數(shù)學(xué)建模第三次作業(yè)

1、 院 系： 數(shù)學(xué)學(xué)院 專 業(yè)： 信息與計(jì)算科學(xué) 年 級： 2014級 學(xué)生姓名： 王繼禹 學(xué) 號： 201401050335 教師姓名： 徐霞 6.6 習(xí)題3.一個(gè)慢跑者在平面上沿著他喜歡的路徑跑步，突然一只狗攻擊他，這只狗以恒定速率跑向慢跑者，狗的運(yùn)動方向始終指向慢跑者，計(jì)算并畫出狗的軌跡。解：（1）模型分析建立:狗的軌跡：在任意時(shí)刻，狗的速度向量都指向它的目標(biāo)慢跑者。假設(shè)1：慢跑者在某路徑上跑步，他的運(yùn)動由兩個(gè)函數(shù)X(t)和Y(t)描述。假設(shè)2：當(dāng)t=0時(shí)，狗是在點(diǎn)(x0,y0)處，在時(shí)刻t時(shí)，它的位置是(x(t),y(t)那么下列方程成立：(1)狗以恒定速率跑: X2+y2=w2(2)

2、狗的速度向量平行于慢跑者與狗的位置的差向量：將上述方程帶入等式：,可得：再將代入第二個(gè)方程，可得狗的軌跡的微分方程：（2）程序及結(jié)果dog函數(shù)dog.mfunction zs,isterminal,direction = dog(t,z,flag) global w;% w=speed of the dog X=jogger(t);h = X-z;nh=norm(h); if nargin<3 | isempty(flag) zs=(w/nh)*h; else switch(flag) case 'events' zs = nh-1e-3; isterminal = 1;

3、 direction = 0; otherwise error('Unknow flag:' flag); endend慢跑者的運(yùn)動軌跡方程，水平向右jogger.mfunction s = jogger(t);s = 8*t;0;標(biāo)記的函數(shù)cross.mfunction cross(Cx,Cy,v) Kx = Cx Cx Cx Cx-v Cx+v; Ky = Cy Cy+2.5*v Cy+1.5*v Cy+1.5*v Cy+1.5*v plot(Kx,Ky); plot(Cx,Cy,'o');主程序：靜態(tài)顯示main1.mglobal w y0 = 60;70

4、; w=10; options = odeset('RelTol',1e-5,'Events','on');t,Y = ode23('dog',0,20,y0,options);clf;hold on;axis(-10,100,-10,70);plot(Y(:,1),Y(:,2);J=; for h=1:length(t), w = jogger(t(h); J=J;w' endplot(J(:,1),J(:,2),':');p = max(size(Y); cross(Y(p,1),Y(p,2),2)ho

5、ld off;動態(tài)顯示main2.mglobal w;y0=60;70;w=10; options = odeset('RelTol',1e-5,'Events','on');t,Y=ode23('dog',0,20,y0,options); J=; for h=1:length(t); w= jogger(t(h); J=J;w'endxmin = min(min(Y(:,1),min(J(:,1); xmax = max(max(Y(:,1),max(J(:,1); ymin = min(min(Y(:,2),min(

6、J(:,2);ymax = max(max(Y(:,2),max(J(:,2);clf;hold on; axis(xmin-10 xmax ymin-10 ymax);title('The jogger and the Dog'); for h = 1:length(t)-1, plot(Y(h,1),Y(h+1,1),Y(h,2),Y(h+1,2),'-','Color','red','EraseMode','none'); plot(J(h,1),J(h+1,1),J(h,2),J(h+1,2

7、),'-','Color','green','EraseMode','none'); drawnow; pause(0.1);endplot(J(:,1),J(:,2),':'); p = max(size(Y); cross(Y(p,1),Y(p,2),2)hold off;結(jié)果t=12.2761812635281，在12.27秒后狗追上慢跑者。慢跑者軌跡是橢圓軌跡jogger2.mfunction s=jogger2(t) s=10+20*cos(t) 20+15*sin(t);狗的微分方程do

8、g.mfunction zs,isterminal,direction = dog(t,z,flag) global w;% w=speed of the dogX=jogger2(t);h = X-z; nh=norm(h); if nargin<3 | isempty(flag) zs=(w/nh)*h; else switch(flag) case 'events' zs = nh-1e-3; isterminal = 1; direction = 0; otherwise error('Unknow flag:' flag); endend 主程序

9、main3.mglobal w;y0=60;70;w=10; options = odeset('RelTol',1e-5,'Events','on');t,Y=ode23('dog',0,20,y0,options); J=; for h=1:length(t); w= jogger2(t(h); J=J;w'endxmin = min(min(Y(:,1),min(J(:,1); xmax = max(max(Y(:,1),max(J(:,1); ymin = min(min(Y(:,2),min(J(:,2);yma

10、x = max(max(Y(:,2),max(J(:,2);clf;hold on; axis(xmin-10 xmax ymin-10 ymax);title('The jogger and the Dog'); for h = 1:length(t)-1, plot(Y(h,1),Y(h+1,1),Y(h,2),Y(h+1,2),'-','Color','red','EraseMode','none'); plot(J(h,1),J(h+1,1),J(h,2),J(h+1,2),'-&#

