非線性分析中弧長法的簡介(共7頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上非線性分析弧長法的讀書報告1.弧長法的原理弧長法屬于雙重目標(biāo)控制方法，即在求解過程中同時控制荷載因子和位移增量的步長。其基本的控制方程為： （1）式中：為荷載因子增量數(shù)值為荷載比例系數(shù)，用于控制弧長法中荷載因子增量所占的比重為固定的半徑在求解過程中，荷載因子增量在迭代中是變化的，下列非線性靜力平衡的迭代求解公式中存在個未知數(shù)，即 （2）這樣，在弧長法中一共存在個未知數(shù)，根據(jù)約束方程： 即為附加的控制方程，問題才能得到解答，此時，可以根據(jù)值的取值分為兩種弧長法，其中，時的弧長法稱為球面弧長法，時的弧長法稱為柱面弧長法。1.1球面弧長法如下圖所示，根據(jù)圖中所示來說明弧長法

2、的求解策略：在第步荷載增量第次迭代分析中，結(jié)構(gòu)的位移增量可由式（2）來計(jì)算，即 （3）由于剛度矩陣不對稱以及帶寬被改變，通常情況下直接聯(lián)立求解式（1）和式（3）中個變量相當(dāng)困難。通常，將式(3)中分解為兩個部分，即 （4）式中， （5） 說明的第一項(xiàng)為采用荷載控制的標(biāo)準(zhǔn)切線剛度迭代求解的結(jié)果； （6） 說明的第二項(xiàng)為考慮荷載下按當(dāng)前結(jié)構(gòu)剛度計(jì)算出來的位移增量。至此，式(4)中仍有為未知量，現(xiàn)在只有借助控制方程（1）來求解。第次迭代結(jié)束后相應(yīng)于迭代初始點(diǎn)（上圖中點(diǎn)）的位移增量為 (7)將（7）式代入控制方程（1）式，并考慮迭代前后弧長保持不變，故得到： (8)式中：與分別為第次迭代前后荷載因子相

3、對于迭代初始點(diǎn)（上圖中 點(diǎn)）的增量，它們有如下關(guān)系： (9)將(4)代入(9)中，可得： （10）式中：由此，可通過解上述一元二次方程得到何在因子的增量，從而進(jìn)一步確定當(dāng)前的荷載水平和位移向量，即(11)(12)1.2柱面弧長法經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，荷載比例系數(shù)對于最終分析結(jié)果的影響是有限的，尤其是結(jié)構(gòu)非線性成都較高時，這種影響甚微。令，從而減少程序中的未知數(shù)和提高求解效率。于是把從原先所謂的“球面弧長法”簡化為“柱面弧長法”，結(jié)構(gòu)的控制方程則簡化成： （13）同理可得：(10)中關(guān)于的一元二次方程式中的系數(shù)可以簡化成:由上式求解出兩個根，從而得到兩個位移增量，即： （14） （15）為了保證迭代方向

4、盡量保持一致，可以根據(jù)兩次迭代結(jié)束時的位移增量和的夾角最小準(zhǔn)則來判斷到底哪個更合適。兩個向量之間的夾角可以按照下式確定： （16）將一元二次方程求出的兩個解分別代入上式求出各自的夾角，夾角小的的荷載因子增量為所求的值。可按照式（11）和（12）更新結(jié)構(gòu)的荷載水平和位移向量。1.3弧長法的簡化形式上述弧長法的求解過程，需要求解一元二次方程，計(jì)算量大，因此，為簡化計(jì)算，提出了另一種控制方程，用垂直于迭代向量的平面代替圓弧，把弧長不變的條件改為向量與向量始終保持正交，即滿足下列控制方程： （17）寫成矩陣形式為與前面的解法相同，可求解上述一元二次方程得相比之下，用上式求解容易多了，其余步驟完全同上述

