第3章傅里葉變換

1、1.1.傅里葉級數(shù)定義及適用條件傅里葉級數(shù)定義及適用條件2.2.周期信號的頻譜分析及特點周期信號的頻譜分析及特點3.3.傅里葉變換定義及適用條件傅里葉變換定義及適用條件4.4.典型非周期信號的典型非周期信號的傅里葉變換傅里葉變換5.5.傅里葉變換的基本傅里葉變換的基本性質(zhì)性質(zhì)6.6.周期信號和周期信號和抽樣抽樣信號的信號的傅里葉變換傅里葉變換7.7.抽樣定理抽樣定理第第3 3章章 傅里葉變換傅里葉變換l 重點：重點：3.1 引言引言 第二章第二章 第三章第三章時域分析時域分析 頻域分析（變換域）頻域分析（變換域）1、傅里葉分析：信號的頻域分析（頻譜分析）傅里葉分析：信號的頻域分析（頻譜分析）傅

2、里葉變換傅里葉變換時域信號時域信號f(t)信號信號f(t)的頻譜的頻譜F()即：即：2、頻域分析：從頻域分析：從F()中可以中可以分析出分析出信號信號f(t)所包含的頻率成分所包含的頻率成分3、重要性：傅里葉分析法在電子、通信和控制等領(lǐng)域中重要性：傅里葉分析法在電子、通信和控制等領(lǐng)域中 有著不可或缺的極其廣泛而普遍的應用有著不可或缺的極其廣泛而普遍的應用4、一、三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)一、三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)3.2 周期信號的傅里葉分析周期信號的傅里葉分析若周期信號若周期信號f(t)滿足狄里克雷條件，可以展成為傅里葉級數(shù)滿足狄里克雷條件，可以展成為傅里葉級數(shù)狄氏條件：周期信號狄氏條件：周期

3、信號f(t)在一周期內(nèi)在一周期內(nèi) （1）若有間斷點存在，則間斷點個數(shù)有限）若有間斷點存在，則間斷點個數(shù)有限 （2）極大值和極小值個數(shù)有限）極大值和極小值個數(shù)有限 （3）信號）信號 f(t)絕對可積絕對可積 ， 即即100)(Tttdttf（1）展成為傅里葉級數(shù)的條件）展成為傅里葉級數(shù)的條件一、三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)一、三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)3.2 周期信號的傅里葉分析周期信號的傅里葉分析則 f (t) = a0 + a1cos(1t) + b1sin(1t) + a2cos(21t) + b2sin(21t) + ancos(n1t) + bnsin(n1t) +0111( )(cossi

4、n)nnnf taantbnt稱為傅里葉級數(shù)稱為傅里葉級數(shù) 即即若 f (t)的周期為T1;(s), 角頻率1=2/T1;(rad/s), 頻率f1=1/T1;(Hz)（2）級數(shù)表達式）級數(shù)表達式其中其中 n 正整數(shù) (n = 1、2、3 )a0 直流分量an 各次諧波成分余弦分量的幅度bn 各次諧波成分正弦分量的幅度3.2 周期信號的傅里葉分析周期信號的傅里葉分析1010)(1TdttfTa一、三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)一、三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)（3）各次諧波成分）各次諧波成分的幅度值計算式的幅度值計算式101)cos()(2TndttntfTaan是是n的偶函數(shù)的偶函數(shù)12T101)sin

5、()(2TndttntfTbbn是是n的奇函數(shù)的奇函數(shù)12T二、余弦形式的傅里葉級數(shù)二、余弦形式的傅里葉級數(shù)3.2 周期信號的傅里葉分析周期信號的傅里葉分析直流分量直流分量 n=0n1基波分量基波分量 n次諧波分量次諧波分量 110)cos()(nnntncctfn=1c0 = a0 22nnnbac nnnabarctan其中各次諧波對應分量的幅度值各次諧波對應分量的相位值舉例：舉例： f (t) = c 0 + 11)cos(nnntnc = 0.25 + 0.45cos(1t + 00) + 0.32cos(21t + 00) + 0.15cos(31t + 00) + 0.09cos(

6、51t + 1800) + 0.10cos(61t + 1800) + 0.064cos(71t + 1800) + 三、指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)三、指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)3.2 周期信號的傅里葉分析周期信號的傅里葉分析ntjnenFtf1)()(11001)(11TtttjnndtetfTF 簡寫為Fn F(n1) 為指數(shù)傅里葉級數(shù)的系數(shù)（一般為復函數(shù)）（1）級數(shù)表達式和系數(shù)）級數(shù)表達式和系數(shù)計算式計算式3.2 周期信號的傅里葉分析周期信號的傅里葉分析直流分量關(guān)系：F0 = a 0 = c 0Fn為直角坐標復函數(shù)形式時為直角坐標復函數(shù)形式時 nnnjbaF21nnnjbaF21令 n = - nF

