微分中值定理在研究函數(shù)的凹凸性方面的應(yīng)用

1、§6.5 微分中值定理在研究函數(shù)的凹凸性方面的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo): 掌握討論函數(shù)的凹凸性和方法.教學(xué)要求: 弄清函數(shù)凸性的概念,掌握函數(shù)凸性的幾個等價論斷,會求曲線的拐點,能應(yīng)用函數(shù)的凸性證明某些有關(guān)的命題.教學(xué)重點: 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的凸性教學(xué)難點: 利用凸性證明相關(guān)命題教學(xué)方法: 系統(tǒng)講授法演示例題教學(xué)過程:引言上面已經(jīng)討論了函數(shù)的升降與極值,這對函數(shù)性狀的了解是有很大作用的.為了更深入和較精確地掌握函數(shù)的性狀,我們在這里再講述一下有關(guān)函數(shù)凸性的概念及其與函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.什么叫函數(shù)的凸性呢？我們先以兩個具體函數(shù)為例,從直觀上看一看何謂函數(shù)的凸性.如函數(shù)所表示的曲線是向上凸的,而所表

2、示的曲線是向下凸的,這與我們?nèi)粘Ａ?xí)慣上的稱呼是相類似的.或更準(zhǔn)確地說：從幾何上看,若yf(x)的圖形在區(qū)間I上是凸的,那么連接曲線上任意兩點所得的弦在曲線的上方；若yf(x)的圖形在區(qū)間I上是凹的,那么連接曲線上任意兩點所得的弦在曲線的下方.如何把此直觀的想法用數(shù)量關(guān)系表示出來呢？設(shè)函數(shù)在區(qū)間上是凸的（向下凸）,任意,（）.曲線上任意兩點,之間的圖象位于弦的下方,即任意,的值小于或等于弦在點的函數(shù)值,弦的方程.對任意有,整理得.令,則有,且,易得,上式可寫成.一、凸函數(shù)定義以及與連續(xù)性的關(guān)系(一) 凸（凹）函數(shù)的定義定義1 設(shè)函數(shù)f為定義在區(qū)間I上的函數(shù),若對I上任意兩點、和任意實數(shù)總有,則稱

3、f為I上的凸函數(shù).反之,如果總有,則稱f為I上的凹函數(shù).注 易證：若一f為區(qū)間I上的凸函數(shù),則f為區(qū)間I上的凹函數(shù),因此,今后只討論凸函數(shù)的性質(zhì)即可.定義2 設(shè)曲線yf(x)在點()處有穿過曲線的切線,且在切點近旁,曲線在切線的兩側(cè)分別是嚴(yán)格凸或嚴(yán)格凹的,這時稱()為曲線yf(x)的拐點.必須指出；若()是曲線y=f（x)的一個拐點,yf(x)在點的導(dǎo)數(shù)不一定存在,如在x0的情形.(二) 凸函數(shù)的特征引理 f為I上的凸函數(shù)對于I上任意三點總有： (3)嚴(yán)格凸函數(shù)上式嚴(yán)格不等式成立.證 記,則及, 由的凸性知        

4、 (4)      從而有即    整理即得式.,記,則,由必要性的推導(dǎo)步驟可逆,從式便得式.故為凸函數(shù).同理便知,曲線上首尾相連的線,其斜率是遞增的,即,有                        嚴(yán)格凸函數(shù)上式嚴(yán)格不等式成立.定理 設(shè)為開區(qū)間上的凸函數(shù)若則在上滿足利普希

5、茨條件,且在上連續(xù) 證明 (證明開區(qū)間上的凸函數(shù)必為連續(xù)函數(shù))當(dāng)取定后,由為開區(qū)間,必可選取中的四點滿足：如圖所示,再在中任取兩點.應(yīng)用引理得到令                             ,則, 顯然,上述 L與中的點無關(guān),故在上的每個內(nèi)閉區(qū)間上滿足利普希茨條件由此容易推知在上連續(xù),再由在上的任意性,又

6、可推知在上處處連續(xù)如果f是I上的可導(dǎo)函數(shù),則進(jìn)一步有：二、凸函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系定理1（可導(dǎo)函數(shù)為凸函數(shù)的等價命題） 設(shè)f為區(qū)間I上的可導(dǎo)函數(shù),則下述論斷互相等價：（1）f為I上的凸函數(shù)；（2）為I上的增函數(shù)；（3）對I上的任意兩點總有 證 (i)(ii),并取,使據(jù)定理3.12,有由可微,當(dāng)時,對上述不等式取極限后,得到所以是上的遞增函數(shù)(ii)(iii)由微分中值定理和遞增,便可證得當(dāng)時,也有相同結(jié)論(iii)(i),并記,則有, 由(iii)可得.注 定理中(iii)的幾何意義如下圖所示:曲線上任意一點處的切線恒位于曲線的下方在為可微的前提條件下,常用上述切線與曲線的位置關(guān)系(iii)來表述

