動測試和實驗第第5 5章章 工程振動測試和實驗工程振動測試和實驗5.6 5.6 固支梁情形固支梁情形 第5章 工程振動測試和實驗第5章 工程振動測試和實驗固支梁的邊界條件為固支梁的邊界條件為0)0( ,0)0(XX（5-455-45）0)( ,0)(lXlX（5-465-46）由條件（由條件（5-455-45），有），有 004231CCCC4231CCCC再由條件（再由條件（5-465-46），可得），可得0)cos()sin(0)sin()cos(2121CllchCllshCllshCllch（5-475-47）5.6 固固 支支 梁梁 情情 形形第5章 工程振動測試和實驗0)cos(

40、)sin(0)sin()cos(2121CllchCllshCllshCllch若上式對若上式對 有非零解，它的系數(shù)行列式必須為零。即有非零解，它的系數(shù)行列式必須為零。即 21, CC（5-475-47）0cossinsincosllchllshllshllch化簡后，可得特征方程為化簡后，可得特征方程為1cosllch（5-485-48）可以用數(shù)字解法求得這一超越方程最低幾個特征根為可以用數(shù)字解法求得這一超越方程最低幾個特征根為l1l2l3l4l54.7304.7307.8537.85310.99610.99614.13714.13717.27917.2795.6 固固 支支 梁梁 情情 形

41、形第5章 工程振動測試和實驗 其中，對應于其中，對應于 的各個特征根可足夠準確地取為的各個特征根可足夠準確地取為2i,4,3,2,21iili 梁的固有頻率相應地為梁的固有頻率相應地為,2,1,/2iEIii（5-495-49）由式（由式（5-47）可確定系數(shù)）可確定系數(shù) 的比值：的比值：21, CCllchllshllshllchCCiiiiiiiiiicossinsincos12（5-505-50）5.6 固固 支支 梁梁 情情 形形第5章 工程振動測試和實驗)sin(cos)(xxshxxchxXiiiiii（5-515-51）其中前三階振型函數(shù)示于圖其中前三階振型函數(shù)示于圖5-85-8

42、。 圖圖5-8 5-8 固支梁的前三階振型函數(shù)固支梁的前三階振型函數(shù) 故與故與 相應的各個振型函數(shù)可取為相應的各個振型函數(shù)可取為i5.6 固固 支支 梁梁 情情 形形第5章 工程振動測試和實驗第第5 5章章 工程振動測試和實驗工程振動測試和實驗5.7 5.7 懸臂梁情形懸臂梁情形 第5章 工程振動測試和實驗第5章 工程振動測試和實驗 取懸臂梁的固定端作為坐標系取懸臂梁的固定端作為坐標系xOy的原點。懸臂梁的的原點。懸臂梁的邊界條件可表示為邊界條件可表示為5.7 懸懸 臂臂 梁梁 情情 形形0)0( ,0)0(XX（5-525-52）0)( ,0)( lXlX（5-535-53）可得可得 0)c

43、os()sin(0)sin()cos(2121CllchCllshCllshCllch（5-545-54）這一方程關于這一方程關于 具有非零解，可得具有非零解，可得21, CC1cosllch（5-555-55） 它就是懸臂梁彎曲振動的它就是懸臂梁彎曲振動的特征方程特征方程。第5章 工程振動測試和實驗它的最低幾個特征根可借數(shù)字解求得為它的最低幾個特征根可借數(shù)字解求得為l1l2l3l4l51.8751.8754.6944.6947.8557.85510.99610.99614.13714.137其中，對應于其中，對應于 的各個特征根可足夠準確地取為的各個特征根可足夠準確地取為3i,4,3,21i

44、ili懸臂梁的固有頻率相應地為懸臂梁的固有頻率相應地為,2,1,/2iEIii（5-565-56）其基本頻率為其基本頻率為/5156. 321EIl（5-575-57）由式（由式（5-54）可確定系數(shù)）可確定系數(shù) 的比值的比值21, CC5.7 懸懸 臂臂 梁梁 情情 形形第5章 工程振動測試和實驗llchllshllshllchCCiiiiiiiiiicossinsincos12（5-585-58）故與故與 相應的各個振型函數(shù)可取為相應的各個振型函數(shù)可取為 i)sin(cos)(xxshxxchxXiiiiii（5-595-59）其中前三階振型函數(shù)示于圖其中前三階振型函數(shù)示于圖5-95-9。

