非線性分析中弧長(zhǎng)法的簡(jiǎn)介(共7頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上非線性分析弧長(zhǎng)法的讀書報(bào)告1.弧長(zhǎng)法的原理弧長(zhǎng)法屬于雙重目標(biāo)控制方法，即在求解過(guò)程中同時(shí)控制荷載因子和位移增量的步長(zhǎng)。其基本的控制方程為： （1）式中：為荷載因子增量數(shù)值為荷載比例系數(shù)，用于控制弧長(zhǎng)法中荷載因子增量所占的比重為固定的半徑在求解過(guò)程中，荷載因子增量在迭代中是變化的，下列非線性靜力平衡的迭代求解公式中存在個(gè)未知數(shù)，即 （2）這樣，在弧長(zhǎng)法中一共存在個(gè)未知數(shù)，根據(jù)約束方程： 即為附加的控制方程，問(wèn)題才能得到解答，此時(shí)，可以根據(jù)值的取值分為兩種弧長(zhǎng)法，其中，時(shí)的弧長(zhǎng)法稱為球面弧長(zhǎng)法，時(shí)的弧長(zhǎng)法稱為柱面弧長(zhǎng)法。1.1球面弧長(zhǎng)法如下圖所示，根據(jù)圖中所示來(lái)說(shuō)明弧長(zhǎng)法

2、的求解策略：在第步荷載增量第次迭代分析中，結(jié)構(gòu)的位移增量可由式（2）來(lái)計(jì)算，即 （3）由于剛度矩陣不對(duì)稱以及帶寬被改變，通常情況下直接聯(lián)立求解式（1）和式（3）中個(gè)變量相當(dāng)困難。通常，將式(3)中分解為兩個(gè)部分，即 （4）式中， （5） 說(shuō)明的第一項(xiàng)為采用荷載控制的標(biāo)準(zhǔn)切線剛度迭代求解的結(jié)果； （6） 說(shuō)明的第二項(xiàng)為考慮荷載下按當(dāng)前結(jié)構(gòu)剛度計(jì)算出來(lái)的位移增量。至此，式(4)中仍有為未知量，現(xiàn)在只有借助控制方程（1）來(lái)求解。第次迭代結(jié)束后相應(yīng)于迭代初始點(diǎn)（上圖中點(diǎn)）的位移增量為 (7)將（7）式代入控制方程（1）式，并考慮迭代前后弧長(zhǎng)保持不變，故得到： (8)式中：與分別為第次迭代前后荷載因子相

3、對(duì)于迭代初始點(diǎn)（上圖中 點(diǎn)）的增量，它們有如下關(guān)系： (9)將(4)代入(9)中，可得： （10）式中：由此，可通過(guò)解上述一元二次方程得到何在因子的增量，從而進(jìn)一步確定當(dāng)前的荷載水平和位移向量，即(11)(12)1.2柱面弧長(zhǎng)法經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，荷載比例系數(shù)對(duì)于最終分析結(jié)果的影響是有限的，尤其是結(jié)構(gòu)非線性成都較高時(shí)，這種影響甚微。令，從而減少程序中的未知數(shù)和提高求解效率。于是把從原先所謂的“球面弧長(zhǎng)法”簡(jiǎn)化為“柱面弧長(zhǎng)法”，結(jié)構(gòu)的控制方程則簡(jiǎn)化成： （13）同理可得：(10)中關(guān)于的一元二次方程式中的系數(shù)可以簡(jiǎn)化成:由上式求解出兩個(gè)根，從而得到兩個(gè)位移增量，即： （14） （15）為了保證迭代方向

4、盡量保持一致，可以根據(jù)兩次迭代結(jié)束時(shí)的位移增量和的夾角最小準(zhǔn)則來(lái)判斷到底哪個(gè)更合適。兩個(gè)向量之間的夾角可以按照下式確定： （16）將一元二次方程求出的兩個(gè)解分別代入上式求出各自的夾角，夾角小的的荷載因子增量為所求的值。可按照式（11）和（12）更新結(jié)構(gòu)的荷載水平和位移向量。1.3弧長(zhǎng)法的簡(jiǎn)化形式上述弧長(zhǎng)法的求解過(guò)程，需要求解一元二次方程，計(jì)算量大，因此，為簡(jiǎn)化計(jì)算，提出了另一種控制方程，用垂直于迭代向量的平面代替圓弧，把弧長(zhǎng)不變的條件改為向量與向量始終保持正交，即滿足下列控制方程： （17）寫成矩陣形式為與前面的解法相同，可求解上述一元二次方程得相比之下，用上式求解容易多了，其余步驟完全同上述

