排隊論在實際當(dāng)中的應(yīng)用_畢業(yè)設(shè)計

1、第一章 排隊論問題的基本理論知識排隊是日常生活中經(jīng)常遇到的現(xiàn)象，本章將介紹排隊論的一些基本知識和常見的 排隊論的模型，使我們對排隊論有一個基本的認(rèn)識。1.1 預(yù)備知識.顧客到達(dá)顧客源 i一排隊結(jié)構(gòu)下圖是排隊過程的一般模型：各個顧客由顧客源（總體）出發(fā)，到達(dá)服務(wù)機(jī)構(gòu)（服 務(wù)臺、服務(wù)員）前排隊等候接受服務(wù)，服務(wù)完成后離開。我們說的排隊系統(tǒng)就是圖中 虛線所包括的部分。服務(wù)規(guī)則丨離去服務(wù)機(jī)構(gòu)41離去排隊規(guī)則II L 排隊系統(tǒng)示意圖:一般的排隊系統(tǒng)都有三個基本組成部分：輸入過程；排隊規(guī)則；服務(wù)機(jī)構(gòu)。i輸入過程輸入過程考察的是顧客到達(dá)服務(wù)系統(tǒng)的規(guī)律?？梢杂靡欢〞r間內(nèi)顧客到達(dá)數(shù) 或前后兩個顧客相繼到達(dá)的間隔

2、時間來描述，一般分為確定型和隨機(jī)型兩種。對 于隨機(jī)型的情形，要知道單位時間內(nèi)的顧客到達(dá)數(shù)或到達(dá)的間隔時間的概率分 布。2.排隊規(guī)則排隊規(guī)則分為等待制、損失制和混合制三種。當(dāng)顧客到達(dá)時，所有服務(wù)機(jī)構(gòu) 都被占用，貝U顧客排隊等候，即為等待制。在等待制中，為顧客進(jìn)行服務(wù)的次序 可以是先到先服務(wù)，或后到先服務(wù)，或是隨機(jī)服務(wù)和有優(yōu)先權(quán)服務(wù)。如果顧客來 到后看到服務(wù)機(jī)構(gòu)沒有空閑立即離去，則為損失制。有些系統(tǒng)因留給顧客排隊等 待的空間有限，因此超過所能容納人數(shù)的顧客必須離開系統(tǒng)，這種排隊規(guī)則就是 混合制。3.服務(wù)機(jī)構(gòu)可以是一個或多個服務(wù)臺。服務(wù)時間一般也分成確定型和隨機(jī)型兩種。但大 多數(shù)情形服務(wù)時間是隨機(jī)型

3、的。對于隨機(jī)型的服務(wù)時間，需要知道它的概率分布。1.2 模型理論分析1.2.1 模型分類排隊模型的表示：X/Y/Z/A/B/CX顧客相繼到達(dá)的間隔時間的分布；丫一服務(wù)時間的分布；M負(fù)指數(shù)分布、D確定型、Ek k階愛爾朗分布。Z服務(wù)臺個數(shù)；A系統(tǒng)容量限制（默認(rèn)為 ）；B顧客源數(shù)目（默認(rèn)為 ）；C服務(wù)規(guī)則（默認(rèn)為先到先服務(wù) FCFS）。1.2.2 模型求解一個實際問題作為排隊問題求解時，只有顧客到達(dá)的間隔時間分布和服務(wù)時 間的分布須要實測的數(shù)據(jù)來確定，其他的因素都是在問題提出時給定的。并且必 須確定用以判斷系統(tǒng)運行優(yōu)劣的基本數(shù)量指標(biāo)，解排隊問題就是首先求出這些數(shù) 量指標(biāo)的概率分布或特征值。這些指標(biāo)

4、通常是：（1 ）隊長：系統(tǒng)中排隊等待服務(wù)和正在服務(wù)的顧客總數(shù)，其期望值記為Ls ；排隊長（隊列長）：系統(tǒng)中排隊等待服務(wù)的顧客數(shù)，其期望值記為Lg ；系統(tǒng)中顧客數(shù)=在隊列中等待服務(wù)的顧客數(shù) 田 正被服務(wù)的顧客數(shù)（2）逗留時間：一個顧客在系統(tǒng)中停留時間，包括等待時間和服務(wù)時間，其 其期望值記為Ws ；等待時間：一個顧客在系統(tǒng)中排隊等待時間，其期望值記為 Wg ； 逗留時間=等待時間+服務(wù)時間（3）忙期：從顧客到達(dá)空閑服務(wù)機(jī)構(gòu)起到服務(wù)機(jī)構(gòu)再次為空閑這段時間長度； 系統(tǒng)狀態(tài)：即指系統(tǒng)中的顧客數(shù)；狀態(tài)概率：用Pn t表示，即在t時刻系統(tǒng)中有n個顧客的概率；要解決排隊問題，首先要確定排隊系統(tǒng)的到達(dá)間隔時間

