魯棒控制理論第二章

1、2022-2-5魯棒控制理論第二章第二章 信號和系統(tǒng)的范數(shù)信號和系統(tǒng)的范數(shù)2022-2-5n描述一個控制系統(tǒng)性能的方法之一是用某些我描述一個控制系統(tǒng)性能的方法之一是用某些我們感興趣的們感興趣的信號的大小信號的大小來表示。來表示。n本章本章q考察幾種定義信號大小的方法（即信號的幾種范數(shù)）考察幾種定義信號大小的方法（即信號的幾種范數(shù)）q介紹系統(tǒng)傳遞函數(shù)的范數(shù)介紹系統(tǒng)傳遞函數(shù)的范數(shù)q給出兩個非常有用的表，概括了輸入給出兩個非常有用的表，概括了輸入-輸出范數(shù)關(guān)輸出范數(shù)關(guān)系。系。2022-2-52.1 信號的范數(shù)信號的范數(shù)n范數(shù)的范數(shù)的4條性質(zhì)條性質(zhì)q1、q2、q3、q4、0u 00uu tt，,aua

2、 uaR uvuv考察從（-，）映射到R的信號。假定它們是連續(xù)分段的，當(dāng)然在t0可以是0（即該信號從t=0時刻開始）。三角不等式2022-2-5幾種范數(shù)的定義幾種范數(shù)的定義n1-范數(shù)范數(shù)q定義定義n2-范數(shù)范數(shù)q定義定義n-范數(shù)范數(shù)q定義定義n功率信號功率信號*qu的平均功率的平均功率qpow(u) 1:uu t dt 1/222:uu tdt : suptuu t 21lim2TTTu tdtT 1/221:lim2TTTpow uu tdtT信號的時間累積量信號的時間累積量信號所攜的總能量信號所攜的總能量信號的最大幅值信號的最大幅值2022-2-5范數(shù)之間的關(guān)系范數(shù)之間的關(guān)系問題：一種范數(shù)

3、有限是否意味著其他范數(shù)也有限？問題：一種范數(shù)有限是否意味著其他范數(shù)也有限？n*如果如果 ，那么，那么 u是一功率信號，且是一功率信號，且n證明：假定證明：假定u的的2-范數(shù)有限，則范數(shù)有限，則當(dāng)當(dāng) ，上面的不等式右邊趨于，上面的不等式右邊趨于02u 0pow u 2221122TTu tdtuTTT 2022-2-5n*如果如果 u是一功率信號且是一功率信號且 ，那么，那么n證明：因證明：因成立，令成立，令 ，得到所求。，得到所求。u pow uu 2221122TTTTu tdtudtuTTT 2022-2-5n如果如果 ，且，且 ，那么，那么因而有因而有n證明：證明：1u u 1/221u

4、uu2u 21u tdtu tu t dtuu2022-2-5集合包含關(guān)系集合包含關(guān)系(Venn圖圖)pow212022-2-5n例例1q它的它的1-范數(shù)有限：范數(shù)有限：q它的它的2-范數(shù)無限，因為范數(shù)無限，因為 1/t 的積分在區(qū)間的積分在區(qū)間 0,1 是發(fā)是發(fā)散的散的q同理，也不是功率信號同理，也不是功率信號q又因又因 u1 是無界的，是無界的，因此因此|u1| 是無限的是無限的 10,01,010,1tu tttt 111012udtt11u1(t)t212022-2-5n例例2n它的它的1-范數(shù)存在范數(shù)存在n它的它的2-范數(shù)存在范數(shù)存在n它的它的-范數(shù)不存在范數(shù)不存在 420,01,0

5、10,1tutttt 11u2(t)t2112140143udtt1222012udtt222u2022-2-5n例例3n它的它的1-范數(shù)不存在范數(shù)不存在n它的它的2-范數(shù)不存在范數(shù)不存在n它的它的-范數(shù)存在范數(shù)存在 30010tuttt0113101udt 123201udt 31u212022-2-52.2 系統(tǒng)的范數(shù)系統(tǒng)的范數(shù)n考察線性時不變的、因果的、有限維系統(tǒng)，其輸入輸出模考察線性時不變的、因果的、有限維系統(tǒng)，其輸入輸出模型型n令令 表示傳遞函數(shù)，即表示傳遞函數(shù)，即G的的Laplace變換。變換。n系統(tǒng)的性質(zhì)：系統(tǒng)的性質(zhì)：q因果性因果性(Causal):現(xiàn)在系統(tǒng)的輸出現(xiàn)在系統(tǒng)的輸出y

6、由過去的輸入決定的由過去的輸入決定的 t0）解析，或在Re s0無極點n正則的正則的 Proper如果 是有限的（分母的階次大于等于分子的階次）n嚴(yán)格正則的嚴(yán)格正則的 Strictly Proper如果 （分母的階次大于分子的階次）n雙正則的雙正則的 Bi-proper如果 和 兩個都是正則的（分母階次等于分子介詞）G()G jw()0G jw=G1G-( )11101110,0,1, 0,1,mmmmnnnnijb sbsbsbG sa sasa saa binjm-+=+=LLLL2022-2-5nParseval定理定理設(shè)設(shè) ，記，記則則n傳遞函數(shù)的范數(shù)傳遞函數(shù)的范數(shù)n1-范范數(shù)數(shù)傳遞函

