圓的方程典型題型

1、圓的方程典型題型1、 圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有幾個？2、求過兩點(diǎn)、且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn)與圓的關(guān)系3、圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有（ ）（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個PEOyx4、過點(diǎn)作直線，當(dāng)斜率為何值時，直線與圓有公共點(diǎn)，如圖所示5、已知圓，求過點(diǎn)與圓相切的切線6、自點(diǎn)發(fā)出的光線射到軸上，被軸反射，反射光線所在的直線與圓相切（1）求光線和反射光線所在的直線方程（2）光線自到切點(diǎn)所經(jīng)過的路程7、如圖所示，已知圓與軸的正方向交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，過做圓的切線，切點(diǎn)為，求垂心的軌跡8、求半徑為4，與圓相切，且和直線相切的圓的方程9、已知圓與直線相交于、兩點(diǎn)，為原點(diǎn)

2、，且，求實(shí)數(shù)的值10、求經(jīng)過點(diǎn)，且與直線和都相切的圓的方程11、設(shè)圓滿足：(1)截軸所得弦長為2；(2)被軸分成兩段弧，其弧長的比為，在滿足條件(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線的距離最小的圓的方程12、兩圓與相交于、兩點(diǎn)，求它們的公共弦所在直線的方程13、已知對于圓上任意一點(diǎn)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍14、試求圓(為參數(shù))上的點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大(小)值15、已知圓的方程為，圓內(nèi)有定點(diǎn)，圓周上有兩個動點(diǎn)、，使，求矩形的頂點(diǎn)的軌跡方程16、設(shè)點(diǎn)是圓是任一點(diǎn)，求的取值范圍17、已知對于圓上任一點(diǎn)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍18、(1)已知圓，為圓上的動點(diǎn)，求的最大、最小值(2)已知圓，為

3、圓上任一點(diǎn)求的最大、最小值，求的最大、最小值19、有一種大型商品，、兩地都有出售，且價格相同某地居民從兩地之一購得商品后運(yùn)回的費(fèi)用是：每單位距離地的運(yùn)費(fèi)是地的運(yùn)費(fèi)的3倍已知、兩地距離為10公里，顧客選擇地或地購買這種商品的標(biāo)準(zhǔn)是：包括運(yùn)費(fèi)和價格的總費(fèi)用較低求、兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)如何選擇購貨地點(diǎn)圓的方程典型題型答案1、 圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有幾個？分析：借助圖形直觀求解或先求出直線、的方程，從代數(shù)計(jì)算中尋找解答解法一：圓的圓心為，半徑設(shè)圓心到直線的距離為，則如圖，在圓心同側(cè)，與直線平行且距離為1的直線與圓有兩個交點(diǎn)，這兩個交點(diǎn)符合題意又與直

4、線平行的圓的切線的兩個切點(diǎn)中有一個切點(diǎn)也符合題意符合題意的點(diǎn)共有3個解法二：符合題意的點(diǎn)是平行于直線，且與之距離為1的直線和圓的交點(diǎn)設(shè)所求直線為，則，即，或，也即，或設(shè)圓的圓心到直線、的距離為、，則，與相切，與圓有一個公共點(diǎn)；與圓相交，與圓有兩個公共點(diǎn)即符合題意的點(diǎn)共3個說明：對于本題，若不留心，則易發(fā)生以下誤解：設(shè)圓心到直線的距離為，則圓到距離為1的點(diǎn)有兩個顯然，上述誤解中的是圓心到直線的距離，只能說明此直線與圓有兩個交點(diǎn)，而不能說明圓上有兩點(diǎn)到此直線的距離為1到一條直線的距離等于定值的點(diǎn)，在與此直線距離為這個定值的兩條平行直線上，因此題中所求的點(diǎn)就是這兩條平行直線與圓的公共點(diǎn)求直線與圓的公

5、共點(diǎn)個數(shù)，一般根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系來判斷，即根據(jù)圓心與直線的距離和半徑的大小比較來判斷2、求過兩點(diǎn)、且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判斷點(diǎn)與圓的關(guān)系分析：欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出圓心坐標(biāo)的圓的半徑的大小，而要判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，只須看點(diǎn)與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，若距離大于半徑，則點(diǎn)在圓外；若距離等于半徑，則點(diǎn)在圓上；若距離小于半徑，則點(diǎn)在圓內(nèi)解法一：（待定系數(shù)法） 設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為圓心在上，故 圓的方程為又該圓過、兩點(diǎn)解之得：， 所以所求圓的方程為解法二：（直接求出圓心坐標(biāo)和半徑） 因?yàn)閳A過、兩點(diǎn)，所以圓心必在線段的垂直平分線上，又因?yàn)?，故的斜率?，又的中點(diǎn)為，故的垂直平分線的方程