11、39;,'Color','green','EraseMode','none'); drawnow; pause(0.1);endplot(J(:,1),J(:,2),':'); p = max(size(Y); cross(Y(p,1),Y(p,2),2)hold off;結(jié)果取w=25有t=4.017776368842910，經(jīng)過4秒左右狗追上慢跑者。 8.平面上有n(n>=2)個(gè)圓，任何兩個(gè)圓都相交但無3個(gè)圓共點(diǎn)。試問n個(gè)圓把平面劃分成多少個(gè)不連通的區(qū)域？解：一個(gè)圓將平面分為2份兩個(gè)圓相交將平面分為4=2

12、+2份，三個(gè)圓相交將平面分為8=2+2+4份，四個(gè)圓相交將平面分為14=2+2+4+6份，平面內(nèi)n個(gè)圓，其中每兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且任意三個(gè)圓不相交于同一點(diǎn)，則該n個(gè)圓分平面區(qū)域數(shù)f（n）=2+（n-1）n=n2-n+2證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，一個(gè)圓把平面分成兩個(gè)區(qū)域，而12-1+2=2，命題成立（2）假設(shè)n=k（k1）時(shí)，命題成立，即k個(gè)圓把平面分成k2-k+2個(gè)區(qū)域當(dāng)n=k+1時(shí)，第k+1個(gè)圓與原有的k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn)，這些交點(diǎn)把第k+1個(gè)圓分成了2k段弧，而其中的每一段弧都把它所在的區(qū)域分成了兩部分，因此增加了2k個(gè)區(qū)域，共有k2-k+2+2k=（k+1）2-（k+1）+2個(gè)區(qū)域n=k+

13、1時(shí)，命題也成立由（1）、（2）知，對任意的nN*，命題都成立9.某人有元錢，他每天買一次物品，每次買物品的品種很單調(diào)，或者買一元錢的甲物品，或者買二元錢的乙物品，問他花完這元錢有多少不同的方式？解：設(shè)an表示花完這n元錢的方案種數(shù)，若n=1，則只能買甲，有一種方法，故a1=1，若n=2，則可以買2個(gè)甲，或者1個(gè)乙或1個(gè)丙，即a2=3，當(dāng)n3時(shí)，花錢的方式由購買甲和購買乙購買丙的種數(shù)之和構(gòu)成，即an=an-1+an-2+an-2=an-1+2an-2則當(dāng)n3時(shí)，an+an-1=2（an-1+an-2），即an+1+an是公比q=2的等比數(shù)列，首項(xiàng)為a2+a1=1+3=4，則an+1+an=42

14、n-1=2n+1，an+an-1=2n，兩式相減得an+1-an-1=2n+1-2=2，（n2），若n是奇數(shù)，an=2n-1+2n-3+22+a1=(2n+1-1)/3若n是偶數(shù)，an=2n-1+2n-3+23+a2=(2n+1+1)/37.6 習(xí)題1.在化工生產(chǎn)中常常需要知道丙烷在各種溫度和壓力下的導(dǎo)熱系數(shù)。下面是實(shí)驗(yàn)得到的一組數(shù)據(jù)：/68688787106106140140/KPa9.798113.3249.007813.3559.791814.2779.656312.463K0.08480.08970.07620.08070.06960.07530.06110.0651 試求=99和=1

15、0.3xKPa下的K。解：找出溫度T相等時(shí)，導(dǎo)熱系數(shù)K與壓力P的關(guān)系。由于在不同溫度時(shí)，僅給出兩個(gè)K、P的值，因此采用線性近似，把K、P看作是線性關(guān)系。建立M文件：function y=y_lagr1(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s;end主程序：p1=9.7981,13.324; k1=0.0848,0.0897; %T=68

16、p2=9.0078,13.355; k2=0.0762,0.0807; %T=87p3=9.7918,14.277; k3=0.0696,0.0753; %T=106p4=9.6563,12.463; k4=0.0611,0.0651; %T=140a2=polyfit(p2,k2,1); a3=polyfit(p3,k3,1);x1=polyval(a2,10.3); x2=polyval(a3,10.3); %x1，x2分別是P=10.3*103kPa下87和106的K值plot(10.3,x1,'k+',10.3,x2,'k+',p1,k1,p2,k2,p

17、3,k3,p4,k4)xlabel('丙烷壓力P')ylabel('丙烷導(dǎo)熱系數(shù)K')title('在不同溫度下丙烷導(dǎo)熱系數(shù)與壓力的關(guān)系圖')gtext('T=68'),gtext('T=87'),gtext('T=106'),gtext('T=140')運(yùn)行后圖中所標(biāo)點(diǎn)為P=10.3*103kPa時(shí)，T=87和T=106對應(yīng)的導(dǎo)熱系數(shù)K值。在T=87和T=106之間仍采用線性近似來求T=99時(shí)的導(dǎo)熱系數(shù)K。程序如下： x=87,106;y=x1,x2;a=polyfit(x,y,1);z=polyval(a,99)z=0.0729plot(99,z,'k+',x,y)gridxlabel('丙烷溫度T')ylabel('丙烷導(dǎo)熱系數(shù)K')title('壓力P=10.3*103kPa時(shí)丙烷導(dǎo)熱系數(shù)與溫度的關(guān)系')運(yùn)行結(jié)果: T=99、P=10.3*103KPa時(shí) K=0.0729。4.用電壓V=10伏的電池給電容器充電，電容器上t時(shí)刻的電壓為v(t)=V-(V-V0),其中v0是電容器的初始電壓，是充電常數(shù)。試由下面一組t，v數(shù)據(jù)確定V0和。t/s0.51234579V/伏6.366.487.