45、 圖圖5-9 5-9 懸臂梁的前三階振型函數(shù)懸臂梁的前三階振型函數(shù)5.7 懸懸 臂臂 梁梁 情情 形形第5章 工程振動測試和實驗物理參數(shù)物理參數(shù) 撓曲線撓度撓曲線撓度 彈性模量彈性模量 截面慣量矩截面慣量矩 梁單位程度質量梁單位程度質量 梁長梁長運動方程運動方程 通解通解 固有頻率固有頻率 表表5-25-2類比了六種不同邊界條件下均勻梁彎曲的固有頻率與振類比了六種不同邊界條件下均勻梁彎曲的固有頻率與振型函數(shù)。這些振型函數(shù)值已有表可查。型函數(shù)。這些振型函數(shù)值已有表可查。表表5-25-2 均勻梁的彎曲振動均勻梁的彎曲振動),(txyy EIl0122244tyaxy/2EIa iiiiiiiitp

46、BtpAtxXtxytxy)cossin)(,(),(),(2244321/,cos)(apxCxCxshCxchCxXiiiiiii2222222,lEIlaliiiii5.7 懸懸 臂臂 梁梁 情情 形形第5章 工程振動測試和實驗0cos1ch0cos1ch2,21iii2,21iii3,21iii0sini0)( )( 0)0( )0( lXlXXX0)( )( 0)0( )0(lXlXXX0)( )(0)0( )0(lXlXXX邊界條件邊界條件固支梁固支梁自由梁自由梁懸臂梁懸臂梁 特征方程特征方程 特征根特征根4.730 4.730 7.853 7.853 10.99610.9964.

47、730 7.853 4.730 7.853 10.99610.996（零頻零頻率除外）率除外）1.875 1.875 4.694 4.694 7.8557.855振型函數(shù)振型函數(shù) 續(xù)表續(xù)表5-25-2 均勻梁的彎曲振動均勻梁的彎曲振動0cos1ch)sin(cosxxshvxxchiiiii)sin(cosxxshvxxchiiiii)sin(cosxxshxxchiiiii5.7 懸懸 臂臂 梁梁 情情 形形第5章 工程振動測試和實驗邊界條件邊界條件簡支梁簡支梁鉸支鉸支-固支梁固支梁鉸支鉸支-自由梁自由梁 特征方程特征方程 特征根特征根 3.9273.9277.069 7.069 10.21

48、010.210 3.927 7.069 3.927 7.069 10.21010.210（零頻率除外）（零頻率除外）振型函數(shù)振型函數(shù) 注注 iiiiiiiiiishchshchvsincos,sincos0tgthxshxshiiiisinsin, 2 , 1,41iiixshxshiiiisinsin0)( )(0)0( )0(lXlXXX0tgth, 2 , 1,41iii0)( )( 0)0( )0(lXlXXXiilxisin續(xù)表續(xù)表5-25-2 均勻梁的彎曲振動均勻梁的彎曲振動0)( )(0)0( )0(lXlXXX0sin5.7 懸懸 臂臂 梁梁 情情 形形第5章 工程振動測試和實

49、驗 例例5-4 設在懸臂梁的自由端加上橫向彈性支承，其彈簧設在懸臂梁的自由端加上橫向彈性支承，其彈簧剛度系數(shù)為剛度系數(shù)為k，如圖，如圖5-105-10。試導出系統(tǒng)的頻率方程。試導出系統(tǒng)的頻率方程。圖圖5-10 5-10 例例5-45-4示意圖示意圖 解：取固支端作為坐標系解：取固支端作為坐標系 的原點。由自由端的邊界條件，的原點。由自由端的邊界條件，有有xOy2413CCCC 在彈性支承端，彎矩為零，而剪力就是彈簧力。故彈性支承端在彈性支承端，彎矩為零，而剪力就是彈簧力。故彈性支承端的的邊界條件邊界條件為為)()( 0)( lkXlEIXlX（a a） 5.7 懸懸 臂臂 梁梁 情情 形形第5

