《控制系統(tǒng)數(shù)字仿真與cad》第8章控制系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)

1、1 本章內(nèi)容(1) 利用MATLAB實(shí)現(xiàn)串聯(lián)頻率校正的三種方法；(2) 利用MATLAB實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)反饋的兩種方法；(3) 利用MATLAB實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)觀測(cè)器的兩種方法；(4) 利用MATLAB實(shí)現(xiàn)帶狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)；(5) 利用MATLAB實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的解耦；(6) 利用MATLAB實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋的線性二次型最優(yōu)控制器 的設(shè)計(jì)；(7) 利用MATLAB實(shí)現(xiàn)輸出反饋的線性二次型的最優(yōu)控制。 第8章 控制系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)2 控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，就是在系統(tǒng)中引入適當(dāng)?shù)沫h(huán)節(jié)，用以對(duì)原有系統(tǒng)的某些性能進(jìn)行校正，使之達(dá)到理想的效果，故又稱為系統(tǒng)的校正，下面介紹幾種常用的系統(tǒng)校正方法的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)

2、。3l 應(yīng)用頻率法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行校正，其目的是改變系統(tǒng)的頻率特性形狀，使校正后的系統(tǒng)頻率特性具有合適的低頻、中頻和高頻特性以及足夠的穩(wěn)定裕量，從而滿足所要求的性能指標(biāo)。l控制系統(tǒng)中常用的串聯(lián)校正裝置是帶有單零點(diǎn)與單極點(diǎn)的濾波器，若其零點(diǎn)比極點(diǎn)更靠近原點(diǎn)，則稱之為超前校正，否則稱之為滯后校正。4l1.超前校正裝置的特性l設(shè)超前校正裝置的傳遞函數(shù)為l其頻率特性為) 1(11cTsTssG）（) 1(j1j1jcTTG）（jT1T1圖8-1 超前校正裝置的零極點(diǎn)圖o5l 超前校正裝置的極坐標(biāo)圖如圖8-2所示。l當(dāng)0變化時(shí)，Gc(j)的相位角 0，Gc(j)的軌跡為一半圓，由圖可得超前校正的最大超前相位角

3、m為l (8-3)l令l l可得對(duì)應(yīng)于最大相位角m時(shí)的頻率m為11sin1m0d)(dT1mj01)0(圖8-2 超前校正裝置的極坐標(biāo)圖m6l超前校正裝置的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖如圖8-3所示。l當(dāng) l l l l由此可見(jiàn)，超前校正裝置是一個(gè)高通濾波器(高頻通過(guò)，低頻被衰減),它主要能使系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)得到顯著改善，而穩(wěn)態(tài)精度的提高則較小。越大，微分作用越強(qiáng)，從而超調(diào)量和過(guò)渡過(guò)程時(shí)間等也越小。0|j|lg20, 0c）（Glg20|j|lg20,c）（Glg10|j|lg20,cm）（GT1T10lg10lg20L( )dB0mm圖8-3 超前校正裝置的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖m7l 超前校正裝置的主要作用是通過(guò)其相位超

4、前效應(yīng)來(lái)改變頻率響應(yīng)曲線的形狀，產(chǎn)生足夠大的相位超前角,以補(bǔ)償原來(lái)系統(tǒng)中元件造成的過(guò)大的相位滯后。因此校正時(shí)應(yīng)使校正裝置的最大超前相位角出現(xiàn)在校正后系統(tǒng)的開環(huán)剪切頻率(幅頻特性的交接頻率)c處。8l(1)根據(jù)性能指標(biāo)對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的要求,確定開環(huán)增益k；l(2)利用確定的開環(huán)增益k，畫出未校正系統(tǒng)的Bode圖，并求出其相位裕量r0和幅值裕量kg；l(3)確定為使相位裕量達(dá)到要求值，所需增加的超前相位角，即r -r0+.式中 r為要求的相位裕量，是考慮到系統(tǒng)增加串聯(lián)超前校正裝置后系統(tǒng)的剪切頻率要向右移而附加的相位角，一般取=515；l(4)令超前校正裝置的最大超前相位角=，則由下式可求出校正裝置