7、凸函數(shù)但是在沒有可微條件假設(shè)時,凸函數(shù)只能用曲線與其任一弦的位置關(guān)系(定義1)來定義 如果f在I上二階可導(dǎo),則進(jìn)一步有：定理2（凸函數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)的關(guān)系） 設(shè)f為I上的二階可導(dǎo)函數(shù),則在I上f為凸（凹）函數(shù)（）,.為嚴(yán)格凸1）；2）不在上的任一子區(qū)間上恒為零.此定理說明：為嚴(yán)格凸,則曲線中不含有直線段（）.對于凹函數(shù)情形,也有類似的定理（因為凸,則凹）.可導(dǎo)函數(shù)有如下相互等價的論斷：1）為上凹函數(shù).2）,有.即割線斜率遞減.3）為上遞減函數(shù).4）,有,.當(dāng)在上二階可導(dǎo)時,下述論斷與1）,2）,3）,4）相等價.5）在上.對嚴(yán)格凹的情形可類似得出等價論斷.二、拐點定義2 設(shè)曲線yf(x)在點()處

8、有穿過曲線的切線,且在切點近旁,曲線在切線的兩側(cè)分別是嚴(yán)格凸或嚴(yán)格凹的,這時稱()為曲線yf(x)的拐點.（即為曲線凹凸部分的分界點）必須指出；若()是曲線y=f（x)的一個拐點,yf(x)在點的導(dǎo)數(shù)不一定存在,如在x0的情形.定理3（拐點必要條件） 若f在二階可導(dǎo),則()為曲線yf(x)的拐點的必要條件是.綜上知：()的拐點,則要么（1）；要么（2）f在點不可導(dǎo).定理4 設(shè)f在點可導(dǎo),在某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo),若在和上的符號相反,則()為曲線yf(x)的拐點.例1 討論函數(shù)的凸性與拐點.解 ,因而當(dāng)時,；當(dāng)時,從而函數(shù)為上的凸函數(shù),在上為凹函數(shù).而在原點連續(xù),故原點為曲線的拐點例2 若在內(nèi)可導(dǎo)、凸

9、（凹）函數(shù),則為的極?。ù螅┲迭c.即為的穩(wěn)定點.證 ）費馬定理.      ）因凸,故有.因,故總有.即為的極小值點.例3 設(shè)在開區(qū)間上為凸（凹）函數(shù),證明在開區(qū)間內(nèi)任一點都存在左、右導(dǎo)數(shù).證 只證凸函數(shù)在存在右導(dǎo)數(shù),其它情形同理可證.令,記,則（取充分小使）,由式得：                  記  則有即為單調(diào)遞增函數(shù).取且,則,從而遞增有下界,從而存在,

10、即存在.注 對區(qū)間端點,左、右導(dǎo)數(shù)可能存在,也可能為.由第五章§1習(xí)題10知（若在的左、右導(dǎo)數(shù)都存在,則在連續(xù)）,若在為開區(qū)間內(nèi)的凸（凹）函數(shù),則為內(nèi)的連續(xù)函數(shù).（但不一定可導(dǎo),如）三、 詹森(Jensen)不等式定理 (詹森(Jensen)不等式) 設(shè)為上的凸函數(shù),且,則有 （6）成立.若為嚴(yán)格凸函數(shù),不全相等,則上式嚴(yán)格不等式成立.證 用歸納法：時命題由凸函數(shù)定義顯然成立.假設(shè)時命題成立,即,，則有   . 要證時命題成立.設(shè),（由歸納法可知,當(dāng),時,因為 ,故 ）結(jié)論成立.注 由于(6)式中當(dāng)時即為凸函數(shù)的定義式(1),所以詹森不等式(6)也可用來作為凸函數(shù)的定義,而詹森不等式的應(yīng)用也就是凸函數(shù)的應(yīng)用對具體的函數(shù)套用Jensen不等式的結(jié)果, 可以證明一些較復(fù)雜的不等式. 這種證明不等式的方法稱為Jensen不等式法或凸函數(shù)法. 具體應(yīng)用時, 往往還用到所選函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)性.例4 證明: 對 有不等式 . 例5 設(shè),則當(dāng)且僅當(dāng)所有全相等時等號成立.證 所有全相等時,等號顯然成立.只須證不全等時,有嚴(yán)格不等號成立即可.取,則在上嚴(yán)格凸,由例4知即    因嚴(yán)格增,故有又不全等不全等,故所以      例6 在中,