k導(dǎo)數(shù)的概念和應(yīng)用

1、本文為自本人珍藏 版權(quán)所有 僅供參考導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 溫州八中 陳杰一. 設(shè)計(jì)立意及思路： 導(dǎo)數(shù)是高中新課程的新增內(nèi)容，它既是研究函數(shù)性態(tài)的有力工具，又是對(duì) 學(xué)生進(jìn)行理性思維訓(xùn)練的良好素材。 從近幾年的高考命題分析， 高考對(duì)到導(dǎo)數(shù)的 考查可分為三個(gè)層次：第一層次是主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和某些實(shí)際背景，求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則。 第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，包括求函數(shù)的極值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，證 明函數(shù)的增減性等；第三層次是綜合考查，包括解決應(yīng)用問題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān) 不等式和函數(shù)的單調(diào)性、 方程根的分布、 解析幾何中的切線問題等有機(jī)的結(jié)合在 一起，設(shè)計(jì)綜合試題。正是基于以上的認(rèn)識(shí)，本專題在例題設(shè)計(jì)上

2、也是逐層遞進(jìn)，而在每一個(gè)例 題上又注意一題多解和多題一解， 并且逐步拓展， 使學(xué)生能循序漸進(jìn)的掌握知識(shí) 和方法，二. 高考考點(diǎn)回顧：1. 考試要求：（1）了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景（如瞬時(shí)速度、加速度、光滑曲線切線 的斜率等）。掌握函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義。理解導(dǎo)函數(shù) 的概念。熟記基本導(dǎo)數(shù)公式（c, xm （m為有理數(shù)），sinx , cosx, ex, ax, lnx , lOg aX的導(dǎo)數(shù)）。掌握兩個(gè)函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則。了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo) 法則,會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（3） 了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。 了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值 的必要條件和充分條件

3、（導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)） 。會(huì)求一些實(shí)際問題（一般指 單峰函數(shù)）的最大值和最小值。2. 近 5年全國新課程卷對(duì)本章內(nèi)容的考查情況：科別年份題型題量分值考查內(nèi)容文科2000解答題114導(dǎo)數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用2001解答題112利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2002解答題112綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義證明不等式2003解答題112利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程2004(浙江卷)解答題112求函數(shù)導(dǎo)數(shù)。利用導(dǎo)數(shù)求最值，解有關(guān)單調(diào)性冋題。理科2000解答題112導(dǎo)數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用2001選擇、解答題各1題5+12利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和證明函數(shù)的單調(diào)性。2002解答題112綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義證明不等式2003選擇、解

4、答題各1題5+12導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2004(浙江卷)選擇、解答題各1題5+12導(dǎo)函數(shù)的概念，；利用導(dǎo)數(shù)求曲 線的切線方程，求函數(shù)的最值。.基礎(chǔ)知識(shí)梳理:1.導(dǎo)數(shù)的有關(guān)概念定義：函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f/(x),就是當(dāng)x > 0時(shí)，函數(shù)的增量：y與自變量的增的極限，即f/(x)二二 0嚴(yán) _x)-f(x)。(2) 實(shí)際背景：瞬時(shí)速度，加速度，角速度，電流等。(3) 幾何意義：函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(xo,f(x 0)處的切線的斜率。2.求導(dǎo)的方法：(1) 常用的導(dǎo)數(shù)公式:C=o( c為常數(shù))；(xn)/=m)<

5、-1(m Q);(sinx) /=cosx;(cosx) /= -sinx ;(ex)/=ex;(ax) /=axl naZl 、/ 1 (ln x) ;x1 (log ax)/ logae.x兩個(gè)函數(shù)的四則運(yùn)算的導(dǎo)數(shù):(u -v)/-v/;(uv)/ = u/v uv/;/ /u V uv2 (V = 0).V 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：y'x = y/u u/x3. 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：(1) 判斷函數(shù)的單調(diào)性。當(dāng)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)時(shí)，如果f/(x)>0，則f(x)為增函數(shù)；如 果f/(x)<0，則f(x)為減函數(shù)。(2) 極大值和極小值。設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)X。附近有定義，

6、如果對(duì)X。附近所有的點(diǎn)，都有f(X)<f(X 0)(或f(x)>f(x 0),我們就說f(x 0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值(或極小值)。(3) 函數(shù)f(x)在a,b上的最大值和最小值的求法。四.例題講解：例1.(1)試述函數(shù)y=f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)的定義；(2) 若 f(x)在 R上可導(dǎo)，且 f(x)= -f(x) ，求 f/(0) 0(1) 解：如果函數(shù)y=f(x)在x=0處的改變量 y與自變量的改變量 x之比 二一兇一，當(dāng)x- 0時(shí)有極限，這極限就稱為y=f(x)在x=0xx處的導(dǎo)數(shù)。記作fhoziim3f(0 x) - f(0)x 解法一 ： f(x)= f(-x) ，