50、章 工程振動測試和實驗由此可得由此可得0)sin()cos()cos()sin(0)sin()cos(231321CllshkllchEICllchkllshEICllshCllch（b b）方程（方程（b b）有非零解可得）有非零解可得 llshllchllchEIkcossincos13（c c）上式即為所求的上式即為所求的頻率方程頻率方程。 注意到，當注意到，當 時上式是懸臂梁的頻率方程。時上式是懸臂梁的頻率方程。 0k 當當 ，彈性支承端就相當于鉸支端。即為一端固支一端，彈性支承端就相當于鉸支端。即為一端固支一端鉸支情形下的梁的彎曲振動頻率方程。鉸支情形下的梁的彎曲振動頻率方程。 k5

51、.7 懸懸 臂臂 梁梁 情情 形形第5章 工程振動測試和實驗 解：和上例一樣，取固支端作為坐標系原點。假設附加質量可解：和上例一樣，取固支端作為坐標系原點。假設附加質量可看作質點，那么在梁的看作質點，那么在梁的 x=l 截面處彎矩為零，而剪力就是質量截面處彎矩為零，而剪力就是質量m的的慣性力。這一慣性力可表示為慣性力。這一慣性力可表示為 例例5-5 設在懸臂梁的自由端附加集中質量設在懸臂梁的自由端附加集中質量m，如圖，如圖5-115-11。試求其頻率方程。試求其頻率方程。),(),(222tlymtltym5.7 懸懸 臂臂 梁梁 情情 形形圖圖5-11 5-11 例例5-55-5示意圖示意圖

52、第5章 工程振動測試和實驗即有即有l(wèi)lshllchllchEImcossincos132（b b）lm令令 ，即得所求頻率方程，即得所求頻率方程llshllchllchlcossincos1（c c）)()( 0)( 2lXmlEIXlX（a a）梁附加質量端的邊界條件為梁附加質量端的邊界條件為5.7 懸懸 臂臂 梁梁 情情 形形第5章 工程振動測試和實驗第第5 5章章 工程振動測試和實驗工程振動測試和實驗5.8 5.8 振型函數(shù)的正交性振型函數(shù)的正交性 第5章 工程振動測試和實驗第5章 工程振動測試和實驗 下面我們僅就梁的彎曲振動的振型函數(shù)論證其正交性。和下面我們僅就梁的彎曲振動的振型函數(shù)論

53、證其正交性。和前幾節(jié)不同，本節(jié)所考察的梁截面可以是變化的。這時，梁單前幾節(jié)不同，本節(jié)所考察的梁截面可以是變化的。這時，梁單位長度的質量位長度的質量(x) 以及截面剛度以及截面剛度EI(x)都是都是x的已知函數(shù)，而不必的已知函數(shù)，而不必為常數(shù)。故梁的自由彎曲振動微分方程為為常數(shù)。故梁的自由彎曲振動微分方程為 5.8 振型函數(shù)的正交性振型函數(shù)的正交性 從前幾節(jié)的討論中可以看到，一些簡單情形下的振型函數(shù)從前幾節(jié)的討論中可以看到，一些簡單情形下的振型函數(shù)是三角函數(shù)，它們的正交性是比較清楚的；而在另一些情形下是三角函數(shù)，它們的正交性是比較清楚的；而在另一些情形下得到的振型函數(shù)還包含有雙曲函數(shù)，它們的正交

54、性以及更一般得到的振型函數(shù)還包含有雙曲函數(shù)，它們的正交性以及更一般情形下振型函數(shù)的正交性尚待進一步說明。情形下振型函數(shù)的正交性尚待進一步說明。 ),()(),()(222222txtyxtxxyxEIx（5-605-60）第5章 工程振動測試和實驗 采用分離變量法，將采用分離變量法，將 表示為表示為),(txy)()(),(tYxXtxy（5-615-61） 進行分離變量后，可得進行分離變量后，可得 0222YdtYd（5-625-62）)()()(22222xXxdxXdxEIdxd（5-635-63）我們將從方程（我們將從方程（5-635-63）出發(fā)進行討論。這時邊界條件為）出發(fā)進行討論。