7、n為實部函數(shù) an/2偶對稱虛部函數(shù)-bn/2奇對稱三、指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)三、指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)（2）系數(shù)）系數(shù)Fn與其他形式傅里葉級數(shù)系數(shù)關(guān)系與其他形式傅里葉級數(shù)系數(shù)關(guān)系3.2 周期信號的傅里葉分析周期信號的傅里葉分析 nnnnnnnabcbaFarctan212122幅度函數(shù)|Fn|為偶對稱相位函數(shù)n為奇對稱三、指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)三、指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)（2）系數(shù)）系數(shù)Fn與其他形式傅里葉級數(shù)系數(shù)關(guān)系與其他形式傅里葉級數(shù)系數(shù)關(guān)系njnneFFFn為極坐標復函數(shù)形式時為極坐標復函數(shù)形式時 3.2 周期信號的傅里葉分析周期信號的傅里葉分析 F(n1)稱為復數(shù)頻譜，其中F0 為直流分量 F

8、(n1)的極坐標復函數(shù)形式為 F(n1) = |Fn| e-jn |Fn| 為復數(shù)頻譜F(n1)的幅度譜，體現(xiàn)了周期信號f (t) 在頻域的軸上每個頻率點n1對應的幅度成分大小。 n 為復數(shù)頻譜F(n1)的相位譜，體現(xiàn)了周期信號f (t) 在頻域的軸上每個頻率點n1對應的相位成分大小。F(n1) 的極坐標復函數(shù)形式的極坐標復函數(shù)形式體現(xiàn)了周期信號體現(xiàn)了周期信號f (t)的頻譜特性的頻譜特性三、指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)三、指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)（3）系數(shù)）系數(shù)F(n1)的物理意義的物理意義四、函數(shù)的對稱性與傅里葉級數(shù)系數(shù)的關(guān)系四、函數(shù)的對稱性與傅里葉級數(shù)系數(shù)的關(guān)系3.2 周期信號的傅里葉分析周期信號的

9、傅里葉分析（1）偶）偶 函函 數(shù)數(shù) P94（2）奇）奇 函函 數(shù)數(shù) P95（3）奇諧函數(shù)）奇諧函數(shù) P95自學自學例題例題1、用有限長度、用有限長度N的傅里葉級數(shù)逼近周期信號的傅里葉級數(shù)逼近周期信號f (t) 周期方波信號周期方波信號f (t)如圖所示如圖所示 f (t)奇函數(shù)且奇諧函數(shù) a0 = 0 ; an = 0 ; bn =20111)sin()(4TdttntfT查表（P374 375） 附錄二，E = 2bn =2sin42nnNnnnn5 , 3 , 1;4)cos1 (2NnnNnntTnntnbtf11112sin4sin)(奇數(shù)用用MATLAB仿真，分析逼近效果仿真，分析逼

10、近效果 運行：運行：基于基于MATLAB的信號與系統(tǒng)實驗指導的信號與系統(tǒng)實驗指導 書中書中P42【實例【實例6-1】的】的MATLAB源程序源程序結(jié)論：從【例題結(jié)論：從【例題1】可以看出，隨著級數(shù)項的增多，】可以看出，隨著級數(shù)項的增多， 逼近周期方波信號逼近周期方波信號f (t)的效果越好。的效果越好。N=47時，時， 已與周期方波已與周期方波f (t)波形很接近，但在跳變點波形很接近，但在跳變點 總存在過沖，這就是所謂的總存在過沖，這就是所謂的Gibbs現(xiàn)象。現(xiàn)象。例題例題2、周期信號、周期信號f (t)的頻譜分析的頻譜分析周期矩形脈沖周期矩形脈沖信號信號f (t)如圖所示如圖所示 f (t

11、)偶函數(shù)，所以傅氏級數(shù)僅有余弦分量，正弦分量為零。查表（P374 375） 附錄二，E = 110Ta1sin2Tnnan即： 110)cos()(nntnaatf或：或：221121111nSaTnSaTaTn抽樣函數(shù) Sa (x) = sin (x) / x11111cos2)(ntnTnSaTTtf 11111cos2)(ntnnSaTtf或 1、周期矩形信號三角形式傅里葉級數(shù)為、周期矩形信號三角形式傅里葉級數(shù)為 2、周期矩形信號指數(shù)形式傅里葉級數(shù)為、周期矩形信號指數(shù)形式傅里葉級數(shù)為 )2(1112211nSaTdteTFtjnn系數(shù)為 級數(shù)為 ntjnntjnnenSaTeFtf112