7、則 f( x)= f(- x)f (- x) - f (0)-x/f( x)-f(0):f(0) Fmr- Tixm當(dāng)x 0時(shí)，有-x 0:f/(0H-ijmf x)xf(0-f/(0):.f/(0) =0。解 法二：T f(x)=f(-x),兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，得f/(x)二 f/(x) (x)/ f/(x)f/(0) f/(0) f/(0) =0。評(píng)析：本題旨在考查學(xué)生對(duì)函數(shù)在某一點(diǎn)處的定義的掌握。題(2)可對(duì)其幾何意義加以解釋：由于f(x)=f(-x), 所以函數(shù)y=f(x)為偶函數(shù)，它 的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，因此它在x=xo處的切線關(guān)于y軸對(duì)稱，斜率為互為相 反數(shù)，點(diǎn)(0,f(0)位于y軸

8、上，且f/(0)存在，故在該點(diǎn)的切線必須平行x軸(當(dāng)f(0)=0時(shí)，與x軸重合)，于是有f/(0)=0。在題(2)的解二中可指 出：可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為奇函數(shù)，讓學(xué)生進(jìn)一步思考：可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo) 函數(shù)為偶函數(shù)嗎？例2.設(shè)f(x)在點(diǎn)X。處可導(dǎo)，a為常數(shù)，則f(x° a x) - f(x° - a x)叭x等于()A.fYxo)B.2af/(xo)C.af，(xo)D.0解：f (x0 a. ：x) - f (x0 -a. ：x)Zlim.x0f (X0a. ：x) _ f (Xo)f (Xo) _ f(X0 _ a. ：x)Z二 a lima J0f(x°a.：x

9、)_f(x°)f (Xo _a.：x) _ f (Xo)a lima=xa=x= 2af /(xo)故選(C)評(píng)析：在例1的基礎(chǔ)之上，本題旨在鞏固學(xué)生對(duì)函數(shù)在某一點(diǎn)處的 導(dǎo)數(shù)的定義的掌握。例3. 一汽車以50km/h的速度沿直線駛出，同時(shí)，一氣球以10km/h的速度離開此車直線上升，求1h后它們彼此分離的速度。(人教版高三數(shù)學(xué) 教材(選修U)第三章復(fù)習(xí)參考題 B組第6題)解：以汽車和氣球運(yùn)動(dòng)方向所在直線分別為 x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系系(如圖)，t時(shí)刻汽車位于(50t,0)處，氣球位于(0,10t)處，則兩汽車和氣球的距離<(50t)2 (10t)2/ 1 1 2 2S/ (t

10、)(2 502t 2 102t)2 J(50t)2+(10t)2令 t=1,/1122s/ (1)(2 502 2 102)2 J(50)2 +(10)2=10、26故1h后它們彼此分離的速度為10 26km/h。評(píng)析：本題考查學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的某些實(shí)際背景的了解，要求學(xué)生能熟練運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則。而且考查了學(xué)生的畫圖識(shí)圖能力，考查了學(xué)生 用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)處理實(shí)際問題的能力。2004年全國高考湖北卷（數(shù)學(xué)理科）第16題就是由本題改編而成。例4.已知拋物線C: y=x2+2x，按下列條件求切線方程：切線過曲線上一點(diǎn)（1, 3）。拓展：已知拋物線 G: y=x2+2x和G: y= -x 2+a，如果直

11、線I同時(shí)是 C和C2的切線，當(dāng)a取何值時(shí)，C和C2有且僅有一條切線？寫出此公切線的 方程。（2003年全國高考卷新課程（數(shù)學(xué)文科）（2）切線過拋物線外的一點(diǎn)（1,1）。（3）切線的斜率為2。拓展：點(diǎn)P為拋物線C: y=x2+2x上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=2x-2 的最小距離為。評(píng)析：本題考查曲線y=f（x）在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線y=f（x） 在點(diǎn)P（x°,y°）處切線的斜率。以題組的形式通過不同角度讓學(xué)生熟練掌握導(dǎo) 數(shù)幾何意義的應(yīng)用。第（1）小題的拓展是將第（1）小題中的點(diǎn)一般化，考 查內(nèi)容是一樣的，是在第（1）小題的基礎(chǔ)上有所提高，激發(fā)學(xué)生的興趣。第（3）小題

12、的拓展與第（3）小題解法類似，只是在出題上換個(gè)角度，屬多題 一解的類型。例5.設(shè)f/（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，y=（x）的圖象如右圖所示，則 答案：(C)y=f（x）的圖象最有可能是（）（2004年全國高考浙江卷（數(shù)學(xué)理科）第題）6 / 10評(píng)析：此題以直觀的角度揭示了可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性和其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。1令f(X)=-X-X2 1，可由對(duì)此題的分析，結(jié)合圖象作以下拓展：3求f(x)的極值；在此處注意結(jié)合圖形讓學(xué)生理解極值的有關(guān)概念。如讓學(xué)生判斷下 列說法是否正確：極大值一定比極小值大；區(qū)間的端點(diǎn)一定是極值點(diǎn)； 導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)；極值點(diǎn)一定是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)。從而進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)求極值的方法。(