5、分布與服務(wù)時間分 布。要研究到達(dá)間隔時間分布與服務(wù)時間分布需要首先根據(jù)現(xiàn)有系統(tǒng)原始資料統(tǒng) 計出它們的經(jīng)驗分布，然后與理論分布擬合，若能對應(yīng)，我們就可以得出上述的 分布情況。1經(jīng)驗分布經(jīng)驗分布是對排隊系統(tǒng)的某些時間參數(shù)根據(jù)經(jīng)驗數(shù)據(jù)進(jìn)行的統(tǒng)計分析，并依 據(jù)統(tǒng)計分析結(jié)果假設(shè)其統(tǒng)計樣本的總體分布，選擇合適的檢驗方法進(jìn)行檢驗，當(dāng) 通過檢驗時，我們認(rèn)為時間參數(shù)的經(jīng)驗數(shù)據(jù)服從該假設(shè)分布。2、泊松分布下面我們在一定的假設(shè)條件下，推出顧客的到達(dá)過程就是一個泊松過程。若設(shè)N(t表示在時間區(qū)間0,t)內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)(t>0),巳(以2 )表示在時間區(qū)間I.t1,t2 (t2>t1)內(nèi)有n( > 0

6、)個顧客到達(dá)的概率，即Rti,t2t2 -N til= n 1(t2>t1 ，n>0)當(dāng)尺卩血)符合于下述三個條件時，我們說顧客到達(dá)過程就是泊松過程。(1) 再不相重疊的的時間區(qū)間內(nèi)顧客到達(dá)數(shù)是相互獨立的。(2) 對于足夠小的 t，在時間區(qū)間t，t+，t)內(nèi)有1個顧客到達(dá)的概率為p1 t,r t = 't - t (入>0是常數(shù)，稱為概率強(qiáng)度)。(3) 對充分小的 t,在時間區(qū)間t,t+ t )內(nèi)有2個或2個以上顧客到達(dá)的概率是 t 一高階無窮小，即、Pn t,t二：氏n =2為了求Pn t，即P, 0,t，需要研究它在時刻t到t+ t時刻的改變量，也就是要建立R t

7、的微分方程。就可以得到：_ nR t t t t>0，n=0,1,2,n!負(fù)指數(shù)分布設(shè)T為時間間隔，分布函數(shù)為Ft t二卩汁汛？，即：Ft t二PT乞t?。此概率等 價于在0 , t)區(qū)間內(nèi)至少有1個顧客到達(dá)的概率沒有顧客到達(dá)的概率為：Po(t)=fF，貝U Fr(t) = JR(t)=1 b (t>0 ),其概 率密度函數(shù)為：fT t =吐嚴(yán) (t>0 )。dt由前知，入表示單位時間內(nèi)顧客平均到達(dá)數(shù)，這里1/入表示顧客到達(dá)的平均間隔時間，兩者是吻合的。下面我們再談一下服務(wù)時間的分布：對顧客的服務(wù)時間V,實際是系統(tǒng)處于忙期時兩顧客相繼離開系統(tǒng)的時間間隔， 一般地也服從負(fù)指數(shù)分

8、布，即：Fv t =仁 fv t =屮。其中：表示單位時間內(nèi)能被服務(wù)完成的顧客數(shù)，即平均服務(wù)率。1八表示一個顧客的平均服務(wù)時間。令:?則P稱為服務(wù)強(qiáng)度。第二章 單服務(wù)員排隊模型在自動存取款機(jī)服務(wù)中的應(yīng)用2.1理論分析1.穩(wěn)態(tài)概率Pn t的計算已知顧客到達(dá)服從參數(shù)為入的泊松過程，服務(wù)時間服從參數(shù)為卩的負(fù)指數(shù)分布在間刻t+ t，系統(tǒng)中有n個顧客不外乎有下列四種情況。情況時刻的t顧客區(qū)間(t, t+At)時刻t+At 的顧客(t, t+ At)的概率0, t+ At的概率(略去。3t)到達(dá)離去AnXXn1-入也t+ o(也t)1卩也t+ o(也t)Pn(t)(1-XAt)(1-1 A t)Bn+1X

