通信原理 第2章_預(yù)備知識(shí)

1、 通信過程是有用信號(hào)通過通信系統(tǒng)的過程，且在通信系統(tǒng)各點(diǎn)常常伴隨有噪聲的加入。由此看來，分析與研究通信系統(tǒng)，總離不開對(duì)信號(hào)和噪聲的分析。實(shí)際的信號(hào)通常是隨機(jī)的，加之通信系統(tǒng)中普遍存在的噪聲都是隨機(jī)的，所以對(duì)隨機(jī)信號(hào)的分析是非常重要的。 第二章 預(yù)備知識(shí) 隨機(jī)信號(hào)的分析方法與確定信號(hào)的分析方法有很多共同之處，甚至有些時(shí)候隨機(jī)信號(hào)也可以當(dāng)作確定信號(hào)來分析，因此確定信號(hào)的分析方法是信號(hào)分析的基礎(chǔ)。 本章將在先修課程的基礎(chǔ)上，首先介紹通信系統(tǒng)常用信號(hào)并對(duì)確知信號(hào)的分析作必要的復(fù)習(xí)鞏固，然后在復(fù)習(xí)概率論基本概念的基礎(chǔ)上，討論隨機(jī)信號(hào)和噪聲的數(shù)學(xué)模型隨機(jī)過程。在本章的最后，還要簡(jiǎn)單介紹信道及信道容量的概念

2、。 2.1 信號(hào)和系統(tǒng)的分類信號(hào)和系統(tǒng)的分類 2.1.1常用信號(hào)常用信號(hào) 由語音、圖像、數(shù)碼等形成的電信號(hào)，其形式可以是多種多樣的，從不同的角度進(jìn)行分類可以得出各種不同的名稱。但是從信號(hào)數(shù)學(xué)分析的角度來說，通常采用下面的幾種分類。 數(shù)字信號(hào)與模擬信號(hào) 確知信號(hào)與隨機(jī)信號(hào) 周期信號(hào)與非周期信號(hào) 能量信號(hào)與功率信號(hào) 在通信過程中，信號(hào)的變換和傳輸是由系統(tǒng)完成的。系統(tǒng)是指包括有若干元件或若干部件的設(shè)備。系統(tǒng)有大有小，大到由很多部件組成的完整系統(tǒng)，小到由具體幾個(gè)電路組成的部件。信號(hào)在系統(tǒng)中的變換和傳輸可用圖2.1表示，圖中假設(shè)輸入信號(hào)為x(t)，通過系統(tǒng)后得到的輸出響應(yīng)為y(t)。從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看，輸

3、入和輸出之間存在著如下的函數(shù)關(guān)系： y(t)=fx(t) 2.1.2系統(tǒng)的分類系統(tǒng)的分類圖圖2.1 系統(tǒng)示意圖系統(tǒng)示意圖 系 統(tǒng)輸入信號(hào)輸出)(tx)(ty系統(tǒng)分類：系統(tǒng)分類： 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng) 一個(gè)系統(tǒng)如果是線性的，那么疊加原理一定適用。對(duì)于線性系統(tǒng)而言，一個(gè)激勵(lì)的存在并不影響另一個(gè)激勵(lì)的響應(yīng)。 時(shí)不變與時(shí)變系統(tǒng) 時(shí)不變系統(tǒng)也稱恒參系統(tǒng)，時(shí)變系統(tǒng)也稱變參（隨參）系統(tǒng)。2.2 確定信號(hào)分析 確定信號(hào)：信號(hào)的所有參量都是確知的。 信號(hào)參量：幅度、頻率、相位 隨機(jī)信號(hào)：信號(hào)的參量全部或部分未知2.2 確定信號(hào)的分析2.2.1傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)1、周期信號(hào)則稱為周期信號(hào)滿足以下關(guān)系若信號(hào).2

4、, 1 , 0,)()()(ntnTtftftf信號(hào)頻率周期；TfT12、傅立葉級(jí)數(shù) 定義：任何一個(gè)周期函數(shù)f(t)，只要它滿足荻里赫利條件，都可以用傅立葉級(jí)數(shù)表示 荻里赫利條件： 在一個(gè)周期內(nèi)，如果有間斷點(diǎn)在，則數(shù)目應(yīng)是有限個(gè)。 在一個(gè)周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目有限。 在一個(gè)周期內(nèi)，信號(hào)絕對(duì)可積。Tttdttf00)(220220220)(1sin)(2cos)(2TTTTnTTndttfTatdtntfTbtdtntfTan=1,2,1000sincosnnnt)nbtn(aaf(t)T20其中： 傅立葉級(jí)數(shù)的表示方法 傅立葉級(jí)數(shù)的三角函數(shù)級(jí)數(shù)形式)arctan()cos()(2200n

5、nnnnnnnnabbactnctf式中： 傅立葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式（指數(shù)函數(shù)形式）dttjntfTCtjnCtfTTnnnee2200)(1)(式中：020020njbananjbaCnnnnn表明：任意周期信號(hào)f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)之和。 F0 = A0/2為直流分量。2.2.2 傅里葉變換傅里葉變換非周期信號(hào)可以看作 T 趨向 的極限情況1、定義絕對(duì)可積條件：傅里葉反變換傅里葉變換dttfdtjFtfdttjtfFee|)(|)(21)()()(例：常用信號(hào)的傅氏變換及運(yùn)算特性 請(qǐng)參見書中表2-1，2-2 關(guān)注： 矩形脈沖信號(hào)的頻譜 升余弦信號(hào)及其頻譜 沖激序列及其頻譜 典

