空間幾何體體積和表面積11

1、For personal use only in study and research;not for commercialuseFor personal use only in study and research;not for commercialuse蒄第1講 柱錐臺(tái)的表面積和體積螁一、知識(shí)要點(diǎn)膀肇表面積相關(guān)公式膆螄表面積相關(guān)公式艿棱柱蒈蚄圓柱2薃2全 = 2十2兀rh（r :底面半徑，h：高）荿棱錐衿棱錐莆各側(cè)面積之和螄圓錐蒞爲(wèi)応 +応1（ r：底面半徑，l :母線長）節(jié)正棱錐1 h, 荿一ch2芀葿棱臺(tái)蕆棱臺(tái)蒆各側(cè)面面積之和芇圓臺(tái)袃（r :下底半徑，r'上底半徑，l :母線

2、長）肄正棱臺(tái)1 , , 蕿一(c+c )h2袈蠆二、例題精講：羋【例1】已知圓臺(tái)的上下底面半徑分別是 2、5,且側(cè)面面積等于兩底面面積之和，求該 圓臺(tái)的母線長。單位：mm蚅【例2】一個(gè)正三棱柱的三視圖如右圖所示，求這個(gè)正三棱柱的 表面積。蟻【例3】一個(gè)長方體全面積是20cn1，所有棱長的和是24cm，求 長方體的對(duì)角線長。蝿【例4】牧民居住的蒙古包的形狀是一個(gè)圓柱與圓錐的組合體，尺寸如下右 圖所示，算出要搭建這樣的一個(gè)蒙古包至少需要多少平方米的篷布？（精確到0.01 m2）蠆4題圖5題圖莇【例5】已知直三棱柱底面各邊的比為17 ： 10 ： 9,側(cè)棱長為16 cm全面積為1440 cX,求底面

3、各邊之長蚄【例6】如圖，長方體 ABCD-ABCD 中,長方體的表面A到C的最短線路的長I.衿三、練習(xí)裊A.螆1.側(cè)面都是直角三角形的正三棱錐， 底面邊長為a時(shí)，該三棱錐的表面積是（）By蒃C.3+ . 3 2haD.羈2.（2010 珠海模擬）已知幾何體的三視圖如圖所示，它的表面積是（）腿 A. 4+ 2 B . 2+ 2 C . 3+ 2 D . 6薇3.用長為4，寬為2的矩形做側(cè)面圍成一個(gè)圓柱，此圓柱軸截面面積為（）.膂 A. 8 B.- C.4 D.2JiJiJi節(jié)4.圓臺(tái)的一個(gè)底面周長是另一個(gè)底面周長的3倍，母線長為3，圓臺(tái)的側(cè)面積為84二，則圓臺(tái)較小底面的半徑為（）.薈 A. 7B

4、. 6C. 5D. 3肅5.一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比是（）.芅 A.JID.鼻2n莂6.個(gè)直棱柱（側(cè)棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，棱柱的對(duì)角線長分別是9cm和15cm高是5cm則這個(gè)直棱柱的側(cè)面積是（）2 2 2 2罿 A. 160 cm B. 320 cm C. 40.89 cm D. 80/89 cm螇7.（04年湖北卷.文6）四面體ABCD四個(gè)面的重心分別為E、F、G H,則四面體EFGH的表面積與四面體ABCD勺表面積的比值是（肄 A 27 B. i C 9 D1蒂& （2001全國文，3）若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形， 其面積為、3

5、 ,則這個(gè)圓錐的全面積是（）莀9.如圖，已知圓柱體底面圓的半徑為-,高為2, AB, CD分別是兩底面的直徑，AD, BC31是母線.若一只小蟲從A點(diǎn)出發(fā)，從側(cè)面爬行到C點(diǎn)，則小蟲爬行的最短路線的長度是 _膅10.已知兩個(gè)母線長相等的圓錐的側(cè)面展開圖恰能拼成一個(gè)圓，且它們的側(cè)面積之比為1:2,則它們的高之比為.螃11.六棱臺(tái)的上、下底面均是正六邊形，邊長分別是8 cm和18 cm,側(cè)面是全等的等腰梯形，側(cè)棱長為13 cm,求它的表面積.薂12.邊長為6cm的正方形ABCDBC CD的中點(diǎn)分別為E、F現(xiàn)沿AE AF、EF折疊，使BC D三點(diǎn)重合，構(gòu)成一個(gè)三棱錐，求這個(gè)三棱錐的全面積 .蕆13.正

6、三棱錐底面邊長為a,側(cè)棱與底面成45°角，求此棱錐的側(cè)面積與全面積.祎13題圖14題圖薂14.從一個(gè)正方體中，如圖那樣截去 4個(gè)三棱錐后，得到一個(gè)正三棱錐 A-BCD求它的表面積是正方體體積的幾分之幾？薂提咼題羇1正四棱柱的對(duì)角線長是 9cm,全面積是144cmi，則滿足這些條件的正四 棱柱的個(gè)數(shù)是()莄 A. 0個(gè) B. 1個(gè) C. 2個(gè)D .無數(shù)個(gè)薄 2.三棱柱 ABC A1B1C1中，AB=AC,且側(cè)面 A1ABB1與側(cè)面 A1ACCl的 面積相等，則/ BB1C1等于()螞 A. 45°B. 60° C. 90° D. 120°莈 3.

