向量集體備課

1、百度文庫-讓每個人平等地提升自我平面向量李振麟【知識特點】平面向量作為工具性知識，和三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何等知識有著廣泛的聯(lián)系。其中平面向量的共線與垂直，平面向量的運算，平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用，是重點內(nèi)容，也是高考考查的重點。 對于數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的引入這部分內(nèi)容， '、其獨立性較強，一般是單 獨命題，其中復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的運算是重點知識，也是高考考查的重點?！局攸c關(guān)注】1、平面向量共線與垂直的充要條件、平面向量的線性運算、平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用、復(fù)數(shù)的運算是高考的熱點內(nèi)容，需重點關(guān)注。2、平面向量的基本運算與三角函數(shù)結(jié)合是高考中的重要題型，此類題可以是選擇、填空，也可以為中

2、檔的解答題。向量與數(shù)列、不等式、圓錐曲線，函數(shù)等知識的綜合問題。對 學(xué)生能力的考查有較高的要求。3、本章內(nèi)容要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，向量具有“形與數(shù)”的兩個特點，這就使得向量成了數(shù)形結(jié)合的橋梁。【地位和作用】向量帶有基礎(chǔ)知識的特點， 是一種工具性和方法性知識。 向量有一套優(yōu)秀的運算系統(tǒng)， 由于它提供的向量法、坐標法， 使其成為研究高中數(shù)學(xué)的重要方法。同時，向量又有一套優(yōu)良的運算系統(tǒng)，幾何中有關(guān)長度、角度的計算，平行、垂直的判定與證明，很多場合下都可 以化歸為向量的運算來完成， 教材中正弦定理、余弦定理的證明、定比分點坐標公式的導(dǎo)出， 就是這方面典型的例子。 這些體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中化歸和數(shù)形結(jié)合的思

3、想。向量“形”、“數(shù)”兼?zhèn)?是數(shù)形結(jié)合的橋梁。 在運用向量知識時， 充分運用幾何圖形直觀的特點，而在解決幾何問題時，又注意充分運用向量法與坐標法，處處滲透了數(shù)形結(jié)合的思想。通過分析進兩年高考中本章相關(guān)知識點的考查匯總，可以看出本章在高考命題中呈現(xiàn)出以下特點：1、考查題型主要是以選擇、填空為主，分值為10分左右，基本屬容易題；2、重點考查向量的共線與垂直，向量的夾角、模與數(shù)量積及復(fù)數(shù)的運算，注重在知識交匯處命題；3、預(yù)計在本意在今后的高考中，將以向量的運算、向量的夾角、模、數(shù)量積、復(fù)數(shù)的運算為命題熱點，將更加注重向量與其他知識的交匯，以考查基礎(chǔ)知識、基本技能為主。/ 平面向量【高考目標定位】一、

4、平面向量的概念及其線性運算1、考綱點擊(1) 了解向量的實際背景；(2)理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義；(3)理解向量的幾何表示；(4)掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義；(5)掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義；(6) 了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義。2、熱點提示(1)重點考查平面向量的有關(guān)概念、線性運算及其幾何表示；(2)多以選擇、填空的形式呈現(xiàn)，有時和其他知識相結(jié)合，在知識的交匯點處命題。二、平面向量的基本定理及坐標表示1、考綱點擊(1) 了解平面向量的基本定理及其意義；(2)掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；(3)會用坐標表示平面向量的加法

5、、減法與數(shù)乘運算；(4)理解用坐標表示的平面向量共線的條件。2、熱點提示(1)向量的坐標運算及用坐標表示平面向量共線的條件是高考考查的熱點，常以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，為中、低檔題；(2)向量的坐標運算常與三角，解析幾何等知識結(jié)合，在知識交匯點處命題，以解答題的形式呈現(xiàn)，屬中檔題。、平面向量的數(shù)量積及平面向量應(yīng)用舉例1、考綱點擊(1)理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；(2) 了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；(3)掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算；(4)能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系；(5)會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題；

6、(6)會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題。2、熱點提示/ (1)平面向量數(shù)量積的運算，模與夾角、平行與垂直問題的高考命題的熱點，多以選 擇、填空題的形式出現(xiàn)，屬中低檔題，但靈活多變；(2)可與三角函數(shù)、解析幾何等知識綜合命題，是高考的另一個熱點。【考綱知識梳理】一、平面向量的概念及其線性運算1、向量的有關(guān)概念及表示方法(1)向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或模)零向量長度為0的向量；其方向是任意的記作0單位向量長度等于1個單位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量)與任一向量平行或共線共線向量平行向量雙叫做共線向量相等向量長度相等且方