55、這時邊界條件為 固支端：固支端： lXX或00)( 0)(（5-645-64）5.8 振型函數(shù)的正交性振型函數(shù)的正交性第5章 工程振動測試和實驗 鉸支端：鉸支端：lXEIX或00)( )(0)(（5-655-65） 自由端自由端lxXxEIXEIx或00|)( )(0)( )(（5-665-66） 現(xiàn)假設方程（現(xiàn)假設方程（5-635-63）在一定的邊界條件下，對應）在一定的邊界條件下，對應于任意兩個不同的特征值于任意兩個不同的特征值 i或或j的振型函數(shù)分別為的振型函數(shù)分別為 Xi(x )與與 Xj(x ) ，于是有，于是有5.8 振型函數(shù)的正交性振型函數(shù)的正交性第5章 工程振動測試和實驗對（對

56、（5-675-67）式乘以）式乘以Xj(x ) dx，然后在，然后在 x上對上對0 x l 進行進行積分，得積分，得lxxXxxXxEIiii0,)()()( )(2（5-675-67）lxxXxxXxEIjjj0,)()()( )(2（5-685-68）dxxXxXxdxxXxXxEIxXxEIxXxXxEIxXdxxXxEIxXijliijllijlijijl)()()()( )( )()|( )()( )|( )()()( )()(020000（5-695-69）對（對（5-685-68）式乘以）式乘以Xj(x ) dx ，然后在，然后在0 x l 上對上對 x進行積進行積分，得分，得5

57、.8 振型函數(shù)的正交性振型函數(shù)的正交性第5章 工程振動測試和實驗dxxXxXxdxxXxXxEIxXxEIxXxXxEIxXdxxXxEIxXjiljjilljiljijil)()()()( )( )()|( )()( )|( )()()( )()(020000（5-705-70）再對式（再對式（5-695-69）與式（）與式（5-705-70）相減，可得）相減，可得ljijiijijjiljixXxEIxXxXxEIxXxXxEIxXxXxEIxXdxxXxXx0022)|( )()( )( )()()( )()( )( )()()()()()(（5-715-71）可以看到，如果以式（可以看

58、到，如果以式（5-645-64）一（）一（5-665-66）中任意兩個式子組合成）中任意兩個式子組合成梁的邊界條件，那么式（梁的邊界條件，那么式（5-715-71）右端都將等于零。所以，在這情）右端都將等于零。所以，在這情形下，就有形下，就有5.8 振型函數(shù)的正交性振型函數(shù)的正交性第5章 工程振動測試和實驗0)()()()(022dxxXxXxjilji（5-725-72）但前面已經(jīng)假設但前面已經(jīng)假設 ，故有，故有jijidxxXxXxjil當,0)()()(0 正是在這一意義上，我們稱振型函數(shù)正是在這一意義上，我們稱振型函數(shù) 與與 關關于質量密度于質量密度 正交。數(shù)學上亦稱以正交。數(shù)學上亦稱

59、以 為權的加權正為權的加權正交，以區(qū)別于交，以區(qū)別于 常數(shù)時，常數(shù)時， 與與 所具有的通常所具有的通常意義下的正交性意義下的正交性)(xXi)(xXj)(x)(x)(x)(xXi)(xXjjidxxXxXjil當,0)()(0考慮到式（考慮到式（5-725-72），從式（），從式（5-695-69）或式（）或式（5-705-70）都可以看）都可以看到，在上述邊界條件下，有到，在上述邊界條件下，有 jidxxXxXxEIjil當,0)( )( )(0（5-735-73）5.8 振型函數(shù)的正交性振型函數(shù)的正交性第5章 工程振動測試和實驗 Mi稱為第稱為第 i階振型的廣義質量，階振型的廣義質量，Ki

60、稱為第稱為第 i 階振型的廣義剛度。由階振型的廣義剛度。由式式（5-695-69）或式（）或式（5-705-70）不難看到，有不難看到，有 當梁當梁的的l端為彈性支承時，邊界條件為端為彈性支承時，邊界條件為當當i = j 時，式（時，式（5-715-71）自然滿足。這時，可記下列積分為自然滿足。這時，可記下列積分為 由此可見，梁彎曲振動振型函數(shù)這種關于剛度由此可見，梁彎曲振動振型函數(shù)這種關于剛度EI(x) 的正交性，的正交性，實際上是振型函數(shù)的二階導數(shù)所具有的正交性。實際上是振型函數(shù)的二階導數(shù)所具有的正交性。 iliilKdxxXxEIMdxxXx2020)( )()()(（5-745-74）