7、邊長為5cm的正方形EFGH是圓柱的軸截面，則從正點(diǎn)沿圓柱的側(cè)面 到相對(duì)頂點(diǎn)G的最短距離是()肆 A. 10cmB. 5 2cm莃 C. 5 二2 1 cm2cm3螂4.中心角為4 n面積為B的扇形圍成一個(gè)圓錐，若圓錐的全面積為A,則A: B等于()蝿 A. 11 : 8 B. 3 : 8C. 8 : 3 D . 13： 8薄 5.正六棱臺(tái)的上、下底面的邊長分別為a、b (a<b)，側(cè)面和底面所成的二面角為60°,則它的側(cè)面積是()膂 A. 3 3 (b2 h)B . 2 3 (b2 h)_23袂C . 3 (b2 a2)D . 2 (b2 ai2)祎6.過圓錐的高的三等分點(diǎn)作

8、平行于底面的截面，它們把圓錐的側(cè)面分成的三部分的面積之比為（）芆A. 1 : 2 : 3B. 1 : 3 : 5袁C. 1 : 2 : 4D . 1 : 3 : 9羈7.若圓臺(tái)的上、下底面半徑的比為 3： 5,則它的中截面分圓臺(tái)上、下兩部分面積之比為（）芇A. 3 : 5B. 9 : 25蚄C. 5 ： 41D. 7 : 9羄8.個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比是（）1 2二1 2二1 2二1 4二肁 A. 2二B. 4C.二D.2蚈 9.已知正四面體ABCD的表面積為S,其四個(gè)面的中心分別為 E、F、G、TH，設(shè)四面體EFGH的表面積為T,則s等于（）1411蒆

9、A . 9B . 9C . 4 D . 3蚃 10. 個(gè)斜三棱柱，底面是邊長為 5的正三角形，側(cè)棱長為4,側(cè)棱與底 面三角形兩邊所成的角都是60°,則這個(gè)斜三棱柱的側(cè)面積是（）賺 A . 40 B . 20（13） C . 30（1-3） D . 30 3聿 二、填空題襖 11.長方體的高為h,底面面積是M,過不相鄰兩側(cè)棱的截面面積是 N, 則長方體的側(cè)面積是 .蒂 12.正四棱臺(tái)上、下底面的邊長為 b、a(a> b)且側(cè)面積等于兩底面面積 之和，則棱臺(tái)的高是.賺 13.圓錐的高是10 cm,側(cè)面展開圖是半圓，此圓錐的側(cè)面積是 ;軸截面等腰三角形的頂角為 .蒀 14.圓臺(tái)的母線

10、長是3 cm,側(cè)面展開后所得扇環(huán)的圓心角為180°,側(cè)面 積為10 nm2，則圓臺(tái)的高為 上下底面半徑為 .薅 三、解答題蒅15.已知正三棱臺(tái)的側(cè)面和下底面所成的二面角為60°,棱臺(tái)下底面的邊長為a,側(cè)面積為S,求棱臺(tái)上底面的邊長.芁16.圓錐的底面半徑為5 cm,高為12 cm,當(dāng)它的內(nèi)接圓柱的底面半徑為 何值時(shí)，圓錐的內(nèi)接圓柱全面積有最大值？最大值是多少？薆 17.圓錐底面半徑為r,母線長是底面半徑的3倍，在底面圓周上有一點(diǎn) A,求一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自A出發(fā)在側(cè)面上繞一周到 A點(diǎn)的最短路程.芇第2講柱錐臺(tái)的表面積和體積芃知識(shí)要點(diǎn)莁1體積公式羇螅體積公式肂蒁體積公式莈棱柱蕆螁圓柱

11、薀蝿棱錐羅襖圓錐蝕羆棱臺(tái)蚇蚃圓臺(tái)螀莇2.柱、椎、臺(tái)之間，可以看成一個(gè)臺(tái)體進(jìn)行變化，當(dāng)臺(tái)體的上底面逐漸收縮為一個(gè)點(diǎn)時(shí)，它就成了錐體；當(dāng)臺(tái)體的上底面逐漸擴(kuò)展到與下底面全等時(shí)，它就成了柱體 因而體積 會(huì)有以下的關(guān)系：1V錐護(hù)S'=07臺(tái)=(S'+VS'S + S)h V Sh .3莂二、例題精講：螀【例1】一個(gè)長方體的相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是 2、3、6，則 長方體的體積是 .入一個(gè)半徑為 r的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高r，貝H - =r螈【例2】如圖99, 一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放袇【例2】若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何