5、的參數(shù)；ccsin1sin19l(5)若將校正裝置的最大超前相位角處的頻率作為校正后系統(tǒng)的剪切頻率，則有l(wèi)即l或l由此可見(jiàn)，未校正系統(tǒng)的幅頻特性幅值等于-20lg時(shí)的頻率即為c；0| )(j)(j|lg20coccGGlg20| )(j|lg200| )(j|lg20lg20ococGG1| )(j|coG10l(6) 根據(jù)=c，利用下式求參數(shù)Tl(7) 畫出校正后系統(tǒng)的Bode圖，檢驗(yàn)性能指標(biāo)是否已全部達(dá)到要求，若不滿足要求，可增大值，從第三步起重新計(jì)算。l例例8-1 設(shè)有一單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為l要求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)kv=20(1/s),相位裕量 r500,幅值裕量kg10d

6、B,試確定串聯(lián)校正裝置c1T)2()(0ssksG11l解解 根據(jù)l可求出k =40，即l根據(jù)串聯(lián)超前校正的設(shè)計(jì)步驟，可編寫以下m文件。l%Example8_1.mlnumo=40;deno=conv(1,0,1,2);lGm1,Pm1,Wcg1,Wcp1=margin(numo,deno);lr=50; r0=Pm1;w=logspace(-1,3);l mag1,phase1=bode(numo,deno,w);202)2(lim)(lim000kssksssGkssv)2(40)(0sssG12lfor epsilon=5:15lphic=( r-r0+epsilon)*pi/180;l

7、alpha=(1+sin(phic)/(1-sin(phic);li1,ii=min(abs(mag1-1/sqrt(alpha);lwc=w(ii);lT=1/(wc*sqrt(alpha);lnumc=alpha*T,1;denc=T,1;lnum,den=series(numo,deno,numc,denc);lGm,Pm,Wcg,Wcp=margin(num,den);lif(Pm= r);break;endlend 13lprintsys(numc,denc),printsys(num,den)lmag2,phase2=bode(numc,denc,w);lmag,phase=bod

8、e(num,den,w);lsubplot(2,1,1);semilogx(w,20*log10(mag),w,20*log10(mag1),-,w,20*log10(mag2),-.);lgrid;ylabel(幅值 (dB);ltitle(- Go, -. Gc, _ GoGc);lsubplot(2,1,2);semilogx(w,phase,w,phase1,-,w,phase2,-.,w,(w-180-w),:);lgrid;ylabel(相位 (度);xlabel(頻率 (rad/sec)ltitle(校正后：幅值裕量=,num2str(20*log10(Gm), dB,相位裕量=

9、,num2str(Pm),);ldisp(校正前：幅值裕量=,num2str(20*log10(Gm1), dB,相位裕量=,num2str(Pm1),);ldisp(校正后：幅值裕量=,num2str(20*log10(Gm), dB,相位裕量=,num2str(Pm),);14l執(zhí)行后可得如下結(jié)果及圖8-4所示曲線lnum/den = l 0.22541 s + 1l -l 0.053537 s + 1lnum/den = l 9.0165 s + 40l -l 0.053537 s3 + 1.1071 s2 + 2 sl 校正前：幅值裕量=Inf dB,相位裕量=17.9642 l 校正

10、后：幅值裕量=Inf dB,相位裕量=50.719615l 圖8-4 超前校正裝置及校正前后系統(tǒng)的伯德圖16l1.滯后校正裝置的特性l設(shè)滯后校正裝置的傳遞函數(shù)為l其頻率特性為) 1(11cTsTssG）（) 1(j1j1(jcTTG）圖8-5 滯后校正裝置的零極點(diǎn)圖jT1T1o17l 滯后校正裝置的極坐標(biāo)圖如圖8-6所示。由圖可知，當(dāng)=0變化時(shí)，Gc(j)的相位角0，Gc(j)的根軌跡為一半圓。l同理可求得最大滯后相位角和對(duì)應(yīng)的頻率分別為11sin1mT1m11)(0j0m圖8-6 滯后校正裝置的極坐標(biāo)圖18l滯后校正裝置的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖如圖8-7所示l由此可見(jiàn)，滯后校正裝置是一個(gè)低通濾波器（低頻