9、Vn1-入也t+ o(也t)21+ O(At)Pn+1(t)(1- X2)(21)Cn-1VXnXi t+gt)1-1也t+ o(也t)Pn-1 (t)( XAt)(1-1 A t)DnVVn入也t+o(也t)1 t+ o(At)Pn(t)( XM)(1 也 t)由于這四種情況是互不相容的，所以Pn(t+ t)應(yīng)是這四項之和，將所有的高階無窮小合并，則有：Pn r t 二 R t 1-5-5 Ri t Zt Pn4r : t令厶t -0,得關(guān)于Pn(t)的微分差分方程:dPn tdt巳4 t 巳1 tLUfP t當(dāng)n=0時，只有表中的（A）、（B）兩種情況。P （t +At =FO0 -Mt

10、）+R（t 爐-XAt）(1)畔Pn)5l(t)-C)Pn(t)所以dtdp"P(t)-Po(t).dt穩(wěn)態(tài)時，Pn（t）與時間無關(guān)，可以寫成Pn,它對時間的導(dǎo)數(shù)為0,所以由（1）、 兩式得：廠” Pn+卩巳十一仇+卩Pn =° (3)Y&Po+4R=° (4)上式即為關(guān)于Pn的差分方程。由此可得該排隊系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖:這種系統(tǒng)狀態(tài)（n）隨時間變化的過程就是生滅過程，它可以描述細(xì)菌的生滅過程得到： 巳=冷幌=咋（5）- = -1 （否則排隊無限遠(yuǎn)，無法服務(wù)完）'P）=1-P:Pn=（1_P）Pn上式就是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率，以它為基礎(chǔ)可以算出系統(tǒng)的運行指標(biāo)

11、。2.系統(tǒng)的運行指標(biāo)計算（1）系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)（隊長期望值 Ls）:°o°OpfLs 八 n Pn 八 n 1 -a（0< p <1）n=0n=01 - 1» 扎 隊列中等待的平均顧客數(shù)Lq （隊列長期望值）：Lq 八 n1 吒八 n11一 rn±n 二LsJ21 r(8)（3）顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間 Ws（4）顧客在隊列中的等待時間的期望值Wq :LqWq 二 Ws J3.系統(tǒng)的忙期與閑期:系統(tǒng)處于空閑狀態(tài)的概率：P。=1 - r系統(tǒng)處于繁忙狀態(tài)的概率：P N .O=1-P0二；2.2實例問題提出與模型說明問題提出顧客排隊等待接受服務(wù)

12、，在任何一個服務(wù)系統(tǒng)中都是不可避免的。在存取款機(jī)排 隊等待取錢或存錢的排隊問題也非常嚴(yán)重，為此，這里擬用排隊論的理論和方法，建 立評價指標(biāo)，通過實例來探究如何提高工作效率？如何使系統(tǒng)更加優(yōu)化？模型說明某街道口只有一個自動存取款機(jī)，從而該種情況是單列單服務(wù)臺的情況，即為M/M/1模型的情況。調(diào)查方法及數(shù)據(jù)處理調(diào)查內(nèi)容（1）顧客到達(dá)時間。（2）服務(wù)時間。調(diào)查方法顧客到達(dá)的頻率與時間段有關(guān)，一般在 9： 0010: 30和下午2： 3O-4： 00顧客到 達(dá)率比其它的時間高。我們把時間分成兩段，考慮 08: 009： 00、9： 00- 1O 00的 情況，分別代表了一般情況和繁忙時的情況。(1)

13、服務(wù)時間：顧客開始用自動存取款機(jī)到服務(wù)完成。(2顧客到達(dá)時間：顧客進(jìn)入排隊系統(tǒng)排隊。以上兩項調(diào)查，抽樣的時間均是分散的、隨機(jī)的。不可連續(xù)和集中抽樣。具體數(shù)據(jù)如下：其中，顧客編號i，到達(dá)時間T，服務(wù)時間S，到達(dá)間隔ti，排隊等待時間Wi表1 08 : 009： 00的統(tǒng)計123456789101112Ti028121925293442495460S325731624294ti23476458756wi010110010003表2 09 : 0010： 00的統(tǒng)計12345678910111213141510Ti0269111519222836414548505660Si3247233251654