6、型信號(hào)的傅里葉變換1.常數(shù)A的傅里葉變換A2AAAf （ ）（ ) )返回目錄2.正弦、余弦信號(hào)的傅里葉變換000cost （ ）+ +（） 000sint （ ）- - （） j3.符號(hào)函數(shù)的傅里葉變換fjtjt1)sgn(2)sgn(或4.單位階躍函數(shù)的傅里葉變換fjftujtu21)(21)(1)()(或5、傅立葉變換 的性質(zhì)(1)線性(2)時(shí)延特性(3)頻移特性(4)卷積特性)()(Ftf)()(00FKtfK0)()(0tjeFttf)(*)(21)()()()()(*)(YXtytxYXtytx)()(00 Fetftj2.2.3 能量譜和功率譜能量譜和功率譜1、能量信號(hào)和功率信號(hào)

7、 能量信號(hào)：能量有限的信號(hào)。（E) 周期信號(hào)的平均功率存在 信號(hào)電壓在單位電阻上消耗的平均功率上所消耗能量加于單位電阻能量：電壓1)(tfdttfE)(2平均功率dttfTPTT222)(11、能量信號(hào)和功率信號(hào)（續(xù)） 功率信號(hào)：能量無限而功率有限的信號(hào) 功率信號(hào)的平均功率 說明： 能量信號(hào)的平均功率為零。 周期信號(hào)一定是功率信號(hào)。 功率信號(hào)不一定是周期信號(hào)dttfTPTTT222)(1lim2、能量譜密度 定義 帕斯瓦爾能量定理 是能量譜密度函數(shù)，則稱若存在的能量為設(shè)能量信號(hào))()(21)()(2EEGdGEdttfEtf2E| )F(|)(G)(一定存在，且密度（實(shí)函數(shù)），其能量譜對(duì)于能量

8、信號(hào)tf 帕斯瓦爾能量定理證明設(shè)：能量信號(hào))()(Ftf則：dttfE)(2dtdtjFtfe)(21)(對(duì)于實(shí)函數(shù))(tf)()(*FF所以：2*| )(|)()()()(FFFFF2E|)F(|)(GddttjtfFe)( )(21dFF)()(213、功率譜密度 定義 設(shè)f(t)是功率有限信號(hào)，f(t)的截短函數(shù)fT(t)表示為 設(shè) 則f(t)的功率譜為：是功率譜密度，則稱若存在的平均功率為設(shè)功率信號(hào))()(21)(1lim)(2/2/2PdPPdttfTPtfTT2/02/)()(TtTttftfT)()(TTFtfTFPTT2| )(|lim)( 證明截短信號(hào)fT(t)的能量為dFd

9、ttfETTT22| )(|21)(所以f(t)的平均功率dttfTPTTT)(1lim222TFPTT2| )(|lim)(所以f(t)的功率譜為：dttfTTT)(1lim2dtTFTT2|)(|lim21 周期信號(hào)的功率譜密度 周期信號(hào)f(t)的平均功率為：dttfTPTT222| )(|1考慮：)()()(00tfdttttf202|)(|CndnCn dnCnCnP)(|022則：)(|2)(02nCnPndttftfTTT22*)()(1dttjnCtfTTTne220*)(1dttjntfCTTTne220*)(1*|nnnnnCCCdnCnn)(|221022 問：為什么要引入

10、功率譜的概念？問：為什么要引入功率譜的概念？ 對(duì)于不滿足絕對(duì)可積條件的信號(hào)，可能是所謂能量對(duì)于不滿足絕對(duì)可積條件的信號(hào)，可能是所謂能量無限信號(hào)，因此其傅立葉變換并不一定存在，但可以無限信號(hào)，因此其傅立葉變換并不一定存在，但可以去研究它在去研究它在(-,+)區(qū)間的平均功率，這個(gè)平均功率區(qū)間的平均功率，這個(gè)平均功率的傅立葉變換，即所謂功率譜密度卻是存在的。的傅立葉變換，即所謂功率譜密度卻是存在的。 由功率譜可獲得頻率域上的功率分布，獲得其帶寬、由功率譜可獲得頻率域上的功率分布，獲得其帶寬、功率性能，達(dá)到研究通信系統(tǒng)的目的。功率性能，達(dá)到研究通信系統(tǒng)的目的。能量譜與功率譜能量譜與功率譜2.2.4 波

11、形的互相關(guān)和自相關(guān)1、定義： 能量信號(hào)的相關(guān)函數(shù) 周期信號(hào)的相關(guān)函數(shù) 功率信號(hào)的相關(guān)函數(shù)的互相關(guān)函數(shù)。、為，定義積分：、給定能量信號(hào))()()()()()()(21211221tftfdttftfRtftf22211221)()(1)()()(TTdttftfTRTtftf則：的周期信號(hào)，是周期為、給定信號(hào)22211221)()(1)()()(limTTTdttftfTRtftf則：是兩個(gè)功率信號(hào)、給定信號(hào)2、相關(guān)的意義及引入從研究隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性而引入 問題： 相關(guān)的引入 波形，是否相似？，如圖)()(tytx)(tx)(ty度量二者相似程度。用誤差能量逼近使選擇適當(dāng)?shù)谋稊?shù)為實(shí)的能量信號(hào)、

12、假定2)()()()(txtayatytx0T0T0)(2tft0T0T0)(1tft0T0T0)(12R3、相關(guān)的物理意義 互相關(guān)函數(shù)的重要特性：1、互相關(guān)函數(shù)R12()衡量信號(hào)波形間相互聯(lián)系程度：若對(duì)所有的， R12()=0，則兩個(gè)信號(hào)互不相關(guān)2、 R12(0)衡量f1(t)、f2(t)在無時(shí)差時(shí)的相關(guān)性， R12(0)越大說明f1(t)、f2(t)的相關(guān)性越大，也就是它們之間越相似3、 R12() R21() R12() = R21(-)4、自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)。的為信號(hào)，則稱定義：若)()()()()()(1221tfRRtftftf( )( )()Rf t f tdt221( )li

