現(xiàn)代時(shí)域測(cè)量第三章

1、fuping第三章 快速變換與卷積o 引言引言o 快速傅立葉變換o IDFT算法o 實(shí)輸入序列的FFT算法o N為組合數(shù)的FFT算法o FFT用于時(shí)域測(cè)量中應(yīng)注意的問(wèn)題o FFT在頻譜分析中的應(yīng)用o FFT卷積o 其他變換fuping引言o變換的目的為了簡(jiǎn)化n 對(duì)數(shù)變換：o乘、除加、減n 傅立葉、拉普拉斯變換、Z變換：o卷積乘fuping引言o分析離散系統(tǒng)Z變換、DFTn 理論分析o Z變換n 實(shí)際運(yùn)算o DFT的各種快速算法fuping引言oDFTn 分析有限長(zhǎng)序列最有力工具之一n 理論上有重要意義n 是各種快速算法的基礎(chǔ)fuping引言o 1807年傅立葉提出“任何周期信號(hào)都可用正弦函數(shù)級(jí)

2、數(shù)表示”傅立葉變換o 1965年圖基(J.W.Tuky)和庫(kù)利(T.W.Cooly) 在計(jì)算數(shù)學(xué)上發(fā)表了著名的“機(jī)器計(jì)算傅立葉級(jí)數(shù)的一種算法” 論文后，桑德（G.Sand） 圖基等快速算法相繼出現(xiàn)，經(jīng)人們改進(jìn)，形成FFT ，使DFT的運(yùn)算效率提高個(gè)數(shù)量級(jí)傅立葉變換具有實(shí)用意義傅立葉變換具有實(shí)用意義o 1976年維諾格蘭（Winograd）算法乘法次數(shù)為FFT的1/3o 1984年，法國(guó)的杜哈梅爾（P.Dohamel）和霍爾曼（H.Hollmann）提出的分裂基快速算法，使運(yùn)算效率進(jìn)一步提高 fuping引言o DFT用完備的正交函數(shù)系（三角函數(shù)）的線性組合逼近待分析變換的函數(shù)o 其他完備正交函

3、數(shù)系其他變換：沃爾什變換、數(shù)論變換等o 基2的FFT算法，有明確的物理意義，測(cè)量中最先得到應(yīng)用o 卷積計(jì)算問(wèn)題，如何利用快速變換計(jì)算卷積o 要求：1、掌握各種快速算法的原理 2、如何利用這些變換處理測(cè)量中的問(wèn)題fuping第三章 快速變換與卷積o 引言o 快速傅立葉變換快速傅立葉變換o IDFT算法o 實(shí)輸入序列的FFT算法o N為組合數(shù)的FFT算法o FFT用于時(shí)域測(cè)量中應(yīng)注意的問(wèn)題o FFT在頻譜分析中的應(yīng)用o FFT卷積o 其他變換fuping離散傅里葉變換DFT10:( )( )0,1,1NknNnDFTX kx n WkN101:( )( )0,1,1NknNkIDFTx nX k

4、WnNN2jNNWenx(n)、WN復(fù)數(shù)n每個(gè)X(k)N次復(fù)數(shù)X，N-1次復(fù)數(shù)+ nN個(gè)X(k) N2次復(fù)數(shù)X，N（N-1）次復(fù)數(shù)+ fupingDFT的矩陣表示法fuping離散傅里葉變換DFTnN=10 100次復(fù)數(shù)XnN=1024 1048576次復(fù)數(shù)Xn實(shí)時(shí)處理 計(jì)算速度要求高 n問(wèn)題 如何減少計(jì)算量？fupingknNWo 可以利用 的特性簡(jiǎn)化計(jì)算，減少計(jì)算量n 周期性：n 對(duì)稱性：如()k N nknNNWW()*()k N nknknNNNWWW2jNNWefupingknNWo 利用 的特性簡(jiǎn)化計(jì)算快速算法FFTn 時(shí)間抽取算法n 頻率抽取算法fuping時(shí)間抽取算法o 原始算