7、向相同的向量_i1.相反向量長度相等且方向相反的向量:)的相反向量為0(2)向量的表示方法字母表示法，如：a幾何表示法：用一條有向線段表示向量。2、向量的線性運算向量運算定義/法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向里和的運算ii*口三角形法則a6平行四邊形法則(，(1)交換律： abba。' (2)結(jié)合律：b) 1 a (b 1)減法求a與b的相反i向量 b的和的運1i算叫做a與b的差a三角形法則數(shù)乘求實數(shù)入與向量i4a的積的運算(1)：|?.(2)當入>0時，a與14a的方向相同；當入 <01， 4時，a與a的方向相反；當入=0時，a =0(a)()* *)a a，i ia

8、 b) aa；士； t，、一12 4九 T 24 2 ,一, 一一八，,汪：式子|a b,| |a b| 2(|a| | b| )的幾何意義為：平行四邊形兩條對角線的平方和等于它們四條邊的平方和3、向量Jraa(0)與向量b共線的充要條件為存在唯一一個實數(shù)，使b a.A* AC共線即可。注：用向量法證明三點二、平面向量的基本定理及坐標表示1、兩個向量的夾角(1)定義已知兩個非零向量 1和b,作oA a,oA b,則/AOBW叫做向量1與卡的夾角。(2)范圍 iiii向量夾角。的范圍是 00wew 1800, a與b同向時，夾角。=00； a與b反向時，夾角。=1800。(3)向量垂直,iiii

9、ii如果向量a與b的夾角是90°,則a與b垂直，記作a ±b o注：在A ABC中，設(shè)aBdb ,則向量a與b的夾角為/ ABC是否正確？(答:22不正確。求兩向量的夾角時，兩向量起點應(yīng)相同，向量a與b的夾角為兀-/abc。2、平面向量基本定理及坐標表不(1)平面向量基本定理 定理：如果S,e2是同-平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量有且只有一對實數(shù)Ta2Te1 Jra使21其中，不共線的向量el,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。(2)平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。(3)平面向量的坐標表不作為基底,在平

10、面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i,對于平面內(nèi)的一個向量a ,有且只有一實數(shù)x,y,使a xi yj ,把有序數(shù)對(x,y )叫做向量a的坐標，記作a= (x,y),其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標。設(shè) oA x, yjj,則向量OA的坐標(x,y )就是終點A的坐標，即若 oA= (x,y ),則A點坐標為(x,y ),反之亦成立。(O為坐標原點)3、平面向量的坐標運算(1)加法、減法、數(shù)乘運算向量4 aba+bi-b4入a坐標(x1,y1 )(x2,y2)'、(x1+x2, y1+ y2)(x1-x2, y1-y2)(入 x1, ”1)(2

11、)向量坐標的求法已知 A (x1,y1 ), B(x2,y2),則AB = (x2-x1 , y2-y1 ),即一個向量的坐標等于該向量終點的坐標減去始點的坐標。(3)平面向量共線的坐標表示設(shè)2= (x1,y1 ), b =(x2,y2),其中 bw。，則 a與 b 共線a =入 bx1y2- x2y1=0。(x1,y1 ),Al)=AH一.0 a 9-qan=am=g (a+ b).J二(x2,y2),則V x1y1 T* * 乙» * 4 n.4 T T； g*a b 一 一 AB DC, a/b,b/c,則a c; a/b,b/c,則a/c AB DC,b 0 a c aX2y

12、2-r c4O40ICABoDABCDTBCDTBDCABoDADOab-Tb* a-rb-r ar1()A=4"(onf)c>-2AB, DE / /BOX AC于E,BC邊上的中線 AM DE于N。ADb,用a,b表示向量 aMbc、deiDn!am"!aN2AB aD,dBDE/BC ADEdE 2bC 2(b33DE|BC , aD 2 ABJrb2 一 3 Jra2adb 1OB oa a,OB b, a,b OC dC oA -(ob oc)oc 2oA ob 32M.DC OC OD OC 2 OB 2a b 2b81 k2 k(k 1)b. a b k

13、 k4 a4ak /(*kb Jra 4b 肅 Jla 4b 昌 謂aB, ADaB,Ad anTBinvi rAB= a»AD= &) aMaN.一 -*-*1 *a=AN+NB= d+( 一 卷_* T M "I .一bAM+MD c+(r-d)乙BN 二AB=-dc.代入AB= a, AD= &,1lbf PM= (1>£i3c,CN2b,92-盤盤 b,3a b 3C3a b6m n15-6-3mb nc ( 6m n, 3m 8n) (5, 5),3c3m 8n55，解得53c OC (3,24) ( 3, 4)(0, 20)2b