11、通過(guò)，高頻被衰減），且越大，高頻衰減越厲害，抗高頻干擾性能越好，但使響應(yīng)速度變慢，故滯后校正能使穩(wěn)態(tài)得到顯著提高，但瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)間卻隨之而增加，越大，積分作用越強(qiáng)，穩(wěn)態(tài)誤差越小。0|lg20, 0c）（jGlg20|lg20,c）（jGlg10|lg20,cm）（jGlg20lg10T1T1mmdB00)(L圖8-7 滯后校正裝置的極坐標(biāo)圖m19l 滯后校正裝置的主要作用是在高頻段造成幅值衰減，降低系統(tǒng)的剪切頻率，以便能使系統(tǒng)獲得充分的相位裕量，但應(yīng)同時(shí)保證系統(tǒng)在新的剪切頻率附近的相頻特性曲線變化不大。l利用頻率法設(shè)計(jì)滯后校正裝置的步驟利用頻率法設(shè)計(jì)滯后校正裝置的步驟:l（1）根據(jù)性能指標(biāo)對(duì)穩(wěn)態(tài)

12、誤差系數(shù)的要求，確定開環(huán)增益k；l（2）利用已確定的開環(huán)增益k，畫出未校正系統(tǒng)的Bode圖，并求出其相位裕量r0和幅值裕量kg；20l（3）如未校正系統(tǒng)的相位和幅值裕量不滿足要求，尋找一新的剪切頻率c，在c處開環(huán)傳遞函數(shù)的相位角應(yīng)滿足下式lGo(jc)= -180+ r +l式中 r為要求的相角裕量，是為補(bǔ)償滯后校正裝置的相位滯后而附加的相位角，一般取=512；l(4) 為使滯后校正裝置對(duì)系統(tǒng)的相位滯后影響較小（一般限制在512），m應(yīng)遠(yuǎn)離c，一般取滯后校正裝置的第一個(gè)交接頻率：1=1/T=(1/51/10)c（即m=r);break;end;lend24lprintsys(numc,denc

13、);printsys(num,den);lmag2,phase2=bode(numc,denc,w);mag,phase=bode(num,den,w);lsubplot(2,1,1);lsemilogx(w,20*log10(mag),w,20*log10(mag1),-,w,20*log10(mag2),-.);lgrid;ylabel(幅值 (dB);title(- Go, -. Gc, _ GoGc);lsubplot(2,1,2);lsemilogx(w,phase,w,phase1,-,w,phase2,-.,w,(w-180-w),:);lgrid;ylabel(相位 (度);x

14、label(頻率 (rad/sec)ltitle(校正后：幅值裕量=,num2str(20*log10(Gm), dB,相位裕量=,num2str(Pm),);ldisp(校正前：幅值裕量=,num2str(20*log10(Gm1), dB,相位裕量=,num2str(Pm1),);ldisp(校正后：幅值裕量=,num2str(20*log10(Gm), dB,相位裕量=,num2str(Pm),);25l執(zhí)行后可得如下結(jié)果及圖8-8所示曲線。lnum/den = l 8.3842s + 1l -l 59.7135s + 1lnum/den = l 41.9208s+5l -l 14.92

15、84s4+74.8918s3+60.9635s2+sl校正前：幅值裕量= -3.8573e-015 dB，相位裕量=7.3342e-006l校正后：幅值裕量=15.8574dB，相位裕量=40.655226l圖8-8 滯后校正裝置及校正前后系統(tǒng)的伯德圖27l1.滯后-超前校正裝置的特性l設(shè)滯后-超前校正裝置的傳遞函數(shù)為l上式等號(hào)右邊的第一項(xiàng)產(chǎn)生超前網(wǎng)絡(luò)的作用，而第二項(xiàng)產(chǎn)生滯后網(wǎng)絡(luò)的作用。) 1,(1111G122211cTTsTsTsTsTs）（28l 滯后-超前校正裝置的極坐標(biāo)圖如圖8-9所示。l 由圖可知，當(dāng)角頻率在00之間變化時(shí), 滯后-超前校正裝置起著相位滯后校正的作用；當(dāng)在0之間變化

16、時(shí),它起著超前校正的作用，對(duì)應(yīng)相位角為零的頻率0為2101TT010mIeR0圖8-9 滯后-超前校正裝置的極坐標(biāo)圖29l 滯后-超前校正裝置的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖如圖8-10所示。從圖可清楚看出，當(dāng)00時(shí)滯后-超前校正裝置起著相位滯后校正的作用；當(dāng)01)l numc1=1/w1,1;denc1=1/(w1*beta),1;l w1=w1+0.01;l numc,denc=series(numc1,denc1,numc2,denc2);l num,den=series(numo,deno,numc,denc);l mag,phase=bode(num,den,w);lendlprintsys(numc1