5、法（庫(kù)利圖基提出）按在時(shí)域上輸入序列次序的奇偶來(lái)抽?。ǚ纸猓r(shí)間抽?。―ecimation-In-Time，簡(jiǎn)稱DIT） p 基本原理p DFT的計(jì)算量正比于N2，N小，計(jì)算量也就小 p 將大點(diǎn)數(shù)DFT分解成若干小點(diǎn)數(shù)DFT組合，減少運(yùn)算p 按時(shí)間序列奇偶抽取按時(shí)間序列奇偶抽取fuping時(shí)間抽取算法10:( )( )0,1,1NknNnDFTX kx n WkN/2 12(21)0( ) (2 )(21)0,1,1NnknkNNnX kxn WxnWkN通常取N=2M，將x x(2n) 和x(2n+1) 2jNNWefuping時(shí)間抽取算法/2 12(21)0( ) (2 )(21)0,1,

6、1NnknkNNnX kxn WxnWkN2/2NNWW/2 1/2 1/2/200( )(2 )(21)( )( )NNnkknkkNNNeNonnX kxn WWxnWXkWXkXe(k) Xo(k) 利用fuping時(shí)間抽取算法/2 1/2 1/2/200( )(2 )(21)( )( )NNnkknkkNNNeNonnX kxn WWxnWXkWXk/2k NkNNWW ( )( )( )(/2)( )( )0,1,/2 1keNokeNoX kXkWXkX kNXkWXkkN只有N/2個(gè)點(diǎn)Xe(k) Xo(k) fuping時(shí)間抽取算法計(jì)算量( )( )( )(/2)( )( )0,

7、1,/2 1keNokeNoX kXkWXkX kNXkWXkkN乘法：N2/4+ N2/4+N/2=N(N+1)/2次加法：(N/2)(N/2-1)+ (N/2)(N/2-1)+N/2+N/2=N2/2次進(jìn)一步分解將進(jìn)一步減少運(yùn)算次數(shù)進(jìn)一步分解將進(jìn)一步減少運(yùn)算次數(shù)fupingp 蝶形運(yùn)算圖fupingp 蝶形運(yùn)算圖kNW( )( )keNoX kWXk( )( )keNoX kWXk( )eX k( )oXkfuping以8點(diǎn)FFT為例fupingfupingfupingx(0)x(4)x(2)x(6)x(1)x(5)x(3)x(7)X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X

8、(7)共log2N級(jí)運(yùn)算，每一級(jí)有N/2個(gè)蝶形運(yùn)算，需N/2次乘法運(yùn)算， N次加法運(yùn)算因此，共需（N/2）log2N次乘，Nlog2N次加計(jì)算量fupingo 特點(diǎn)與規(guī)律n 蝶形運(yùn)算o共有M=log2N級(jí)運(yùn)算o每次N/2個(gè)蝶形運(yùn)算o不論是復(fù)乘還是復(fù)加，計(jì)算量都與Nlog2N成正比，而直接運(yùn)算時(shí)則與N2成正比o例N=2048，N2=4194304，(N/2)log2N=11264，N2/(N/2)log2N=392.4fupingo 特點(diǎn)與規(guī)律n 原位運(yùn)算o 當(dāng)數(shù)據(jù)輸入到存儲(chǔ)器中以后，每一級(jí)運(yùn)算的結(jié)果仍然儲(chǔ)存在同一組存儲(chǔ)器中，直到最后輸出，中間無(wú)需其它存儲(chǔ)器，這叫原位計(jì)算 o 這種原位運(yùn)算結(jié)構(gòu)可

9、節(jié)省存儲(chǔ)單元，降低設(shè)備成本，還可節(jié)省找地址的時(shí)間 fupingo 特點(diǎn)與規(guī)律n 正序輸出，倒序輸入（碼位倒序）自然順序二進(jìn)碼表示碼位倒置碼位倒置順序0000000010011004201001023011110641000011510110156110011371111117fupingo 特點(diǎn)與規(guī)律n 蝶形類型隨迭代次數(shù)成倍增加 o 觀察8點(diǎn)FFT的三次迭代運(yùn)算 o 第一級(jí)迭代，只有一種類型的蝶形運(yùn)算系數(shù)W08 o 第二級(jí)迭代，有二種類型的蝶形運(yùn)算系數(shù)W08 、W28，參加運(yùn)算的兩個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)間隔為2。 o 第三級(jí)迭代，有四類蝶形運(yùn)算系數(shù)W08 、 W18 、 W28 、 W38 ，參加運(yùn)算的兩