12、體的體積是3cmL蒅【例4】例4. 一個(gè)棱錐的體積是 Q在高SC上取一點(diǎn)A, 使SASQ過點(diǎn)A作平行于底面的截面得一棱臺(tái)，求這個(gè)3棱臺(tái)的體積.袀【例5】.如圖1所示，在平行六面體 ABCA1B1GD中，已知AB=5 AD=4,AA=3, AB丄 AD / AAB=Z AAD旦。3腿（1）求證：頂點(diǎn)A在底面ABCDt的射影0在/BAD的平分線上；芄（2）求這個(gè)平行六面體的體積。膄圖1 羀三、練習(xí)蕿1 .已知圓柱與圓錐的底面積相等，高也相等，它們的體積分別為Vi和V2 , 則 V : V2 =.羆 A. 1:3 B. 1:1 C. 2:1 D. 3:1羂2.三棱錐V ABC勺底面ABC勺面積為12

13、,頂點(diǎn)V到底面ABC勺距離為3, 側(cè)面VAB勺面積為9,則點(diǎn)C到側(cè)面VAB勺距離為（）.肀 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6所形成的幾何體的體積之比為（）蚆3.矩形兩鄰邊的長為a、b,當(dāng)它分別繞邊a、b旋轉(zhuǎn)一周時(shí),肇 A.B.C.(b)3aD.（：）膆4.如圖，一個(gè)簡單空間幾何體的三視圖其主視圖與左視圖是邊長為2的正三角形、俯視圖輪廓為正方形，則其體積是（）.螄 A . 口 B . 仁 C. 3 D .§3363艿5.已知三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且長度分別為icm 2cm 3cm則此棱錐的體積.蒈6 .已知一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面相切，若這個(gè)球的32 n體

14、積是一3，則這個(gè)三棱柱的體積是（）蚄 A. 96 ,3 B . 16 ,3 C . 24 3D . 48,3薃7. （2009 江西高考）體積為8的一個(gè)正方體，其表面積與球 0的表面積 相等，則球O的體積等于.荿8.有一個(gè)正四棱臺(tái)形狀的油槽，可以裝油190L,假如它的兩底面邊長分別等于60cm和40cm,求它的深度為多少 cn?衿9、假設(shè)正棱錐的底面邊長為a,側(cè)棱長為2a,求對(duì)角面的面積和側(cè)面積莆蒞9 .用上口直徑為34cm 底面直徑為24cm 深為35cm的水桶盛得的雨水正好為桶深的1,問此次降雨量為多少？（精確到0.1 m）注:5降雨量指單位面積的水平面上降下雨水的深度）葿 10.在三棱錐

15、 S-ABC中, / SAE=/SA（=Z ACB90°,且 AG=BG=5, SB=5 J百。（如圖所示）求三棱錐的體積 V- SBC。蕆提高題蒆1.若正方體的全面積增為原來的2倍，那么它的體積增為原來的（）肄 A. 2倍 B. 4倍 C.2倍 D. 2 2倍蕿2.個(gè)長、寬、高分別為 a b、c長方體的體積是8cm2，它的全面積是32 cm2，且滿足b2 = ac,那么這個(gè)長方體棱長的和是（）袈A、28cm B. 32 cm C. 36 cm D. 40 cm芇3.正六棱臺(tái)的兩底面的邊長分別為a和2a,高為a,則它的體積為（）213 3 也 3_7/3 3袃 A. aB. &quo

16、t;TaC. 7 3a3D . Ta蠆4.若球的體積與其表面積的數(shù)值相等，則球的半徑為（）1A. 1 B. 3 C. 2 D. 25. 一個(gè)球的外切正方體的全面積的數(shù)值等于6cm2,則此球的體積為（4 兀 cm3A . 36 二 cm3B.8-ncm3C . 66 二cm3D .66.正六棱錐的底面邊長為a,體積為2 a，那么側(cè)棱與底面所成的角為3171JIA. 6 B. 4 C. 35 二12莇7.正四棱錐的底面面積為 Q,側(cè)面積為S,則它的體積為（）1蚄A、3q sC ?Js(S2 Q2)C、2d、6 Q(SQ2)螆8.棱臺(tái)上、下底面面積之比為1 : 9,則棱臺(tái)的中截面分棱臺(tái)成兩部分的體積

