2.1- 方向?qū)?shù)與梯度ppt課件

1、返回三、梯度的概念三、梯度的概念一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出二、方向?qū)?shù)的定義二、方向?qū)?shù)的定義四、小結(jié)四、小結(jié) 思考題思考題第七節(jié)第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度返回一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出返回討論函數(shù)討論函數(shù) z = f (x, y) z = f (x, y) 在在一點(diǎn)一點(diǎn) P P沿某一方向的變化率問(wèn)題沿某一方向的變化率問(wèn)題二、方向?qū)?shù)的定義二、方向?qū)?shù)的定義.),(),(lim0 yxfyyxxflf 定義定義的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)沿沿方方向向限限為為函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)的的極極限限存存在在，則則稱稱這這極極時(shí)時(shí)，如如果果此此比比趨趨于于沿沿著著比比值值，當(dāng)當(dāng)之之兩兩點(diǎn)點(diǎn)間間的的距距離

2、離與與函函數(shù)數(shù)的的增增量量lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),( 記為記為方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù) oyxlP x y P 返回 oyxlP x y P 返回,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義.coscoscos zfyfxflf 返回討論函數(shù)討論函數(shù) z = f (x, y) z = f (x, y) 在在一點(diǎn)一點(diǎn) P P沿某一方向的變化率問(wèn)題沿某一方向的變化率問(wèn)題二、方向?qū)?shù)的定義二、方向?qū)?shù)的定義.),(),(lim0 yxfyyxxflf 定義定義 oyxlP x y P :的意義的意義lf 方

3、方向向的的函函數(shù)數(shù)變變化化率率沿沿表表示示 lyxfz),(:的意義的意義xf 的的函函數(shù)數(shù)變變化化率率固固定定的的情情況況下下軸軸沿沿表表示示)(),(yxyxfz :的意義的意義yf 的的函函數(shù)數(shù)變變化化率率固固定定的的情情況況下下軸軸沿沿表表示示)(),(xyyxfz 返回 oyxlP x y P .coscoscos zfyfxflf 返回xyo解解 )0 , 1( xz由由 )0 , 1(yz)4sin(2)4cos(1 lz.22 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)PQ )0 , 1(2ye; 1 )0 , 1(22yxe, 2 sincosyfxflf 返回2Ex設(shè)曲面設(shè)曲面632222 zyx)

4、1 , 1 , 1(P在在點(diǎn)點(diǎn)的法向量的法向量,n記為記為 u設(shè)設(shè),23zxy求求nu P解解令令 ),(zyxF632222 zyx PxF)1 , 1 , 1(4x4 PyF)1 , 1 , 1(6y6 PzF)1 , 1 , 1(2z2 故故n2 , 6 , 4 n222264 142 方向余弦為方向余弦為)1 , 1 , 1()coscoscos( zuyuxu nu P,142cos ,143cos 141cos Pxu)1 , 1 , 1(23zy1 Pyu )1 , 1 , 1(223zyx 3 Pzu)1 , 1 , 1(32zyx2 1411 返回【解】【解】 令令, 632

5、),(222 zyxzyxF, 44 PPxxF, 66 PPyyF, 22 PPzzF故故),(zyxFFFn ),2, 6, 4( ,142264222 n方向余弦為方向余弦為返回,142cos ,143cos .141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 PPzuyuxunu)coscoscos( .711 故故返回2定定義義),(yxfz 設(shè)設(shè)內(nèi)內(nèi)在區(qū)域在區(qū)域D具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)),(000yxP在點(diǎn)在點(diǎn)規(guī)規(guī)定定梯梯度度為為),(00yxgradfiyxfx),(00 jyxfy),(00 設(shè)設(shè)l

6、esin,cos lf ),(00yx),(00yxfx cos),(00yxfy sin),(00yxgradf le ),(00yxgradf ),(cos(00 leyxgradf時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0),( leyxgradf結(jié)論：結(jié)論：的的),(yxf變變化化率率最最大大?:最最快快沿沿哪哪一一方方向向增增加加的的速速度度函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)問(wèn)問(wèn)題題P oyxlP x y P 同方向的單位向量同方向的單位向量是與是與lelsin,cos),(),(0000 yxfyxfyx三、梯度返回結(jié)論結(jié)論. | ),(|22 yfxfyxfgrad當(dāng)當(dāng)xf 不不為為零零時(shí)時(shí)，返回例例 4 求求函函數(shù)數(shù) yxz