13、m( )()TTTRf t f tdtT221( )( )()TTRf t f tdtT能量信號(hào)功率信號(hào)周期信號(hào)4、自相關(guān)函數(shù)（續(xù)）性質(zhì)：EdttfR)()0(*2對(duì)能量信號(hào))()(* RR則有自相關(guān)函數(shù)為偶函數(shù)，)()0(*RR，有對(duì)于所有的PdttfTRTTT222)(1lim)0(*對(duì)功率信號(hào)5、相關(guān)函數(shù)和譜密度)()()()()()()()()()()(1212221121EGRFFRFtfFtftftf，則，是能量信號(hào)，且有、定理：若證明：)()()(1212FFR顯然：)()(EGR故有：dttftfR)()()(2112dtdtjFtfe)()(21)(21djdttjtfFee

14、 )( )(2112djFFe)()(21122| )(|)()()(FFFR所以：辛欽定理）。（維納則是功率信號(hào)，且有定理：若)()(.)()()(PRFtftf證明：22)()(1lim)(TTTdttftfTR)()()(TTTFtftf：是能量信號(hào)，且由于2| )(|)(TTFR由上得TFRTT2| )(|lim)(因此：)()(.PR故TRTT)(lim 幾乎所有實(shí)際信號(hào)，其能量或功率幾乎所有實(shí)際信號(hào)，其能量或功率的主要部分往往集中在一定的頻率的主要部分往往集中在一定的頻率范圍之內(nèi)，超出范圍的成分將大大范圍之內(nèi)，超出范圍的成分將大大減少。減少。 這個(gè)頻率范圍通常用信號(hào)的帶寬來這個(gè)頻率

15、范圍通常用信號(hào)的帶寬來描述。能量譜和功率譜為定義帶寬描述。能量譜和功率譜為定義帶寬提供了有效的方法。提供了有效的方法。 以基帶信號(hào)為例，下面介紹常用的以基帶信號(hào)為例，下面介紹常用的幾種定義方法。幾種定義方法。常用帶寬定義 占總能量或功率的百分比求占總能量或功率的百分比求B： 或或%)99%95%(90)(202，或EdffFB%)99%95%(90)(lim220，或PdffFTBTT常用帶寬定義常用帶寬定義 從最大值下降從最大值下降3dB（B=f1）帶寬：）帶寬： 或：或：2/ )0()2(1EfE 2/)0()2(1PfP 常用帶寬定義常用帶寬定義 等效矩形帶寬：等效矩形帶寬： 或：或：)

16、0(2)(EdffEB )0(2)(PdffPB 常用帶寬定義常用帶寬定義定義2.2.5 卷積daatfaftftf)()()(*)(2121返回目錄1( )2( )2( )1( )ftftftft1( ) 2( )3( )1( )2( )1( )3( )ftftftftftftft1( ) 2( )3( ) 1( )2( )3( )ftftftftftft 1( )2( )1( )2( )1( )2 ( )d ftftftftftftdt卷積的性質(zhì)(2)分配律(3)結(jié)合律(4)卷積的微分(1)交換律1212( )( )( )( )f tf tFF12121( )( ) ( )( )2f t

17、f tFF卷積定理(1) 時(shí)域卷積定理 (2) 頻域卷積定理( )( )( ) ()( )f ttftdf t 1212()()()f t tt tf t tt 1212()()()t tt tt t t 00( )()()FF 1212()()()FF 1212()()() 函數(shù)與單位沖激函數(shù)的卷積時(shí)域頻域 定義1( )() ()ff tH f tdt11( ) ( )gHg tdt1( )( )f tf tt2.2.6 希爾伯特變換n希爾伯特反變換卷積形式 返回目錄圖 希爾伯特變換等效系統(tǒng) 頻域變換一、由傅里葉變換到希爾伯特變換已知正負(fù)號(hào)函數(shù)的傅里葉變換已知正負(fù)號(hào)函數(shù)的傅里葉變換 jtF2

18、sgn 根據(jù)對(duì)稱性得到根據(jù)對(duì)稱性得到 jt221sgn 則則 sgn1jt 為奇函數(shù)為奇函數(shù) sgn sgn1jt 若系統(tǒng)函數(shù)為若系統(tǒng)函數(shù)為 090 0 90sgn)(00 jjjjH則沖激響應(yīng)則沖激響應(yīng) tjHFth 11 系統(tǒng)框圖系統(tǒng)框圖: 系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) tf ttfthtftf 1 th Ftf Ftf sgnj 利用卷積定理利用卷積定理 0 0 sgn jFjFjFFtfF 具有系統(tǒng)函數(shù)為具有系統(tǒng)函數(shù)為 sgnj 的網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)使的網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)使相位滯相位滯 后后 2 弧度的弧度的寬帶相移全通網(wǎng)絡(luò)寬帶相移全通網(wǎng)絡(luò) 同理可得到同理可得到: 若系統(tǒng)沖激響應(yīng)為若系統(tǒng)沖激響應(yīng)為

19、 tth 1 其網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)為其網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)為 090 0 90 sgn)(00 jjjthFH該系統(tǒng)框圖為該系統(tǒng)框圖為 th Ftf Ftf sgnj ttfthtftf 1輸出信號(hào)具有系統(tǒng)函數(shù)為具有系統(tǒng)函數(shù)為 的網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)使的網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)使相位滯后相位滯后 弧度的弧度的寬帶相移全通網(wǎng)絡(luò)寬帶相移全通網(wǎng)絡(luò) 利用卷積定理利用卷積定理 0 0 sgn jFjFjFF sgnj2 二 可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與希爾伯特變換可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，其沖激響應(yīng)可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，其沖激響應(yīng) tuthth 00 tth即即:其傅里葉變換其傅里葉變換 jjHjH121 )()( jjXjRejHjHj 又又則