17、,denc1);lprintsys(numc2,denc2);lprintsys(num,den);lGm,Pm,Wcg,Wcp=margin(num,den);lmag2,phase2=bode(numc,denc,w);lmag,phase=bode(num,den,w);35lsubplot(2,1,1);semilogx(w,20*log10(mag),w,20*log10(mag1),-,w,20*log10(mag2),-.);lgrid;ylabel(幅值 (dB);ltitle(- Go, -. Gc, _ GoGc);lsubplot(2,1,2);semilogx(w,ph

18、ase,w,phase1,-, w,phase2,-., w,(w-180-w),:);lgrid;ylabel(相位 (度);xlabel(頻率 (rad/sec)ltitle(校正后：幅值裕量=,num2str(20*log10(Gm), dB,相位裕量=,num2str(Pm),);ldisp(校正前：幅值裕量=,num2str(20*log10(Gm1), dB,相位裕量=,num2str(Pm1),);ldisp(校正后：幅值裕量=,num2str(20*log10(Gm), dB,相位裕量=,num2str(Pm),);36l執(zhí)行后可得如下結(jié)果及圖8-11所示曲線。l num/de

19、n = l 1.8817 s + 1l -l 0.18817 s + 1lnum/den = l 7.0711 s + 1l -l 70.7107 s + 1lnum/den = l 133.0595 s2 + 89.5281 s + 10l -l 6.653 s5 + 55.4084 s4 + 120.1542 s3 + 72.3989 s2 + sl校正前：幅值裕量= -10.4567 dB，相位裕量= -28.0814l校正后：幅值裕量=13.7848 dB，相位裕量=52.4219 37l圖8-11 滯后超前校正裝置及校正前后系統(tǒng)的伯德圖3839l 狀態(tài)反饋是將系統(tǒng)的狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的

20、反饋系數(shù)，然后反饋到輸入端與參考輸入疊加形成控制作為受控系統(tǒng)的控制輸入，采用狀態(tài)反饋不但可以實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)任意配置，而且也是實(shí)現(xiàn)解耦和構(gòu)成線性最優(yōu)調(diào)節(jié)器的主要手段。40l 給定控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，則經(jīng)常希望引入某種控制器，使的該系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)移動(dòng)到某個(gè)指定位置，因?yàn)樵诤芏嗲闆r下系統(tǒng)的極點(diǎn)位置會(huì)決定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。l假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為l其中 A:nn;B:nr;C:mnl引入狀態(tài)反饋，使進(jìn)入該系統(tǒng)的信號(hào)為l u = r Kxl式中 r為系統(tǒng)的外部參考輸入，K為rn矩陣。CxyBuAxx 41可得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 (8-12) 可以證明，若給定系統(tǒng)是完全能控的，則

21、可以通過(guò)狀態(tài)反饋將該系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)進(jìn)行任意配置。假定單變量系統(tǒng)的n個(gè)希望極點(diǎn)為1,2,n，則可求出期望的閉環(huán)特征方程為 f*(s)= (s-1)( s-2) (s-n)= sn + a1sn-1 + + an這時(shí)狀態(tài)反饋陣K可根據(jù)下式求得 K=0 0 1Uc-1f*(A) (8-13)式中 Uc=b Ab An-1b，f*(A)是將系統(tǒng)期望的閉環(huán)特征方程式中的s換成系統(tǒng)矩陣A后的矩陣多項(xiàng)式。CxyBrxBKAx)(42l例例8-4已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為l采用狀態(tài)反饋，將系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到-1,-2,-3，求狀態(tài)反饋陣K。l解解 MATLAB程序?yàn)閘%Example8_4.mlA=-2 1 1;1

22、0 1;-1 0 1; b=1;1;1;lUc=ctrb(A,b);rc=rank(Uc);lf=conv(1,1,conv(1,2,1,3);lK=zeros(1,length(A)-1) 1*inv(Uc)*polyvalm(f,A) uxx11110110111243l執(zhí)行后得lK=l -1 2 4l其實(shí)，在MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱中就提供了單變量系統(tǒng)極點(diǎn)配置函數(shù)acker( )，該函數(shù)的調(diào)用格式為lK=acker(A,b,P)l式中 P為給定的極點(diǎn)，K為狀態(tài)反饋陣。l對(duì)例8-4，采用下面命令可得同樣結(jié)果lA=-2 -1 1;1 0 1;-1 0 1;b=1;1;1;rc=rank(

