考研高數(shù)三角函數(shù)復(fù)習(xí)題

1、.word格式,考研三角函數(shù)復(fù)習(xí)1、任意角的三角函數(shù)(劃紅線(xiàn)內(nèi)容重點(diǎn)學(xué)習(xí)，其余部分建議學(xué)習(xí))(1)任意角的三角函數(shù)的定義：角”的終邊上任意一點(diǎn)p的坐標(biāo)是(x, y),它與原點(diǎn)的距離是r(r>0),那么角a 的正弦、余弦、正切、余切分別是sinct! = , cosa 二 tgce = , ctgce =, rr xy角Ct的正割：SRCO!=E X角a:的余割：CSCO! = y(2)三角函數(shù)值的符號(hào)正弦值與余割值對(duì)于第一 、二象限的角是正的，而對(duì)于第三、四象限的角是負(fù)的.余弦值與正割值對(duì)于第一、四象限的角是正的，而對(duì)于第二、三象限的角是負(fù)的.正切值與余切值對(duì)于第一、三象限的角是正的，而

2、對(duì)于第二、四象限角是負(fù)的，也可以按正的在各象限的函數(shù)來(lái)記，即工全、二正弦，三切、四余弦”正割、余割分別與余弦、正弦符號(hào)相同)2 .同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(1)倒數(shù)關(guān)系：sin a csc=1cos a sec a tan acot a =1商數(shù)關(guān)系以=鏗ct = cosa an (3)平方關(guān)系：sin2 a +cos! a =1 1+tan 2 a =seC a 1+cot 2 a =csC a3 .誘導(dǎo)公式專(zhuān)業(yè).專(zhuān)注.word格式,(1) k - 2兀+“4風(fēng)&”，兀土 a- “2曲三角函數(shù)值等于a的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把a(bǔ)角看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)，即sin(k 2 兀+a

3、) = sina ,cos(k-2 疝a+(k )=c2sti + tan)= , cot (k-2 n +cot)= (k Z)sin(- a 尸 sinacos(- a)= cos, a tan(-a尸tan a , cot(- a 尸tan asin(兀 + a )-sina , cos(兀+ a -cos a ,tan(兀 + 歸tan a , cot(兀 + aCotasin( u- a 尸sin(cqs(兀-小尸cosa , tan(兀-a 尸tan a , cot(兀-a 尸cotasin( 2 - a )=sin a ,cos( 2 兀-a 尸cos(xtan( 2 Tt- a

4、 尸tan a , cot( 2 Tt- a 尸cot asin(-a) = cosa , cos(-a) = sina , sin( +a) = cosa , cos( +a) = -sina(2) 90° ±a，270° 土的三角函數(shù)值等于a的余名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把a(bǔ)看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)，例如 sin(90 ° + a )=cos a , tan (270 ° + a 尸cot a值，前面加上一個(gè)把 a看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào) .簡(jiǎn)稱(chēng)之為奇余偶不變，4.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)(1)三角函數(shù)線(xiàn)電,點(diǎn):02-3符號(hào)看象限綜上，誘導(dǎo)公式可概

5、括為k - 90° ± a Z)的三角函數(shù)值，等于a的同名(k為偶數(shù)時(shí))或余名(k為奇數(shù)時(shí))的函數(shù)以原點(diǎn)為圓心，以單位長(zhǎng)為半徑的圓叫做單位圓，如圖2 3,設(shè)角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)為p ,過(guò)p作PM垂直于x軸，垂足為M, A(1 , 0)、B(0, 1),過(guò)A、B點(diǎn)作單位的切線(xiàn) AT、BS分別與角a的終邊或其反向延長(zhǎng)線(xiàn)交于T、S則有向線(xiàn)及 MP、OM、AT、BS、OT、OS分別叫作角a的正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)、余切線(xiàn)、正割(2)三角函數(shù)的圖象專(zhuān)業(yè).專(zhuān)注正弦函數(shù) y=sinx 余弦函數(shù),7'一-1y=cosx(如圖 24) <兀、丸 口臥、女正切函數(shù)y=tanx