20、則 jjXjR )( jjjXjR121 121jXjR 12jRjXj d2121jXjRjjXjR d212jRjXj根據(jù)實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等，解得根據(jù)實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等，解得 d1)( jXjR d1 jRjX因果系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)因果系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù) )( jH的實(shí)部與虛部滿足希爾的實(shí)部與虛部滿足希爾 伯特變換約束關(guān)系伯特變換約束關(guān)系 （1）1 ( )( )Hf tf t ( )( )( )H f tf tf t22( )( )ft dtft dt希爾伯特變換的性質(zhì)（2）（3）（4）若f(t)為偶函數(shù)，則 為奇函數(shù)； 若f(t)為奇函數(shù)，則 為偶函數(shù)。( )f t( )f

21、t（5）( )( )0f t f t dt常用希爾伯特變換對(duì) tf tft0cos t0sin t0sin t0cos tje0 tjje0 tjetm0 tjetjm0 希爾伯特變換作為一種數(shù)學(xué)工具在通信系統(tǒng)中得到了希爾伯特變換作為一種數(shù)學(xué)工具在通信系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用廣泛的應(yīng)用 例: .cos0tfttf的的希希爾爾伯伯特特變變換換求求 方法方法1 : 弧弧度度，即即滯滯后后比比希希爾爾伯伯特特變變換換2 tftf tttfHtf00sin2cos方法方法2： 000cos tFF因因用三種方法求解此題：用三種方法求解此題：方法方法3： 直接用希爾伯特變換定義式直接用希爾伯特變換定義式

22、tttH000sindcos1cos 即：即： ttfjF000sin 則希爾伯特變換的頻譜函數(shù)為則希爾伯特變換的頻譜函數(shù)為 00sgn jjjFF 定義:令有實(shí)信號(hào)f(t),則稱復(fù)信號(hào) ( )( )( )z tf tjf t2.2.7 解析信號(hào)為f(t)的解析信號(hào)。返回目錄（1）（2） 其中 是 的共軛（3）令 則 ( )Re ( )f tz t1( ) ( )( )2f tz tz t( )z t( )z t( )( ), ( )( ),f tFz tZ( )2 ( ) ( )ZFu解析信號(hào)的性質(zhì)（4）（5） ）解析信號(hào)的能量等于實(shí)信號(hào)能量的兩倍。0011( )2 ( )( )2jwtj

23、tz tFedFed已知實(shí)函數(shù)已知實(shí)函數(shù)f(t)，求其解析信號(hào)的方法：，求其解析信號(hào)的方法： (1) 求出f(t)的希爾伯特變換 ，再構(gòu)成其解析信號(hào)： ( )f t( )( )( )z tf tjf t（2）由f(t)求其傅利葉變換F()，再由公式 求f(t)的解析信號(hào)。01( )( )j tz tFed 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x為任意實(shí)數(shù)，函數(shù)F(x)=PXx，稱為隨機(jī)變量的分布函數(shù)。 概率密度 分布的微分dF(x)稱為概率密度。 連續(xù)型隨機(jī)變量 分布： 密度： 離散型隨機(jī)變量 概率密度 F xPxX dF xp xdx1212.() ().()nnxxxXp xp xp x2.3 隨機(jī)信號(hào)分

24、析2.3.1 隨機(jī)變量隨機(jī)變量的數(shù)值特征： 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望EX=xp(x) 或 方差方差 22 E(X-Ex)2 協(xié)方差協(xié)方差 xp x dx)(,)(yxyxaaXYEXYCaYEaXEYEYXEXEXYC?2.3 2.3 隨機(jī)信號(hào)分析隨機(jī)信號(hào)分析一、隨機(jī)過程：一、隨機(jī)過程：1、定義：、定義： 依賴于某個(gè)參數(shù)的隨機(jī)變量之總體依賴于某個(gè)參數(shù)的隨機(jī)變量之總體 通信過程中的隨機(jī)信號(hào)、噪聲是依賴于時(shí)間參數(shù)通信過程中的隨機(jī)信號(hào)、噪聲是依賴于時(shí)間參數(shù)t的隨機(jī)的隨機(jī)過程。過程。2、性質(zhì)：、性質(zhì)： 它是時(shí)間它是時(shí)間t的函數(shù)。的函數(shù)。 任意時(shí)刻的取值是一個(gè)隨機(jī)變量不能預(yù)先確定，只能測(cè)任意時(shí)刻的取值是一個(gè)隨機(jī)

25、變量不能預(yù)先確定，只能測(cè)量。量。 無窮多隨機(jī)函數(shù)的總體稱隨機(jī)過程。無窮多隨機(jī)函數(shù)的總體稱隨機(jī)過程。2.3.2 2.3.2 隨機(jī)過程及其統(tǒng)計(jì)特性隨機(jī)過程及其統(tǒng)計(jì)特性例：幾臺(tái)通信接收機(jī)輸出噪聲曲線例：幾臺(tái)通信接收機(jī)輸出噪聲曲線幾臺(tái)接收機(jī)性能完全一樣幾臺(tái)接收機(jī)性能完全一樣同時(shí)記錄輸出噪聲信號(hào)同時(shí)記錄輸出噪聲信號(hào)記錄波形沒有兩個(gè)完全相同記錄波形沒有兩個(gè)完全相同二、分布函數(shù)和概率密度二、分布函數(shù)和概率密度1、一維分布函數(shù)和概率密度、一維分布函數(shù)和概率密度 一維分布函數(shù)一維分布函數(shù) 隨機(jī)過程隨機(jī)過程x(t)在任一時(shí)刻在任一時(shí)刻t1的取值是隨機(jī)變量的取值是隨機(jī)變量x(t1)，則隨機(jī)，則隨機(jī)變量變量x(t1)

26、取值小于或等于某一數(shù)值取值小于或等于某一數(shù)值x1的概率：的概率：稱為隨機(jī)過程稱為隨機(jī)過程x(t)一維分布函數(shù)一維分布函數(shù)。 一維概率密度一維概率密度 若一維分布函數(shù)隊(duì)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則若一維分布函數(shù)隊(duì)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則稱為隨機(jī)過程稱為隨機(jī)過程 x(t)的一維概率密度。的一維概率密度。)()(111, 11xtxPtxF1111111),(),(xtxFtxp2、二維分布函數(shù)和概率密度二維分布函數(shù)和概率密度 二維分布函數(shù)二維分布函數(shù) 隨機(jī)過程隨機(jī)過程x(t)在任一時(shí)刻在任一時(shí)刻t1的取值是隨機(jī)變量的取值是隨機(jī)變量x(t1)， t2的取的取值是隨機(jī)變量值是隨機(jī)變量x(t2)，則，則x(t1)與與x(t