14、325ti243344368543264wi0102654400024631模型求解1、根據(jù)表1計算得：平均時間間隔為60“ 11 =5.45分鐘人平均到達(dá)率為12 “60=0.2人，分鐘平均服務(wù)時間為48X2=4.00分鐘人平均服務(wù)率為12*8=0.25人分鐘2、根據(jù)表2計算得:平均時間間隔為60“17二3.53分鐘j人平均到達(dá)率為1660=0.27人'分鐘平均服務(wù)時間為57“16=3.56分鐘人平均服務(wù)率為16 “57=0.25人，分鐘把以上兩表結(jié)合起來為表3,分析服務(wù)時間的分布規(guī)律，求出均值和方差。表3服務(wù)時間和頻數(shù)服務(wù)時間X12345679頻率P27644221服務(wù)時間的期望值

15、為:；X i=X p h2 2 2 7 3 6 4 4 5 4 6 2 7 2 9 1- 28 =3.82服務(wù)率期望值：1=28-2 2 2 7 3 6 4 4 5 4 6 2 7 2 9 1 = 0.26討論理論上講，顧客到達(dá)會形成泊松流，因為：（1）在不相重疊的時間內(nèi)顧客到達(dá)數(shù)是 相互獨立的，即無后效性；（2）對于充分小的時間區(qū)間內(nèi)有一個顧客到達(dá)的概率與時刻 無關(guān)，而與區(qū)問長成正比；在我們把時問段分開之后來分析，這一點也是滿足的；（3）對于充分小的時間區(qū)間，有2個或2個以上顧客到達(dá)的概率極小。顧客到達(dá)滿足以上三 個條件，形成泊松流；所以顧客到達(dá)率服從負(fù)指數(shù)分布。而服務(wù)時問可看作服從正態(tài) 分

16、布。然而在統(tǒng)計數(shù)據(jù)比較少的情況下，并不能得出一一般規(guī)律，來精確的算出參數(shù) （到達(dá)率）和（服務(wù)率）。本文對此問題只做簡單的分析。從表1中可以看出，在8： 00 9： 00時間區(qū)問內(nèi)，有12個顧客到達(dá)，其中有5 個顧客必須等待，平均等待 Wq = 1 1 1 1+-1 0.58分鐘。而在表2中可以得出，在9： 0010： 00時間區(qū)間內(nèi)，有16個顧客到達(dá)，有11個顧客必須等待，平均 等待時間：Wq = 1 2 6 5 4+4+2+4+6+3+1 “ 16 二 2.375 分鐘。根據(jù)以上分析，在8： 00 9： 00時間區(qū)間內(nèi)，顧客平均到達(dá)率0.2人分鐘，平均服務(wù)率是0.25人分鐘，在9： 00 1

17、0: 00時問區(qū)問內(nèi)分別為0.27人f分鐘和0.28人分鐘?？梢钥闯?，平均服務(wù)律是高于平均到達(dá)率的。但是，通過表3的數(shù)據(jù)分析，在8： 0010: OO寸間區(qū)間內(nèi)平均服務(wù)率為0.26人分鐘，由于表3中的數(shù)據(jù)量比較 大，所以更具有代表性。如果這樣分析，平均服務(wù)率就小于9： 0010: O的顧客平均到達(dá)率0. 27,這樣就會使排隊越來越長而直到高峰期過后才能得到緩解。我們認(rèn)為在 這個系統(tǒng)中，當(dāng)平均等待時間超過1分鐘，系統(tǒng)被視為效率低下，而低于1分鐘被視為 系統(tǒng)有閑置。通過以上分析，在9: 0010: 00時間區(qū)間內(nèi)，等待問題比較嚴(yán)重，而在 8; 00 9: 00系統(tǒng)有閑置現(xiàn)象?，F(xiàn)實中，合理的把等待時