13、2)求y=f(x)在x 0,3上的最值；讓學(xué)生辨析極值和最值的區(qū)別，讓學(xué)生進(jìn)一步熟悉利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù) 最值的基本思路。(3)用總長(zhǎng)為14.8的鋼條制做一個(gè)長(zhǎng)方形的框架，如果所制做容器 的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5m,那么高為多少是容器的容積最大？并求出它 的最大容積。(2002年全國新課程高考卷(理科)第 20題)此題為題(2)的類似拓展，強(qiáng)調(diào)了導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用。解不等式f(x) > 1。導(dǎo)數(shù)是分析函數(shù)單調(diào)性的有力工具，故有很多問題如：證明不等式、 解不等式、解方程、分析方程根的個(gè)數(shù)等等都可以轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)單調(diào)性處 理，進(jìn)而用導(dǎo)數(shù)方法求解。例 6.設(shè)函數(shù) f (x)二 x2 1 -

14、ax，其中 a>0。(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；解不等式f(x) < 1。x解：(1)a2+1 當(dāng)a> 1時(shí)，有"< a ,此時(shí)f/(x)<0 ,我+1函數(shù)f(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)。 當(dāng)0<a<1時(shí)，解不等式f/(x)<0得x< a 2 ,- a2a f(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)Ji -a2解不等式f/(x)>0a1 -a2f(x)在區(qū)間叮a?，：)上是單調(diào)遞增函數(shù) 當(dāng)a> 1時(shí)，I函數(shù)f(x)在區(qū)間(-：)上是單調(diào)遞減函數(shù)由 f(0)=1,當(dāng)且僅當(dāng)x> 0時(shí)f(x) < 1.當(dāng)0<a<

15、1時(shí)， af(x)在區(qū)間(°°, 上是單調(diào)遞減函數(shù)J1 a2f(x)在區(qū)間=,址)上是單調(diào)遞增函數(shù)，山a2由 f(x)=12a1 -a2且0當(dāng)且僅當(dāng)0乞X筆時(shí)，f(x) < 1.1 -a綜上可得：當(dāng)a> 1時(shí)，f(x) < 1的解集為x|x >0;2a當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x) < 1的解集為x| 0x 筆。1 - a評(píng)析：本題是將2000年全國咼考新課程卷(理科)第19題稍作改動(dòng)而得到。使學(xué)生在例 5中題(4)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步熟悉運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào) 性的問題。并在解題過程中考查學(xué)生對(duì)求導(dǎo)公式和法則的熟練運(yùn)用。五思維能力訓(xùn)練:(一)選

16、擇題：1.已知函數(shù)y=f(x)=x x<0B.1C:y=3x-x 3 及點(diǎn)A.02.已知曲線C.1B.1C.2> 0那么y/1 x=0的值為()或0P(2,2)，則過點(diǎn)D. 不存在P可向C引切線的條數(shù)為A.03.下列求導(dǎo)的式子中正確的是A.cos(1-x)/=-si n(-x)D.3)B.(ex)/=e 二 exx /x-1C.(a ) =xaD.(ln-)/x廣14.函數(shù) y=asinx sin3x在x3蔦處有極值，則(A.a=2B.a=1C.1a =_2D.a= -25.函數(shù)y=x3-3x , x a2 1, 2的最小值是a2-1，貝U實(shí)數(shù)a的值是1aC. a =2 26. 若

17、 f(x)=ax 3+bx2+cx+d (a>0)為增函數(shù)，貝U ()2A.b -4ac>0B.b>0,c>0C.b=0,c>0 D.b(二)填空題：7. 對(duì)函數(shù) f(x), 已知 f(3)=2,A.OB.D.12-3ac<0f/(3)=-2,則.2x - 3f (x) i mx 38. 某日中午12時(shí)整，6船自A處以16km/h的速度向正東行駛，乙船自A的正北18km處以24km/h的速度向正南行駛，則當(dāng)日12時(shí)30分時(shí)兩 船之間距離對(duì)時(shí)間的變化率是 km/h。(2004年全國高考湖北卷(理科)16題)(三)解答題：9. 設(shè)拋物線C:y=x2(x > 0)上的點(diǎn)P°(X0,y°)，過P。做曲線C的切線與x 軸交于Q,過Q作平行于y軸的直線與曲線C交于R(X1,yd，然后再過R 作曲線C的切線交x軸于Q,過Q作平行于y軸的直線與曲線交于R(X2,y 2), 仿此作出以下各點(diǎn)：P°,Q1,P1,Q2,P2,Q3,Pn,Qn+1,已知X°=1。(1)求過P0的切線方程；(2)求 lim(xo Xi x 亠 Xn)的值。 n_c10. 如果 f(x)=x 2+1, g(x)=ff(x), 設(shè) F(x) = g(x) ，(x)，問是否存在適當(dāng)