圓錐曲線(xiàn)之軌跡問(wèn)題例題習(xí)題

1、專(zhuān)題：圓 錐 曲 線(xiàn) 之 軌 跡 問(wèn) 題一、臨陣磨槍 1.直接法（五部法）：如果動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何條件本身就是一些幾何量的等量關(guān)系，或這些幾何條件簡(jiǎn)單明了且易于表達(dá)，我們只須把這種關(guān)系“翻譯”成含的等式就得到曲線(xiàn)的軌跡方程。這種求軌跡的方法稱(chēng)之為直接法。 2.定義法：若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如圓、橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的定義），則可根據(jù)定義直接求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。 3.坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法（代入法）：有些問(wèn)題中，其動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的條件不便于等式列出，但動(dòng)點(diǎn)是隨著另一動(dòng)點(diǎn)（稱(chēng)之為相關(guān)點(diǎn)）而運(yùn)動(dòng)的，如果相關(guān)點(diǎn)所滿(mǎn)足的條件是明顯的，或是可分析的，這時(shí)我們可以用動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿(mǎn)足的方程

2、即可求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡的方法坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法，也稱(chēng)相關(guān)點(diǎn)法或代入法。 4.參數(shù)法：有時(shí)求動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿(mǎn)足的幾何條件不易求出，也無(wú)明顯的相關(guān)點(diǎn)，但卻較易發(fā)現(xiàn)（或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn)）這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)常常受到另一個(gè)變量（角度、斜率、比值、截距或時(shí)間等）的制約，即動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)中的分別隨另一變量的變化而變化，我們可以把這個(gè)變量設(shè)為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫做參數(shù)法，如果需要得到軌跡的普通方程，只要消去參變量即可。 5.交軌法：在求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)要求兩動(dòng)曲線(xiàn)交點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題?？赏ㄟ^(guò)解方程組得出交點(diǎn)含參數(shù)的坐標(biāo)，再消去參數(shù)得出所求軌跡方程，此種方法稱(chēng)為交軌法。二、小試牛刀 1.已知M（-3,0

3、），N（3,0）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為 析： 點(diǎn)P的軌跡一定是線(xiàn)段MN的延長(zhǎng)線(xiàn)。故所求軌跡方程是 2.已知圓O的方程為，圓的方程為，由動(dòng)點(diǎn)P向兩圓所引的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為 析：圓O與圓外切于點(diǎn)M(2,0) 兩圓的內(nèi)公切線(xiàn)上的點(diǎn)向兩圓所引的切線(xiàn)長(zhǎng)都相等， 故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡就是兩圓的內(nèi)公切線(xiàn)，其方程為 3.已知橢圓，M是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，則線(xiàn)段的中點(diǎn)P的軌跡方程為 析：設(shè)P 又 由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得： 又點(diǎn)在橢圓上 因此中點(diǎn)P的軌跡方程為 4.已知A、B、C是不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)，O是平面ABC內(nèi)的一定點(diǎn)，P是動(dòng)點(diǎn)，若,則點(diǎn)P的軌跡一定過(guò)三角形ABC的 重 心。析：設(shè)點(diǎn)D為B

4、C的中點(diǎn)，顯然有 故點(diǎn)P的軌跡是射線(xiàn)AD， 所以，軌跡一定過(guò)三角形的重心。三、大顯身手1、直接法 例1、設(shè)過(guò)點(diǎn)P（x,y）的直線(xiàn)分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，若且,則P點(diǎn)的軌跡方程為 解：設(shè) 又 所以又 所以 而點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)的坐標(biāo)為 即又 所以 這個(gè)方程即為所求軌跡方程。變式1、已知兩點(diǎn)M（-2,0），N（2,0），點(diǎn)P滿(mǎn)足,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為 解:設(shè)則： 又 化簡(jiǎn)得所求軌跡方程為：2、定義法例2、已知圓A的方程為，點(diǎn)B（-3,0），M為圓O上任意一點(diǎn)，BM的中垂線(xiàn)交AM于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程。解：由題意知：又圓A的半徑為10，所以 即點(diǎn)P的

5、軌跡是以定點(diǎn)A(3,0) B(-3,0)為焦點(diǎn)，10為長(zhǎng)軸的橢圓 （橢圓與長(zhǎng)軸所在的對(duì)稱(chēng)軸的兩交點(diǎn)除外）其軌跡方程為變式2、已知橢圓的焦點(diǎn)為，P是橢圓上的任意一點(diǎn)，如果M是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是 解：因?yàn)镸是線(xiàn)段的中點(diǎn)，連接OM，則由橢圓的定義知： 即點(diǎn)M到定點(diǎn)O、定點(diǎn)的距離和為定值，故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)、為焦點(diǎn)，以為長(zhǎng)軸的橢圓，其方程為（說(shuō)明：此題也可以用代入法解決） 3、坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法（代入法） 例3、從雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)Q引直線(xiàn)x+y=2的垂線(xiàn)，垂足為N，求線(xiàn)段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程。解：設(shè)Q則由可得 N點(diǎn)坐標(biāo) 設(shè)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得： 又點(diǎn)Q在雙曲線(xiàn)上，所以 代入得 化簡(jiǎn)得 即為所求軌跡