7、yxu2332222 在在點(diǎn)點(diǎn) 解解 由梯度計(jì)算公式得由梯度計(jì)算公式得故故在在)0 ,21,23(0 P處處梯梯度度為為零零向向量量. kzfjyfixfzyxfgrad ),(,6)24()32(kzjyix .1225)2 , 1 , 1(kjifgrad )2 , 1 , 1(處的梯度，并問(wèn)在哪些點(diǎn)處梯度為零向量？處的梯度，并問(wèn)在哪些點(diǎn)處梯度為零向量？ 返回試試求求設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)例例,6325322zxyzyxu 最最大大值值是是多多少少數(shù)數(shù)最最大大處處沿沿那那個(gè)個(gè)方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn),)1 , 0 , 3()1P .2, 4, 3)1 , 0 , 3()2(的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)

8、數(shù)處處的的沿沿在在點(diǎn)點(diǎn) lP解解)1(,2yxux ,4xyuy , 692 zuz ,3, 3, 6)1 , 0 , 3( ugrad,63| )1 , 0 , 3(| ugrad的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)最最大大處處沿沿方方向向所所以以函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)3 , 3 , 6)1 , 0 , 3(P.63最最大大方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)值值為為) 1 , 0 , 3(ugrad返回)2(,293cos 的方向余弦為的方向余弦為l,294cos ,292cos cos,cos,cos)1 , 0, 3()1 ,0,3( ugradlu 292,294,2933, 3, 6.2936 試試求求設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)例例,6

9、325322zxyzyxu .2, 4, 3)1 , 0 , 3()2(的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)處處的的沿沿在在點(diǎn)點(diǎn) lP解解最最大大值值是是多多少少數(shù)數(shù)最最大大處處沿沿那那個(gè)個(gè)方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn),)1 , 0 , 3()1P返回作戰(zhàn)圖作戰(zhàn)圖高高地地103返回溪流的流向 下圖是某山區(qū)的等高線圖下圖是某山區(qū)的等高線圖. f(x,y) 是圖上每一點(diǎn)是圖上每一點(diǎn)(x,y) 的函數(shù)的函數(shù). f(x,y) 的值是點(diǎn)的值是點(diǎn)(x,y) 在海平面上的高度在海平面上的高度. 在春天解凍期，山上的融雪使流向山下峽谷的溪水上在春天解凍期，山上的融雪使流向山下峽谷的溪水上漲漲. 下面我們來(lái)證明在任一點(diǎn)的溪

10、流的流向總是與在下面我們來(lái)證明在任一點(diǎn)的溪流的流向總是與在該點(diǎn)的等高線成直角該點(diǎn)的等高線成直角.某山區(qū)的等高線某山區(qū)的等高線圖圖問(wèn)題：溪流的流問(wèn)題：溪流的流向的數(shù)學(xué)表示？向的數(shù)學(xué)表示？返回溪流的流向證明：證明：“對(duì)于等高線對(duì)于等高線 f(x,y)=c上的任意一點(diǎn)上的任意一點(diǎn)P，f 在在P點(diǎn)的梯度點(diǎn)的梯度 垂直于過(guò)垂直于過(guò)P點(diǎn)的等高線點(diǎn)的等高線. 即矢量即矢量 垂直于曲線垂直于曲線f(x,y)=c在在P點(diǎn)的切線點(diǎn)的切線(c是常數(shù)是常數(shù)).”( )f P( )f P令令x=x(t), y=y(t)，則等高線，則等高線 f(x,y)=c可以看成可以看成是參數(shù)是參數(shù)t 的函數(shù)，即的函數(shù)，即f(x(t)

11、,y(t)=c. 那么那么( ( ), ( )(,)dfdxfdydx dyf x ty tfdtx dty dtdt dt ( ( ), ( )0ddcf x ty tdtdt(,)0dx dyfdt dt 即矢量即矢量 垂直于曲線垂直于曲線f(x,y)=c在在P點(diǎn)的切線點(diǎn)的切線.( )f P證：證：返回在幾何上在幾何上),(yxfz 表示一個(gè)曲面表示一個(gè)曲面曲面被平面曲面被平面cz 所截所截 czyxfz),(的曲線的曲線在在xoy面上面上的投影為等高線的投影為等高線oyx2),(cyxf1),(cyxfP),(yxgradf梯度為梯度為等高線上的等高線上的法向量法向量等高線等高線cyxf),(c1 c c2 返回梯度及其應(yīng)用梯度及其應(yīng)用例例如何找到湖的最深處如何找到湖的最深處?返回1 1、方向?qū)?shù)的概念、方向?qū)?shù)的概念2 2、