10、個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)間隔為4。 o 所以，每次迭代的蝶形類型比上一次蝶代增加一倍，數(shù)據(jù)點(diǎn)間隔也增大一倍。fuping頻率抽取算法o 桑德提出，稱為桑德圖基算法按在頻域上輸入序列次序的奇偶來(lái)抽?。ǚ纸猓╊l率抽取(Decimation-In-Frequency,簡(jiǎn)稱DIF）p 基本原理p DFT的計(jì)算量正比于N2，N小，計(jì)算量也就小 p 將大點(diǎn)數(shù)DFT分解成若干小點(diǎn)數(shù)DFT組合，減少運(yùn)算p 時(shí)間序列對(duì)半分時(shí)間序列對(duì)半分fuping頻率抽取算法通常取N=2M，將x 按前后對(duì)半分開(kāi) 式中 fuping頻率抽取算法將X ( k )分解成偶數(shù)組與奇數(shù)組，當(dāng)k取偶數(shù)時(shí)， 當(dāng)k取奇數(shù)時(shí) fuping頻率抽取算法令 則 f

11、uping頻率抽取算法12( )( )(/2)( ) ( )(/2)0,1,/2 1nNx nx nx nNx nx nx nNWnNnNW( )x n(/2)x nN( )(/2)x nx nN ( )(/2)nNx nx nNWp 蝶形運(yùn)算圖fupingp 信號(hào)流圖蝶形運(yùn)算圖x(0)x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7)X(0)X(4)X(2)X(6)X(1)X(5)X(3)X(7)o 特點(diǎn)與規(guī)律n 蝶形運(yùn)算o共有M=log2N級(jí)運(yùn)算o每次N/2個(gè)蝶形運(yùn)算n 正序輸入，倒序輸出o 倒序：碼位倒序n 原位運(yùn)算o 節(jié)省存儲(chǔ)單元n 蝶形類型隨迭代次數(shù)成倍減少fuping第三章

12、快速變換與卷積o 引言o 快速傅立葉變換o IDFT算法算法o 實(shí)輸入序列的FFT算法o N為組合數(shù)的FFT算法o FFT用于時(shí)域測(cè)量中應(yīng)注意的問(wèn)題o FFT在頻譜分析中的應(yīng)用o FFT卷積o 其他變換fupingIDFT算法o 與DFT相比多系數(shù)1/N，WNnk WN-nk可以將分析DFT算法用于IDFT101:( )( )( )0,1,1NknNkIDFTx nIDFT X kX k WnNN10:( )( )0,1,1NknNnDFTX kx n WkNfupingIDFT算法o 只要把DFT運(yùn)算中的每一個(gè)系數(shù)WNnk 改為WN-nk ，再乘以常數(shù)1/N，則以上所討論的時(shí)間抽取或頻率抽取

13、的FFT運(yùn)算均可直接進(jìn)行IDFT運(yùn)算，當(dāng)然，蝶形中的系數(shù)WNnk 應(yīng)改為WN-nk101:( )( )( )0,1,1NknNkIDFTx nIDFT X kX k WnNN10:( )( )0,1,1NknNnDFTX kx n WkNfupingIDFT算法o 也可以直接利用DFT算法n X(k)取共軛，即虛部乘-1n 調(diào)用FFT計(jì)算n 再取共軛n 乘以1/N，得x(n)101:( )( )( )0,1,1NknNkIDFTx nIDFT X kX k WnNN1*011( )( )( )NnkNkx nXk WDFT XkNNfuping第三章 快速變換與卷積o 引言o 快速傅立葉變換o

14、 IDFT算法o 實(shí)輸入序列的實(shí)輸入序列的FFT算法算法o N為組合數(shù)的FFT算法o FFT用于時(shí)域測(cè)量中應(yīng)注意的問(wèn)題o FFT在頻譜分析中的應(yīng)用o FFT卷積o 其他變換fuping實(shí)輸入序列FFTo FFT均為復(fù)序列，o 實(shí)際測(cè)量采樣數(shù)據(jù)均為實(shí)數(shù)，o 利用FFT，省一半內(nèi)存，速度提高一倍o 兩種方法：n 同時(shí)計(jì)算兩個(gè)實(shí)序列的FFT算法n 用N點(diǎn)變換計(jì)算2N個(gè)樣本點(diǎn)的變換fuping實(shí)輸入序列FFTo 同時(shí)計(jì)算兩個(gè)實(shí)序列的FFT算法設(shè)x1(n),x2(n)是彼此獨(dú)立的兩個(gè)N點(diǎn)實(shí)序列,構(gòu)造復(fù)序列 x(n) = x1(n) + jx2(n) , 則 X(k)=X1(k)+jX2(k) fupin