6、為：即又知圓心在直線上，故圓心坐標(biāo)為半徑故所求圓的方程為又點(diǎn)到圓心的距離為： 點(diǎn)在圓外說明：本題利用兩種方法求解了圓的方程，都圍繞著求圓的圓心和半徑這兩個關(guān)鍵的量，然后根據(jù)圓心與定點(diǎn)之間的距離和半徑的大小關(guān)系來判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，若將點(diǎn)換成直線又該如何來判定直線與圓的位置關(guān)系呢？3、分析：把化為，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以在圓上共有三個點(diǎn)到直線的距離等于，所以選CPEOyx4、過點(diǎn)作直線，當(dāng)斜率為何值時，直線與圓有公共點(diǎn)，如圖所示分析：觀察動畫演示，分析思路解：設(shè)直線的方程為：即：根據(jù)有：整理得： 解得：5、已知圓，求過點(diǎn)與圓相切的切線解：點(diǎn)不在圓上，切線的直線方程可設(shè)為根據(jù)

7、解得： 所以： 即： 因?yàn)檫^圓外一點(diǎn)作圓得切線應(yīng)該有兩條，可見另一條直線的斜率不存在易求另一條切線為GOBNMyAx圖3CA說明： 本題還有其他解法，例如把所設(shè)的切線方程代入圓方程，用判別式等于0解決（也要注意漏解）還可以運(yùn)用，求出切點(diǎn)坐標(biāo)、的值來解決，此時沒有漏解6、自點(diǎn)發(fā)出的光線射到軸上，被軸反射，反射光線所在的直線與圓相切（1）求光線和反射光線所在的直線方程（2）光線自到切點(diǎn)所經(jīng)過的路程分析、略解：觀察動畫演示，分析思路根據(jù)對稱關(guān)系，首先求出點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，其次設(shè)過的圓的切線方程為：根據(jù)，即求出圓的切線的斜率為：或進(jìn)一步求出反射光線所在的直線的方程為：或最后根據(jù)入射光與反射光關(guān)于軸對

8、稱，求出入射光所在直線方程為或光路的距離為，可由勾股定理求得說明：本題亦可把圓對稱到軸下方，再求解7、如圖所示，已知圓與軸的正方向交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動，過做圓的切線，切點(diǎn)為，求垂心的軌跡分析：按常規(guī)求軌跡的方法，設(shè)，找的關(guān)系非常難由于點(diǎn)隨，點(diǎn)運(yùn)動而運(yùn)動，可考慮，三點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系解：設(shè)，連結(jié)，則，是切線，所以，所以四邊形是菱形所以，得又滿足，所以即是所求軌跡方程說明：題目巧妙運(yùn)用了三角形垂心的性質(zhì)及菱形的相關(guān)知識采取代入法求軌跡方程做題時應(yīng)注意分析圖形的幾何性質(zhì)，求軌跡時應(yīng)注意分析與動點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的點(diǎn)，如相關(guān)聯(lián)點(diǎn)軌跡方程已知，可考慮代入法8、求半徑為4，與圓相切，且和直線相切的圓的方程分析：根據(jù)

9、問題的特征，宜用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解解：則題意，設(shè)所求圓的方程為圓圓與直線相切，且半徑為4，則圓心的坐標(biāo)為或又已知圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑為3若兩圓相切，則或(1)當(dāng)時，或(無解)，故可得所求圓方程為，或(2)當(dāng)時，或(無解)，故所求圓的方程為，或說明：對本題，易發(fā)生以下誤解：由題意，所求圓與直線相切且半徑為4，則圓心坐標(biāo)為，且方程形如又圓，即，其圓心為，半徑為3若兩圓相切，則故，解之得所以欲求圓的方程為，或上述誤解只考慮了圓心在直線上方的情形，而疏漏了圓心在直線下方的情形另外，誤解中沒有考慮兩圓內(nèi)切的情況也是不全面的9、已知圓與直線相交于、兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值分析：設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)為、，則由