14、ON 2b oC(12,6) ( 3, 4) (9,2), MN(9, 18)f(c)(1,2),b (3,2), ka bw3bTkaJra 1 - 34a(p, q)( p、q為常數(shù))的向量c的坐標;:a (1,1),響(1,2 i i) (1,1)IC設(shè)(x, y),則f(c) (y,2y x) (p,q),p, q p Q clbJraT-kakaJra/.V1 - 3lkaw3ba ff (ma nb) mf (a) nf (i)if(U)：b (1,0), f(b) (0,2 0 1) (0, 1).y P2y x qx 2p qy P設(shè) a (a1,a2), b (b1, b2)

15、，貝UmW nb (ma1 nb1,ma2 nb2),*i* 1f (ma nb) (ma2 nb2,2 ma2 2nb2 ma1 nb1). mf (a)mf (a) nf (b) (ma2 nb2,2ma2 2nb2 ma1 nb1), f (mm(a2,2a2 “),nf(b) (bz,2 b2 b),nb) mf (a) nf (b).a. * b= | a| | Er|cOsff'(2) |Z士司乂 二 (G士務(wù)士 = a? &+ft2 f(3)若= (& y),則 I 口I = & + ：/a(3aJrb2aa.JibJTb-2262JrbaJJP

16、( 13a28 JrNbT3a41a244b0064419JI a2T.ad2bla214524a(3加 y =0-|a b| v25 12.2a (cos( ),sin( ), b (cos( ),sin(1)22a+ C +3) 6 j y= " + /.b.-b一 a阿cc3tt3 t22 wka2-rb如ALo732k 3t 3AL k ak t2t故當t6WO.3Tu、h由已知:(：,3b) |(7a即7a 16a3t27a 5b4b 7a2b a2b) 0.t2t二時k t2 ，有最小值】.5b) 0,14b)|(7a(t 2)2114Ur fjOir=OA+OB-CX；

17、0b,代入其中任一式,兩式相減，得2alb60；cosHE0H= OA+AH,2b15b227a 30a b 8b 0UH 與 0A.OB、OC12AH 與 OB. OCAH= D( AH= DC, 2.>+DC=OC ()D= OC+OB,AH=OB+OC, 0A+ AH,XH= OA+ 0B+ C)C.300p=0, 02F - 5= I FI I ；|ct)530a = 50X20X = S00 j3(J>,I N sin30* = 50 X 4 = 25( N).44上ff. (80 25) 0.02 1.1(N)A ； = |R |。-1耐=1. 1X2UX 1>=

18、 22,戶、力6 20092、年廣東卷文)已知平面向量a=(x,1), b=(x,x),則向量a bA平行于x軸B.平行于第一、三象限的角平分線C.平行于y軸D.平行于第二、四象限的角平分線【答案】22【解析】a b (0,1 x)1 x。及向量的性質(zhì)可知，c正確.2. (2009廣東卷理)一質(zhì)點受到平面上的三個力F1, F2, F3 (單位：牛頓)的作用而處于平 衡狀態(tài).已知F1, F2成600角，且Fl, F2的大小分別為2和4,則F3的大小為A. 6B. 2C. 2。D. 2'、【解析】F32F12 F22 2F1F2COS(1800 600) 28,所以 F3 2萬 選 D.3

19、. (2009浙江卷理)設(shè)向量a, b滿足：1a |3, 1b |4,ab 0.以a,b, ab的 模為邊長構(gòu)成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數(shù)最多為()A. 3B, 4 C. 5 D, 6答案：C /【解析】對于半徑為1的圓有一個位置是正好是三角形的內(nèi)切圓，此時只有三個交點J 對于圓的位置稍一右移或其他的變化，能實現(xiàn)4個交點的情況，但 5個以上的交點不能實現(xiàn).4. (2010全國卷2理數(shù))(8) 1ABC中，點D在AB上，CD平方 ACB .若CB a,CA b, a| 1, |b 2,則,人、12,21,34,43,(A) a-b(B) ab(C) _a -b(D) -a -b3

20、3335555【答案】B【命題意圖】本試題主要考查向量的基本運算，考查角平分線定理【解析】因為CD平分 ACB,由角平分線定理得分點，且故選B.ADDBCACB-,所以D為AB的三等1aD 2AB -(CB CA),所以 CDCA+A -CB -ca -1 333335. （2010全國卷2文數(shù)）（10） 4ABC中，點D在邊 AB上,CD平分/ACB 若 CB = a , CA(A)=2,則 CD =1a + - b (B) -a + 1 b 3333(C)4b 5(D) - a + - b55【解析】B:本題考查了平面向量的基礎(chǔ)知識CD為角平分線BDADBCACAB CB CA a tAD