27、2)構(gòu)成一個(gè)二元隨機(jī)變量構(gòu)成一個(gè)二元隨機(jī)變量x(t1),x(t2)，稱：稱：稱為隨機(jī)過程稱為隨機(jī)過程x(t)二維分布函數(shù)二維分布函數(shù)。 二維概率密度二維概率密度 若二維分布函數(shù)對(duì)若二維分布函數(shù)對(duì)x1 、 x2的混合二階偏導(dǎo)數(shù)存在，則的混合二階偏導(dǎo)數(shù)存在，則稱為隨機(jī)過程稱為隨機(jī)過程 x(t)的二維概率密度。的二維概率密度。)(;)(),;(2211212, 12xtxxtxPttxxF2121212221212,;,),;,(xxttxxFttxxp3、多（多（n）維分布函數(shù)和概率密度）維分布函數(shù)和概率密度 略略 說明：說明： 維數(shù)維數(shù)n越大，對(duì)隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特性的描述越充分。越大，對(duì)隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)

28、特性的描述越充分。、均值（數(shù)學(xué)期望）1、均方值2dxtxxPtxE),()(1)()(txEta記作：的搖擺中心。的函數(shù)，代表隨機(jī)過程是時(shí)間tdxtxPxtxE),()(122、方差32常記作：2)()()(txEtxEtxD22)()(txEtxEdxtxPtatx),()()(12212)(),(tadxtxPx度。與該時(shí)刻均值的偏離程刻取值所得隨機(jī)變量表示隨機(jī)過程在某時(shí)111111),()(dxtxPxtxE三、隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性三、隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性4、相關(guān)函數(shù)、相關(guān)函數(shù) 自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù) 設(shè)設(shè)x(t1)與與x(t2)是隨機(jī)過程是隨機(jī)過程x(t)在任意兩個(gè)時(shí)刻在任意兩個(gè)時(shí)刻t1和和

29、t2的取值，的取值，p2x1，x2 ； t1 ，t2是相應(yīng)的是相應(yīng)的二維分布函數(shù)，則：二維分布函數(shù)，則：為隨機(jī)過程為隨機(jī)過程x(t)的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù) 反映了隨機(jī)過程在兩個(gè)不同觀測(cè)時(shí)刻取值的關(guān)聯(lián)程度反映了隨機(jī)過程在兩個(gè)不同觀測(cè)時(shí)刻取值的關(guān)聯(lián)程度 互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù) 設(shè)設(shè)x(t)與與y(t)是兩個(gè)隨機(jī)過程，則定義是兩個(gè)隨機(jī)過程，則定義為隨機(jī)過程為隨機(jī)過程x(t) 、 y(t)的互相關(guān)函數(shù)的互相關(guān)函數(shù))()(),(2121txtxEttRx 212121221),;,(dxdxttxxpxx)()(),(2121tytxEttRxy5、協(xié)方差函數(shù)、協(xié)方差函數(shù) 自協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù) 互協(xié)

30、方差函數(shù)互協(xié)方差函數(shù))()()()(),(221121tatxtatxEttCx 21212122211),;,()()(dxdxttxxPtaxtax)()()()(),(221121tatytatxEttCyxxy .3平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程1、平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程 定義定義 說明：說明：是平穩(wěn)隨機(jī)過程。則稱維概率密度滿足：的，隨機(jī)過程和若對(duì)于任意的)(),.,;,.,(),.,;,.,()(21212121txtttxxxPtttxxxPntxnnnnnnn)(),(),(:11110 xPtxPtxP：率密度與時(shí)間無關(guān)，即平穩(wěn)隨機(jī)過程的一維概),(),();,()

31、;,(:2211212112,12112, 12110 xxPttxxPttxxPttxxP，即：率密度只與時(shí)間差有關(guān)平穩(wěn)隨機(jī)過程的二維概有關(guān)。函數(shù)只與時(shí)間差平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)望及方差與時(shí)間無關(guān)，平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期:30 ( )( , )( )E x txP x t dxxP x dx2222 ( )( , ) ( )( ) ( )D x tx P x t dxEx tx P x dxEx t1212121212121212( ,)(,; ,)(,; )XRttx x p xxt tdx dxx x p xxdx dx2、廣義、廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程 定義定義 說明：說明：機(jī)過程是廣

32、義平穩(wěn)的。有關(guān)，則我們乘這個(gè)隨與，而其相關(guān)函數(shù)僅期望及方差與時(shí)間無關(guān)若一個(gè)隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)程。機(jī)過程或嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過最初定義為狹義平穩(wěn)隨:10穩(wěn)隨機(jī)過程。信號(hào)噪聲等均為廣義平:203、平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性 定義：它的各個(gè)統(tǒng)計(jì)平均值等于它的任何一個(gè)樣本定義：它的各個(gè)統(tǒng)計(jì)平均值等于它的任何一個(gè)樣本的相應(yīng)時(shí)間平均值的相應(yīng)時(shí)間平均值 令令 則稱該平穩(wěn)隨機(jī)過程是具有則稱該平穩(wěn)隨機(jī)過程是具有各態(tài)歷經(jīng)性各態(tài)歷經(jīng)性的平穩(wěn)隨機(jī)過程的平穩(wěn)隨機(jī)過程 性。平穩(wěn)隨機(jī)過程具有遍歷決定，則稱該任一實(shí)現(xiàn)的數(shù)字特征來完全可由隨機(jī)過程中的征如該隨機(jī)過程的數(shù)字特是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程，假設(shè))(tx222222)