5、相關(guān)內(nèi)容。1.4弧長法的求解步驟（1） 對于第1個增量步()第1次迭代()分析,選定參考荷載，即 確定了初始弧長增量。（2） 輸入期望迭代次數(shù)；如果采用球面弧長法，則輸入荷載參與比例系 數(shù)。（3） 存儲結(jié)構(gòu)初始切線剛度。（4） 在第次增量步分析中，迭代流程如下。 求解出。 記錄迭代次數(shù)，對結(jié)構(gòu)剛度矩陣進(jìn)行三角分解或計(jì)算“當(dāng)前剛度系數(shù)”以判別矩陣是否正定。 更新結(jié)構(gòu)的變形向量，計(jì)算結(jié)構(gòu)的恢復(fù)力箱梁和非平衡力向量。 如果采用切線剛度迭代技術(shù)，則要根據(jù)當(dāng)前結(jié)構(gòu)的變形向量更新結(jié)構(gòu)剛度矩陣；如果采用初始剛度迭代技術(shù)，則只需在每次增量分析中的初始迭代中根據(jù)上一次增量結(jié)束時的結(jié)構(gòu)位移向量來更新結(jié)構(gòu)剛度即可，

6、在增量步中不用更新。 計(jì)算和，若采用初始剛度迭代技術(shù)，在整個增量步迭代中為定值，不必重復(fù)計(jì)算。 求解荷載因子增量。 按式（4）計(jì)算，由式（11）、（12）更新當(dāng)前的荷載水平和位移向量。 收斂性判別。如果滿足收斂準(zhǔn)則，則終止當(dāng)前增量步下的迭代進(jìn)城，記錄迭代次數(shù)進(jìn)入步驟；如果不滿足收斂準(zhǔn)則，則需要繼續(xù)迭代，記錄迭代次數(shù)，令，重復(fù)步驟 判別當(dāng)前荷載水平是否達(dá)到期望值或超過一定的增量步數(shù)。如是，則分析結(jié)束，輸出數(shù)據(jù)；如不是，則令，更新結(jié)構(gòu)切線剛度矩陣，計(jì)算當(dāng)前增量步中的弧長增量，返回步驟。2.弧長法的適用范圍弧長法適用性很強(qiáng)，收斂性和穩(wěn)定性明顯好于其他處理負(fù)剛度問題的方法，它既可以用于加工軟化結(jié)構(gòu)，也

7、可以適用于加工硬化結(jié)構(gòu)，在非線性程度較高的體系應(yīng)優(yōu)先考慮采用該方法。但是該方法的計(jì)算量很大，對一般非線性問題，還是建議選擇其他簡單的方法。3.弧長法的評述（1）弧長法屬于雙重目標(biāo)控制方法，即在求解過程中同時控制荷載因子和位移增量的步長，從理論上來說，任何方法都應(yīng)在極值點(diǎn)附近存在剛度奇異的問題，但是控制位移法和弧長法中，迭代點(diǎn)正好落在極值點(diǎn)附近的概率很小，在現(xiàn)實(shí)中很難遇見，除非遇到非線性程度很高的結(jié)構(gòu)體系。在分析混凝土開裂的加工軟化問題時，偶爾也會在運(yùn)用弧長法時出現(xiàn)一些問題，如在應(yīng)用球面孤長法時得不到方程式的實(shí)數(shù)解，或應(yīng)用柱面弧長法時在臨界點(diǎn)附近發(fā)散，找不到交點(diǎn)。（2）弧長法屬于自動步長法，只要給出一些控制參數(shù)，步長由程序自動計(jì)算，此方法為當(dāng)前的主流計(jì)算方法。（3）弧長法中的荷載增量預(yù)測因子只是初步控制當(dāng)前荷載增量步的迭代過程，不能完全準(zhǔn)確估計(jì)結(jié)構(gòu)迭代結(jié)束時的荷載水平，結(jié)構(gòu)最終的荷載水平是迭代結(jié)束后的數(shù)值。4.參考文獻(xiàn)1何政，歐進(jìn)萍.鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)非線性分析M.哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2007.2向天宇，趙人達(dá)，劉海波. 將弧長法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的幾