10、，可得，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解或因?yàn)橥ㄟ^原點(diǎn)的直線的斜率為，由直線與圓的方程構(gòu)造以為未知數(shù)的一元二次方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出的值，從而使問題得以解決解法一：設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)為、一方面，由，得，即，也即：另一方面，、是方程組的實(shí)數(shù)解，即、是方程的兩個根，又、在直線上，將代入，得將、代入，解得，代入方程，檢驗(yàn)成立， 解法二：由直線方程可得，代入圓的方程，有，整理，得由于，故可得：，是上述方程兩根故得：，解得經(jīng)檢驗(yàn)可知為所求 說明：求解本題時，應(yīng)避免去求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)的具體數(shù)值除此之外，還應(yīng)對求出的值進(jìn)行必要的檢驗(yàn)，這是因?yàn)樵谇蠼膺^程中并沒有確保有交點(diǎn)、存在解法一顯示了一種解這類題的通法，解

11、法二的關(guān)鍵在于依據(jù)直線方程構(gòu)造出一個關(guān)于的二次齊次方程，雖有規(guī)律可循，但需一定的變形技巧，同時也可看出，這種方法給人以一種淋漓酣暢，一氣呵成之感10、求經(jīng)過點(diǎn)，且與直線和都相切的圓的方程分析：欲確定圓的方程需確定圓心坐標(biāo)與半徑，由于所求圓過定點(diǎn)，故只需確定圓心坐標(biāo)又圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上解：圓和直線與相切，圓心在這兩條直線的交角平分線上，又圓心到兩直線和的距離相等兩直線交角的平分線方程是或又圓過點(diǎn)， 圓心只能在直線上設(shè)圓心到直線的距離等于， 化簡整理得解得：或圓心是，半徑為或圓心是，半徑為所求圓的方程為或說明：本題解決的關(guān)鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上，

12、從而確定圓心坐標(biāo)得到圓的方程，這是過定點(diǎn)且與兩已知直線相切的圓的方程的常規(guī)求法11、設(shè)圓滿足：(1)截軸所得弦長為2；(2)被軸分成兩段弧，其弧長的比為，在滿足條件(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線的距離最小的圓的方程分析：要求圓的方程，只須利用條件求出圓心坐標(biāo)和半徑，便可求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程滿足兩個條件的圓有無數(shù)個，其圓心的集合可看作動點(diǎn)的軌跡，若能求出這軌跡的方程，便可利用點(diǎn)到直線的距離公式，通過求最小值的方法找到符合題意的圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而確定圓的半徑，求出圓的方程解法一：設(shè)圓心為，半徑為則到軸、軸的距離分別為和由題設(shè)知：圓截軸所得劣弧所對的圓心角為，故圓截軸所得弦長為又圓截軸所得弦長為2

13、 又到直線的距離為：當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號，此時這時有或又故所求圓的方程為或解法二：同解法一，得 將代入上式得：上述方程有實(shí)根，故 ，將代入方程得又由知、同號故所求圓的方程為或說明：本題是求點(diǎn)到直線距離最小時的圓的方程，若變換為求面積最小呢？12、兩圓與相交于、兩點(diǎn)，求它們的公共弦所在直線的方程分析：首先求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式求直線的方程，但是求兩圓交點(diǎn)坐標(biāo)的過程太繁為了避免求交點(diǎn)，可以采用“設(shè)而不求”的技巧解：設(shè)兩圓、的任一交點(diǎn)坐標(biāo)為，則有：得：、的坐標(biāo)滿足方程方程是過、兩點(diǎn)的直線方程又過、兩點(diǎn)的直線是唯一的兩圓、的公共弦所在直線的方程為說明：上述解法中，巧妙地避開了求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，雖然設(shè)

14、出了它們的坐標(biāo)，但并沒有去求它，而是利用曲線與方程的概念達(dá)到了目標(biāo)從解題的角度上說，這是一種“設(shè)而不求”的技巧，從知識內(nèi)容的角度上說，還體現(xiàn)了對曲線與方程的關(guān)系的深刻理解以及對直線方程是一次方程的本質(zhì)認(rèn)識它的應(yīng)用很廣泛13、已知對于圓上任意一點(diǎn)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：運(yùn)用圓的參數(shù)方程，設(shè)的坐標(biāo)為， 即，恒成立 恒成立即恒成立只需大于等于的最大值令的最大值為說明：在上述解法中我們運(yùn)用了圓上點(diǎn)的參數(shù)設(shè)法采用這種設(shè)法的優(yōu)點(diǎn)在于，一方面可以減少參數(shù)的個數(shù)，另一方面可以靈活地運(yùn)用三角公式從代數(shù)的觀點(diǎn)看，這種設(shè)法的實(shí)質(zhì)就是三角代換另外本題也可以不用圓的參數(shù)方程求解，本題的實(shí)質(zhì)就是求最值問題，方