33、()()(1lim)(1lim)(1lim22TTTTTTRdttxtxTdtatxTadttxTTTT)()()(;)(22RRtata 若滿足 歷條件。噪聲，一般均能滿足遍通信系統(tǒng)中隨機(jī)信號(hào)和一、相關(guān)函數(shù)一、相關(guān)函數(shù)2.2.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程的頻譜特性：則相關(guān)函數(shù)有以下性質(zhì)為其自相關(guān)函數(shù)為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，設(shè))()()()()(tXtXERRtXx的平均功率：)(.).()0(*2tXtXER是偶函數(shù)：)(.).()(*RRR的上界：)(.).0()(*RRR程。證明是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過量，試上的均勻分布的隨機(jī)變是在區(qū)間是常函數(shù)，、度。的自相關(guān)函數(shù)和功率密例：求隨機(jī)相位正弦波)()2 , 0()c

34、os()(00txAtAtx證明：dptAtxE)()cos()(020dtA21)cos(02002)()()(txEtxEtxD2)(txE20022)()(cosdptA)()(,txtxEttRX)cos()cos(0002ttAE)22cos()cos(20002tEA)22cos(2)cos(200202tEAEA02cos2A22A2002212)(2cos1dtA二、功率譜二、功率譜 對(duì)于隨機(jī)信號(hào)和噪聲信號(hào)不能直接應(yīng)用傅氏變換進(jìn)對(duì)于隨機(jī)信號(hào)和噪聲信號(hào)不能直接應(yīng)用傅氏變換進(jìn)行頻譜分析行頻譜分析。 隨機(jī)過程每一樣本信號(hào)在整個(gè)時(shí)間域（隨機(jī)過程每一樣本信號(hào)在整個(gè)時(shí)間域（-，+）內(nèi)存在，

35、屬于功率信號(hào)，存在平均功率及功率譜。內(nèi)存在，屬于功率信號(hào)，存在平均功率及功率譜。 隨機(jī)過程屬于功率信號(hào)，其每一次實(shí)現(xiàn)也是功率信隨機(jī)過程屬于功率信號(hào)，其每一次實(shí)現(xiàn)也是功率信號(hào)，但它的每一次實(shí)現(xiàn)的功率譜不能作為過程的功號(hào)，但它的每一次實(shí)現(xiàn)的功率譜不能作為過程的功率譜。率譜。 過程的功率譜可以通過每一次實(shí)現(xiàn)的功率譜密度求過程的功率譜可以通過每一次實(shí)現(xiàn)的功率譜密度求統(tǒng)計(jì)平均獲得。統(tǒng)計(jì)平均獲得。1、功率譜數(shù)為：，其某一實(shí)現(xiàn)的截短函設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)過程)(tx其它022)()(TtTtxtxTdttjtxXeTT)()(即：)()()(TTTXtxtx，有：對(duì)于截短過程dtjXtxeTT)(21)(譜為：則平穩(wěn)

36、隨機(jī)過程的功率dPPX)(21平均功率：TXEPEPTTTX| )(|lim)()(2 定理隨機(jī)過程的平均功率通過一次統(tǒng)計(jì)平均求得總的平均功率：TXEPTTX| )(|lim)(2其中：dttxETPETTT22)(12dTXET| )(|212limTTPEPdttxETTTT22)(1lim2dTXETT| )(|lim212dPtxEPX)(21)(2截短過程的功率譜為：dttxTPTTTT22)(12也是個(gè)隨機(jī)變量。是隨機(jī)的，因此由于TPtx )(dTXT2| )(|21截短過程的能量為：dXdttxETTTTT22| )(|21)(22 證明：2、功率譜與相關(guān)函數(shù)的關(guān)系 維納-欣欽定

37、理 定理),(),()(XPRtx功率譜為，其相關(guān)函數(shù)為設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)過程是一對(duì)傅立葉變換。與則：)()(XPR量。上的均勻分布的隨機(jī)變是在區(qū)間是常函數(shù)，、度。的自相關(guān)函數(shù)和功率密例：求隨機(jī)相位正弦波)2 , 0()cos()(00AtAtx解：02cos2)(ARXdjAPeX)cos2()(02djjjAeee)(0024djjAee(4)0)02)()(2002A2.3.4高斯隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程 1.定義定義 若隨機(jī)過程若隨機(jī)過程x(t)的任意的任意n維（維（n=1, 2, ）分布都是正態(tài)分）分布都是正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機(jī)過程或正態(tài)過程。布，則稱它為高斯隨機(jī)過程或正態(tài)過程。 其其n維正

38、態(tài)概率密維正態(tài)概率密度函數(shù)表示如下：度函數(shù)表示如下： fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn) 212121.)2(1Bn)(21exp.11kkkjkjnkjknjaxaxBB 式中, ak=Ex(tk)，2k=Ex(tk)-ak2，|B|為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即B b12 b1nB21 1 b2nBn1 bn2 1 |B|jk為行列式|B|中元素bjk的代數(shù)余因子，bjk為歸一化協(xié)方差函數(shù)，且2.重要性質(zhì)重要性質(zhì) （1） 對(duì)高斯過程而言，廣義平穩(wěn)和狹義平穩(wěn)的是等價(jià)的。對(duì)高斯過程而言，廣義平穩(wěn)和狹義平穩(wěn)的是等價(jià)的。也就是說，如果高斯過程是廣義平穩(wěn)的，則它也一定是狹義也就是說，如果高

