常微分方程復(fù)習(xí)資料

1、常微分方程復(fù)習(xí)資料一、填空題1 一階微分方程的通解的圖像是維空間上的一族曲線.2 方程y 2y y 0的基本解組是3一個不可延展解的存在在區(qū)間一定是區(qū)間.4 方程dy.1嚴(yán)的常數(shù)解是dx、5方程dy X2 y2滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是dx6 若y (x)在(，)上連續(xù)，則方 dy非零解綽(x)y的任.與X軸相交 dx 7j在力y p(x)y q(x)y 0中，如果P(x), q(x)在(,)上連續(xù)，那么它的任一非零解在xoy辜面上與X軸相切.&向量函數(shù)組Yi (x) ,丫2 (x) , ,Yn (x)在其定義區(qū)間I上線性相尖的 條件是它們的朗斯基行列式 W (x) 0 , X

2、 I 9方程x (y21) dxy (x21) dy 0所有常數(shù)解是 10 .方程y4y 0的基本解組是11 方程叢、y 1滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是dx共同零點.12 若y 1 (x) ,y2 (x)是二階線性齊次微分方程的基本解組，則它們 二、單項選擇題1)(D)除y軸外的全平面1 方程dyx3y滿足初值問題解存在且唯一定理條件的區(qū)域是( dx(A)上半平面(B) xoy平面(C)下半平面2f (y)連續(xù)可微是保證方程直 f (y)解存在且唯一的()條件dx(A )必要(B)充分(C)充分必要(D )必要非充分3二階線性非齊次微分方程的所有解()(A)構(gòu)成一個2維線性空間(B)構(gòu)成

3、一個3維線性空間(C)不能構(gòu)成一個線性空間(D)構(gòu)成一個無限維線性4 -方程一y 3y3過點(0, 0)有()dx(A)無數(shù)個解(B)只有一個解(C)只有兩個解(D)只有三個解5n階線性齊次方程的所有解構(gòu)成一個()線性空間(A)n 維(B) n 1 維(C)n 1 維(D)n 2 維6方程dyX y2 !()奇解dx(A)有三(B)無(C)有一個(D)有兩個7 若y(X), y2 (X)一階線性非齊次微分方程的兩個不同特解，則該方程的通解可用這兩個解表示為()(A)1 (x)( 2 ； x) (B)1 (x)2(x)(C) C( i(x) 2(x)1 (x)(D) C 1 (x)2(x)&am

4、p;fy(X, y)連續(xù)是方程dyf (x, y)初值解唯 dx一的(C)充分必要)條件.(D)充分(A)必要(B)必要非充分9 方程y的奇解是()dx(A)y x(B)y 1(C) y 1(D)yo10方程吐: ii v?過占D共有()個解.dx2(A) 一(B)無數(shù)(C)兩(D)三11. n階線性齊次微分方程基本解組中解的個數(shù)恰好是()個.(D) n+2)(A) n( B) n-1( C) n+112. 一階線性非齊次微分方程組的任兩個非零解之差(A)不是其對應(yīng)齊次微分方程組的解(C)是其對應(yīng)齊次微分方程組的解(B)是非齊次微分方程組的解 (D)是非齊次微分方程組的通解13.xoy平面上連

5、續(xù)，那么方程矽 y(A)必為(，)(B)必為dx(0,(C)必為如果f (X, y),仁為于都在f(x,y)的任一解的存在區(qū)間(,0)(D)將因解而定).dxdxXX3.也Hvyxy54,2xydx (x2dyxy2dx 1 xy2)dy 05yxy2(y)36.7.也Hvsye2x8.(x3 xy2)dx(x2y y3)dy9. evyxO10yy (y)20dy11. 7dx/Xt昇X12.dx 11 dx x13. (x2ay)dx xdy 014.y (x Iny)115 yyy22x016求方程y5y5x2的通解.1(y)2Y叢y iny1.2.1三、計算題求下列方程的通解或通積分:

6、17.求下列方程組的通解.dxdt dy dt19 求下列方程組的通解dxsin t18涉古矩/ /dt理dt2y3x4y五、證明題1設(shè)f(x)在0,)上連續(xù)，且lim f (x) 0，求證：方程dy y f(x)的一切解y(x)，均有xdxlim y(x) 0 X2.在方程y p(x)y q(x)y 0中，p(x), q(x)在(，)上連續(xù)，求證：若p(x)恒不為零，則該方程的任一基本解組的朗斯基行列式W(x)是(，)上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù).3 設(shè)f (x, y)在整個xoy平面上連續(xù)可微，且f(x, y。) 0 .求證：方程旳f (x, y)dx的非常數(shù)解y y(x)，當(dāng)x xo時，有y(x)y

7、o，那么x0必為 或4. 設(shè)y Nx)和y 2 (x)是方程y q(x)y 0的任意兩個解，求證：它們的朗斯基行列式W(x) C ,其中C為常 數(shù).5. 在方程W f(y) (y)中，已知f(y),(x)在(，)上連續(xù)，且(1)0 .求證：對任意X。和dxy 1，滿足初值條件y(x。) y的解y(x)的存在區(qū)間必為().6 在方程y p(x)y q(x)y解在xoy 0中，已知p(x) , 4(刈在()上連續(xù).求證：該方程的任一非零平面上不能與X軸相切.參考答案一、填空題1.22. ex, xex 3 .開 4.y1 5 . xoy平面6 不能7 .不能8 .必要9 . yI1, X110.

8、sin 2x, cos2x11 . D(x,y)R2|y 0,(或不含x軸的上半平面)12 .沒有二單項選擇題1.D 2.B3.C 4.A5.A6.A 7.C8.D9.D10.B 11. A 12.C13.D三、計算題1 .解當(dāng)y 0, y 1時，分離變量取不定積分，得dydxCyiny通積分為in yCex2 .解令y xu，則dy1pl.1 .dxdxdu2X1 udx分離變量，取不定積分，得V 竺 InC( C 0)1 U2 X通積分為：arcsin 乂 In CxX3解方程兩端同乘以y5，得5dy 4y y Xdx令屮z，則4y5業(yè)生，代入上式，得dx dx通解為1 dz4 dxz C

9、e4x原方程通解為Ce4x4 .解因. 2xy ?。▁o, y。）N，所以原方程是全微分方 程.x(0, 0)，原隔附耕耀分為X02xydx5 解6解13xy通解為原方程是克萊洛方程，2C3當(dāng)y 0時,0儲變量得di fdxy 1 X等式兩端積分得'n y即通解為y C 1 x27解齊次方程的通解為3xy Ce令非齊次方程的特解為 y C(x)e 3x代入原方程，確定出C(x)原方程的通解為&解由于Ce2xy3x1 2x+ e5N ，所以原方程是全微分方程.Xy取(X。，y。)(u, U)，原方程的通枳分為 p (x3 xy2)dx Jy3dy G x4 2x2y2 y4 C

10、9 解令y t,則原方程的參數(shù)形式為x t elyt由基本尖系式dy ydx t (i ejdt積分有得原方程參數(shù)形式通解x t el1 2t y -t2 el(t 1) C210 解 原方程為恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程，可改寫為(yy)0即yyC1分離變量得ydyGdx積分得通積分0Ci x C211解令yu，則dyu x巴，代入原方程'得XdxdxduUduu tanu ,xtan ux - dxdx當(dāng)tanu 0時，分離變量，再積分，得du dxInCtanu xIn sinu In x In C即通積分為：sinexX12 .解 齊次方程的通解為y Cx令非齊次方程的特解為y C(x)x代入

