高數(shù)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分ppt課件

1、第十三講第十三講 多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分多元函數(shù)極限與連續(xù)性多元函數(shù)極限與連續(xù)性偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)與全微分抽象符合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分抽象符合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分高階偏導(dǎo)數(shù)，求偏導(dǎo)次序無(wú)關(guān)性高階偏導(dǎo)數(shù)，求偏導(dǎo)次序無(wú)關(guān)性 設(shè)設(shè)),(000yxP是是xoy平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)， 是是某某一一正正數(shù)數(shù)，與與點(diǎn)點(diǎn)),(000yxP距距離離小小于于 的的點(diǎn)點(diǎn)),(yxP的的全全體體，稱稱為為點(diǎn)點(diǎn)0P的的 鄰鄰域域，記記為為),(0 PU，（1鄰域鄰域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx一、多元函數(shù)的概念一、多元函數(shù)的概念 （2區(qū)域區(qū)

2、域.)(的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)為為則則稱稱，的的某某一一鄰鄰域域一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)如如果果存存在在點(diǎn)點(diǎn)是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集，設(shè)設(shè)EPEPUPPE .EE 的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)屬屬于于EP .為開(kāi)集為開(kāi)集則稱則稱的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，如果點(diǎn)集如果點(diǎn)集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即為開(kāi)集即為開(kāi)集的邊界點(diǎn)的邊界點(diǎn)為為），則稱），則稱可以不屬于可以不屬于，也，也本身可以屬于本身可以屬于的點(diǎn)（點(diǎn)的點(diǎn)（點(diǎn)也有不屬于也有不屬于的點(diǎn)，的點(diǎn)，于于的任一個(gè)鄰域內(nèi)既有屬的任一個(gè)鄰域內(nèi)既有屬如果點(diǎn)如果點(diǎn)EPEEPEEPEP 的邊界的邊界的邊界點(diǎn)的全體稱為的邊界點(diǎn)的全體稱為 EE是連通

3、的是連通的開(kāi)集開(kāi)集，則稱，則稱且該折線上的點(diǎn)都屬于且該折線上的點(diǎn)都屬于連結(jié)起來(lái)，連結(jié)起來(lái)，任何兩點(diǎn)，都可用折線任何兩點(diǎn)，都可用折線內(nèi)內(nèi)是開(kāi)集如果對(duì)于是開(kāi)集如果對(duì)于設(shè)設(shè)DDDD 設(shè)設(shè)D是是平平面面上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)集集，如如果果對(duì)對(duì)于于每每個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)DyxP ),(，變變量量z按按照照一一定定的的法法則則總總有有確確定定的的值值和和它它對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)，則則稱稱z是是變變量量yx,的的二二元元函函數(shù)數(shù)，記記為為),(yxfz （或或記記為為)(Pfz ）. .（5二元函數(shù)的定義二元函數(shù)的定義當(dāng)當(dāng)2 n時(shí)時(shí)，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為多多元元函函數(shù)數(shù). 多多元元函函數(shù)數(shù)中中同同樣樣有有定定義義域域、值值域

4、域、自自變變量量、因因變變量量等等概概念念.類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)例例1 1 求求 的定義域的定義域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)?, 42| ),(222yxyxyxD （6） 二元函數(shù)二元函數(shù) 的圖形的圖形),(yxfz 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈，對(duì)于任意，對(duì)于任意取定的取定的DyxP ),(，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為),(yxfz ，這樣，以，這樣，以x為橫坐標(biāo)、為橫坐標(biāo)、y為縱坐為縱坐標(biāo)、標(biāo)、z為豎坐標(biāo)在空間就確定一點(diǎn)為豎坐標(biāo)在空間