23、ctrb(A,b);lp=-1,-2,-3;K=acker(A,b,p)l結(jié)果顯示lK=l -1 2 444l 對(duì) 于 多 變 量 系 統(tǒng) 的 極 點(diǎn) 配 置 ，MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中也給出了函數(shù)place( )，其調(diào)用格式為lK=place(A,B,P)l例例8-5 已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為l 求使?fàn)顟B(tài)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為-2-3,l(-1j3)/2的狀態(tài)反饋陣K。uxx331134029514102033821310140045l解解 MATLAB程序?yàn)?l%Example8_5.mlA=0 0 4 1;10 13 2 8;-3 -3 0 -2;-10 -14 -5 -9;lB=-2 0

24、;4 -3;-1 1;-3 3;lP=-2;-3;(-1+sqrt(3)*j)/2;(-1-sqrt(3)*j)/2;lK=place(A,B,P)l執(zhí)行后得lK=l 32.5923 65.6844 58.8332 46.6557l 55.4594 111.8348 103.6800 81.023946l 在一些特定的應(yīng)用中，有時(shí)沒(méi)有必要去對(duì)所有的極點(diǎn)進(jìn)行重新配置，而只需對(duì)其中若干個(gè)極點(diǎn)進(jìn)行配置，使得其他極點(diǎn)保持原來(lái)的值，例如若系統(tǒng)開環(huán)模型是不穩(wěn)定的，則可以將那些不穩(wěn)定的極點(diǎn)配置成穩(wěn)定的值，而不去改變那些原本穩(wěn)定的極點(diǎn)。作這樣配置的前提條件是原系統(tǒng)沒(méi)有重極點(diǎn)，這就能保證由系統(tǒng)特征向量構(gòu)成的矩陣

25、是非奇異的。47l 假設(shè)xi為對(duì)應(yīng)于i的特征向量，即A xi =i xi，這樣可以對(duì)各個(gè)特征值構(gòu)造特征向量矩陣X=x1,x2,xn，由前面的假設(shè)可知X矩陣為非奇異的，故可以得出其逆陣T=X-1，且令T的第i個(gè)行向量為Ti，且想把i配置到i的位置，則可以定義變量ri=（i-i）/bi，其中bi為向量Tb的第i個(gè)分量，這時(shí)配置全部的極點(diǎn)，則可以得出狀態(tài)反饋陣 l 特別地，若不想對(duì)哪個(gè)極點(diǎn)進(jìn)行重新配置，則可以將對(duì)應(yīng)的項(xiàng)從上面的求和式子中刪除就可以得出相應(yīng)的狀態(tài)反饋陣，它能按指定的方式進(jìn)行極點(diǎn)配置。niiiTrK148l例例8-6 對(duì)于例8-4所示系統(tǒng)，實(shí)際上只有一個(gè)不穩(wěn)定的極點(diǎn)1,若僅將此極點(diǎn)配置到

26、-5，試采用部分極點(diǎn)配置方法對(duì)其進(jìn)行。l解解 MATLAB程序?yàn)閘%Example8_6.mlA=-2 -1 1;1 0 1;-1 0 1;lb=1;1;1;lX,D=eig(A);lii=find(diag(D)0);T=inv(X);mu= -5;V=diag(D);lbb=T*b;lgamma=(mu-V(ii)/bb(ii);lK=real(gamma*T(ii,:)l執(zhí)行后得l K=l 1.5000 -1.5000 -6.000049l1.全維狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)極點(diǎn)配置是基于狀態(tài)反饋，因此狀態(tài)x必須可量測(cè)，當(dāng)狀態(tài)不能量測(cè)時(shí)，則應(yīng)設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器來(lái)估計(jì)狀態(tài)。l對(duì)于系統(tǒng)l若系統(tǒng)完全能觀測(cè)，則

27、可構(gòu)造如圖8-12所示的狀態(tài)觀測(cè)器。CxyBuAxx 50uyBACBACL-+-圖8-12 帶狀態(tài)觀測(cè)器的系統(tǒng)-+xx 51l由上圖可得觀測(cè)器的狀態(tài)方程為l即 l其特征多項(xiàng)式為 f（s）=|sI-(A-LC)|l由于工程上要求能比較快速的逼近x，只要調(diào)整反饋陣L，觀測(cè)器的極點(diǎn)就可以任意配置達(dá)到要求的性能，所以，觀測(cè)器的設(shè)計(jì)與狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置的設(shè)計(jì)類似。LyxLCBuxAxLyBuxLCAx)(52l假定單變量系統(tǒng)所要求的n個(gè)觀測(cè)器的極點(diǎn)為1,2,n，則可求出期望的狀態(tài)觀測(cè)器的特征方程為l f*(s)=(-1)(-2)(-n)=sn + a1sn-1 + + anl這時(shí)可求得反饋陣L為l式中