6、方程。 變式3、自?huà)佄锞€(xiàn)上任意一點(diǎn)P向其準(zhǔn)線(xiàn)引垂線(xiàn)，垂足為Q，連接頂點(diǎn)O與P的直線(xiàn)和連接焦點(diǎn)F與Q的直線(xiàn)交于R，求點(diǎn)R的軌跡方程。解：設(shè) 拋物線(xiàn)的方程是所以 直線(xiàn)OP的方程是 直線(xiàn)QF的方程是 聯(lián)立兩方程得： 又 所以 化簡(jiǎn)得：即為所求軌跡方程。4、參數(shù)法 例4、設(shè)橢圓方程為，過(guò)點(diǎn)M（0,1）的直線(xiàn)交橢圓于A、B，點(diǎn)P滿(mǎn)足,點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求： （1）動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程； （2）的最大、最小值。解：（1）設(shè)直線(xiàn)的方程為代入橢圓方程得設(shè) 則 設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由可得消去參數(shù)即得所求軌跡方程為：當(dāng)斜率不存在時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,0）顯然在軌跡上，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為。（2）P點(diǎn)的軌跡方程可以

7、化為所以可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 則所以 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 變式4、過(guò)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)作互相垂直的兩弦OA、OB.(1) 求弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程；（2）證明：直線(xiàn)AB與x軸的交點(diǎn)為定點(diǎn)。解：（1）由題意知OA的斜率存在且不為零，設(shè)為則直線(xiàn)OA的方程為與拋物線(xiàn)聯(lián)立可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為 同理可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為 設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M（x,y）則 消去得弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程為（2）直線(xiàn)AB的斜率為 所以，其方程為 令 得 故直線(xiàn)AB與x軸的焦點(diǎn)為定點(diǎn)（2,0）5、交軌法 例5、垂直于x軸的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于M、N兩點(diǎn)，為雙曲線(xiàn)的頂點(diǎn)，求直線(xiàn)與的交點(diǎn)P的軌跡方程，并指出軌跡的形狀。解：.解：(1)設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,y1)，則

8、N點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1),又有則A1M的方程為：y= A2N的方程為：y= ×得：y2=又因點(diǎn)M在雙曲線(xiàn)上，故代入并整理得=1.此即為P的軌跡方程.變式5、設(shè)點(diǎn)A、B為拋物線(xiàn)上除原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OAOB,OMAB于M，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線(xiàn)。解:設(shè)OA=y=kx, 則， 得 同理 B(2pk2, -2pk) AB: . 而op: . 為AB與的交點(diǎn)，聯(lián)立 (1)×(2)消去k, y2=-(x-2p)x, x2+y2-2px=0(x0)即為所求.四、享受戰(zhàn)果1、已知，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為 析:滿(mǎn)足條件的點(diǎn)在線(xiàn)段上，故軌跡方程是 2、經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的弦的

9、中點(diǎn)的軌跡方程為 析：設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的弦AB所在的直線(xiàn)方程為代入拋物線(xiàn)方程消去的設(shè) AB的中點(diǎn)為則 消去參數(shù)得 這就是所求軌跡方程。3、與圓外切，又與y軸相切的圓的圓心的軌跡方程為 析：若與圓外切，又與y軸相切的圓在軸的左側(cè)，則所求軌跡方程為若與圓外切，又與y軸相切的圓在軸的右側(cè)則動(dòng)圓圓心到定圓圓心地距離減去定圓半徑2等于動(dòng)圓圓心到軸的距離，故所求軌跡方程為 4、設(shè)是橢圓的左右頂點(diǎn)，是垂直于長(zhǎng)軸的弦的端點(diǎn)，則直線(xiàn)與的交點(diǎn)的軌跡方程為 解析：設(shè)交點(diǎn)P(x,y）,A1(3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,y0)A1、P1、P共線(xiàn)，A2、P2、P共線(xiàn)，解得x0= 5、已知橢圓的焦點(diǎn)為

