第二章 基本定理 第三講 奇解包絡(luò)

1、隴東學(xué)院數(shù)學(xué)系常微分方程精品課程教案第三講 奇解與包絡(luò)（4課時(shí)）目的要求：了解包絡(luò)和奇解的定義，掌握包絡(luò)和奇解的之間的關(guān)系，掌握奇解的求法。重點(diǎn)：包絡(luò)和奇解的求法。難點(diǎn)：奇解及其求法。教學(xué)方法：講練結(jié)合法、啟發(fā)式與提問(wèn)式相結(jié)合教學(xué)法。教學(xué)手段：傳統(tǒng)板書(shū)與多媒體課件輔助教學(xué)相結(jié)合。教學(xué)過(guò)程： 本節(jié)討論常微分方程的奇解以及奇解的求法。2.4.1奇解在本章2.2節(jié)的例2中，我們已經(jīng)看到方程的通解是，還有一解，除解外，其余解都滿(mǎn)足唯一性，只有解所對(duì)應(yīng)的積分曲線(xiàn)上的點(diǎn)的唯一性都被破壞. 這樣的解在許多方程中存在.例1 求方程的所有解.解 該方程的通解是此外還有兩個(gè)特解和。由于該方程右端函數(shù)的根號(hào)前只取+

2、號(hào)，故積分曲線(xiàn)如圖2-13所示，圖 2-13顯然解和所對(duì)應(yīng)的積分曲線(xiàn)上每一點(diǎn)，解的唯一性均被破壞。本節(jié)主要討論一階隱式方程 (1.8)和一階顯式方程 (1.9)的解唯一性受到破壞的情形，顯然這樣的解只能存在于方程不滿(mǎn)足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域內(nèi)。對(duì)于方程(1.9)，由定理2.2，這樣的區(qū)域可用無(wú)界去檢驗(yàn)，而對(duì)于隱式方程(1.8)，一般來(lái)說(shuō)，若能解出幾個(gè)顯式方程那么對(duì)每一個(gè)方程，應(yīng)用定理2.2即可。其次對(duì)于方程(1.8)，如果函數(shù)對(duì)所有變量連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且在的鄰域內(nèi)有成立，那么應(yīng)用數(shù)學(xué)分析中的隱函數(shù)定理，可解得其中函數(shù)是連續(xù)的且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，特別有這樣一來(lái)，對(duì)方程(1.8)初值解的存

3、在唯一性定理的條件也就清楚了。 因此，我們可以就方程(1.8)或(1.9)給出奇解的定義。定義2.3 如果方程存在某一解，在它所對(duì)應(yīng)的積分曲線(xiàn)上每點(diǎn)處，解的唯一性都被破壞，則稱(chēng)此解為微分方程的奇解。奇解對(duì)應(yīng)的積分曲線(xiàn)稱(chēng)為奇積分曲線(xiàn)。由上述定義，可見(jiàn)2.2節(jié)例2中的解是方程的奇解，而例1中的解和是方程的奇解。2.4.2 不存在奇解的判別法假設(shè)方程(1.9)的右端函數(shù)在區(qū)域上有定義，如果在D上連續(xù)且在D上有界(或連續(xù))，那么由本章定理2.2，方程的任一解是唯一的，從而在D內(nèi)一定不存在奇解。如果存在唯一性定理?xiàng)l件不是在整個(gè)有定義的區(qū)域D內(nèi)成立，那么奇解只能存在于不滿(mǎn)足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域上.

4、進(jìn)一步如果再能表明在這樣的區(qū)域上不存在方程的解，那么我們也可以斷定該方程無(wú)奇解。例2判斷下列方程(1) (2) 是否存在奇解。解 (1)方程右端函數(shù)，均在全平面上連續(xù)，故方程(1)在全平面上無(wú)奇解。(2) 方程右端函數(shù)在區(qū)域上有定義且連續(xù)，在上有定義且連續(xù)，故不滿(mǎn)足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的點(diǎn)集只有y = x，即若方程(2)有奇解必定是y = x，然而y = x不是方程的解，從而方程(2)無(wú)奇解。2.4.3 包絡(luò)線(xiàn)及奇解的求法下面，我們從幾何的角度給出一個(gè)由一階方程(1.9)或(1.8)的通積分求它奇解的方法。當(dāng)任意常數(shù)C變化時(shí)，通積分給出了一個(gè)單參數(shù)曲線(xiàn)族(C)，其中C為參數(shù)，我們來(lái)定義(C)