18、間控制在 1-；,1 ；內(nèi)很難(；為很小的數(shù))。2.3MM1模型中的最優(yōu)服務(wù)率問題已知有設(shè)進(jìn)入系統(tǒng)的顧客單位時間帶來的損失為d ,單位時間服務(wù)臺每服務(wù)一位顧客的服務(wù)成本為C2,則單位時間總費用的期望值為：CL）C2& 七=0P兀dC&C222 （j；）22 由 H 山氣0及1d，()3最優(yōu)服務(wù)率為卩* =九+ J嚴(yán)最優(yōu)服務(wù)率隨著進(jìn)入系統(tǒng)的顧客數(shù)和損失費&的增加而增加，隨著服務(wù)成本C2的增加而減小某生產(chǎn)廠家有多臺機(jī)器，每臺機(jī)器連續(xù)運轉(zhuǎn)的時間服從指數(shù)分布，平均為1小時, 每臺故障機(jī)器的損失費為3200元/小時.有1個維修工人，每次維修時間服從指數(shù)分布， 每臺故障機(jī)器的修理費

19、用為100元/小時,求最優(yōu)的每臺機(jī)器維修時間。由題意知：最優(yōu)服務(wù)率為：心+轄=1+島=5（臺/小時）即最優(yōu)的機(jī)器維修時間為：1 1丁=5心小時七分鐘第三章 中式快餐店排隊系統(tǒng)的優(yōu)化3.1 理論分析當(dāng)系統(tǒng)容量最大為N時，排隊系統(tǒng)中多于N個的顧客將被拒絕。當(dāng)N=1時，即 為瞬時制；NX時，即為容量無限制的情況。顧客 被拒絕N432排隊系統(tǒng)服務(wù)臺現(xiàn)在研究系統(tǒng)中有n個顧客的概率Pn t .對于P0 t ,前面的式子仍然成立，當(dāng)n=1,2,N-1時，也仍能成立。但當(dāng)n=N時，有下面兩種情況:情況時刻t的顧客區(qū)間t, t+ t時刻t+ t的顧客數(shù)概率AN無離去（冃疋不到達(dá)）NPN（t） （1-小 t）BN

20、-1一人到達(dá)（無離去）NPN-1（t）入 tPN（t）二 PN（t） （1 -心t） PNj（t）"dM =PN（t）' PN（t）其狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖為在穩(wěn)態(tài)情況下有:-磯 +AR =0'Pn巳1 一()巳=0J ' PN ' ' PN J01 -P解得：Pnjn(卩工 1,n < N)F面計算其運行指標(biāo):(1)平均隊長Ls：NN i_?1J 、n (N 1)N1一1 - 汕 1 .占"一口_ 1N1(2) 隊列長(期望值)：NLq八(n - 1)巳丄-(1-時n#當(dāng)研究顧客在系統(tǒng)平均逗留時間和在隊列中平均等待時間，要注意平均到達(dá)率有

21、效到是在系統(tǒng)中有空時的平均到達(dá)率， 當(dāng)系統(tǒng)已滿是則到達(dá)率為0,因此可以驗證： 達(dá)率飛71_R)(3) 顧客逗留時間(期望值)：Lq(1 Pn)(4) 顧客等待時間(期望值)3.2 實例問題提出與模型分析問題提出隨著經(jīng)濟(jì)水平的提高，外出用餐的人越來越多，由于服務(wù)生產(chǎn)與消費的同步性、服 務(wù)的不可儲藏性，以及顧客到達(dá)的隨機(jī)性，讓顧客進(jìn)行排隊等待是不可避免的。文中以 學(xué)校附近一個中式快餐店為例，針對其周末晚上人滿為患的現(xiàn)象并結(jié)合工作日的客流 狀況對其排隊系統(tǒng)進(jìn)行研究，進(jìn)而提出優(yōu)化策略。模型分析本文中小型飯店的排隊模型是單隊單服務(wù)臺模型，即為M/M/1模型。由于快餐店容量有限為7桌，所以其排隊模型M/M

22、/1/K/FCFS(K=7),為單服務(wù)臺模型：顧客的相繼到達(dá) 時間服從參數(shù)為的的負(fù)指數(shù)分布(顧客到達(dá)過程為Poisson流)，服務(wù)時間服從參數(shù) 為卩的負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)臺數(shù)為1，系統(tǒng)空間為K,客源容量無限，實行先到先服務(wù)的排 隊規(guī)則。數(shù)據(jù)調(diào)查與模型求解調(diào)查方法：對該中式快餐店客流量進(jìn)行連續(xù)一周人工調(diào)查統(tǒng)計，由于其主要客源是學(xué)生，所以分別調(diào)查周末和工作日兩種情況下的客流量變化。對每晚(客流高峰期)兩小時的顧 客數(shù)進(jìn)行調(diào)查記錄。數(shù)據(jù)處理：根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)可以得出：平均到達(dá)率周末=3人.小時工作日=2人；小時根據(jù)統(tǒng)計服務(wù)員對每位顧客的服務(wù)時間可得該中式快餐店的平均服務(wù)率為：-=4人小時通過計算可以得出：1