21、1 2AB胃及CD Ca2b 2336. （2010上海文數(shù)）13.在平面直角坐標系中，雙曲線的中心在原點，它的一個焦點坐標為（J5,0）,e1 （2,1）、e2 （2, 1）分別是兩條漸近線的方向向量。任取雙曲線若以，be （a、 b R）,則a、b滿足的-個等式是4ab 1解析：因為e （2,1）、e2 （2, 1）是漸進線方向向量，所以雙曲線漸近線方程為 y又 c 5,2,b雙曲線方程為1,一 -2(2a 2b)4(a b)21 ,化簡得4ab 17. (2010天津理數(shù))(15)ADi 1,則 aC J AD 1x2二 (2a 2b, a b)如圖，在&ABC中，AD / AB

22、,【解析】本題主要考查平面向量的基本運算與解三角形的基礎(chǔ)知識，屬于難題。AC?aD | AC|?| AD|cosZ DAC |AC|?cosZ DAC | AC |sinZ BAC解析本小題考查平面向量的幾何意義、線性運算、數(shù)量積，考查運算求解能力。滿分14分。(3,5), AC(1,1),則(1)(方法一)由題設(shè)知所以| 2七10,| AB(2,6), AB(4,4).AC| 4J2.故所求的兩條對角線的長分別為4短、2710 o(方法二)設(shè)該平行四邊形的第四個頂點為D,兩條對角線的交點為 E,則：E為R C的中點，E (0, 1)又E (0, 1)為A、D的中點，所以D (1,4)故所求的

23、兩條對角線的長分別為BC=4拒、AD=2j10 ;i(2)由題設(shè)知、OC(32t,5 t)o由(AB tOC) OC=0,得：(3 2t,5 t) ( 2,1) 0,11從而5t11,所以t 11 o或者:5AB (3,5), t St115BCsin B ,3【解析】近幾年天津卷中總可以看到平面向量的身影，且均屬于中等題或難題，應(yīng)加強平面 向量的基本運算的訓(xùn)練，尤其是與三角形綜合的問題。8. (2010江蘇卷)15、(本小題滿分14分)在平面直角坐標系 xOy中，點A(1,2)、B(2,3)、C( 2, 1)。(1)求以線段AR AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長;(2)設(shè)實數(shù)t滿足(AB

24、 tOC ) OC =0,求t的值?！究键c精題精練】、選擇題3b23 .b 2D.1 .若向量 a (1,1), b (1, 1), c ( 1,2),則 c ( B )1 . -a2b, c是任意的非零平面向量，且相互不共線，有以下結(jié)論 a(a b) cB.(3a 2b) (3a其中正確的是（ D ）A.C.3 .若a、b、c為任意向量，m R ,則下列等式不一定成立的是( D )A. (a b) c a (b c)b. (a b) C a c b cC. m (a b) ma mbDT，iT (a b) c a (b c)4 .設(shè)坐標原點為O,拋物線y2 2x與過焦點的直線交于 A、B兩點

25、，則OAOB （ B ）A. 34C. 3D. 35.OC平面直角坐標系中， O為坐標原點，已知兩點oAoB，其中R,且A (3, 1), B (-1, 3),若點 C 滿足1 ,則點C的軌跡方程為（D ）A. 3x 2y 110B. (x 1)2 (y 2)25(A)7.已知'.32a (3,4), b(A)(8.已知11 1、,一)15 54a (1,2),(x,1),且 a 2b 與 2a, 1 11、 (B)(-,) 5 15(C)(,-)15 5平行，則x(D)(,1)15 5C. 2xy 0D. x 2y 5 06.若 |：| 2sin15： |b| 4cos151 1a

26、與 b 的夾角為 30：,則 g b 的值為(B) 33(C) 2J3(D)a,且b的起點為(1,2),終點為(x,3x),則b1, a與b的夾角為60L、又,(B) 2(C)IC 1 3(D)3b, d 2a mb,且 c b,則實數(shù)m的值為(D )(A) 0(B) 6 或6(C) 1 或6(D) 1 或 610 .若|/| |b| 1, J b,且2a 3b與向量ka 4b也互相垂，則實數(shù)k的值為(A) -6 /(B) 611 .已知兩點M1 (4, 3)和M2 (2, 點的坐標為(D )/ (A) (0 5)(B) (6, 7)(C) 3(D) (3)-1),點M分有向線段M1M2的比為 2,則M(C) ( 2, 3)(D) (0, 5)12、已知向量a與b不共線,Ab = a +kb ,AC = l a + b (k, l CR),則 AB 與 AC