28、， , f*（A）是將系統(tǒng)期望的觀測(cè)器特征方程l中s換成系統(tǒng)矩陣A后的矩陣多項(xiàng)式。100)(10*VAfL10nCACACV53l 利用對(duì)偶原理，可使設(shè)計(jì)問(wèn)題大為簡(jiǎn)化，求解過(guò)程如下：l首先構(gòu)造系統(tǒng)式(8-14)的對(duì)偶系統(tǒng)l (8-15)l然后，根據(jù)下式可求得狀態(tài)觀測(cè)器的反饋陣L。l LT=acker(AT,CT,P)l或 LT=place(AT,CT,P)l其中 P為給定的極點(diǎn)，L為狀態(tài)觀測(cè)器的反饋陣。zBwnCAzTTT54l例例8-7 已知開環(huán)系統(tǒng)l其中l(wèi)設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器，使觀測(cè)器的閉環(huán)極點(diǎn)為l-2j23,-5。CxybuAxx 001,100,6116100010CbA55l解解 為求

29、出狀態(tài)觀測(cè)器的反饋陣L，先為原系統(tǒng)構(gòu)造一對(duì)偶系統(tǒng)。l然后采用極點(diǎn)配置方法對(duì)對(duì)偶系統(tǒng)進(jìn)行閉環(huán)極點(diǎn)位置的配置，得到反饋陣K，從而可由對(duì)偶原理得到原系統(tǒng)的狀態(tài)觀測(cè)器的反饋陣L。lMATLAB程序?yàn)閘A=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6;b=0;0;1;C=1 0 0;ldisp(The Rank of Obstrabilaty Matrix)lr0=rank(obsv(A,C),A1=A;b1=C;C1=b;lP=-2+2*sqrt(3)*j -2-2*sqrt(3)*j -5;lK=acker(A1,b1,P);L=K zBwnCAzTTT56l執(zhí)行后得lThe Rank of Obst

30、rabilaty Matrixlr0 =l 3lL =l 3.0000l 7.0000l -1.0000l由于rankr0=3，所以系統(tǒng)能觀測(cè)，因此可設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測(cè)器。57l 前面所討論的狀態(tài)觀測(cè)器的維數(shù)和被控系統(tǒng)的維數(shù)相同，故稱為全維觀測(cè)器，實(shí)際上系統(tǒng)的輸出y總是能夠觀測(cè)的。因此，可以利用系統(tǒng)的輸出量y來(lái)直接產(chǎn)生部分狀態(tài)變量，從而降低觀測(cè)器的維數(shù)。假設(shè)系統(tǒng)是完全能觀測(cè)器，若狀態(tài)x為n維，輸出y為m維，由于y是可量測(cè)的，因此只需對(duì)n-m個(gè)狀態(tài)進(jìn)行觀測(cè)，也就是說(shuō)用(n-m)維的狀態(tài)觀測(cè)器可以代替全維觀測(cè)器，這樣觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)可以大大簡(jiǎn)化。58 狀態(tài)觀測(cè)器解決了受控系統(tǒng)的狀態(tài)重構(gòu)問(wèn)題，為那些狀態(tài)變

31、量不能直接量測(cè)得到的系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋創(chuàng)造了條件。帶狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)由三部分組成，即原系統(tǒng)、觀測(cè)器和控制器，圖8-13是一個(gè)帶有全維觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)。59uryBACBACL-+-圖8-13 帶狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)-+Kxx +-60l設(shè)能控能觀測(cè)的受控系統(tǒng)為l （8-21）l狀態(tài)反饋控制律為l （8-22）l狀態(tài)觀測(cè)器方程為l （8-23）l由以上三式可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為CxyBuAxx xKruLyBuxLCAx)(CxyBrxBKLCALCxxBrxBKAxx)(61l 可以證明，由觀測(cè)器構(gòu)成的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)，其特征多項(xiàng)式等于狀態(tài)反饋部分的特征多項(xiàng)式|sI-(A