5、的包絡(luò)線(xiàn)。定義2.4 設(shè)給定單參數(shù)曲線(xiàn)族 (2.10)其中C為參數(shù)，對(duì)所有變量連續(xù)可微.如果存在連續(xù)可微曲線(xiàn)L，其上任一點(diǎn)均有(C)中某一曲線(xiàn)與L相切，且在L上不同點(diǎn)，L與(C)中不同曲線(xiàn)相切，那么稱(chēng)此曲線(xiàn)L為曲線(xiàn)族(C)的包絡(luò)線(xiàn)或簡(jiǎn)稱(chēng)包絡(luò)。見(jiàn)圖2-14圖 2-14定理2.6 方程(1.9)的積分曲線(xiàn)族(C)的包絡(luò)線(xiàn)L是(1.9)的奇積分曲線(xiàn)。證明 只須證明(C)的包絡(luò)線(xiàn)L是方程(1.9)的積分曲線(xiàn)即可。設(shè)p(x,y)為L(zhǎng)上任一點(diǎn)，由包絡(luò)線(xiàn)定義，必有(C)中一曲線(xiàn)l過(guò)p點(diǎn)，且與L相切，即l與L在p點(diǎn)有公共切線(xiàn)。由于l是積分曲線(xiàn)，它在p點(diǎn)的切線(xiàn)應(yīng)與方程(1.9)所定義的線(xiàn)素場(chǎng)在該點(diǎn)的方向一致，所

6、以L(fǎng)在p點(diǎn)的切線(xiàn)也就與方程(1.9)在該點(diǎn)的方向一致了。這就表明L在其上任一點(diǎn)的切線(xiàn)與方程(1.9)的線(xiàn)素場(chǎng)的方向一致，從而L是(1.9)的積分曲線(xiàn)。證畢。有了這個(gè)定理之后，求方程(1.9)的奇解問(wèn)題就化為求(1.9)的積分曲線(xiàn)族的包絡(luò)線(xiàn)的問(wèn)題了.下面我們給出曲線(xiàn)族包絡(luò)線(xiàn)的求法。定理2.7 若L是曲線(xiàn)族(2.10)的包絡(luò)線(xiàn)，則它滿(mǎn)足如下的C-判別式 (2.11)反之，若從(2.11)解得連續(xù)可微曲線(xiàn)且滿(mǎn)足：和,（稱(chēng)為非退化條件），則是曲線(xiàn)族的包絡(luò)線(xiàn).證明 對(duì)L上任取一點(diǎn)p(x,y)，由包絡(luò)線(xiàn)定義，有(C)中一條曲線(xiàn)l在p點(diǎn)與L相切，設(shè)l所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為C，故L上的點(diǎn)坐標(biāo)x和y均是C的連續(xù)可微函數(shù)

7、，設(shè)為又因?yàn)閜(x,y)在l上，故有恒等式 (2.12)L在p點(diǎn)的切線(xiàn)斜率為l在p點(diǎn)的切線(xiàn)斜率為因?yàn)閘與L在p點(diǎn)相切，故有，即有關(guān)系式 (2.13)另一方面，在(2.12)式兩端對(duì)C求導(dǎo)得此式與(2.13)比較，無(wú)論是在和同時(shí)為零，或不同時(shí)為零的情況下均有下式 (2.14)成立。即包絡(luò)線(xiàn)滿(mǎn)足C-判別式(2.11).反之，在上任取一點(diǎn)q(C)=(C),(C),則有 (2.15)成立.因?yàn)椴煌瑫r(shí)為零，所以對(duì)(2.10)在q點(diǎn)利用隱函數(shù)定理可確定一條連續(xù)可微曲線(xiàn)（或），它在q點(diǎn)的斜率為 (2.16)另一方面，在q點(diǎn)的斜率為 (2.17)現(xiàn)在，由(2.15)的第一式對(duì)C求導(dǎo)得再利用(2.15)的第二式

8、推出 (2.18)因?yàn)楹头謩e不同時(shí)為零，所以，由(2.18)、(2.17)和(2.16)推出,即曲線(xiàn)族(2.10)中有曲線(xiàn)在q點(diǎn)與曲線(xiàn)相切.因此，是曲線(xiàn)族(2.10)的包絡(luò)線(xiàn)。例3 求的奇解.解 在本章2.2節(jié)已解得方程通解為由C-判別式解得. 由于，所以為原方程的奇解.例4 求方程的奇解。解 由上面的例1，該方程的通解為，由C-判別式 (2.19)的第二式解出代入第一式，得到。因?yàn)?，故為方程的奇解。? 求克萊洛方程的奇解，其中是二次可微函數(shù)且。解 由第1章1.6節(jié)的例2可知該方程的通解為C-判別式為 (2.19)因?yàn)?故由(2.19)所確定的曲線(xiàn)必定是克萊洛方程的奇解.即克萊洛方程總有奇解。本節(jié)要點(diǎn)：1.奇解的定義。2.不存在奇解的判別方法。（1）全平面上解唯一不存在奇解。（2）不滿(mǎn)足解唯一的區(qū)域上沒(méi)有方程的解無(wú)奇解。3.求奇解的包絡(luò)線(xiàn)求法。包絡(luò)線(xiàn)滿(mǎn)足C判別式。在非蛻化條件下，從C 判別式解出的曲線(xiàn)包絡(luò)線(xiàn)。 作業(yè)： 練習(xí)2.4 1.