39、斯過程是廣義平穩(wěn)的，則它也一定是狹義平穩(wěn)的。平穩(wěn)的。 （2） 對(duì)于高斯過程在不同時(shí)刻的取值，互不相關(guān)和相互對(duì)于高斯過程在不同時(shí)刻的取值，互不相關(guān)和相互獨(dú)立是等價(jià)的。也就是說，如果高斯過程中的隨機(jī)變量之間獨(dú)立是等價(jià)的。也就是說，如果高斯過程中的隨機(jī)變量之間互不相關(guān)，則它們互不相關(guān)，則它們是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。 （3） 一高斯過程通過線性系統(tǒng)，其輸出也是一個(gè)高斯過一高斯過程通過線性系統(tǒng)，其輸出也是一個(gè)高斯過程。或者說，高斯過程經(jīng)過線性變換仍然是高斯過程。程?；蛘哒f，高斯過程經(jīng)過線性變換仍然是高斯過程。)2)(exp(21)(22axxf 式中，式中，a為高斯隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，為高斯隨機(jī)變量

40、的數(shù)學(xué)期望，2為方差。為方差。f(x) 曲曲線如圖線如圖 2 - 3所示。所示。 由式（由式（2.3 - 3）和圖）和圖2 - 3可知可知f(x)具有如下特性：具有如下特性： (1) f(x)對(duì)稱于對(duì)稱于x=a這條直線。這條直線。 (2)21)()(adxxfdxxf1)(dxxf且有以后分析問題時(shí)，會(huì)經(jīng)常用到高斯過程中的一維分布。以后分析問題時(shí)，會(huì)經(jīng)常用到高斯過程中的一維分布。為今后分析問題的需要，我們對(duì)態(tài)隨機(jī)過程中的一維為今后分析問題的需要，我們對(duì)態(tài)隨機(jī)過程中的一維分布進(jìn)行必要的討論。分布進(jìn)行必要的討論。圖2-3 正態(tài)分布的概率f (x)12Oax （3） 鐘形： a - 單調(diào)上升；單調(diào)上

41、升； a+ 單調(diào)下降；單調(diào)下降； x=a 最大值最大值 3） a表示分布中心，表示分布中心，表示集中程度，表示集中程度，f(x)圖形將隨著圖形將隨著的減小而變高和變窄。當(dāng)?shù)臏p小而變高和變窄。當(dāng)a=0，=1時(shí)，稱時(shí)，稱f(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)。布的密度函數(shù)。 當(dāng)我們需要求高斯隨機(jī)變量當(dāng)我們需要求高斯隨機(jī)變量x小于或等于任意取值小于或等于任意取值x的概的概率率P(xx)時(shí)，還要用到正態(tài)分布函數(shù)。正態(tài)分布函數(shù)是概率時(shí)，還要用到正態(tài)分布函數(shù)。正態(tài)分布函數(shù)是概率密度函數(shù)的積分，即密度函數(shù)的積分，即dzazxpxFx2)(exp21)()(22 這個(gè)積分無法用閉合形式計(jì)算，我們要設(shè)法把

42、這個(gè)積分這個(gè)積分無法用閉合形式計(jì)算，我們要設(shè)法把這個(gè)積分式和可以在數(shù)學(xué)手冊(cè)上查出積分值的特殊函數(shù)聯(lián)系起來，一式和可以在數(shù)學(xué)手冊(cè)上查出積分值的特殊函數(shù)聯(lián)系起來，一般常用以下幾種特殊函數(shù)：般常用以下幾種特殊函數(shù)： 計(jì)算公式：計(jì)算公式： F(x)=ax 式中：式中： 概率積分函數(shù)dzzxx2)(exp21)(2（2） 誤差函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù)。誤差函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù)。 誤差函數(shù)的定義式為誤差函數(shù)的定義式為xtdtexerf022)(我們稱我們稱1-erf(x)為互補(bǔ)誤差函數(shù)，記為為互補(bǔ)誤差函數(shù)，記為erfc(x), 即即 erfc(x)=1-erf(x)=dtext22 互補(bǔ)誤差有近似計(jì)算公式：互補(bǔ)誤

43、差有近似計(jì)算公式： erfc(x)=1,12xex)2(21)(xerfcxQ)2(1 2)2(2)(xxQxerfc 現(xiàn)在讓我們把以上特殊函數(shù)與現(xiàn)在讓我們把以上特殊函數(shù)與Q函數(shù)進(jìn)行聯(lián)系，函數(shù)進(jìn)行聯(lián)系， 以表示正以表示正態(tài)分布函數(shù)態(tài)分布函數(shù)F(x)。 則可以得到則可以得到 ：21)2(2)(xQxerf 用誤差函數(shù)或互補(bǔ)誤差函數(shù)表示用誤差函數(shù)或互補(bǔ)誤差函數(shù)表示F(x)的好處是，它簡(jiǎn)明的好處是，它簡(jiǎn)明的特性有助于今后分析通信系統(tǒng)的抗噪聲性能。的特性有助于今后分析通信系統(tǒng)的抗噪聲性能。 F(X)=時(shí)當(dāng)axaxerf),2(2121時(shí)當(dāng)axaxerf),2(211白噪聲：白噪聲： 定義定義 凡是功率

44、譜密度在整個(gè)頻帶內(nèi)均勻分布的凡是功率譜密度在整個(gè)頻帶內(nèi)均勻分布的噪聲，稱為白噪聲。一般表示為：噪聲，稱為白噪聲。一般表示為： 2)(0nP)(2)(0nR高斯白噪聲高斯白噪聲白噪聲的功率譜密度白噪聲的功率譜密度白噪聲的自相關(guān)函數(shù)白噪聲的自相關(guān)函數(shù)高斯白噪聲：高斯白噪聲：高斯噪聲是指它的統(tǒng)計(jì)特性服從高斯分布；高斯噪聲是指它的統(tǒng)計(jì)特性服從高斯分布；白噪聲是指它的功率譜密度是均勻分布的；白噪聲是指它的功率譜密度是均勻分布的；通常把服從高斯分布而功率譜密度又是均勻分布通常把服從高斯分布而功率譜密度又是均勻分布的噪聲稱為高斯白噪聲。在信號(hào)傳輸中，高斯白的噪聲稱為高斯白噪聲。在信號(hào)傳輸中，高斯白噪聲與信號(hào)