15、g實(shí)輸入序列FFT因?yàn)閷?shí)序列的FFT的實(shí)部是偶函數(shù)，虛部是奇函數(shù)即：X1(k) = X1e(k) + jX1o(k) , X2(k) = X2e(k) + jX2o(k) X(k) =X1e(k) + jX1o(k) + jX2e(k) + jX2o(k) = X1e(k) - X2o(k) + jX2e(k) + jX1o(k) 另外： X(k) =Xr(k) + jXi(k) =1/2Xr(k)+Xr(N-k)+1/2Xr(k)-Xr(N-k) +j/2Xi(k)+Xi(N-k)+j/2Xi(k)-Xi(N-k)所以： X1(k) = X1e(k) +jX1o(k) = 1/2Xr(k)+

16、Xr(N-k)+ j/2Xi(k)-Xi(N-k) X2(k) = X2e(k) +jX2o(k) = 1/2Xi(k)+Xi(N-k) - j/2Xr(k)-Xr(N-k)fuping實(shí)輸入序列FFTo 用N點(diǎn)變換計(jì)算2N個(gè)樣本點(diǎn)的變換設(shè)x(n)是2N點(diǎn)的實(shí)序列將x(n)分為偶數(shù)組x1(n)和奇數(shù)組x2(n) x1(n)=x(2n) n=0,1,N-1 x2(n)=x(2n+1) n=0,1,N-1 然后將x1(n)及x2(n)組成一個(gè)復(fù)序列： y(n) =x1(n)+jx2(n) 通過(guò)N點(diǎn)FFT運(yùn)算可得到 Y(k)=X1(k)+jX2(k) = Yr(k)+j Yi(k)fuping實(shí)輸入

17、序列FFT根據(jù)前面的討論，得到 21112(21)22200011/122120012( )( )(2 )(21)( )( )( )( )( )(cossin)( )( )()( )()( ) cos2222NNNnknknkNNNnnnNNnkknkj k NNNNnniirrrX kx n Wxn WxnWx n WWx n WX keXkkkX kjXkNNY kY NkY kY NkY kkN()sin22( )()( )()( )() sincos222222riiiirrY NkkNY kY NkY kY NkY kY NkkkjNNfuping實(shí)輸入序列FFT122122/121

18、2()( )( )( )( )( )( )( ) (cossin)( )( )()( )()( )() cossin222222( )()( )() sin2222k NNkNj k NiirrrriiiiX kNX kWX kX kWX kX keX kkkX kjX kNNY kY N kY kY N kY kY N kkkNNY kY N kY kY N kYkjN( )()cos22rrkY N kkN(k=0,1,N-1)fuping第三章 快速變換與卷積o 引言o 快速傅立葉變換o IDFT算法o 實(shí)輸入序列的FFT算法o N為組合數(shù)的為組合數(shù)的FFT算法算法o FFT用于時(shí)域測(cè)量

19、中應(yīng)注意的問(wèn)題o FFT在頻譜分析中的應(yīng)用o FFT卷積o 其他變換fupingN為組合數(shù)的FFT算法o基2的FFT算法，即N=2M，使用最多，優(yōu)點(diǎn)是程序簡(jiǎn)單，效率高，使用方便。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，序列長(zhǎng)度N一般人為確定，可取N=2M。 o如N不能人為確定，N不是2M，處理方法有兩種: n補(bǔ)零： 將x(n)補(bǔ)零，使N=2M。例如N=30，補(bǔ)上x(chóng)(30)=x(31)=0兩點(diǎn)，使N=32=25。 有限長(zhǎng)度序列補(bǔ)零后并不影響其頻譜X(ej)，只是頻譜的采樣點(diǎn)數(shù)增加了，當(dāng)然，采樣點(diǎn)的位置也有相應(yīng)的變化。上例中由30點(diǎn)增加到32點(diǎn)，采樣點(diǎn)則由2/30的整數(shù)倍變?yōu)?/32的整數(shù)倍，對(duì)應(yīng)的絕對(duì)頻率也由fs/30的整

