倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間極點配置控制設計

1、摘要： 為實現(xiàn)多輸入、多輸出、高度非線不穩(wěn)定的倒立擺系統(tǒng)平衡穩(wěn)定 控制，將倒立擺系統(tǒng)的非線性模型進行近似線性化處理，獲得系統(tǒng)在平衡 點附近的線性化模型。利用牛頓歐拉方法建立直線型一級倒立擺系統(tǒng)的 數(shù)學模型。在分析的基礎上，基于狀態(tài)反饋控制中極點配置法對直線型倒 立擺系統(tǒng)設計控制器。由MATLA仿真表明采用的控制策略是有效的， 設計 的控制器對直線型一級倒立擺系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性效果好，提高了系統(tǒng)的干 擾能力。關鍵詞：倒立擺、極點配置、MATLA仿真引言： 倒立擺是進行控制理論研究的典型試驗平臺，由于倒立擺本身所 具有的高階次、不穩(wěn)定、非線性和強耦合性，許多現(xiàn)代控制理論的研究人 員一直將他視為典型的

2、研究對象，不斷從中發(fā)掘出新的控制策略和控制方 法?？刂破鞯脑O計是倒立擺系統(tǒng)的核心內(nèi)容，因為倒立擺是一個絕對不穩(wěn) 定的系統(tǒng)，為使其保持穩(wěn)定并且可以承受一定的干擾，基于極點配置法給 直線型一級倒立擺系統(tǒng)設計控制器1數(shù)學模型的建立倒立擺系統(tǒng)其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實驗建模存在著一定的困難。 在忽略掉一些次要的因素之后， 倒立擺系統(tǒng)就是一典型的運動的剛體系統(tǒng)， 可以在慣性坐標系中應用經(jīng)典力學理論建立系統(tǒng)動力學方程。下面采用牛 頓-歐拉方法建立直線型一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型。1.1 微分方程的數(shù)學模型在忽略了空氣阻力和各種摩擦力之后， 可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成 小車和勻質桿組成的系統(tǒng)，如圖 1 所示

3、：圖 1 ：直線一級倒立擺模型設系統(tǒng)的相關參數(shù)定義如下：M小車質量m擺桿質量b：小車摩擦系數(shù)l ：擺桿轉動軸心到桿質心的長度I ：擺桿質量F：加在小車上的力x：小車位置：擺桿與垂直方向上方向的夾角0 :擺桿與垂直方向下方向的夾角（擺桿的初始位置為豎直向下）如下圖2所示為小車和擺桿的受力分析圖。 其中，N和P為小車與擺桿 相互作用力的水平和垂直方向的分量。圖 2：小車和擺桿受力分析圖應用牛頓方法來建立系統(tǒng)的動力學方程過程如下：分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下的方程： 由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面的等式： 將此等式代入上述等式中，可以得到系統(tǒng)的第一個運動方程： 為了推出系統(tǒng)的第

4、二個運動方程， 我們對擺桿垂直方向上的合力進行分 析，可以得到下面的方程：力矩平衡方程如下：注意：此方程中力矩的方向，由于故等式前面有負號。合并這兩個方程，約去P和N,得到第二個運動方程：設0 = n + ©,當擺桿與垂直向上方向之間的夾角©與 1 （單位是弧度）相比 很小時，即<<1時，則可以進行如下近似處理：線性化后得到該系統(tǒng)數(shù)學模型的微分方程表達式：1.2 狀態(tài)空間數(shù)學模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可寫成如下形式：解代數(shù)方程可得如下解： 整理后可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程： 對于質量均勻分布的擺桿，其轉動慣量為：代入微分方程模型中得：化簡后可得：? ? ?設 X x

5、 xT ,u x 則有：1.3 實際系統(tǒng)模型實際系統(tǒng)參數(shù)如下：M小車質量，0.5Kg;m擺桿質量，0.2Kg;b：小車摩擦系數(shù)，0.1N/m/sec；l ：擺桿轉動軸心到桿質心的長度， 0.3m;I :擺桿質量，0.006Kg m- mT：采樣時間，0.005s。將上述系統(tǒng)參數(shù)代入可得系統(tǒng)實際模型。 擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)： 擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)： 擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)： 以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程： 以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：2. 狀態(tài)空間極點配置經(jīng)典控制理論的研究對象主要是單輸入單輸出的系統(tǒng)， 控制器設計時一般需要有關被控對象的較精確