5、就確定一點(diǎn)),(zyxM，當(dāng)當(dāng)x取遍取遍D上一切點(diǎn)時(shí)，得一個(gè)空間點(diǎn)集上一切點(diǎn)時(shí)，得一個(gè)空間點(diǎn)集),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ，這個(gè)點(diǎn)集稱，這個(gè)點(diǎn)集稱為二元函數(shù)的圖形為二元函數(shù)的圖形.（如下頁(yè)圖）（如下頁(yè)圖）二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.定 義定 義 1 1 設(shè) 函 數(shù)設(shè) 函 數(shù)),(yxfz 的 定 義 域 為的 定 義 域 為),(,000yxPD是其聚點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的是其聚點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù)正數(shù) ，總存在正數(shù)，總存在正數(shù) ，使得對(duì)于適合不等式，使得對(duì)于適合不等式 20200)()(|0yyxxPP的 一 切的 一 切點(diǎn)，都有點(diǎn)，都有

6、|),(|Ayxf成立，則稱成立，則稱 A A 為函數(shù)為函數(shù)),(yxfz 當(dāng)當(dāng)0 xx ，0yy 時(shí)的極限，時(shí)的極限，記為記為 Ayxfyyxx ),(lim00 （或（或)0(),( Ayxf這里這里|0PP ）.二、多元函數(shù)的極限二、多元函數(shù)的極限說(shuō)明：說(shuō)明：（1定義中定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2二元函數(shù)的極限也叫二重極限二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似例例2 2 求證求證 證證01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx2222

7、1sinyxyx 22yx , 0 , 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原結(jié)論成立原結(jié)論成立例例3 3 求極求極限限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 例例4 4 證明證明 不存不存在在 證證26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxk

8、xkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在（1） 令令),(yxP沿沿kxy 趨趨向向于于),(000yxP，若若極極限限值值與與k有有關(guān)關(guān)，則則可可斷斷言言極極限限不不存存在在；（2） 找找兩兩種種不不同同趨趨近近方方式式，使使),(lim00yxfyyxx存存在在，但但兩兩者者不不相相等等，此此時(shí)時(shí)也也可可斷斷言言),(yxf在在點(diǎn)點(diǎn)),(000yxP處處極極限限不不存存在在確定極限不存在的方法：確定極限不存在的方法： 設(shè)設(shè)n元函數(shù)元函數(shù))(Pf的定義域?yàn)辄c(diǎn)集的定義域?yàn)辄c(diǎn)集0, PD是其聚點(diǎn)且是其聚點(diǎn)且DP 0，如果，如果)()(lim

9、00PfPfPP 則稱則稱n元函數(shù)元函數(shù))(Pf在點(diǎn)在點(diǎn)0P處連續(xù)處連續(xù). . 設(shè)設(shè)0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的定定義義域域的的聚聚點(diǎn)點(diǎn)，如如果果)(Pf在在點(diǎn)點(diǎn)0P處處不不連連續(xù)續(xù)，則則稱稱0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn).三、多元函數(shù)的連續(xù)性三、多元函數(shù)的連續(xù)性定義定義3 3例例5 5 討論函數(shù)討論函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的連續(xù)性的連續(xù)性解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，極限不存在極限不存在故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù)例例.

10、11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原原式式111lim00 xyyx.21 ).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 處處連連續(xù)續(xù)，于于是是點(diǎn)點(diǎn)在在的的定定義義域域的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)，則則是是數(shù)數(shù)，且且是是初初等等函函時(shí)時(shí)，如如果果一一般般地地，求求多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念（注意趨近方式的任意性）（注意趨近方式的任意性）四、小結(jié)四、小結(jié)多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某一鄰的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)域內(nèi)有定義，當(dāng)

11、y固定在固定在0y而而x在在0 x處有增量處有增量x 時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量 ),(),(0000yxfyxxf ，如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，則稱存在，則稱此極限為函數(shù)此極限為函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處對(duì)處對(duì)x的的偏導(dǎo)數(shù)，記為偏導(dǎo)數(shù)，記為2、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法同理可定義同理可定義函數(shù)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處對(duì)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，的偏導(dǎo)數(shù)， 為為yyxfyyxfy ),(),(lim00000 記為記為00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy

12、. .00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在區(qū)區(qū)域域D內(nèi)內(nèi)任任一一點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處對(duì)對(duì)x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都存存在在，那那么么這這個(gè)個(gè)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)就就是是x、y的的函函數(shù)數(shù)，它它就就稱稱為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 對(duì)對(duì)自自變變量量x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)， 記記作作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如如 在在 處處 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxf

13、zyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 習(xí)慣上，記全微分為習(xí)慣上，記全微分為.dyyzdxxzdz 全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).dzzudyyudxxudu 通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理原理疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連

14、續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)例例 1 1 求求 223yxyxz 在點(diǎn)在點(diǎn))2 , 1(處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù)解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 例例 2 2 設(shè)設(shè)yxz )1, 0( xx， 求求證證 zyzxxzyx2ln1 .證證 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結(jié)論成立原結(jié)論成立偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xu 是是一一個(gè)個(gè)整整體體記記號(hào)號(hào)，不不能能拆拆分分;).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求設(shè)設(shè)例例如如 有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：、 求

15、分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；定義求；解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(0 0 ).0 , 0(yf 、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系例例如如,函函數(shù)數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依依定定義義知知在在)0 , 0(處處，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù)但函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù). 偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)連續(xù).一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo) 連續(xù)，連續(xù)，多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)，連續(xù)，),(22yxfxzxzxxx ),(22yx

16、fyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù).4、高階偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)例例 5設(shè)設(shè)13323 xyxyyxz，求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz .解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx例例 6 6 設(shè)設(shè)bye

17、uaxcos ，求求二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 定定理理 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的兩兩個(gè)個(gè)二二階階混混合合偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xyz 2及及yxz 2在在區(qū)區(qū)域域 D D 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，那那末末在在該該區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)這這兩兩個(gè)個(gè)二二階階混混合合偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)必必相相等等問(wèn)題：?jiǎn)栴}：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？相等？例例 6 6 驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù)22ln),(yxyxu

18、滿足拉普拉滿足拉普拉斯方程斯方程. 02222 yuxu解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu . 0 偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)（偏增量比的極限）（偏增量比的極限） 純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)（相等的條件）（相等的條件）三、小結(jié)三、小結(jié)若函數(shù)若函數(shù)),(yxf在 點(diǎn)在 點(diǎn)),(000yx

19、P連連續(xù)，能否斷定續(xù)，能否斷定),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(000yxP的偏導(dǎo)數(shù)必定存在？的偏導(dǎo)數(shù)必定存在？思考題思考題思考題解答思考題解答不能不能.,),(22yxyxf 在在)0 , 0(處處連連續(xù)續(xù),但但 )0 , 0()0 , 0(yxff 不不存存在在.例如例如,3、復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t、復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t定理如果函數(shù)定理如果函數(shù))(tu 及及)(tv 都在點(diǎn)都在點(diǎn)t可可導(dǎo)，函數(shù)導(dǎo)，函數(shù)),(vufz 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)),(vu具有連續(xù)偏具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù))(),(ttfz 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)t可可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算：導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算： dtdvvz

20、dtduuzdtdz 上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個(gè)的情況上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個(gè)的情況.如如dtdwwzdtdvvzdtduuzdtdz uvwtz以上公式中的導(dǎo)數(shù)以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為全導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù).dtdz 上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情況：而是多元函數(shù)的情況：).,(),(yxyxfz 如果如果),(yxu 及及),(yxv 都在點(diǎn)都在點(diǎn)),(yx具有對(duì)具有對(duì)x和和y的偏導(dǎo)數(shù)，且函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，且函數(shù)),(vufz 在對(duì)應(yīng)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)),(vu具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)),(),(yxyxfz 在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)),(yx的兩個(gè)偏的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且可用下列公式計(jì)算導(dǎo)數(shù)存在，且可用下列公式計(jì)算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .uvxzy鏈?zhǔn)椒▌t如圖示鏈?zhǔn)椒▌t如圖示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 類似地再推廣，設(shè)類似地再推廣，設(shè)),(yxu 、),(yxv 、),(yxww 都在點(diǎn)都在點(diǎn)),(yx具有對(duì)具有對(duì)x和和y的偏導(dǎo)數(shù)，