7、數(shù)傳遞函數(shù) 的范數(shù)的范數(shù)G()2f tL()()( )dj tfjf t etF fww- =2212ffp=()1dGG jwwD- =)2022-2-5n2-范數(shù)范數(shù)n-范數(shù)范數(shù)()1/2221:d2GG jwwp- 驏=桫)():supGG jww=)( )()1/21/2221:dd2GG jG ttwwp- - 驏驏=桫桫蝌)G注意：注意：如果 是穩(wěn)定的，由Parseval定理，n等于復(fù)平面的原點到 的Nyquist圖的最遠(yuǎn)點的距離，也是 的Bode幅頻特性圖的峰值。n是次可乘的GGGHGH) )2022-2-5傳遞函數(shù)范數(shù)的存在性傳遞函數(shù)范數(shù)的存在性問題：什么時候這兩個范數(shù)是有限的

8、？問題：什么時候這兩個范數(shù)是有限的？n引理引理1：q 的2-范數(shù)是有限的，當(dāng)且僅當(dāng) 是嚴(yán)格正則的，且無極點在虛軸上；q 的-范數(shù)是有限的，當(dāng)且僅當(dāng) 是正則的，且無極點在虛軸上。GGGG2022-2-5n證明證明：假定 是嚴(yán)格正則的，無極點在虛軸上，那么其Bode幅頻特性圖在高頻下降。不難看出，對于充分大的正數(shù)K和充分小的正數(shù)T， 的Bode圖必定高于 的Bode圖，即但 的2-范數(shù)有限，且其2-范數(shù)等于 ，因此 有有限的2-范數(shù)。 其余的證明與此類似。G()1KTs+G()1KTs+2KTG()()1,KTjG jwww+看看更詳細(xì)證明看看更詳細(xì)證明下一部分內(nèi)容下一部分內(nèi)容2022-2-5引理

9、引理1的更詳細(xì)證明的更詳細(xì)證明關(guān)于2-范數(shù)n充分性充分性：若 嚴(yán)格正則，且無極點在虛軸上，則若取令K充分大，T充分?。ㄇ€充分平坦），則必有G()lim0G jww=()sup G jww+()221KH jTww=+()sup H jKww=()lim0H jww=()(),H jG jwww22HG蕹()1/21/222122211dtg2122KKKHTTTTwwpwp- - 驏驏鼢瓏鼢= 瓏鼢瓏鼢瓏+桫桫2G= G2022-2-5如何計算如何計算2-范數(shù)范數(shù)n 按定義n 假設(shè) 是嚴(yán)格正則的，且無極點在虛軸上（因而它的2-范數(shù)有限），有最后的積分是沿虛軸向上，然后沿包圍左半平面的無窮大半

10、圓的回路積分。因為 是嚴(yán)格正則的，故沿?zé)o窮大半圓的積分等于0。根據(jù)留數(shù)定理，根據(jù)留數(shù)定理， 等于等于 在它的左在它的左半平面極點上的留數(shù)的和。半平面極點上的留數(shù)的和。G()( ) ( )( ) ( )222121212jjGG jdGs G s dsjGs G s dsjwwppp- - =-=-)G22G()( )GsGs-)2022-2-5n例例4已知已知 在左半平面的極點是在左半平面的極點是在這一極點上的留數(shù)等于在這一極點上的留數(shù)等于因此因此( )()11 ,0G sstt=+( ) ( )Gs G s-)1st= -11111lim112ssssttttt -驏+=桫-+212Gt=)

11、2022-2-5如何計算如何計算-范數(shù)范數(shù)n計算-范數(shù)需要搜索。設(shè)一系列稠密的頻率點 的估計值為n另一方法是通過解方程找到 的最大值的位置。因為 是有理的，這個導(dǎo)數(shù)可以用公式算出，然后就只需計算導(dǎo)出的多項式的根。1,NwwLG()1maxkkNG jw( )2d0dGjww=()G jwG2022-2-5n例例5考察考察觀察其觀察其Bode幅頻特性圖：幅頻特性圖：當(dāng)當(dāng) ，它是遞增的（高通），它是遞增的（高通），反之，它是遞減的（低通）。反之，它是遞減的（低通）。于是于是( )1 ,01asG sa bbs+=+ab, 1, a babGab=*u()*00,20,ujpwwewwewe-+= 或其它w0wee2pe*u0()()()()0000222*222221d211dd222212222yG jujG jG jGGwewewewewwwpppwwwwpwpwpwpw-+-=+蛔=蝌)*220, yGue=*21u=e充分小的正數(shù)，使得()()0G jG jww)()00,wwe we-+2022-2-5n證明：證明：(2) 由或() ()()y tG ut=*()() ( )()( )()( )1/21/2221/21/2222222ddddd,y tG tuGtuGtuGuGutttttttttttt- - - - - =-驏驏鼢瓏=-鼢瓏鼢瓏桫桫=蝌蝌C