23、、周末的服務(wù)指標(biāo)服務(wù)強(qiáng)度 亠 = 3八0.78卩41-3 '沒有顧客的概率F0務(wù)=0.27781-(34)系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)口一斗為二亠1人隊列中等待的平均顧客數(shù)Lq二Ls - 1 - R =1.39人系統(tǒng)中顧客逗留時間的期望值LsWs = i廠卩=0.73小時 =43.8分鐘在隊列中排隊等待時間的期望1Wq=W0.73 -0.24 =0.49 小時 =29.4 分鐘2、工作日的服務(wù)指標(biāo)服務(wù)強(qiáng)度- = |=0.5沒有顧客的概率F0 = 一 481-（24）=0.5系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)Ls= -2N_!T=0.87人隊列中等待的平均顧客數(shù)Lq二Ls - 1 - R二0.37人系統(tǒng)中顧客逗留

24、時間的期望值Ws二占 “44小時=2。4分鐘在隊列中排隊等待時間的期望 wq =Ws -丄=0.44 0.24 =0.2小時=12分鐘討論一般情況下，顧客等待1015分鐘是可以忍耐的，上述情況下顧客在周末的等待 時間為29.4分鐘，這很容易造成顧客的不滿。下面我們將從兩個角度對該快餐店排隊 系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化：（1） 服務(wù)效率的提高中式飯店的服務(wù)流程包含很多細(xì)節(jié)，內(nèi)容也非常廣泛。如果我們認(rèn)真對其流程進(jìn)行 調(diào)查研究，找出服務(wù)的潛在失敗點和等待點并著手進(jìn)行流程優(yōu)化設(shè)計 ，就能大大提高服 務(wù)效率。通過觀察并進(jìn)行對比發(fā)現(xiàn)該快餐店服務(wù)效率 -4存在問題，仍可提高。該飯 店也通過引進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)備并對服務(wù)人員進(jìn)行培

25、訓(xùn)以實行標(biāo)準(zhǔn)化流程的規(guī)范操作，帶來效率和品質(zhì)的提升。服務(wù)效率的提高必然會使顧客排隊等待的時間降低，這里不再作 定量的分析。（2） 在忙期適當(dāng)?shù)脑黾幼雷舆@也是排隊系統(tǒng)的常規(guī)優(yōu)化方案設(shè)計。在上例的分析中我們看到在周末排隊等候 的隊列較長，等待時間也較長，這不但會使顧客產(chǎn)生不滿，而且一些顧客由于不愿等 待如此長的時間而離開，從而使飯店蒙受損失，適當(dāng)?shù)脑黾幼雷訒龟犻L和等待時間 都有所增加。第四章排隊論在門診注射室管理中的應(yīng)用4.1理論分析標(biāo)準(zhǔn)的M/M/C模型與標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型的各特征規(guī)定相同，另外，各服務(wù)臺工 作是相互獨立且平均服務(wù)率相同，即卩 仁卩2=卩3=卩c=卩，于是整個服務(wù)機(jī)構(gòu)的平 均服

26、務(wù)率為：c（n > c時），n譏n<c時）。令宀-，只有當(dāng)才：1時，才不會形成無限隊列隊列1C個服務(wù)臺從下圖的隊列圖，分析系統(tǒng)中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系，狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖見下圖n< c時，顧客被服務(wù)離去的速率為n>c由上圖知，當(dāng)n ,當(dāng)n>c時，為cy,故可得差分方程:< nW c) (n>c)f. Pl = ' PO(n 1)PnlPn=(n) Pn(1CPn i ' Pn 廠(CJE) Pn這里：0v P =1 ,pW 1 i衛(wèi)利用遞推法解該差分方程可求得狀態(tài)概率為:當(dāng)(n < c),靛丄（一/ Id k衛(wèi)k!c! 1 -. C(=)當(dāng)(n&