6、余切函數(shù)y=cotx (如圖2 5)(3)三角函數(shù)的周期周期函數(shù)對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果存在著一個(gè)不為零的常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都成立，那么就把函數(shù)y=f(x)叫做周期函數(shù)，不為零白常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期.最小正周期：對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)來(lái)說(shuō)、如果在所有的周期中存在著一個(gè)最小正數(shù)，就把這個(gè)最小的正數(shù)叫 做最小正周期.教科書(shū)上所指三角函數(shù)的周期均為最小正周期函數(shù)戶(hù)Asinfx +（彷> 0）的周期T =3(4)三角函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)y=sinxy=cosxy=t群y=ct 群定義域RRxfxsRJ.x=#=hnji+ -kmZ2ke Z)值域-1,1-1，1RR奇偶性奇函數(shù)偶

7、函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)周期性T=2打T=2 »T=3VT二靠單調(diào)性1工在2kn j 2kn +-22(kE&上為增函數(shù)事3ti在Rk冥 + , 2kn 十小24上為激函數(shù)在Rk九，2k兀*北（k三Z）上為減函數(shù)在Rk 工+兀, 2k Jt+2 Jt（ke Z）上為增函數(shù)n在 Qwi > 麗 + 271+XkwZ)上2為增函數(shù)在（k加，k況+幾）（k £工）上為減 函數(shù)最值ji當(dāng)3c - 2如< + 一(kEZ) 2大值當(dāng) x = 2bt- (kE 2期最小值-1當(dāng) s=2k 鼻（kE Z）y取最大值1當(dāng)那2k h+算&三苫）-y股是小值-1無(wú)最大最小值

8、元最大最小值函數(shù)y=sinxy=cosy=tgx產(chǎn)ct群正負(fù)區(qū)間(2k 現(xiàn) t 2k 北+n)(kE Z)y > (2k 況+況 t 2k Jt+2 Jt)(k SZ)y< 0IT大(2kx - -，2k7i + )(ke 222?y>0i3itQHt 十一,2k加 + 一)(k 22Z)y<0nCku - > kn)(kE 2Z)y< 0it(kx j bi + -)(key>071供大 j kn + 一)(k 2三 Z)y> 0it(kx + , k* +兀) 2(k%y< C5、積化和差 sinasinb = - 1 cos(a+b)

9、-cos(a-b) cosacosb = 1 cos(a+b)+cos(a-b) sinacosb = 1 sin(a+b)+sin(a-b)2cosasinb = 1 sin(a+b)-sin(a-b)6、和差化積sina+sinb=2sina b a -ba b . a-bS- cos 2 ，sina-sinb=2cos sin cosa+cosb = 2cosa b a -bcoscosa-cosb = -2sinsinsin(a b) tana+tanb=-cosacosb(1)積化和差與和差化積各有四個(gè)公式，它們實(shí)質(zhì)是一類(lèi)公式的正用或逆用，即積化和差公式的逆用就是和差化積公式。這些公

10、式既是重點(diǎn)，又是難點(diǎn)，只有掌握準(zhǔn)確，才能熟練應(yīng)用。(2)積化和差公式是運(yùn)用兩角和 、兩角差的三角函數(shù)公式推導(dǎo)出來(lái)的，推導(dǎo)中用了 解方程組”的思想。和差化積公式是從三角函數(shù)的積化和差的公式逆推出來(lái)的。推導(dǎo)中用了 換元”的思想。我們要熟悉推導(dǎo)過(guò)程，掌握推導(dǎo)方法，這既有助于對(duì)公式的充分理解，又有助于運(yùn)用公式解決問(wèn)題(3)要注意尋找公式特征，掌握它們的異同點(diǎn)：即角、函數(shù)名稱(chēng)、函數(shù)間的運(yùn)算、系數(shù)等方面的異同點(diǎn)。只有系數(shù)絕對(duì)值相同的同名函數(shù)的和與差，才能運(yùn)用公式化成和的形式。如果是一正弦與一余弦的和或差，可 先用誘導(dǎo)公式化成積的形式。例如：sinCl +cosP = smQ + sin C -P )2a