12、)(11用用MATLAB仿真，分析【例題仿真，分析【例題2】頻譜特性】頻譜特性運行：運行：基于基于MATLAB的信號與系統(tǒng)實驗指導的信號與系統(tǒng)實驗指導書中書中P44【實例【實例6-2】的】的MATLAB源程序源程序(結(jié)合本【例題結(jié)合本【例題2】程序已改編】程序已改編)提示：觀察提示：觀察脈寬脈寬變化對變化對信號頻譜的影響（帶寬改變、譜線間隔不變）信號頻譜的影響（帶寬改變、譜線間隔不變）1、周期值、周期值T1 = 8， 輸入三個不同脈寬值輸入三個不同脈寬值 =0.5, =1, =22、畫出相同周期、畫出相同周期T1，不同脈寬，不同脈寬的的an 頻譜的波形。頻譜的波形。3、觀察分析不同脈寬、觀察分

13、析不同脈寬對其頻譜的影響，得出結(jié)論。對其頻譜的影響，得出結(jié)論。 周期矩形信號周期矩形信號頻譜分析一頻譜分析一頻譜分析一：頻譜分析一：周期值周期值T1 = 8， 脈寬值脈寬值 =0.5, =1, =22 2 2 4 用用MATLAB仿真，分析【例題仿真，分析【例題2】頻譜特性】頻譜特性運行：運行：基于基于MATLAB的信號與系統(tǒng)實驗指導的信號與系統(tǒng)實驗指導書中書中P44【實例【實例6-2】的】的MATLAB源程序源程序(結(jié)合本【例題結(jié)合本【例題2】程序已改編】程序已改編)1、脈寬脈寬值值 = 0.5， 輸入三個不同輸入三個不同周期周期值值T1=4,T1=8,T1=122、畫出相同、畫出相同脈寬脈

14、寬 ，不同周期，不同周期T1的的an 頻譜的波形。頻譜的波形。3、觀察分析不同脈寬、觀察分析不同脈寬T1 對其頻譜的影響，得出結(jié)論。對其頻譜的影響，得出結(jié)論。 提示：觀察提示：觀察脈寬脈寬T1變化對變化對信號頻譜的影響（帶寬不變、譜線間隔改變）信號頻譜的影響（帶寬不變、譜線間隔改變）周期矩形信號周期矩形信號頻譜分析二頻譜分析二頻譜分析二：頻譜分析二：脈寬值脈寬值 = 0.5 , 周期值周期值T1=4,T1=8,T1=122 2 2 4 結(jié)論結(jié)論從【例題從【例題2】頻譜圖分析可以看出，周期矩形脈沖信】頻譜圖分析可以看出，周期矩形脈沖信號號f(t)的頻譜具有離散性、諧波性和收斂性。當周期的頻譜具有

15、離散性、諧波性和收斂性。當周期T1不變，脈寬不變，脈寬由小由小大時，信號帶寬大時，信號帶寬B由大由大小，小，即帶寬與脈沖寬度成反比。當脈寬即帶寬與脈沖寬度成反比。當脈寬不變，周期不變，周期T1由由小小大時，譜線間隔大時，譜線間隔(基波頻率基波頻率1)由疏由疏密。密。表示信號含有的各個頻率分量的表示信號含有的各個頻率分量的幅度值。其橫坐標為頻率幅度值。其橫坐標為頻率（單位為（單位為rad/s），縱坐標對應各縱坐標對應各頻率分量的幅度值頻率分量的幅度值| |F(n1)| 。l 振幅頻譜振幅頻譜（幅頻特性圖）（幅頻特性圖）表示信號含有的各個頻率分量的表示信號含有的各個頻率分量的相位值。其橫坐標為頻率

16、相位值。其橫坐標為頻率，縱縱坐標對應各頻率分量的相位值坐標對應各頻率分量的相位值（單位為度或弧度）。（單位為度或弧度）。nl 相位頻譜相位頻譜（相頻特性圖）（相頻特性圖）頻頻譜譜圖圖五、頻譜的概念和周期信號頻譜的特點五、頻譜的概念和周期信號頻譜的特點3.2 周期信號的傅里葉分析周期信號的傅里葉分析)2(1112211nSaTdteTFtjnn系數(shù)為 級數(shù)為 ntjnntjnnenSaTeFtf112)(11舉例：周期矩形信號指數(shù)形式傅里葉級數(shù)頻譜分析舉例：周期矩形信號指數(shù)形式傅里葉級數(shù)頻譜分析 周期值周期值T1 = 8， 脈寬值脈寬值 =0.5時，時，周期矩形信號的頻譜周期矩形信號的頻譜MAT