32、-BK)|和觀測(cè)器部分的特征多項(xiàng)式|sI-(A-LC)|的乘積，而且兩者相互獨(dú)立。因此，只要系統(tǒng)0(A,B,C)能控能觀測(cè)，則系統(tǒng)的狀態(tài)反饋陣K和觀測(cè)器反饋陣L可分別根據(jù)各自的要求，獨(dú)立進(jìn)行配置，這種性質(zhì)被稱為分離特性。l同理，用降維觀測(cè)器構(gòu)成的反饋系統(tǒng)也具有分離特性62l例例8-9 已知開環(huán)系統(tǒng)l設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋使閉環(huán)極點(diǎn)為 -1.8j2.4，而且狀態(tài)不可量測(cè)，因此設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器使其閉環(huán)極點(diǎn)為-8,-8。l解解 狀態(tài)反饋和狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)分開進(jìn)行，狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)借助于對(duì)偶原理。在設(shè)計(jì)之前，應(yīng)先判別系統(tǒng)的能控性和能觀測(cè)性，MATLAB的程序?yàn)閘%Example8_9.mlA=0 1; 20.6

33、0;b=0;1;C=1 0;xyuxx011006 .201063l% Check Contrillability and Observablityldisp (The rank of Controllability Matrix)lrc=rank (ctrb(A,b)ldisp (The rank of Observability Matrix)lro=rank(obsv(A,C)l%Design RegulatorlP=-1.8+2.4*j -1.8-2.4*j;lK=acker(A,b,P)l%Design State ObserverlA1=A;b1=C;C1=b;lP1=-8 -8;

34、K1=acker(A1,b1,P1);lL=K164l執(zhí)行后得lThe rank of Controllability Matrixlrc =l 2lThe rank of Observability Matrixlro =l 2lK =l 29.6000 3.6000lL =l 16.0000l 84.600065l 離散系統(tǒng)的極點(diǎn)配置和狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)的求解過(guò)程與連續(xù)系統(tǒng)基本相同，在MATLAB中，可直接采用工具箱中的place( )和acker( )函數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)，這里不在贅述。66l 在多變量系統(tǒng)中，如果傳遞函數(shù)陣不是對(duì)角矩陣，則不同的輸入與輸出之間存在著耦合，即第i輸入不但會(huì)對(duì)第i輸出

35、有影響，而且還會(huì)影響到其他的輸出，就給控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)造成了很大的麻煩，故在多變量控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中就出現(xiàn)了解耦控制方法。67l假設(shè)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為l (8-25) l其中 A:nn;B:nr;C:mn;D:mrl引入狀態(tài)反饋l (8-26)l其中 R為r1參考輸入向量，在解耦控制中實(shí)際還應(yīng)要求r=m，亦即系統(tǒng)的輸入個(gè)數(shù)等于輸出個(gè)數(shù)，這時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣可以寫成KxHRuHDBBKAsIDKCsRsYsG)()()()(1DuCxyBuAxx 68l若閉環(huán)系統(tǒng)的mr矩陣G(s)為對(duì)角的非奇異矩陣，則稱該系統(tǒng)是動(dòng)態(tài)解耦的系統(tǒng)，若G(0)為對(duì)角非奇異矩陣，且系統(tǒng)為穩(wěn)定的，則稱該系統(tǒng)是靜

36、態(tài)解耦的。l在給定的控制結(jié)構(gòu)下，若系統(tǒng)的D矩陣為0，則閉環(huán)傳遞函數(shù)陣G(s)可以簡(jiǎn)化成l (8-28)l由上式可見(jiàn)，若H矩陣為奇異矩陣，則G(s)矩陣必為奇異的，所以為使得系統(tǒng)可以解耦，首先應(yīng)該要求H為非奇異矩陣。l其中BHBKAsICsRsYsG1)()()()(HsCBaBBKACCBsBKAsIsGnnn)(|1)(211.|011asasBKAsInnn69l首先這里將給出能解耦的條件：可以證明，若按下面方法生成的矩陣B*為非奇異的，若取H=(B*)-1，則由前面給出的控制格式得出的系統(tǒng)能解耦原系統(tǒng)。l （8-29） l式中 C,C, Cm為C矩陣的行向量，參數(shù)d,d,dm是在保證B為