15、法較多但以上述解法較簡14、試求圓(為參數(shù))上的點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大(小)值分析：利用兩點(diǎn)間距離公式求解或數(shù)形結(jié)合求解解法一：設(shè)是圓上任一點(diǎn)，則所以因?yàn)椋?，因此?dāng)時，當(dāng)時，解法二：將圓代入普通方程得如圖所示可得，、分別是圓上的點(diǎn)到的距離的最小值和最大值易知：，說明：(1)在圓的參數(shù)方程(為參數(shù))中，為圓心，為半徑，參數(shù)的幾何意義是：圓的半徑從軸正向繞圓心按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到所得圓心角的大小若原點(diǎn)為圓心，常常用來表示半徑為的圓上的任一點(diǎn)(2)圓的參數(shù)方程也是解決某些代數(shù)問題的一個重要工具15、已知圓的方程為，圓內(nèi)有定點(diǎn)，圓周上有兩個動點(diǎn)、，使，求矩形的頂點(diǎn)的軌跡方程分析：利用幾何法求解，或利用轉(zhuǎn)移

16、法求解，或利用參數(shù)法求解解法一：如圖，在矩形中，連結(jié)，交于，顯然，在直角三角形中，若設(shè)，則由，即，也即，這便是的軌跡方程解法二：設(shè)、，則，又，即又與的中點(diǎn)重合，故，即，有這就是所求的軌跡方程解法三：設(shè)、，由于為矩形，故與的中點(diǎn)重合，即有，又由有聯(lián)立、消去、，即可得點(diǎn)的軌跡方程為說明：本題的條件較多且較隱含，解題時，思路應(yīng)清晰，且應(yīng)充分利用圖形的幾何性質(zhì)，否則，將使解題陷入困境之中本題給出三種解法其中的解法一是幾何方法，它充分利用了圖形中隱含的數(shù)量關(guān)系而解法二與解法三，從本質(zhì)上是一樣的，都可以稱為參數(shù)方法解法二涉及到了、四個參數(shù)，故需列出五個方程；而解法三中，由于借助了圓的參數(shù)方程，只涉及到兩個

17、參數(shù)、，故只需列出三個方程便可上述三種解法的共同之處是，利用了圖形的幾何特征，借助數(shù)形結(jié)合的思想方法求解16、設(shè)點(diǎn)是圓是任一點(diǎn)，求的取值范圍分析一：利用圓上任一點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)代替、，轉(zhuǎn)化為三角問題來解決解法一：設(shè)圓上任一點(diǎn)則有，即（）又解之得：分析二：的幾何意義是過圓上一動點(diǎn)和定點(diǎn)的連線的斜率，利用此直線與圓有公共點(diǎn)，可確定出的取值范圍解法二：由得：，此直線與圓有公共點(diǎn)，故點(diǎn)到直線的距離解得：另外，直線與圓的公共點(diǎn)還可以這樣來處理：由消去后得：，此方程有實(shí)根，故，解之得：說明：這里將圓上的點(diǎn)用它的參數(shù)式表示出來，從而將求變量的范圍問題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的有關(guān)知識來求解或者是利用其幾何意義轉(zhuǎn)化成斜率來

18、求解，使問題變得簡捷方便17、已知對于圓上任一點(diǎn)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍分析一：為了使不等式恒成立，即使恒成立，只須使就行了因此只要求出的最小值，的范圍就可求得解法一：令，由得：且，即，即又恒成立即恒成立成立， 分析二：設(shè)圓上一點(diǎn)因?yàn)檫@時點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程問題轉(zhuǎn)化為利用三解問題來解解法二：設(shè)圓上任一點(diǎn)，恒成立 即恒成立只須不小于的最大值設(shè)即說明：在這種解法中，運(yùn)用了圓上的點(diǎn)的參數(shù)設(shè)法一般地，把圓上的點(diǎn)設(shè)為()采用這種設(shè)法一方面可減少參數(shù)的個數(shù)，另一方面可以靈活地運(yùn)用三角公式從代數(shù)觀點(diǎn)來看，這種做法的實(shí)質(zhì)就是三角代換18、(1)已知圓，為圓上的動點(diǎn)，求的最大、最小值(2)已知圓，為圓上任一點(diǎn)求的最大、最小值，求的最大、最小值分析：(1)、(2)兩小題都涉及到圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決解：(1)(法1)由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)圓的參數(shù)方程為（是參數(shù)）則（其中）所以，(法2)圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值等于圓心到原點(diǎn)的距離加上半徑1，圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值等于圓心到原點(diǎn)的距離減去