5、相關(guān)內(nèi)容。1.4弧長(zhǎng)法的求解步驟（1） 對(duì)于第1個(gè)增量步()第1次迭代()分析,選定參考荷載，即 確定了初始弧長(zhǎng)增量。（2） 輸入期望迭代次數(shù)；如果采用球面弧長(zhǎng)法，則輸入荷載參與比例系 數(shù)。（3） 存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)初始切線剛度。（4） 在第次增量步分析中，迭代流程如下。 求解出。 記錄迭代次數(shù)，對(duì)結(jié)構(gòu)剛度矩陣進(jìn)行三角分解或計(jì)算“當(dāng)前剛度系數(shù)”以判別矩陣是否正定。 更新結(jié)構(gòu)的變形向量，計(jì)算結(jié)構(gòu)的恢復(fù)力箱梁和非平衡力向量。 如果采用切線剛度迭代技術(shù)，則要根據(jù)當(dāng)前結(jié)構(gòu)的變形向量更新結(jié)構(gòu)剛度矩陣；如果采用初始剛度迭代技術(shù)，則只需在每次增量分析中的初始迭代中根據(jù)上一次增量結(jié)束時(shí)的結(jié)構(gòu)位移向量來(lái)更新結(jié)構(gòu)剛度即可，

6、在增量步中不用更新。 計(jì)算和，若采用初始剛度迭代技術(shù)，在整個(gè)增量步迭代中為定值，不必重復(fù)計(jì)算。 求解荷載因子增量。 按式（4）計(jì)算，由式（11）、（12）更新當(dāng)前的荷載水平和位移向量。 收斂性判別。如果滿足收斂準(zhǔn)則，則終止當(dāng)前增量步下的迭代進(jìn)城，記錄迭代次數(shù)進(jìn)入步驟；如果不滿足收斂準(zhǔn)則，則需要繼續(xù)迭代，記錄迭代次數(shù)，令，重復(fù)步驟 判別當(dāng)前荷載水平是否達(dá)到期望值或超過(guò)一定的增量步數(shù)。如是，則分析結(jié)束，輸出數(shù)據(jù)；如不是，則令，更新結(jié)構(gòu)切線剛度矩陣，計(jì)算當(dāng)前增量步中的弧長(zhǎng)增量，返回步驟。2.弧長(zhǎng)法的適用范圍弧長(zhǎng)法適用性很強(qiáng)，收斂性和穩(wěn)定性明顯好于其他處理負(fù)剛度問(wèn)題的方法，它既可以用于加工軟化結(jié)構(gòu)，也

7、可以適用于加工硬化結(jié)構(gòu)，在非線性程度較高的體系應(yīng)優(yōu)先考慮采用該方法。但是該方法的計(jì)算量很大，對(duì)一般非線性問(wèn)題，還是建議選擇其他簡(jiǎn)單的方法。3.弧長(zhǎng)法的評(píng)述（1）弧長(zhǎng)法屬于雙重目標(biāo)控制方法，即在求解過(guò)程中同時(shí)控制荷載因子和位移增量的步長(zhǎng)，從理論上來(lái)說(shuō)，任何方法都應(yīng)在極值點(diǎn)附近存在剛度奇異的問(wèn)題，但是控制位移法和弧長(zhǎng)法中，迭代點(diǎn)正好落在極值點(diǎn)附近的概率很小，在現(xiàn)實(shí)中很難遇見(jiàn)，除非遇到非線性程度很高的結(jié)構(gòu)體系。在分析混凝土開(kāi)裂的加工軟化問(wèn)題時(shí)，偶爾也會(huì)在運(yùn)用弧長(zhǎng)法時(shí)出現(xiàn)一些問(wèn)題，如在應(yīng)用球面孤長(zhǎng)法時(shí)得不到方程式的實(shí)數(shù)解，或應(yīng)用柱面弧長(zhǎng)法時(shí)在臨界點(diǎn)附近發(fā)散，找不到交點(diǎn)。（2）弧長(zhǎng)法屬于自動(dòng)步長(zhǎng)法，只要給出一些控制參數(shù)，步長(zhǎng)由程序自動(dòng)計(jì)算，此方法為當(dāng)前的主流計(jì)算方法。（3）弧長(zhǎng)法中的荷載增量預(yù)測(cè)因子只是初步控制當(dāng)前荷載增量步的迭代過(guò)程，不能完全準(zhǔn)確估計(jì)結(jié)構(gòu)迭代結(jié)束時(shí)的荷載水平，結(jié)構(gòu)最終的荷載水平是迭代結(jié)束后的數(shù)值。4.參考文獻(xiàn)1何政，歐進(jìn)萍.鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)非線性分析M.哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2007.2向天宇，趙人達(dá)，劉海波. 將弧長(zhǎng)法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的幾