20、數(shù)倍變?yōu)閒s/32的整數(shù)倍。在許多場(chǎng)合這種處理是可接受的，但不適應(yīng)對(duì)某些特殊頻率點(diǎn)有特別要求的場(chǎng)合。 n采用任意數(shù)基數(shù)的DFT算法 如要求準(zhǔn)確的N點(diǎn)DFT值，可采用任意數(shù)為基數(shù)的DFT算法，計(jì)算效率低于以2為基數(shù)FFT算法。 fuping第三章 快速變換與卷積o 引言o 快速傅立葉變換o IDFT算法o 實(shí)輸入序列的FFT算法o N為組合數(shù)的FFT算法o FFT用于時(shí)域測(cè)量中應(yīng)注意的問(wèn)題用于時(shí)域測(cè)量中應(yīng)注意的問(wèn)題o FFT在頻譜分析中的應(yīng)用o FFT卷積o 其他變換fupingFFT用于時(shí)域測(cè)量應(yīng)注意的問(wèn)題o 采用DFT或FFT，作了如下處理n用離散采樣信號(hào)的傅立葉變換來(lái)代替連續(xù)信號(hào)的頻譜n用

21、有限長(zhǎng)序列來(lái)代替無(wú)限長(zhǎng)離散采樣信號(hào)o 所以DFT或FFT得到的是傅立葉變換的一種逼近形式o 帶來(lái)的問(wèn)題：n時(shí)域取樣頻譜混疊取樣定理n時(shí)域截?cái)囝l譜泄露（截?cái)嘈?yīng)）時(shí)域加窗吉布斯現(xiàn)象加權(quán)n頻域取樣?xùn)艡谛?yīng)頻率間隔=時(shí)域長(zhǎng)度的倒數(shù)n頻域截?cái)鄸艡谛?yīng)fupingFFT用于時(shí)域測(cè)量應(yīng)注意的問(wèn)題o 頻譜混疊n 對(duì)連續(xù)信號(hào)x(t)進(jìn)行數(shù)字處理前，要進(jìn)行采樣，采樣序列的頻譜是連續(xù)信號(hào)頻譜的周期延拓，周期為fs，如采樣率過(guò)低，fs2fh，則導(dǎo)致頻譜混疊，使一個(gè)周期內(nèi)的譜對(duì)原信號(hào)譜產(chǎn)生失真，無(wú)法恢復(fù)原信號(hào)。n 取樣定理fupingFFT用于時(shí)域測(cè)量應(yīng)注意的問(wèn)題o 頻譜泄露n序列x(n)，總要截?cái)啵L(zhǎng)為N點(diǎn)，相當(dāng)于

22、乘以矩形窗w(n)=RN(n)。n矩形窗函數(shù)，頻譜是抽樣函數(shù)，有主瓣，有許多副瓣，窗口越大，主瓣越窄，當(dāng)窗口趨于無(wú)窮大時(shí)，就是一個(gè)沖擊。n時(shí)域乘積頻域卷積，加窗后頻譜是原信號(hào)頻譜與矩形窗函數(shù)頻譜（抽樣函數(shù)）的卷積，結(jié)果使頻譜延伸到了主瓣以外，延伸到無(wú)窮。當(dāng)窗口無(wú)窮大時(shí)，與沖擊的卷積就是其本身，無(wú)畸變。n如信號(hào)ejonT，是單線譜，加窗后，線譜與抽樣函數(shù)進(jìn)行卷積，原來(lái)在0處的一根譜線變成了以0為中心的，形狀為抽樣函數(shù)的譜線序列，從能量守恒看，相當(dāng)于x(ejT)的頻率成份從0處“泄漏”到其它頻率處去了。 n由于頻譜“泄漏”后的互相串漏，泄漏還會(huì)引起頻譜的混疊。fupingFFT用于時(shí)域測(cè)量應(yīng)注意的