10、，A是橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向的外角平分線(xiàn)作垂線(xiàn)于D，則點(diǎn)D的軌跡方程為 解：設(shè)的延長(zhǎng)線(xiàn)交直線(xiàn)于P，由橢圓的定義知：=8 又 代入得 即為點(diǎn)D的軌跡方程。6、過(guò)原點(diǎn)的雙曲線(xiàn)以F（4,0）為一個(gè)焦點(diǎn)，且實(shí)軸長(zhǎng)為2，則此雙曲線(xiàn)的中心的軌跡方程為 析：設(shè)雙曲線(xiàn)的中心為，則雙曲線(xiàn)的另一個(gè)焦點(diǎn)為 又雙曲線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，且實(shí)軸長(zhǎng)為2， 所以 即 化簡(jiǎn)得： 7、在中，已知B（-3,0），C(3,0),ADBC于D, 的垂心H分所成的比為。（1）求點(diǎn)H和點(diǎn)A的軌跡方程；（2）設(shè)P（-1,0），Q（1,0）那么能成等差數(shù)列嗎？解 (1)設(shè)H點(diǎn)的坐標(biāo)為,對(duì)應(yīng)的A的坐標(biāo)為, 則D的坐標(biāo)為, 由H分有向線(xiàn)段 此即點(diǎn)H的軌跡方

11、程. (2)由(1)可知, P, Q分別為橢圓的左右焦點(diǎn), 設(shè)H(x, y), 且數(shù)列, 則 8、 已知直線(xiàn)l與橢圓 有且僅有一個(gè)交點(diǎn)Q，且與x軸、y軸分別交于R、S，求以線(xiàn)段SR為對(duì)角線(xiàn)的矩形ORPS的一個(gè)頂點(diǎn)P的軌跡方程.解： 由已知，直線(xiàn)l 不過(guò)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，所以設(shè)直線(xiàn)l的方程為代入橢圓方程 得化簡(jiǎn)后，得關(guān)于的一元二次方程于是其判別式 由已知，得=0即 在直線(xiàn)方程y=kx+m中，分別令y=0，x=0，求得 令頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由已知，得 代入式并整理，得 即為所求頂點(diǎn)P的軌跡方程. 9、動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)x=1的距離與它到點(diǎn)A（4,0）的距離之比為2，則點(diǎn)P的軌跡方程是 略解：由題意

12、知：點(diǎn)P到點(diǎn)A（4,0）與它到直線(xiàn)x=1的距離之比為 設(shè)P(x,y)則化簡(jiǎn)得： 10、已知A（0,7），B（0，-7）C（12,2），以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過(guò)A、B的橢圓，求橢圓的另一焦點(diǎn)F的軌跡方程。解：由題意得： 而 所以 故動(dòng)點(diǎn)F的軌跡是分別以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)軸為2的雙曲線(xiàn)的下半支，其方程是 11、已知圓O的方程，若拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A(0，-1),B(0,1)，且以圓的切線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)，求拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的軌跡方程。 解： 首先 設(shè)焦點(diǎn)為F（x,y）,準(zhǔn)線(xiàn)（即圓的切線(xiàn)）為 L A到L的距離為a， B到L的距離為b 那么 根據(jù)拋物線(xiàn)的性質(zhì) 有 a=|AF| b=|BF| 于是 |AF|+|BF|=a+b 而a+

13、b 恰是圓的直徑(畫(huà)個(gè)示意圖 想想為什么) 既有 |AF|+|BF|=4 故 動(dòng)焦點(diǎn)F的軌跡是分別以A,B為焦點(diǎn)的橢圓，而且半長(zhǎng)軸是2 故所求軌跡方程是。 12、已知圓O的方程，圓的方程，由動(dòng)點(diǎn)P向圓O和圓所引的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。解:設(shè)由動(dòng)點(diǎn)P向圓O和圓所引的的切線(xiàn)的切點(diǎn)分別為A、B，則由題意有： 即 設(shè)則 即為動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。 13、已知拋物線(xiàn)，過(guò)頂點(diǎn)的兩弦OA、OB互相垂直，以O(shè)A、OB為直徑的兩圓的另一交點(diǎn)Q的軌跡方程。解：設(shè) 由OAOB 可得.可以求得，以O(shè)A為直徑的圓的方程為： 即 .同理，以O(shè)B為直徑的圓的方程為設(shè)，點(diǎn)P為兩圓交點(diǎn)，則所以，可以看作是關(guān)于的方程的兩根

14、整理得由根與系數(shù)的關(guān)系，可知 結(jié)合式，有 即 所以 P的軌跡方程為 故 點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，為半徑的圓（去掉原點(diǎn)）.(另法)；解：設(shè)，直線(xiàn)AB的方程為（顯然） 則 （兩邊同時(shí)除以） OAOB 則代入直線(xiàn)AB的方程：.OPAB OP的方程為： .、式聯(lián)立消去，得到P的軌跡方程當(dāng)AB軸時(shí)，斜率不存在，此時(shí)P點(diǎn)為AB中點(diǎn)，且在軸上，坐標(biāo)為滿(mǎn)足上面的方程，因此P點(diǎn)的軌跡方程為. 14、已知三點(diǎn)N (0，,P (,其中，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足且(1) 求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；(2) 過(guò)點(diǎn)F作直線(xiàn)與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡交于A、B兩點(diǎn)，求的面積的最小值。解：（1）動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，且 動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)。 所以點(diǎn)M的