17、LAB源程序為T1=8;tao=0.5;w1=2*pi/T1;n=-60:60;Fn=tao/T1*sinc(n*w1*tao/2/pi);stem(n*w1,Fn,.);grid-50-40-30-20-1001020304050-0.02-0.0100.010.020.030.040.050.060.07Fn2 4 -2 -4 MATLAB源程序為T1=8;tao=0.5;w1=2*pi/T1;n=-60:60;Fn=tao/T1*sinc(n*w1*tao/2/pi);stem(n*w1, abs(Fn),.);grid周期值周期值T1 = 8， 脈寬值脈寬值 =0.5時，時，周期矩形信

18、號的幅度頻譜周期矩形信號的幅度頻譜-50-40-30-20-100102030405000.010.020.030.040.050.060.07|Fn|MATLAB源程序為T1=8;tao=0.5;w1=2*pi/T1;n=-60:60;Fn=tao/T1*sinc(n*w1*tao/2/pi);fain1=(Fn(1:61)0)*pi; fain2=(Fn(62:121)0, ()=0;F()0, ()=0; F()0時，相位= 900 F1() 0時，相位= -900解： f(t) = E g(t ) ESa(/2)此處：E = 2, = 2； f(t) 4 Sa()例：用時移特性求例：用

19、時移特性求F1() = F f1(t)(乘、除2j，歐拉公式)-10-50510-2-1.5-1-0.500.511.52同理可推得：同理可推得：帶有尺度變換的時移特性帶有尺度變換的時移特性j00()()ed(0)tFTf attf attta0j01()()etaFTf attFaa000j()0jjj1 ()( )ed11e( )ede()x tattxaaaFT f attf xxaf xxFaaa0 xatt令令0()/txtaa 0時加絕對值時加絕對值證明證明例：已知 f (t) F () 用帶有尺度變換的時移特性求 F f (2t-3) =？ F f (3-2t) =？解： a =

20、 2 , t0 = 3 F f (2t-3 = (1/2) F(/2)e-j(3/2) 解： f (3-2t) = f -2t-(-3) a = -2 , t0 = -3 F f (3-2t = (1/2) F(-/2)e-j(3/2)0j01()()etaFTf attFaa利用補充作業(yè)：補充作業(yè)：已知：已知：f (t) = 求：求：F () = ?答案：答案：F () = 0)4(nnt411je解：解： (t) F () = 1 F () = F F () =0404nnjnnjee411je0)4(nnt說明：無窮遞縮等比數(shù) 列之和 此題首項a1=1, 公比|q|=|e-j 4|1。q

21、aS11 頻移特性與時移特性對稱（這里頻移特性與時移特性對稱（這里0為實常量）為實常量） ( )( )FT f tF0j0 ( )e()tFT f tF0j0 ( )e()tFT f tF000jjjj()0 ( )e( )eed( )ed()ttttFT f tf ttf ttF 證明證明六、頻移特性六、頻移特性物理意義：f(t) 的頻譜，等于f(t)的頻譜F() 沿頻率軸右、左搬移了0頻譜搬移：在通信中廣泛應用，如調(diào)制f(t)cos0t、 f(t)sin0t、解調(diào)和變頻等。tje00001( ) cos()()2fttFF000j( ) sin()()2fttFF同理可得同理可得000)0

22、011 ( )cosj()j()22(1222F f ttFFASaASa 利用頻移特性可得利用頻移特性可得求矩形脈沖信號求矩形脈沖信號f(t)與余弦信號與余弦信號cos0 t 相乘后信號的頻譜函數(shù)相乘后信號的頻譜函數(shù)(用頻移特性求解用頻移特性求解)例例寬度為寬度為 高度為高度為A的矩形脈沖信號對應的頻譜函數(shù)為的矩形脈沖信號對應的頻譜函數(shù)為解解2)(SaAjF0A2/t2/ -)( tfo F() A F()o 0 02/At2/-t tfcos)( 0 0 A /2A /2例：用頻移特性求解 f (t) = f1(t) = cos0t 和 f2(t) = sin0t 的傅氏變換tje0200