11、原方程，確定出C(x) lnxC原方程的通解為y Cx + xlnx13 解積分因子為(x)2x原方程的通積分為i/e J2)dx $ dy G1 X0即 Gx - C, C 6 Ci)X14 解令y p，則原方程的參數(shù)形式為x In pPy P由基本尖系式dydx有dyy dxp(12-)dpP(11rlcP積分得y PInpc得原方程參數(shù)形式通解為1x In ppy p In p C15 解原方程可化為(yy X2)0于曰dy 2于疋y xCidx積分得通積分為1 213y CX xC223(6分)16 .解對應(yīng)齊次方程的特征方程為25o ,X c costCiysi nt令非齊次方程特解

12、為sintC2 cost特征根為10， 25,齊次方程的通解為y CiC2e5x因為 0是特征根。所以，設(shè)非齊次方程的特解為yi(x) x(Ax2 Bx C)代入原方程，比較系數(shù)確定出原方程的通解為1 31 2y Ci C2e5x x x3517 .解先解出齊次方程的通解152x25225sintC2 cost1sint0tCl (t),C2 (t)滿足cost si nt Ci (t) sin t cost c2 (t)解得 G(t)遊 1, C2 (t)1sin t積分，得 Ci(t) In si nt，C2 (t)通解為costsin t cost In sin tC1 -s int C

13、2 costt sin t-sint In si ntt cost18.解對應(yīng)的齊次方程的特征方程為:特征根為：1 1,2故齊次方程的通解為：y Gex C?e x因為 1是單特征根.所以，設(shè)非齊次方程的特解為%(x) Axex代入原方程，有2AexAxex /故原方程的通解為yCiex C2(解方程組的特征方程為12嚴(yán)34即2320特征根為J2211對應(yīng)的解為31toyithX019其中ai, bi是11 Xex，可解出21 X-xe 411對應(yīng)的特征向量的分量，滿足2 ai 04 1 bi可解得ai 1 ,bi冋樣可算出2 2對應(yīng)的特征向量分量為所 a2 2, bi 以，原方程組的通解為1

14、.eCite2e2tC2 3e2t五、證明題1證明設(shè)y(x)是方程任一解，滿足y(x。)y0，該解的表達(dá)式為取極限limXy(x) limXXoypX xoelimXXx f(s)e(sx。dsX上0,若 f(s)e(SX0)dsXf(x)e(xx。)limX2證明設(shè)ydx), y2 (x)是方程的基本解組，則對任意x (X xo eo,若 f(s)e(sxo)dsXo)，它們朗斯基行列式在(上有定義，且W(x) 0 又由劉維爾公式p(s)dsW(x) W(Xo) e 初,Xo(，)Xp(s)ds由于W(xo) 故W(x)是(3證明由已知條件，方程在整個解都可延展到平面的無窮遠(yuǎn)。W (x) W

15、(Xo)e ”p(x)o, p(x) o,于是對一切x(,)，有W(x) 0 或 W (x)0,)上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù).xoy平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理條件，因此，它的任一(2分)又由已知條件，知y yo是方程的一個解。假如方程的非常數(shù)解yy(x)對有限值Xo有l(wèi)im y(x) yo 那么由已知條件，該解在點(xo, yo)處可向XxX。的右側(cè)(或左側(cè))延展這樣，過點(X。, y。)就有兩個不同解y y和y y(x) 這與解的唯一性矛盾，因此X。不能是有限值.4證明如果y 丨(X)和y2 (x)是二階線性齊次方程y P( x)y q(x)y 0的解，那么由劉維爾公式有XP (t)dtW(x) W(x)e x0現(xiàn)在，p(x) 0故有bdtW(x) W(x)e x0 W(x。) C5.證明由已知條件，該方程在整個xoy平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理條件.顯然y1是方程的兩個常數(shù)解.任取初值(x。，* )，其中X。(，)，y。1記過該點的解為y y(x)，由上面分析可知 一方面y y(x)可以向平面無窮遠(yuǎn)處無限延展；另一方面又上方不能穿過y 1，下方不能穿過y