一平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件ppt課件

1、上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一、 平面曲線積分與途徑無關(guān)的條件平面曲線積分與途徑無關(guān)的條件二二 、 二元函數(shù)的全微分求積二元函數(shù)的全微分求積第三節(jié)第三節(jié)(2) (2) 線積分與途徑無線積分與途徑無 關(guān)的條件關(guān)的條件第十一章第十一章上頁 下頁 返回 結(jié)束 .)0 ,()0 ,()2(;)1(,d2的的直直線線段段軸軸到到點點沿沿從從點點的的上上半半圓圓周周針針方方向向繞繞行行、圓圓心心為為原原點點、按按逆逆時時半半徑徑為為為為其其中中計計算算aBxaAaLxyL ABp197.例例2回想回想結(jié)果：被積函數(shù)一樣結(jié)果：被積函數(shù)一樣, , 起點終點也一樣起點終點也一樣, , 但是由于積分途徑不同但是由

2、于積分途徑不同, , 導(dǎo)致積分結(jié)果不同導(dǎo)致積分結(jié)果不同. .稱此曲線積分與途徑有關(guān)稱此曲線積分與途徑有關(guān)上頁 下頁 返回 結(jié)束 被積函數(shù)一樣被積函數(shù)一樣, ,起點和終起點和終 點也一樣點也一樣, ,雖然積分途徑不同雖然積分途徑不同, ,但是積分結(jié)果一樣但是積分結(jié)果一樣. .稱此曲線稱此曲線積分與途徑無關(guān)積分與途徑無關(guān)OAB回想回想p197.例例2).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依依次次是是點點，這這里里有有向向折折線線的的一一段段弧弧到到上上從從拋拋物物線線的的一一段段弧弧到到上上從從拋拋物

3、物線線為為其其中中計計算算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 結(jié)果：結(jié)果：上頁 下頁 返回 結(jié)束 Gyxo 1LQdyPdx1 、曲線積分與途徑義無關(guān)的定義 2LQdyPdx1L2LBA假設(shè)在區(qū)域假設(shè)在區(qū)域G G內(nèi)有內(nèi)有 一、一、 平面曲線積分與途徑無關(guān)的條件平面曲線積分與途徑無關(guān)的條件上頁 下頁 返回 結(jié)束 2 2、平面上曲線積分與途徑無關(guān)的等價條件、平面上曲線積分與途徑無關(guān)的等價條件定理定理2. 設(shè)設(shè)D 是單連通域是單連通域 ,),(),(yxQyxP在在D 內(nèi)內(nèi)具有一階延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有一階延續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1) 沿沿D 中恣意光滑閉曲線中恣意光滑閉曲線 L , 有有.0dd LyQ

4、xP(2) 對對D 中任一分段光滑曲線中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分曲線積分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d (4) 在 D 內(nèi)每一點都有.xQyP LyQxPdd與途徑無關(guān)與途徑無關(guān), 只與起止點有關(guān)只與起止點有關(guān). 函數(shù)函數(shù)那么以下四個條件等那么以下四個條件等價價:在在 D 內(nèi)是某一函數(shù)內(nèi)是某一函數(shù)的全微分的全微分,即即 上頁 下頁 返回 結(jié)束 闡明闡明: 積分與途徑無關(guān)時積分與途徑無關(guān)時, 曲線積分可記為曲線積分可記為 證明證明 (1) (2)設(shè)設(shè)21, LL 21ddddLLyQxPyQxP 1ddLyQxP 21ddLLyQxP0 AB1L2L 2ddL

5、yQxP 1ddLyQxP為為D 內(nèi)恣意兩條由內(nèi)恣意兩條由A 到到B 的有向分段光滑曲的有向分段光滑曲線線, 那么那么(根據(jù)條件根據(jù)條件(1) BAyQxPdd AByQxPdd 2ddLyQxP上頁 下頁 返回 結(jié)束 證明證明 (2) (3)在在D內(nèi)取定點內(nèi)取定點),(00yxA因曲線積分因曲線積分 ),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux 那么那么),(yxP xuxuxx 0lim),(lim0yxxPx ),(),(ddyxxyxyQxP ),(),(dyxxyxxPxyxxP ),( 同理可證同理可證yu ),(yxQ 因此有因此有yQxPudd

6、d 和任一點和任一點B( x, y ),與途徑無關(guān)與途徑無關(guān),),(yxxC ),(yxB),(00yxA有函數(shù)有函數(shù) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證明證明 (3) (4)設(shè)存在函數(shù)設(shè)存在函數(shù) u ( x , y ) 使得使得yQxPuddd 那那么么),(),(yxQyuyxPxu P, Q 在在 D 內(nèi)具有延續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有延續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),xyuyxu 22所以所以從而在從而在D內(nèi)每一點都有內(nèi)每一點都有xQyP xyuxQyxuyP 22,上頁 下頁 返回 結(jié)束 證明證明 (4) (1)設(shè)設(shè)L為為D中任一分段光滑閉曲線中任一分段光滑閉曲線,DD (如圖如圖) ,上上因因此此在在D xQyP 利用