15、軌跡方程是.（2）顯然直線(xiàn)AB的斜率存在設(shè)為k，則直線(xiàn)AB的方程為與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立消去y得： 設(shè) 則 而 所以 當(dāng)時(shí)，面積的最小值為 15、已知點(diǎn)Q位于直線(xiàn)右側(cè)，且到點(diǎn)F（-1,0）與直線(xiàn)的距離之和為4. （1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C的方程； （2）直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)M（1,0）且交曲線(xiàn)C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿(mǎn)足,且 ,求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)的取值范圍。 解：（1）設(shè)由題意有動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡C為以為焦點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)在直線(xiàn)右側(cè)的部分.（2）由題意可設(shè)直線(xiàn)的方程為設(shè) 由可得由題意 解之得 由 可知：點(diǎn)P為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)， 由可知 EPAB 整理得的取值范圍是 16、設(shè)雙曲線(xiàn)C1的方程為，A、B為其左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，P

16、是雙曲線(xiàn)C1上的任意一點(diǎn)，引QBPB，QAPA，AQ與BQ交于點(diǎn)Q.（）求Q點(diǎn)的軌跡方程;（）設(shè)（I）中所求軌跡為C2，C1、C2的離心率分別為e1、e2，當(dāng)時(shí)，e2的取值范圍. （I）解法一：設(shè)P(x0,y0), Q(x ,y ) 經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)不合 因此Q點(diǎn)的軌跡方程為a2x2b2y2=a4（除點(diǎn)（a,0）,(a,0)外） （I）解法二：設(shè)P(x0,y0), Q(x,y), A(a, 0), B(a , 0), QBPB, QAPA （I）解法三：設(shè)P(x0,y0), Q(x,y), PAQA （1）連接PQ，取PQ中點(diǎn)R17、如右圖，給出定點(diǎn)A(a，0)(a0)和直線(xiàn)l：x1B是直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn)

17、，BOA的角平分線(xiàn)交AB于C求點(diǎn)C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線(xiàn)類(lèi)型與a值的關(guān)系依題意，記B(1，b)(bR)，則直線(xiàn)OA和OB的方程分別為y=0和y=bx設(shè)點(diǎn)C(x，y)，則有0xa，由OC平分AOB，知點(diǎn)C到OA、OB距離相等根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得依題設(shè)，點(diǎn)C在直線(xiàn)AB上，故有將式代入式得整理得 y2(1a)x22ax(1a)y20，若y0，則(1a)x22ax(1a)y2=0(0xa)；若y0，則b=0，AOB，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，0)，滿(mǎn)足上式綜上得點(diǎn)C的軌跡方程為(1a)x22ax(1a)y2=0(0xa)(i)當(dāng)a1時(shí)，軌跡方程化為 y2x(0x1)此時(shí)，方程表示拋物線(xiàn)弧段；(i

18、i)當(dāng)a1時(shí)，軌跡方程為所以，當(dāng)0a1時(shí)，方程表示橢圓弧段；當(dāng)a1時(shí)，方程表示雙曲線(xiàn)一支的弧段18、已知橢圓=1(ab0),點(diǎn)P為其上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的焦點(diǎn)，F(xiàn)1PF2的外角平分線(xiàn)為l，點(diǎn)F2關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，F(xiàn)2Q交l于點(diǎn)R.當(dāng)P點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求R形成的軌跡方程；.解：(1)點(diǎn)F2關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，連接PQ，F(xiàn)2PR=QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|又因?yàn)閘為F1PF2外角的平分線(xiàn)，故點(diǎn)F1、P、Q在同一直線(xiàn)上，設(shè)存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,則(x1+c)2+y12=(2a)2.又得x1=2x0c,y1=2y0.(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，x02+y02=a2.故R的軌跡方程為：x2+y2=a2(y0)19、已知M：軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA，QB分別切M于A，B兩點(diǎn)，（1）如果，求直線(xiàn)MQ的方程；（2）求動(dòng)弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程.解:（1）設(shè)由，可得由射影定理，得 在RtMOQ中， ， 故， 所以直線(xiàn)AB方程是（2）連接MB，MQ，設(shè)由點(diǎn)M，P，Q在一直線(xiàn)上，得由射影定理得即 把（*）及（*）消去a，并注意到，