數(shù)列求和專題

1、中高考培優(yōu)專注品牌*教育五環(huán)教學案日期：授課人：學生：科目：數(shù)學今日格言：柏拉圖說：數(shù)學是一切知識中的最高形式”課題數(shù)列求和專題教學目標局考對本節(jié)知識主要以解答題的形式考查以下兩個問題：1.以遞推公式或圖、表形式給出條件，求通項公式，考查學生用等差、等比數(shù)列知識分析問題和探究創(chuàng)新的能力，屬中檔題2通過分組、錯位相減等轉化為等差或等比數(shù)列的求和問題，考查等差、等比數(shù)列求和公式及轉化與化歸思想的應用，屬中檔題.知識占小、及重難占小、梳理1.數(shù)列求和的方法技巧(1)分組轉化法有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項拆開或變形，可轉化為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再

2、合并.(2)錯位相減法這是在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an-n的前n項和，其中an,bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.(3)倒序相加法這是在推導等差數(shù)列前n項和公式時所用的方法，也就是將一個數(shù)列倒過來排列(反序)，當它與原數(shù)列相加時若有公式可提，并且剩余項的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和.(4)裂項相消法利用通項變形，將通項分裂成兩項或n項的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限項的和-這種11A11A方法，適用于求通項為的數(shù)列的前n項和，其中an若為等差數(shù)列，則一Jr.3nSn+13n3n+1d®3n+1J常見的拆項公式：一八二.：

3、12n +111二一（2n-12n+122n-1喬治二k（戶腐考點一分組轉化求和法【例1】等比數(shù)列an中，ai，a2,a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且a2,a3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.第列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求數(shù)列(an)的通項公式；(2)若數(shù)列bn滿足：bn=an+(-1月-an,求數(shù)列5的前n項和Sn.抹兗卅汁在處理一般數(shù)列求和時，一定要注意使用轉化思想把一般的數(shù)列求和轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進行求和，在求和時要分析清楚哪些項構成等差數(shù)列，哪些項構成等比數(shù)列，清晰正確地求解-在利用分組求和法求和時，由于數(shù)列的各項是正負交替的，所以

4、一般需要對項數(shù)n進行討論，最后再驗證是否可以合并考為一個公式.占八教育的本質意味著：一棵樹搖動另一棵樹，一朵云推動另一朵云，一個靈魂喚醒另一個靈魂!6唾：比l二設數(shù)列an滿足ai=2,a2+a4=8，且對任意nN，函數(shù)f(x)=(anan+i+an+2)x+an+icosxan+2sinx滿足f，£尸(1)求數(shù)列an的通項公式；若bn=2an+舟)求數(shù)列bn的前n項和Sn.考點二錯位相減求和法【例2】設等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且S4=4s2,a2n=2an+1.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列bn滿足學+號+¥=1-2j,nN，求bn的前n項和Tn.探究提記錯

5、位相減法求數(shù)列的前n項和是一類重要方法-在應用這種方法時，一定要抓住數(shù)列的特征，即數(shù)列的項可以看作是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項相乘所得數(shù)列的求和問題.變式訓練乙設數(shù)列an滿足ai=2,an+1an=3"(1)求數(shù)列an)的通項公式；令bn=nan»求數(shù)列bn的前n項和Sn.考點三裂項相消求和法n*【例3設各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn,滿足4Sn=an+i-4n-1,nN且a2,as,ai4構成等比數(shù)歹ij.證明：a2=.4ai+5；求數(shù)列(an)的通項公式：證明：對一切正整數(shù)上二+一ai32a2a3anan+i/anan”探究捋T數(shù)列求和的方法：(1)一般

6、地，數(shù)列求和應從通項人手，若無通項，就先求通項，然后通過對通項變形，轉化為與特殊數(shù)列有關或具備適用某種特殊方法的形式，從而選擇合適的方法求和得解.(2)已知數(shù)列前n項和Sn或者前n項和Sn與通項公式an的關系式，求通項通常利用an=F(n=°已知數(shù)列遞推式求Sn一Sn-1(n>2)通項，主要掌握“先猜后證法”“化歸法”“累加(乘)法”等.變式訓找、已知X,；x,；3(x>0)成等差數(shù)列.又數(shù)列an(an>o)中，a仁3,此數(shù)列的前n項和為Sn,對中高考培優(yōu)專注品牌大于1的正整數(shù)n都有Sn=f(Sn-l).(1)求數(shù)列an的第n+1項;11若bn是，的等比中項，且丁彷