23、tjtjeeF1() = F cos0t = F jeetjtj200F2() = F sin0t = F = j(+0) -(-0) 解： 1 2() F() = F 1 = 2( 0)tje0= (-0) +(+0) 七、微分特性七、微分特性1、時域微分、時域微分若若 f (t) F() 則 jF() (j)n F()dttdf)(nndttfd)(如： Fu(t) = 1/j + () Fu(t) = F(t) = j1/j + () = 1 F(t) = j1 = j例：f(t) = cos t u(t + /2) - u(t - /2)求：用時域微分特性求解F()解：對f(t)求二階

24、導數(shù)，如下圖所示 f (t) = - cos t u(t +/2) - u(t -/2) +(t +/2) +(t -/2) = - f(t) + (t + /2) + (t - /2)兩邊取傅變：（利用微分和時移特性，且F(t) = 1） 2221 jjee212cos2 F() = = ；1 則：(j)2 F() = - F() + 1ej(/2) + 1e-j(/2)f (t) = - f(t) +(t +/2) +(t -/2)F(1) =2112cos2lim12sin;222sinlim11注：當當 = 1時的分析時的分析 dtetftj1)(22cosdtetjtF(1) =或者

25、或者 0/0型，型， 可用上、下求導再取極限求可用上、下求導再取極限求F(1) 222dteeejtjtjt2121222dtejt注：ej = -1例：用時域微分特性求解F() = F f (t)解：解：abA f (t) = (t + b) -(t + a) -(t - a) +(t - b)2coscos2baabA F() = abA f (t) = (t + b) -(t + a) -(t - a) +(t - b)兩邊取傅變兩邊取傅變(j)2 F() = ejb eja e-ja + e-jbabAnnndttfdFj)(1F() =也可用公式求：也可用公式求：七、微分特性七、微分

26、特性2、頻域微分、頻域微分若若 f (t) F() 則 -jt f(t) (-jt)n f(t)ddF)(nndFd)(解： u(t) F() =() + 1/j 例：用頻域微分性質(zhì)求 F t u(t) = ? 由頻域微分性質(zhì)有： F -jt u(t) =ddF)(上式兩邊同乘j F t u(t) = jdjdjddF1)()(= j () - 1/j2 = j() - 1/2 八、時域積分特性八、時域積分特性若 f(t) F() 則 tdf)()()0()(FjF當 F(0) = 0時 ，則 tdf)(jF)(例：用時域積分特性求例：用時域積分特性求F u(t) = ? F u(t) = 1

27、/j +()解：解： F (t) = F() = 1 , F(0) = 1 F u(t) =tdF)()()0()(FjF注意：注意：用時域微分特性求解此題容易出錯用時域微分特性求解此題容易出錯jtFF2)sgn(,)(2 1 注意：注意：用時域微分特性求解此題容易出錯用時域微分特性求解此題容易出錯作業(yè)：作業(yè)：P168 , 3-29 (3) (4) (5) 用傅變性質(zhì)求解例如：例如：用時域微分特性用時域微分特性求單位階躍求單位階躍u(t)的傅里葉變換的傅里葉變換 1)(;1)(1)(1tjtFjdttduFj 錯誤解法(丟掉直流項)F() = 正確解法(有直流項) u(t) = (1/2) +

28、 (1/2) sgn (t) F u(t) =() + 1/j（1）時域卷積定理）時域卷積定理11( )( )FT f tF若若22,( )( )FT f tF則則1212( )*( )( )( )FT f tf tFF3.8 卷積特性（卷積定理）卷積特性（卷積定理）可簡記為可簡記為11221212( )( )( )( )( )( )( )( )LLLf tFf tFf tf tFFFFF此性質(zhì)是通信系統(tǒng)和信號處理研究領(lǐng)域中此性質(zhì)是通信系統(tǒng)和信號處理研究領(lǐng)域中應用最廣泛的傅里葉變換性質(zhì)之一應用最廣泛的傅里葉變換性質(zhì)之一證明證明dtfftftf)()()(*)(2121dtedtfftftfFt

29、j )()()(*)(2121交換積分次序ddtetfftftfFtj)()()(*)(2121defFdeFfjj)()()()(1221)()()()(2112FFFF證畢證畢（2）提供了頻域求零狀態(tài)響應和頻域分析系統(tǒng)的方法）提供了頻域求零狀態(tài)響應和頻域分析系統(tǒng)的方法（1）建立了激勵、響應和系統(tǒng)的時域與頻域關(guān)系）建立了激勵、響應和系統(tǒng)的時域與頻域關(guān)系時域卷積定理在信號與系統(tǒng)中的應用時域卷積定理在信號與系統(tǒng)中的應用（時域卷積，頻域相乘）（時域卷積，頻域相乘）（2 2）頻域卷積定理）頻域卷積定理11( )( )FT f tF若若22,( )( )FT f tF則則12121( )( )( )(