23、問(wèn)題o 柵欄效應(yīng)n N點(diǎn)DFT是在頻率區(qū)間0，2上對(duì)信號(hào)頻譜進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣，得到的是若干個(gè)離散的頻譜點(diǎn)X(k)，且它們限制在基頻的整數(shù)倍上，這就好像在柵欄的一邊通過(guò)縫隙看另一邊的景象一樣，只能在離散點(diǎn)處看到真實(shí)的景象，其余部分頻譜成分被遮擋，所以稱之為柵欄效應(yīng)。n 減小柵欄效應(yīng)方法：尾部補(bǔ)零，使譜線變密，增加頻域采樣點(diǎn)數(shù)，原來(lái)漏掉的某些頻譜部分就可能被檢測(cè)出來(lái)。 fupingo 測(cè)量中常用信號(hào)分析n 帶限周期信號(hào)頻帶有限周期正弦波。頻譜為有限條譜線構(gòu)成o 可滿足采樣定理，不混疊o 時(shí)域截?cái)嚅L(zhǎng)度=信號(hào)周期：不產(chǎn)生泄漏，無(wú)柵欄效應(yīng)f=n/T0時(shí)，Sa(T0f)=0FFT用于時(shí)域測(cè)量應(yīng)注意的問(wèn)題

24、fupingo 測(cè)量中常用信號(hào)分析n 脈沖信號(hào)o 占空比小o 有效樣本少混疊FFT用于時(shí)域測(cè)量應(yīng)注意的問(wèn)題fupingo 測(cè)量中常用信號(hào)分析n 時(shí)限信號(hào)持續(xù)時(shí)間有限o 頻譜無(wú)限寬混疊o 頻譜連續(xù) 柵欄效應(yīng)FFT用于時(shí)域測(cè)量應(yīng)注意的問(wèn)題fupingo 測(cè)量中常用信號(hào)分析n 帶限非周期信號(hào)頻帶有限持續(xù)時(shí)間無(wú)限非周期o 時(shí)域無(wú)限，必須截?cái)鄋 頻譜泄漏頻譜擴(kuò)展混疊o 非周期信號(hào)，頻譜連續(xù)n 柵欄效應(yīng)FFT用于時(shí)域測(cè)量應(yīng)注意的問(wèn)題fupingo 測(cè)量中常用信號(hào)分析n 無(wú)限帶寬周期信號(hào)頻帶無(wú)限類似時(shí)限信號(hào)周期頻譜離散方波。o 混疊o 時(shí)域截?cái)嚅L(zhǎng)度=信號(hào)周期：不產(chǎn)生泄漏，無(wú)柵欄效應(yīng)FFT用于時(shí)域測(cè)量應(yīng)注意的

25、問(wèn)題fupingFFT用于時(shí)域測(cè)量應(yīng)注意的問(wèn)題o 測(cè)量中常用信號(hào)分析頻譜混疊頻譜泄漏 柵欄效應(yīng)帶限周期信號(hào)可無(wú)可無(wú)可無(wú)時(shí)限信號(hào)有無(wú)有帶限非周期信號(hào)有有有無(wú)限帶寬周期信號(hào)有可無(wú)可無(wú)fuping第三章 快速變換與卷積o 引言o 快速傅立葉變換o IDFT算法o 實(shí)輸入序列的FFT算法o FFT用于時(shí)域測(cè)量中應(yīng)注意的問(wèn)題o FFT在頻譜分析中的應(yīng)用在頻譜分析中的應(yīng)用o FFT卷積o 其他變換fuping第三章 快速變換與卷積FFT用于頻譜分析o 脈沖激勵(lì)信號(hào)的頻譜分析n 周期為T0的脈沖激勵(lì)信號(hào)n 當(dāng)T0=MT時(shí)，不產(chǎn)生頻譜泄漏，頻率分辨力下降n 當(dāng)T0=T時(shí)，不產(chǎn)生柵欄效應(yīng)n 不產(chǎn)生頻譜混疊的采樣