7、格林公式利用格林公式 , 得得yxxQxQyQxPLDdd)(dd DDL0所圍區(qū)域為所圍區(qū)域為證畢證畢(1) 沿沿D 中恣意光滑閉曲線中恣意光滑閉曲線 L , 有有.0dd LyQxP(4) 在在 D 內(nèi)每一點都有內(nèi)每一點都有.xQyP 上頁 下頁 返回 結(jié)束 留意留意:1.:1.常用常用 來判別曲線積分與途徑無關(guān)來判別曲線積分與途徑無關(guān); ;2.當曲線積分與途徑無關(guān)時，常選擇最簡當曲線積分與途徑無關(guān)時，常選擇最簡途徑途徑平行于坐標軸的直線段組成的折平行于坐標軸的直線段組成的折線作為積分途徑線作為積分途徑;OAB,xQyP 假設(shè)假設(shè)D D是復(fù)連通域是復(fù)連通域, ,即使即使曲線積分也不一定與途

8、徑無關(guān)。曲線積分也不一定與途徑無關(guān)。,xQyP 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1 1 LyxxxyL. 0dd22閉閉曲曲線線，證證明明是是任任意意一一條條分分段段光光滑滑的的設(shè)設(shè)證證,22xQxyP 令令那那么么yPxQ 因此有因此有 Lyxxxydd22. 022 xx Dyx. 0dd0上頁 下頁 返回 結(jié)束 .)(),( ,21),(22yxyxQyxyyxP .)(2yPyxxQ .,選選取取特特殊殊路路徑徑簡簡化化積積分分曲曲線線積積分分與與路路徑徑無無關(guān)關(guān).)1 , 1()0 , 1()0 , 0(:1的的有有向向折折線線段段L.)1 , 1()0 , 0(2,d)(d)21(22

9、22的一段有向弧的一段有向弧到到上從上從是是其中其中計算積分計算積分yyxLyyxxyxyL 例例2 2解解xyO)1 , 1(L)0 , 1(1L上頁 下頁 返回 結(jié)束 )0, 1()0,0(22d)(d)21(yyxxyxy )1 , 1()0, 1(22d)(d)21(yyxxyxy 10210d)1(d1yyx.34371 Lyyxxyxyd)(d)21(22 1d)(d)21(22LyyxxyxyxyO)1 , 1(L)0 , 1(1L上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二元函數(shù)的全微分求積二、二元函數(shù)的全微分求積1. 1. 原函數(shù)原函數(shù): :假設(shè)存在一個函數(shù)假設(shè)存在一個函數(shù)u(x,y)u(

10、x,y)，使得，使得du(x,y)= P(x,y)dx+Q(x,y)dy原函數(shù)原函數(shù)全微分式全微分式例如例如xdyydxxyd )(2)(xydxxdyxyd 全微分式全微分式2. 2. 判別定理判別定理定理定理3. 3. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)P(x,y),Q(x,y)P(x,y),Q(x,y)在單連通域在單連通域D D內(nèi)具有一內(nèi)具有一階延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么階延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么P(x,y)dx+Q(x,y)dyP(x,y)dx+Q(x,y)dy在在D D內(nèi)為某內(nèi)為某一函數(shù)全微分一函數(shù)全微分 在D內(nèi)恒成立.yPxQ 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3.3.全微分求積全微分求積當當Pdx+QdyPdx+Qdy為全微分式

11、時，為全微分式時，求其原函數(shù)求其原函數(shù)u(x,y)u(x,y)的過程的過程. . ),(),(00),(yxyxQdyPdxyxu與途徑無關(guān)，可選平行于坐與途徑無關(guān)，可選平行于坐標軸的折線作為積分途徑標軸的折線作為積分途徑. .如圖取如圖取 為積分途徑為積分途徑, ,得得RMM0SMM0如圖取如圖取 為積分途徑為積分途徑, ,得得 yyxxdyyxQdxyxPyxu00),(),(),(0 xxyydxyxPdyyxQyxu00),(),(),(0),(0yxS),(0yxR),(000yxM),(yxMxyO上頁 下頁 返回 結(jié)束 .dd,)0(dd)3 ,3()0 , 1(2222 yxx