30、 )2FT f tf tFF112212121212( )( )( )( )1( )( )( )( )2( )( )( )()dLLLf tFf tFf tf tFFFFFF可簡記為可簡記為FFFuuu自習：自習：P140 141 , 例例3-8 ; 例例3-9 = 2 Sa () e-j F2() = 411jeF() = F1()F2()作業(yè)：P169 , 3-33卷積定理 41)(2jjeeSa02tjeSaE其中f1(t)門函數(shù)的E = 1 ;= 2 ; 右時移 t0 = 1所以，F(xiàn)1() 例：用卷積定理求 F () = F f (t) 解：f (t) = f1(t) * f2(t)0

31、)4(nnt3.9 周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換一、正弦、余弦信號的傅里葉變換一、正弦、余弦信號的傅里葉變換F sin (1t) = j( +1 ) -( -1 ) F cos (1t ) =( +1 ) +( -1 ) 二、一般周期信號二、一般周期信號f (t)的傅里葉變換的傅里葉變換221111)(1TTtjnndtetfTFFn為傅氏級數(shù)系數(shù)ntjnneFtf1)(f (t)的傅里葉級數(shù)為令周期為T1，角頻率為1(= 2f1 = 2/T1)ntjnneFF1ntjnneFF1F f (t) =兩邊取傅里葉變換為其中：)(211neFtjn)()()(2100Fetftj頻移直

32、流nnnF)(21 F f (t) = 傅氏級數(shù)系數(shù)Fn與單個脈沖f0(t)的傅氏變換F0()關(guān)系 221111)(1TTtjnndtetfTF比較22011)()(TTtjdtetfF所以有1)(101nnFTF自習：P147149 , 例3-10 ，例3-11 例：利用例：利用Fn與與F0()關(guān)系求周期單位沖激序列關(guān)系求周期單位沖激序列T(t)的的Fn 解： F0() = F f0(t) = F (t) = 1 即 F0() = 1T(t) = nnTt)(11)(101nnFTF= 11T 3.10 抽樣信號的傅里葉變換抽樣信號的傅里葉變換數(shù)字信號處理系統(tǒng)簡單框圖數(shù)字信號處理系統(tǒng)簡單框圖

33、模模擬擬信信號號輸輸入入模模擬擬信信號號輸輸出出 /A D轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換換器器 數(shù)數(shù)字字信信號號處處理理器器 /D A轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換換器器取取樣樣量量化化抽抽抽樣的概念（抽樣的概念（“抽樣抽樣”也可稱為也可稱為“取樣取樣”或或“采樣采樣”）抽樣抽樣頻域抽樣頻域抽樣( (不要求不要求) )時域抽樣時域抽樣自然自然抽抽樣樣(矩形抽樣矩形抽樣)理想抽樣理想抽樣(沖激抽樣沖激抽樣)3.10 抽樣信號的傅里葉變換抽樣信號的傅里葉變換說明：本節(jié)只研究連續(xù)信號說明：本節(jié)只研究連續(xù)信號f (t)經(jīng)抽樣后的抽樣信號經(jīng)抽樣后的抽樣信號fs (t)其其頻譜頻譜Fs ()的變換規(guī)律。的變換規(guī)律。“量化和編碼量化和編碼”的概念在第五章

34、的概念在第五章 5.10節(jié)介紹。節(jié)介紹。 /A D轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換換器器時時域域抽抽樣樣簡簡圖圖連續(xù)信號連續(xù)信號量化量化編碼編碼數(shù)字信號數(shù)字信號抽樣信號抽樣信號)(tfsf (t)抽樣抽樣周期抽樣脈沖周期抽樣脈沖p (t)f (n)（1）抽樣后抽樣信號fs(t)的頻譜Fs ()是什么樣的？ 它與未被抽樣的連續(xù)信號 f (t)的頻譜F ()有什么關(guān)系？（2）連續(xù)信號f (t)被抽樣后，抽樣信號fs(t)是否保留了原連續(xù) 信號f (t)的所有信息？即在什么條件下，可以從抽樣信號 fs(t)中無失真地恢復出原連續(xù)信號f (t) ？問題問題:連續(xù)時連續(xù)時間信號間信號離散時離散時間信號間信號抽樣抽樣還原還原( (