7、bn)的前n項和，求Tn.3n+13n:規(guī)律總結1.數(shù)列綜合問題一般先求數(shù)列的通項公式，這是做好該類題型的關鍵-若是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則直接運用公式求解，否則常用下列方法求解：Sin=1(1) 3n=廠|Sn-SnTn)2j(2)遞推關系形如an+ian=f(n)，常用累加法求通項.(3)遞推關系形如加二f(n),常用累乘法求通項.(4)遞推關系形如“an+1=pan+q(p、q是常數(shù)，目p羊1,q羊0)”的數(shù)列求通項，此類通項問題，常用待定系數(shù)法-可設an+1+ZTp(an+皿經(jīng)過比較，求得人則數(shù)列an+：是一個等比數(shù)列.(5)遞推關系形如°an+i=pan+qn(q,p為常數(shù)，

8、且pz1,q羊0)”的數(shù)列求通項，此類型可以將關系式兩邊同除以qn轉化為類型(4)，或同除以pn轉為用迭加法求解.2 .數(shù)列求和中應用轉化與化歸思想的常見類型：(1)錯位相減法求和時將問題轉化為等比數(shù)列的求和問題求解.(2)并項求和時，將問題轉化為等差數(shù)列求和.(3)分組求和時，將問題轉化為能用公式法或錯位相減法或裂項相消法或并項法求和的幾個數(shù)列的和求解.提醒：運用錯位相減法求和時，相減后，要注意右邊的n+1項中的前n項，哪些項構成等比數(shù)列，以及兩邊需除以代數(shù)式時注意要討論代數(shù)式是否為零.3 .數(shù)列應用題主要考查應用所學知識分析和解析問題的能力-其中，建立數(shù)列模型是解決這類問題的核心，在試題中

9、主要有：一是，構造等差數(shù)列或等比數(shù)列模型，然后用相應的通項公式與求和公式求解；二是，通過歸納得到結論，再用數(shù)列知識求解押題精練1. 在一個數(shù)列中，如果？neU，都有aan+ian+2=k(k為常數(shù))，那么稱這個數(shù)列為等積數(shù)列，稱k為這個數(shù)歹!的公積.已知數(shù)列aj是等積數(shù)列，且&二1，a2=2»公積為8，貝ua+a3+-+a12=.2. 秋末冬初，流感盛行，特別是甲型H1N1流感.某醫(yī)院近30天每天入院治療甲流的人數(shù)依次構成數(shù)列an,已知7=1,a2=2，且an+2-an=一幾門6N),則該醫(yī)院30天入院治療甲流的人數(shù)為3. 已知公差大于零的等差數(shù)列an的前n項和Sn,且滿足：

10、a2a4=65,ai+as=18.(1)若1viv21,ai,a,a2i是某等比數(shù)列的連續(xù)三項，求i的值；設bn二一是否存在一個最小的常數(shù)m使得B+b2+bnvm對于任意的正/n+1on教育的本質意味著：一棵樹搖動另一棵樹，一朵云推動另一朵云，一個靈魂喚醒另一個靈魂!12、填空題11111 .已知數(shù)列&，彳4,5&,了代，則其前n項和Sn二2 .在等差數(shù)列an中，ai=2013，其前門項和為5若轡一黑二2，則$2。13的值等于3 .對于數(shù)列an,ai=4,an+i=f(an),n=1,2，貝ua2oi3=.X12345f(x)543124 .設an是以2為首項，1為公差的等差數(shù)

11、列，bn是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，記Mn=啊+受+abn,則數(shù)列Mn)中不超過2013的項的個數(shù)為.5 .在等差數(shù)列an中，其前n項和是Sn,若“5>0,Si6<0，則在S,S，一中最大的是.aia2ai511116.數(shù)列an滿足ai=1,且對任意的m,nN都有am+n=am+an+mn,則+=aia2a332012nAn為奇數(shù))7. 已知函數(shù)f(n)_2且an=f(n)+f(n+1)，貝vai+a2+a3+32012=.-n(n為偶數(shù)8.數(shù)列an中，已知對任意nN,afa2'an=3n-、貝Vai+a；+a3+.1思9.已知數(shù)列an滿足幺隹3an+i+an=4(n

12、>1)且ai=9,其前n項之和為Sn,則滿足不等式|Sn-n一6|<一的最小拓=整數(shù)n是.展二、解答題10.已知等差數(shù)列an滿足：a5=9,a2+ae=14.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2電bn=an+qan(q>0)，求數(shù)列bn)的前n項和Sn.11111 .將函數(shù)f(x)=sin4XSinjx+2n)-2(x+3n在區(qū)間(0,)內的全部極值點按從小到大的順序排成數(shù)列an(nN).(1)求數(shù)列an的通項公式；設bn=2an，數(shù)列bn的前n項和為Tn，求Tn的表達式3*12 .已知首項為2的等比數(shù)列an的前n項和為Sn(neN)，且一2&,S3,4s4成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列a