27、gt;C)，Pn( )n PoC! C »系統(tǒng)的運行指標(biāo)為:(c汀卡c!(1 - ')2LS = Lq oOLq 八(n - c)R =Ws丄扎n出卅Wq上4.2實例問題提出排隊論，就是對排隊現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的理論，也稱隨機(jī)服務(wù)理論，是運籌學(xué)中 一個獨立的分支。作為一種工具或方法，已在許多行業(yè)的管理領(lǐng)域包括醫(yī)院的管理領(lǐng) 域應(yīng)用。門診注射室的服務(wù)工作，是一種隨機(jī)性服務(wù)，即患者的到達(dá)時間、到達(dá)數(shù)量、注 射所用時間，都是一種隨機(jī)現(xiàn)象。這種服務(wù)以什么指標(biāo)才能比較客觀地表示、反映注 射室的工作質(zhì)、工作效率？如何評價注射室的人員、設(shè)備配備的合理性？為此 ，筆者 擬用排隊論的理論和方法，建

28、立評價指標(biāo)，為尋求既不使患者排隊成龍，又不浪費醫(yī) 院人力物力的最優(yōu)方案，提供科學(xué)依據(jù)，使注射室管理從經(jīng)驗管理轉(zhuǎn)為科學(xué)管理。調(diào)查方法及數(shù)據(jù)處理調(diào)查內(nèi)容:（1）單位時間內(nèi)到達(dá)的患者數(shù)。（2）服務(wù)時間。調(diào)查方法（1）服務(wù)時間：從某患者進(jìn)人注射室開始記時，到該患者接受注射后走出注射室 止。共隨機(jī)記錄了 593人次的服務(wù)時間。單位時間內(nèi)到達(dá)的患者數(shù)：以5分鐘為一個時間單位，任意選取若干個時間單 位，記錄每個5分鐘到達(dá)的患者數(shù)。共隨機(jī)抽取了 168個時間單位。以上兩項調(diào)查，抽樣的時間均是分散的、隨機(jī)的，不可連續(xù)和集中抽樣。調(diào)查資 料經(jīng)統(tǒng)計處理后如下：1、單位時間內(nèi)到達(dá)的患者數(shù)單位時間（5分鐘）內(nèi)到達(dá)的患者

29、數(shù)（人）頻數(shù)概率060.041150.092300.183340.204430.265160.096100.06790.05840.02910.01合計1681.002、服務(wù)時間服務(wù)時間（分鐘）頻數(shù)概率1 .1700.2922030.3431520.264L560.095L60.01660.01合計5931.00經(jīng)曲線擬合檢驗，服務(wù)時間的概率分布服從負(fù)指數(shù)分布，單位時間內(nèi)到達(dá)患者數(shù) 的概率分布服從泊松分布。從而求出排隊系統(tǒng)的兩個重要參數(shù)，患者平均到達(dá)率和 平均服務(wù)率又因注射室內(nèi)有兩個注射凳一服務(wù)臺 C=2故符合排隊論中M/M/C型排隊模型。應(yīng)用M/M/C型計算公式計算各項指標(biāo)。模型求解（1基本

30、參數(shù)1、患者平均到達(dá)率 =0.71人，分鐘2、平均服務(wù)率心0.45人f分鐘（2）注射室運行狀態(tài)指標(biāo)（C=2）1、服務(wù)強(qiáng)度-0710.79C#2 7.45說明注射室有79%勺時間是忙期，21%勺時間是空閑的。2、空閑概率：即注射室沒有病人的概率。4k =0_丨(1.58,(1.58)(1.58)一 I 0!*1!*2!11-0.79=0.12(3)反映患者排隊情況指標(biāo)隊列長：等待注射的患者數(shù)。期望值Lq =C!(1 _ P jP-P。二 2.68 人隊長：隊列長+正在接受注射的患者數(shù)。期望值 Ls 二 Lq C二 2.68 1.58 二 4.26 人平均等待時間Wq 二 二=3.77 分鐘入 0.714 、平均逗留時間1Ws 二Wq3.77 2.22 =5.99 分鐘現(xiàn)假設(shè)只配備一名護(hù)士負(fù)責(zé)注射,即C=1,那么服務(wù)強(qiáng)度 X=24=1.58。在排隊卩 0.45論中，當(dāng).1時，說明系統(tǒng)處于超負(fù)荷狀態(tài)，將會持續(xù)出現(xiàn)排隊成龍現(xiàn)象。故此時不 可取的。討論1、排隊論的應(yīng)用，可以為合理使用人力、物力提供客觀依據(jù)。由下表可見注射室現(xiàn)有的服務(wù)臺C=