45、是疊加的關(guān)系，所以稱這種噪聲為加噪聲與信號(hào)是疊加的關(guān)系，所以稱這種噪聲為加性高斯白噪聲性高斯白噪聲系統(tǒng)系統(tǒng)輸入輸出)(tX)(th)(ty)(H數(shù)學(xué)期望2.3.5平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)自相關(guān)函數(shù)平均功率功率譜研究?jī)?nèi)容隨機(jī)過程廣義平穩(wěn))(*)(thtxdtxh)()()()(1tyEty的數(shù)學(xué)期望、)()()(dtXhEtyE廣義平穩(wěn))(tXdhtXEtyE)()()(dttjthHe)()(由無關(guān)與故：tHtXEtyE)0()()(dtXEh)()()()(tXEtXEdtthH)()0(：得到),(2ttRy、自相關(guān)函數(shù))(),(),(tytyEttRY根據(jù)平穩(wěn)性)

46、()()(XRtXtXE所以：yP、平均功率：3程也是廣義平穩(wěn)的隨機(jī)過)(ty)()()()(dtXhdtXhE ddtXtXEhh)()()()( ddRhhttRXY)()()(),(隔無關(guān)，只依賴于時(shí)間間與t)(yR)(2tyEPY)0(YR ddRhhX)()()()(4yP、功率譜djRPeYY)()(.，則令) ()()()(djRdjhdjhPeeeXY dddjRhheX)()()()()()(*XPHH)(| )(|2XPH的傳遞函數(shù)為：通濾波器數(shù)及噪聲功率。其中低功率譜密度，自相關(guān)函濾波器后的的白噪聲通過理想低通例：試求功率密度為20n解：2)(0nPX白噪聲功率譜：)(|

47、 )(|)(2XyPHP其它.0|.2020HnK得到：由：)()(yyPRdjPReyy)(21)(HyfnKRP020)0(噪聲功率：HKH| )(|202，其它.0|.)(0HKH：波器后的功率譜密度為白噪聲通過理想低通濾HHHnKsin.2020dnKjHHe221020)(2020HHSafnK2.3.6窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程 隨機(jī)過程通過以fc為中心頻率的窄帶系統(tǒng)的輸出，即是窄帶過程。所謂窄帶系統(tǒng)，是指其通帶寬度ffc，且fc遠(yuǎn)離零頻率的系統(tǒng)。實(shí)際中，大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶型的，通過窄帶系統(tǒng)的信號(hào)或噪聲必是窄帶的，如果這時(shí)的信號(hào)或噪聲又是隨機(jī)的，則稱它們?yōu)檎瓗щS機(jī)過程。如用示波器

48、觀察一個(gè)實(shí)現(xiàn)的波形，則如圖2 - 6(b)所示，它是一個(gè)頻率近似為fc，包絡(luò)和相位隨機(jī)緩變的正弦波。 圖2-6 窄帶過程的頻譜和波形示意 fcOS( f )fffcf(a)tOS( f )緩慢變化的包絡(luò)a(t)頻率近似為 fc(b) 這樣，窄帶隨機(jī)過程這樣，窄帶隨機(jī)過程X(t)可用下式表示可用下式表示: X(t)=Ax(t) cosct+x(t), Ax(t)0 (2.5 - 1) = Ax(t) cosct cosx(t) - Ax(t) sinct sin x(t) 等價(jià)式為等價(jià)式為 X(t)=XI(t)cosct-XQ(t)sinct (2.5 - 2) 中中XI(t)=Ax(t)cos

49、x(t) (2.5 - 3) XQ(t)=Ax(t) sin x(t) (2.5 - 4) 式中式中, Ax(t)及及x(t)分別是分別是X(t)的隨機(jī)包絡(luò)和隨機(jī)相位，的隨機(jī)包絡(luò)和隨機(jī)相位，XI(t)及及XQ(t)分別稱為分別稱為X(t)的同相分量和正交分量。的同相分量和正交分量。 由式（由式（2.5 - 1）至）至(2.5 - 4)看出，看出，X(t)的統(tǒng)計(jì)特性可由的統(tǒng)計(jì)特性可由AX(t)，x(t)或或XI(t)，XQ(t)的統(tǒng)計(jì)特性確定。反之，如果已知的統(tǒng)計(jì)特性確定。反之，如果已知X(t)的統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)特性則可確定計(jì)特性則可確定Ax(t),x(t)以及以及XI(t)，XQ(t)的統(tǒng)計(jì)特性。的統(tǒng)

50、計(jì)特性。 2.5.1同相和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性同相和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性 設(shè)窄帶過程X(t)是平穩(wěn)高斯窄帶過程，且均值為零， 方差為 。下面將證明它的同相分量XI(t)，和正交分量XQ(t)也是零均值的平穩(wěn)高斯過程，而且與X(t)具有相同的方差。 1. 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 對(duì)式（2.5 - 2）求數(shù)學(xué)期望:EX(t)=EXI(t)cosct-EXQ(t)sinct (2.5 - 5)可得2x EXI(t)=0 EXQ(t)=0 (2.5 - 6) 結(jié)論：結(jié)論： EX(t)= EXI(t)= EXQ(t)=0 2. 自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)Rx(t, t+)=EX(t)X(t+) =E XI(t) cosct- XQ(t) sinct XI(t+)cosc(t+)-XQ(t+)sinc(t+) =RI(t, t+) cosct cosc(t+)-RIQ(t, t+) cosctsinc(t+) -RQI(t, t+) sinctcosc(t+)+RQ(t, t+) sinctsinc(t+) ( 2.5-7) 式中式中 RI(t, t+)=EXI(t)XI(t+) RIQ(t, t+)=EXI(t)XQ(t+) RQI(t, t+)=EXQ(t)XI(t+) RQ(t, t+)=EXQ(t)XQ(t+) 因?yàn)橐驗(yàn)閄(t)是平穩(wěn)的，是平穩(wěn)的，