35、有條件有條件) ) 說明：本節(jié)研究問題（說明：本節(jié)研究問題（1 1）, ,下節(jié)研究問題（下節(jié)研究問題（2 2）3.10 抽樣信號的傅里葉變換抽樣信號的傅里葉變換一、時域抽樣：一、時域抽樣：fs (t) = f (t)p (t) 3.10 抽樣信號的傅里葉變換抽樣信號的傅里葉變換 抽樣信號抽樣信號fs (t)的頻譜的頻譜Fs ()的研究的研究 f (t) F() 其中：Pn 周期抽樣脈沖p(t)的指數(shù)形式傅里葉級數(shù)系數(shù) s = 2/Ts ; s-抽樣角頻率, Ts-抽樣周期(抽樣間隔) 說明：抽樣后的頻譜Fs()是連續(xù)信號的頻譜F()以 抽樣頻率s為間隔，以傅氏系數(shù)Pn為幅度加權(quán)。 周期地重復出

36、現(xiàn)，其F()形狀不發(fā)生變化。 p(t) P() = 2 參見：例3-11 ( P148 149 ) nsnnP)( Fs() = nsnnFP)(fs(t) = f(t) p(t) Fs() = F() * P() (時域相乘) (頻域卷積) 213.10 抽樣信號的傅里葉變換抽樣信號的傅里葉變換1矩形脈沖抽樣（自然抽樣）矩形脈沖抽樣（自然抽樣）一、時域抽樣：一、時域抽樣：fs (t) = f (t)p (t) Fs() =(1/2) F()*P() 矩形脈沖p (t)如圖所示 ssnsnsnSaETPTP21)(102ssnSaTE= 其中：矩形脈沖抽樣后fs(t)的Fs()是以s為周期的重

37、復過程中幅度以Sa(ns/2)的規(guī)律變化。 Fs() =nsssnFnSaTE)(2 Fs() = nsnnFP)(矩形脈沖抽樣矩形脈沖抽樣FTtof (t)(F1mmoFT)(P2sssEo2sTtop (t)ssFT)(tfsto22osTE)(sF點點乘乘卷卷積積1/(2)3.10 抽樣信號的傅里葉變換抽樣信號的傅里葉變換2沖激脈沖抽樣（理想抽樣）沖激脈沖抽樣（理想抽樣） Fs() = nsnnFP)(ssnsnsnTPTP11)(10sT1= 其中：沖激脈沖抽樣后fs(t)的Fs()是以s為周期幅度為1/Ts等幅地重復。 沖激脈沖p (t)如圖所示 Fs() =nssnFT)(1一、時

38、域抽樣：一、時域抽樣：fs (t) = f (t)p (t) Fs() =(1/2) F()*P() 沖激脈沖抽樣沖激脈沖抽樣FTtof (t)(F1mmoFT)(PssosTtop (t)122s-2s(1)(s)FT)(tfstosso-2s2s1/TsFs()點點乘乘卷卷積積1/(2)周期信號和抽樣信號的特性周期信號和抽樣信號的特性（1）時域理想抽樣的傅里葉變換）時域理想抽樣的傅里葉變換下面對矩形脈沖抽樣和沖激抽樣進行比較和小結(jié)：下面對矩形脈沖抽樣和沖激抽樣進行比較和小結(jié)：)(1)(snssnFTF)(tf)(FFT12 相乘相乘FT)()(nsTnTttnssnp)()( 相卷積相卷積

39、FT( )2()nsnpPn j221( )edSa()2sssTntsTnssnEPp ttTT （2）關(guān)于非理想抽樣）關(guān)于非理想抽樣1( )( )* ( )2sFFp( )Sa() ()2sssnsnEFFnT 非理想抽樣非理想抽樣)(1)(snssnFTF理想抽樣理想抽樣比較比較3.11 抽樣定理抽樣定理一、時域抽樣定理（奈奎斯特抽樣定理）一、時域抽樣定理（奈奎斯特抽樣定理） 抽樣信號抽樣信號fs(t)無失真恢復原連續(xù)信號無失真恢復原連續(xù)信號f(t) (1) 恢復條件 當滿足s2m時，頻譜不混迭。(2) 恢復方法 讓fs (t)通過理想低通濾波器低通特性：H() =mmsT0輸入fs (

40、t)時，輸出為f (t) 時域抽樣定理（奈奎斯特抽樣定理）時域抽樣定理（奈奎斯特抽樣定理）若帶限連續(xù)時間的實信號 f(t)最高角頻率為m，并且對其抽樣的角頻率s滿足條件s2m時，（或?qū)ζ涓舫闃拥念l率fs滿足條件fs 2fm時）（或?qū)ζ涞乳g隔抽樣的Ts滿足條件Ts1/2fm時）則f (t)可以用抽樣信號fs (t)唯一地表示。其中：最低允許的抽樣頻率fs = 2fm稱為“奈奎斯特(Nyquist)頻率” 最大允許的抽樣間隔Ts = 1/2fm稱為“奈奎斯特(Nyquist)間隔”(1) 如果取樣脈沖寬度與系統(tǒng)中各時間常數(shù)相比十如果取樣脈沖寬度與系統(tǒng)中各時間常數(shù)相比十分小的時候，這個沖激函數(shù)的假定