17、之比是（）B. 2 : 7 C. 7 : 19 D . 3 : 16蒃9.正方體、等邊圓柱與球它們的體積相等，它們的表面積分別為S、3、S3,下面關(guān)系中成立的是（）羈A . S3> S2> SB . S> S3> S2腿C . S> S> SD . 3> S> Ss薇 10 .沿棱長為1的正方體的交于一點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)作一個(gè)截面， 截得一 個(gè)三棱錐，那么截得的三棱錐的體積與剩下部分的體積之比是（）膂 A . 1 : 5 B . 1 : 23C . 1 : 11 D . 1 : 47節(jié) 二、填空題薈 11 .底面邊長和側(cè)棱長都是a的正三棱錐的體積是

18、 .肅 12 .將4X 6的矩形鐵皮作為圓柱的側(cè)面卷成一個(gè)圓柱，則圓柱的最大體積是.不得用于商業(yè)用途芅 13.半徑為1的球的內(nèi)接正方體的體積是 ;外切正方體的體積是莂14.已知正三棱臺(tái)上、下底面邊長分別為2、4,且側(cè)棱與底面所成角是45°,那么這個(gè)正三棱臺(tái)的體積等于.三、解答題15. 三棱錐的五條棱長都是5,另一條棱長是6,求它的體積.16. 兩底面邊長分別是15cm和10cm的正三棱臺(tái)，它的側(cè)面積等于兩底面 積的和，求它的體積.17. 個(gè)圓錐形容器和一個(gè)圓柱形容器，它們的軸截面尺寸如圖所示，兩容器內(nèi)所盛液體的體積正好相等，且液面高度h正好相同，求h.18.如圖所示，已知正方體 AB

19、CDA1BQDi的棱長為a, E為棱AD的中點(diǎn)，求點(diǎn)A1到平面BED1的距離.第3講球的表面積和體積一、知識(shí)要點(diǎn)：1.表面積：S球面=4二R2（ R：球的半徑）.2. 體積：V球面二-7： R3.32.正方形的三個(gè)球，正四面體的三個(gè)球。二、例題精講：【例1】表面積為324二的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是14，求這個(gè)正四棱柱的表面積【例2】如圖，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，求證:（1）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積；（2）球的表面積等于圓柱全面積的2【例3】如圖，正四棱錐 P-ABCD底面的四個(gè)頂點(diǎn) A,B,C,D在球O的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)P在球面上，如果Vpbcd16，則球O的表面積是3【例4】半

20、球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，正方體的一個(gè)面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體棱長為 6，求球的表面積和體積.三、練習(xí)1.正方體的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（）A. 3:1 B.3:2 C. 2: 3 D.3:32. 設(shè)正方體的全面積為24cm2 , 一個(gè)球內(nèi)切于該正方體，那么這個(gè)球的體積是（）.A.&cm3B.323cm3C.3已知，棱長都相等的正三棱錐內(nèi)接于8 3cm3個(gè)球,D.4 3cm3某學(xué)生畫出四個(gè)過球心的平面截球與正三棱錐所得的圖形，如下圖所示，則()A.以上四個(gè)圖形都是正確的B. 只有(2)(4)是正確的C.只有是錯(cuò)誤的D.只有(1)(2)是正確的4長方體的一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長分別是 則這

21、個(gè)球的表面積是()A.25 二B.50 二C.3、4、5,且它的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上,125二 D.都不對(duì)5.個(gè)圓錐與一個(gè)球的體積相等，圓錐的底面半徑是球的半徑的 面半徑之比為().3倍，圓錐的高與底A.9 B.427D.2746.若三個(gè)球的表面積之比是1:2:3，則它們的體積之比是 .7. 一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，它的棱長為2cm,則這個(gè)球的表面積為體積為8.已知過球面上A,B,C三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的一半，且AB二BC二CA=2，求球的表面積.9.如圖是一個(gè)獎(jiǎng)杯的三視圖.求這個(gè)獎(jiǎng)杯的體積(精確到0.01 cm3)解：由三視圖可以得到獎(jiǎng)杯的結(jié)構(gòu)，底座是一個(gè) 正四棱臺(tái)，杯身是一

22、個(gè)長方體，頂部是球體.10. 有一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸如下 (單位：cm)，則該幾何體的表面積及體積為A. 24 n cm， 12 n cmiB. 15n cni，12 n cmiC. 24 n c，36 n cmiD.以上都不正確11. 向高為H的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系的圖象如右圖所示，那么水瓶的形狀是( ).12. 一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面。已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的高為3，底面周長為3,那么這個(gè)球的體積為13、如下的三個(gè)圖中，上面的是一個(gè)長方體截去一個(gè) 角所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側(cè)視圖在下面畫 出(單位：cm).(I)在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該 多面體的俯視圖；(U)按照給出的尺寸，求該多面體的體積；僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途Fo