11、-n a + p n+ -J cos C- )24'24?；?WnQ +cos P = cos ( - - Q)+ cosP>!=«p - a 兀、冗a + '-) cos ()2442(4)對(duì)三角函數(shù)的和差化積，常因所采取的途徑不同，而導(dǎo)致結(jié)果在形式上的差異，但結(jié)果實(shí)際上是一致的(如上例)。和差化積”不能只注意到化成 主角函數(shù)的積”，而忽略了答案的最簡(jiǎn)形式。例如，解如下習(xí)題：把sin2a-sin23化成積的形式。解sin2 a-sin 2 3=sin (a + 3 ) sin ) (a最后一步，往往會(huì)忽略丟掉，應(yīng)予充分注意（5）把三角函數(shù)式化成積的形式，有時(shí)需

12、要把某些數(shù)當(dāng)成三角函IT 7T數(shù)值，如把二看做8s二或sin 263;看成cos；或燦236t把可看做ccs45*或sm45。，把（6）將asin a +bcos型的三角函數(shù)式化成積的形式，即asin a +bcosa二正砒n （口 +0）,其中®是輔助角，我們要認(rèn)真掌握。它為研究函數(shù)y=asinx+bcosx 的性質(zhì)提供了一條途徑。輔助角（）終邊所在象限由點(diǎn)（%b）確定，Q角大小由珞©二巳確定。a。因此四個(gè)和差化積（7）所謂三角函數(shù)的和差化積是指 ：把多項(xiàng)式”化為單項(xiàng)式”而不影響原式的值的變形 公式的運(yùn)用可 分為以下幾種類(lèi)型直接運(yùn)用公式；經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單變形后就可運(yùn)用公式；設(shè)置輔

13、助角，對(duì)形如asinx+bcosx型的三角函數(shù)式進(jìn)行和差化積三項(xiàng)式”的和差化積問(wèn)題，如把1+sin 0 +co訛成積的形式。6.5、兩角和與差的三角函數(shù) sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=tan(A-B)=cot(A+B)=cot(A-B)=tanA tanB 1-tanAtanB tanA - tanB 1 tanAtanBcotAcotB -1 cotB cotA cotAcotB 1

14、 cotB - cotA7、二倍角的正弦、余弦、正切sin2 a =2sin a cos a1 ± sin2 a =2sin +cos2 a ± 2sin a cos a =(sin2c ± cos acos2 a =co2sa-sin 2 a =2cos2 a-1=1-2sin 2 aa a3 a1 +cos Cl = 2cos , 1-cos = 2sin , 22tg2Q =2tgQl + tgaasin3 a =sin(2 a+ a )=sin2 -cos2cos sin a =3s4sin 3 acos3 a =cos(2 a+ a )=cos2 - s

15、in2os a a sin a =4 c03cos a3cosQ + cos 3 a8、半角的正弦、余弦、正切由 COS。9 a=2cos2 -1 = l-2sin2 -22a sin 2fl- COS Of±yrr0COS 211+ cosa1 - coscesina 1 - coso!- V1 + cosa 1 + cosa an ofa2tg 萬(wàn)能公式；sinQ =l+tg3yCOS a =,2 a1 + tg $ iuitgct0;2tg 5說(shuō)明半倍公式的“土”號(hào)的選取是由m所在的象限來(lái)確定對(duì)倍半角的理解:：5是Q的半角，4cl是2Q的倍角，g-Q是3乙Is1乙-2 a的半角

16、等.用于公式”的無(wú)理形式和有理形式在應(yīng)用上有不同.2萬(wàn)能公式可按倍角公式來(lái)掌握.它實(shí)質(zhì)上是用地*表示。的任意三角函數(shù).備用知識(shí)正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R表示三角形的外接圓半徑余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是邊a和邊c的夾角正切定理：(a+b)/(a-b)=Tan(a+b)/2/Tan(a-b)/2圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圓心坐標(biāo)圓的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱側(cè)面積S=c*h斜棱柱側(cè)面積S=c'*h正棱錐側(cè)面積S=1/2c