12、yyxxyxxyyx分分并并計計算算曲曲線線積積求求出出一一個個這這樣樣的的函函數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)的的全全微微分分是是某某個個函函內(nèi)內(nèi)在在右右半半平平面面驗驗證證,),(,),(2222yxxyxQyxyyxP ,0)(22222時時恒恒成成立立當當 xyPyxxyxQ.ddd),(22yxxyyxuyxu 使使得得存存在在函函數(shù)數(shù)例例1解解上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,),()0 , 1(),0 , 1(積分積分到到從從在右半平面取點在右半平面取點yxxyO),(yxC)0 , 1(A)0 ,(xB BCAByxxyyxyxu22dd),( yxyyxxxx02212dd00.arctanarctan0

13、xyxyy BCAByxxyyxyxxyyx2222dddd)3,3()0, 1()3,3()0, 1(22arctandd xyyxxyyx.3 上頁 下頁 返回 結(jié)束 oxy)0 ,(x)0 , 1(),(yx( , )22(1,0)dd( , )x yx y y xu x yxy yyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或或), 1 (y)0(arctanxxy上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2 2.dd,:22數(shù)數(shù)的的全全微微分分是是某某個個函函面面內(nèi)內(nèi)在在整整個個驗驗證證yyxxxyxOy 解解1,22yxQxyP .2面內(nèi)恒成立面

14、內(nèi)恒成立在整個在整個且且xOyxQxyyP yyxxxyyxuyxdd),(2),()0,0(2 取積分道路如圖取積分道路如圖, ,因此因此.dd,22是某個函數(shù)的全微分是某個函數(shù)的全微分面內(nèi)面內(nèi)在整個在整個yyxxxyxOy )0 ,(xA),(yxBxyO上頁 下頁 返回 結(jié)束 ).,( :2yxu函函數(shù)數(shù)還還可可用用下下面面的的方方法法來來求求解解 , 2xyxuu 滿滿足足因因為為函函數(shù)數(shù)故故 xxyud2 ABOAyyxxxyyyxxxydddd2222 yyyx02d0 ),()0,0(22dd),(yxyyxxxyyxu yyyx02d.222yx )(222yyx )0 ,(x

15、A),(yxBxyO上頁 下頁 返回 結(jié)束 .)(的待定函數(shù)的待定函數(shù)是是其中其中yy ).(2yyxyu 由此得由此得,2yxyuu 必須滿足必須滿足又又故故.)(22yxyyx ,)(, 0)(Cyy 從從而而.222Cyxu 所求函數(shù)為所求函數(shù)為上頁 下頁 返回 結(jié)束 ).,(,),()()(2),(0,24224yxuyxujyxxiyxxyyxAx并求并求的梯度的梯度個二元函數(shù)個二元函數(shù)為某為某函數(shù)函數(shù)內(nèi)的向量值內(nèi)的向量值使在右半平面使在右半平面確定常數(shù)確定常數(shù) ,)(2),(24 yxxyyxP 記記,)(),(242 yxxyxQ ,d),(d),(),(d),(),(),(),

16、(gradyyxQxyxPyxujyxQiyxPyxAyxu 價于價于等等則有則有.,yPxQ 條件是條件是上式成立的充要上式成立的充要區(qū)域內(nèi)區(qū)域內(nèi)在右半平面這個單連通在右半平面這個單連通例例3 3解解上頁 下頁 返回 結(jié)束 , 0)1()(4),(),(22 yxxyxQyxP代代入入上上式式得得將將.1 從而得從而得得得的的折折線線積積分分路路徑徑在在右右半半平平面面內(nèi)內(nèi)取取為為了了求求得得,),()0 ,()0 , 1(),(yxxyxu ),()0, 1(242dd2),(yxyxyxxxyyxuCyyxxxxxyx dd002024214).(arctan2為為任任意意常常數(shù)數(shù)CCx

17、y )0 ,(x),(yxxyO)0 , 1(上頁 下頁 返回 結(jié)束 *全微分方程及其求法全微分方程及其求法定義定義: :.0d),(d),(稱稱為為全全微微分分方方程程則則方方程程 yyxQxyxPyyxQxyxPyxud),(d),(),(d 假設(shè)有全微分方式假設(shè)有全微分方式例如例如, 0dd yyxx),(21),(22yxyxu 因因為為,dd),(dyyxxyxu 所以原方程是全微分方程所以原方程是全微分方程. .xQyP 全微分方程全微分方程上頁 下頁 返回 結(jié)束 全微分方程的解法全微分方程的解法: :，設(shè)全微分方程為設(shè)全微分方程為0d),(d),( yyxQxyxP1 1運用曲線積分與途徑無關(guān)運用曲線積分與途徑無關(guān)，因為因為xQyP 那么全微分方程的通解那么全微分方程的通解為為 yyxxyyxQxyxPyxu00d),(d),(),(0 xyxPyyxQxxyy 00d),(d),(0;C 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例. 0d)33(d)35(222324 yyxyyxxyxyx求求解解解解,362xQyxyyP 因為因為這是全微分方程這是