26、點(diǎn)數(shù)NTT021/hfNFTFfuping第三章 快速變換與卷積FFT用于頻譜分析o 用FFT分析階躍波形n必須時(shí)域截?cái)?，從而引起頻譜泄漏nGans提出窗口法o 將包含豐富頻譜分量的前沿部分截?cái)啵翱陂L(zhǎng)度為TW，并進(jìn)行周期延拓o 將偶數(shù)波形倒轉(zhuǎn)方向，上移o 用FFT對(duì)此周期信號(hào)進(jìn)行分析，周期為2 TW，即為階躍波形的頻譜TWTWfuping第三章 快速變換與卷積o 引言o 快速傅立葉變換o IDFT算法o 實(shí)輸入序列的FFT算法o FFT用于時(shí)域測(cè)量中應(yīng)注意的問(wèn)題o FFT在頻譜分析中的應(yīng)用o FFT卷積卷積o 其他變換fupingFFT卷積o 周期卷積o 圓周卷積（循環(huán)卷積或圓卷積）o 線性

27、卷積o 各卷積之間的關(guān)系fuping周期卷積( )( )x nh n兩個(gè)周期序列：、，周期均為N1100( )( ) ()( ) ()NNmmy nx m h nmh m x nm( ),01( ),01( )( )0,0,x nnNh nnNx nh n當(dāng)，時(shí)其它其它( )()( )()rrx nx nrNh nh nrNfuping周期卷積1100( )( ) ()( ) ()NNmmy nx m h nmh m x nmo 計(jì)算步驟n 折疊n 位移n 相乘n 相加fuping周期卷積o 周期卷積可看成周期為N的信號(hào)激勵(lì)長(zhǎng)度為N的單位沖激相應(yīng)的系統(tǒng)的輸出( )( )( )Y kX kH k

28、( ) ( )( ) ( )( ) ( )Y kDFS y kX kDFS x kH kDFS h k傅立葉級(jí)數(shù)：DFT表示DFS主值區(qū)間的序列值FFT DFT DFS 周期卷積 X(k)=FFTx(n)，H(k)=FFTh(n) Y(k)=X(k) H(k) y(n)=IFFTY(k)1. y(n)周期延拓( )y nfuping圓周卷積（循環(huán)卷積或圓卷積）11001100( )( ) ()( )( ) ()( )( ) ()( )( ) ()( )NNNNNmmNNNNNmmy nx m h nm Rnx m h nmRnh m x nm Rnh m x nmRn( )( )x nh n、

29、可以看作周期序列 的周期卷積，再取主值序列計(jì)算方法： X(k)=FFTx(n)，H(k)=FFTh(n) Y(k)=X(k) H(k)1. y(n)=IFFTY(k)fuping線性卷積( )( ) ()( ) ()( )( )mmy nx m h nmh m x nmx nh n應(yīng)用最多，對(duì)有限長(zhǎng)序列：x(n):N，h(n):M01( ):101mNy nLNMnmMo 不能直接用FFTo x(n)補(bǔ)充M個(gè)零點(diǎn)o h(n)補(bǔ)充N個(gè)零點(diǎn)o 按L=N+M-1進(jìn)行周期延拓o 利用圓周卷積計(jì)算a.計(jì)算X(k)=FFTx(n) b.求H(k)=FFTh(n) c.求Y(k)=H(k)Y(k) k=0L

30、-1 d.求y(n)=IFFTY(k) n=0L-1 fuping線性卷積o 上述結(jié)論適用于x(n),h(n)兩序列長(zhǎng)度比較接近或相等的情況,如果x(n),h(n)長(zhǎng)度相差較多,例如,h(n)為某濾波器的單位脈沖響應(yīng),長(zhǎng)度有限,用來(lái)處理一個(gè)很長(zhǎng)的輸入信號(hào)x(n)（如語(yǔ)音信號(hào)等），或者處理一個(gè)連續(xù)不斷的信號(hào)，按上述方法,h(n)要補(bǔ)許多零再進(jìn)行計(jì)算,計(jì)算量有很大的浪費(fèi)，或者根本不能實(shí)現(xiàn)。o 為了保持快速卷積法的優(yōu)越性,可將x(n)分為許多段后處理,每小段的長(zhǎng)與h(n)接近,其處理方法有兩種：o重疊相加法o重疊保存法 fuping線性卷積o 重疊相加法由分段卷積的各段相加構(gòu)成總的卷積輸出 o 計(jì)算步驟：計(jì)算步驟： a. 事先準(zhǔn)備好濾波器參數(shù)H(k)=DFTh(n)，N點(diǎn) b.用N點(diǎn)FFT計(jì)算Xi(k)=DFTxi(n) c.Yi(k)=Xi(k)H(k) d.用N