41、將是一個很好分小的時候，這個沖激函數(shù)的假定將是一個很好的近似，它將使分析簡化。的近似，它將使分析簡化。(2) 通過沖激取樣的方法來表明數(shù)字信號，在數(shù)字通過沖激取樣的方法來表明數(shù)字信號，在數(shù)字信號處理中有著廣泛的應用。信號處理中有著廣泛的應用。(點抽樣；均勻抽樣點抽樣；均勻抽樣)122smsmTf或取樣率必須選得大于信號頻譜最高頻率的兩倍。取樣率必須選得大于信號頻譜最高頻率的兩倍。（2）抽樣頻率的選擇）抽樣頻率的選擇！結(jié)結(jié)論論(1) 矩形脈沖抽樣和沖激抽樣的重要差別就在于頻矩形脈沖抽樣和沖激抽樣的重要差別就在于頻譜分量的性質(zhì)不同。矩形脈沖抽樣所導出的頻譜分量的性質(zhì)不同。矩形脈沖抽樣所導出的頻譜分

42、量的幅度是按包絡(luò)譜分量的幅度是按包絡(luò) 的變化規(guī)律隨頻的變化規(guī)律隨頻率而下降的，而理想抽樣所導出的頻譜卻有著率而下降的，而理想抽樣所導出的頻譜卻有著相同的幅度，不隨頻率而減少；相同的幅度，不隨頻率而減少； (2) 是信號本身固有的；是信號本身固有的； 是人為的；是人為的；(3) 稱為奈奎斯特抽樣頻率；稱為奈奎斯特抽樣頻率； 稱為奈奎稱為奈奎斯特抽樣間隔；斯特抽樣間隔； (4)抽樣頻率為奈奎斯特抽樣頻率的兩倍或兩倍以抽樣頻率為奈奎斯特抽樣頻率的兩倍或兩倍以上時，抽樣信號的頻譜才不會發(fā)生混疊。只有上時，抽樣信號的頻譜才不會發(fā)生混疊。只有這樣才能無失真地恢復出原信號。這樣才能無失真地恢復出原信號。 s

43、in nnmf1/2smTf2mf1/2smTf3抽樣定理抽樣定理定理定理3.13.1設(shè)有一連續(xù)信號設(shè)有一連續(xù)信號 f(t)，它的，它的頻譜頻譜則只要取樣間隔滿足則只要取樣間隔滿足 ，連續(xù)信號連續(xù)信號f(t)就可表示為：就可表示為：sin()( )()()mmnmtnTf tf nTtnT()F j1m0其 它mT 由于由于f(t)的頻帶有限的頻帶有限,而時域取樣必導致頻域而時域取樣必導致頻域周期。在周期重復時，為保證周期。在周期重復時，為保證 內(nèi)為內(nèi)為 ，則重復周期應滿足則重復周期應滿足 ,將取樣信號將取樣信號 通通過截止頻率為過截止頻率為 的理想低通濾波器，便能從中的理想低通濾波器，便能從

44、中恢復恢復 ,也就是說，能從取樣信號也就是說，能從取樣信號fs(t)中恢復中恢復出原始信號出原始信號 f(t)。m()Fs2mm()sF()F證明證明mm( )FO( )sFmmO2( )( )msFGF由時域卷積定理知：由時域卷積定理知：( )( )( )sf tf tg t設(shè)設(shè) 、 , ,則當則當 通過通過截止頻率為截止頻率為 的理想低通濾波器時，濾波器的響的理想低通濾波器時，濾波器的響應頻譜為應頻譜為 ，顯然濾波器的作用等效于一個開，顯然濾波器的作用等效于一個開關(guān)函數(shù)關(guān)函數(shù) 同同 的相乘。即的相乘。即( )( )f tF( )( )ssf tFm( )Fm2Gs( )Fs( )F則則 ( (內(nèi)插公式內(nèi)插公式) )( )( )( )()() ()msmnf tg tftSatf nTtnTsin()()()()()mmmmnnmtnTf nT SatnTf nTtnT證畢證畢而而( )( ) ()() ()snnf tf ttnTf nTtnT由傅里葉變換的對稱性可知：由傅里葉變換的對稱性可知：2( )( )()mmmGg tSat由于定理二是討論由離散由于定理二是討論由離散信號恢復成