6、模型，現(xiàn)代控制理論主要是依據(jù)現(xiàn)代數(shù)學工具，將經(jīng)典控制理論的概念擴展到多輸入多輸出系統(tǒng)。極點配置法通過設計狀態(tài)反饋控制器將多變量系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)極點配置在期望的位置上，從 而使系統(tǒng)滿足瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標。設計要求：用極點配置方法設計控制器，使得在小車上施加 0.1N 的階躍信號時， 閉環(huán)系統(tǒng)的響應指標為：（ 1 ）要求系統(tǒng)調(diào)整時間小于 3s（2）穩(wěn)態(tài)時擺桿與垂直方向的夾角變化小于 0.1 弧度狀態(tài)方程為：選擇控制信號：可解得：直接利用 MATLAB 極點配置函數(shù)K , PREC, MESSAGE=PLACE(A , B, P)來計算。選取調(diào)整時間ts=2.0s,阻尼比為E =0.5,可得期望的閉環(huán)

7、極 占：八、U3, U4為一對主導極點，U1, U2距離閉環(huán)主導極點5倍，可忽略其對主 導極點的影響。矩陣(A-BK )的特征值是方程式|Is- (A-BK ) |=0的根：這是s的四次代數(shù)方程式，可表示為適當選擇反饋系數(shù)k1,k2, k3, k4系統(tǒng)的特征根可以取得所希望的值。把四個特征根乙3, 4設為四次代數(shù)方程式的根，則有如果給出的 仆2, 3, 4是實數(shù)或共軛復數(shù)，則聯(lián)立方程式的右邊全部為實數(shù)。據(jù)此可求解出實數(shù)k1,k2,k3,k4當將特征根指定為下列兩組共軛復數(shù)時1 ,2,3,4 22、.3j,-10,-10又 a=29.4,b=3利用方程式可列出關于k1,k2,k3,k4勺方程組：

8、 求解后得k1=-65.3061k2=-29.3878k3=114.3224k4=21.3551所以反饋矩陣：即施加在小車水平方向的控制力u:卩=?KX二© -21.3551 ©3.仿真驗證圖3:倒立擺極點配置仿真框圖可以看出在干擾的情況下，系統(tǒng)在 3s之內(nèi)基本上可以恢復到新的平衡 位置。圖4:直線一級倒立擺狀態(tài)空間極點配置 MATALABSIMULINK 仿真結果 圖圖5:直線一級倒立擺狀態(tài)空間極點配置實時控制結果(施加干擾) 在給倒立擺施加干擾后，系統(tǒng)的響應如圖 12所示，系統(tǒng)的穩(wěn)定時間在 3s之內(nèi)，達到設計要求。4結論傳統(tǒng)的非線性系統(tǒng)分析方法需要非線性系統(tǒng)的精確模型，

9、而實際中存 在的大量復雜的多變量非線性系統(tǒng)則表現(xiàn)為參數(shù)的不確定性和結構的不確 定性。本文用現(xiàn)代控制理論的極點配置方法對直線一級倒立擺控制進行了 分析，并用 Simulink 進行了倒立擺的系統(tǒng)仿真。通過實驗，得到如下結論：(1) 對于具有非線性、多變量等特點的倒立擺系統(tǒng)進行系統(tǒng)分析， 分析 其非線性因素，在誤差允許的范圍內(nèi)忽略某些次要因素將其線性化。(2) 狀態(tài)空間極點配置控制器既能實現(xiàn)對擺桿角度的控制， 又能控制小 車位移。(3) 基于極點配置法對直線型一級倒立擺系統(tǒng)設計的控制器，可使系 統(tǒng)在很小振動范圍內(nèi)保持平衡， 穩(wěn)態(tài)時擺桿與垂直方向的夾角變化小于 0.1 弧度，系統(tǒng)穩(wěn)定時間約為 3S。5. 參考文獻1 于長官，現(xiàn)代控制理論 第3版 哈爾濱工業(yè)大學出版社， 20052 郭釗俠，方建安，苗清影倒立擺系統(tǒng)及其智能控制研究 J 東華大 學學報， 2003， 29(2) ：1221263 劉豹現(xiàn)代控制理論 M 北京：機械工業(yè)出版社， 20054 王正林，王勝開 MATLAB Simulin