37、非奇異的前提下任選區(qū)間0,n-1上的整數(shù)。若確定了di參數(shù)，則可以直接獲得解耦矩陣BACBACBACBmdmdd21211111mdmdACACHK70l例例8-11 對(duì)如下系統(tǒng)進(jìn)行解耦l解解 MATLAB程序?yàn)閘%Example8_11.mlA=-1 0 0;0 -2 0;0 0 -3;B=1 0;2 3;-3 -3;C=1 0 0;1 1 1;lD=0 0;0 0;lm,n=size(C);lBB=C(1,:)*B;ld(1)=0;xyuxx11100133320130002000171lfor ii=2:ml for jj=0:n-1l BB=BB;C(ii,:)*Ajj*B;l if

38、rank(BB)=ii,d(ii)=jj;break;else BB=BB(1:ii-1,:);endl endlendlH=inv(BB)lCC=C(1,:)*A(d(1)+1);lfor ii=2:mlCC=CC;C(ii,:)*A(d(ii)+1);lendlK=H*CCln1,d1=ss2tf(A-B*K,B*H,C,D,1)ln2,d2=ss2tf(A-B*K,B*H,C,D,2)72l執(zhí)行后可得lH =l 1.0000 0l -1.3333 0.3333lK =l -1.0000 0 0l 1.6667 1.3333 3.0000ln1 =l 0 1.0000 -0.0000 -0

39、.0000l 0 0.0000 0.0000 0.0000ld1 =l 1.0000 -0.0000 -0.0000 0ln2 =l 0 0 0 0l 0 0.0000 1.0000 0ld2 =l 1.0000 -0.0000 -0.0000 073l亦即系統(tǒng)解偶后的傳遞函數(shù)陣為ll 解耦控制系統(tǒng)的目的是將原模型變換成解耦的模型，而并不必去考慮變換之后的響應(yīng)品質(zhì)，因?yàn)轫憫?yīng)品質(zhì)這類問(wèn)題可以在解耦之后按照單變量系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)補(bǔ)償，單回路的設(shè)計(jì)當(dāng)然可以采用單變量系統(tǒng)的各種方法，例如可以采用超前滯后補(bǔ)償，PI設(shè)計(jì)以及PID設(shè)計(jì)等，并能保證這樣設(shè)計(jì)出來(lái)的控制器不會(huì)去影響其他回路。1001001)(223

40、ssssssG74l假設(shè)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為l函數(shù)estim( )將生成下述狀態(tài)和輸出估計(jì)器DuCxyBuAxx xICxyxCyLxAx)( 75l在MATLAB中，函數(shù)estim( )的調(diào)用格式如下lest=estim(A,B,C,D,L)l其中 A,B,C,D為系統(tǒng)系數(shù)矩陣，L為狀態(tài)估計(jì)增益矩陣。狀態(tài)估計(jì)增益矩陣L可由極點(diǎn)配置函數(shù)place( )形成，或者由Kalman濾波函數(shù)kalman生成。利用以上命令可生成給定增益矩陣L下的狀態(tài)空間模型A,B,C,D的輸出估計(jì)器est。76l例例8-13 利用例8-7所得的狀態(tài)觀測(cè)器的反饋陣L，求其系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)器。l解解 MATLAB程序?yàn)?/p>

41、lA=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6;b=0;0;1;C=1 0 0;l L=3;7;-1lest=estim(A,b,C,0,L)l執(zhí)行后得lest =l -3.0000 1.0000 0l -7.0000 0 1.0000l -5.0000 -11.0000 -6.000077l假設(shè)控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為l利用函數(shù)reg( )可生成下述控制器DuCxyBuAxx xKuLyxKLDBLCAx)( 78l在MATLAB中，函數(shù)reg( )的調(diào)用格式為lest=reg(A,B,C,D,K,L)l其中 A,B,C,D為系統(tǒng)系數(shù)矩陣，K為狀態(tài)反饋增益矩陣，L為狀態(tài)估計(jì)增益矩陣。利用

42、以上命令可生成給定狀態(tài)反饋增益矩陣K及狀態(tài)估計(jì)增益矩陣L下的狀態(tài)空間模型A,B,C,D的控制器est。假定系統(tǒng)的所有輸出可測(cè)。79l例例8-14 利用例8-7所得的狀態(tài)觀測(cè)器的反饋陣L，求其系統(tǒng)的控制器。假設(shè)狀態(tài)反饋陣K=-1 2 4。l解解 MATLAB程序?yàn)閘A=0 1 0;0 0 1;-6 -11 -6;b=0;0;1;C=1 0 0;lK=-1 2 4;lL=3;7;-1lest=reg(A,b,C,0,K,L)l執(zhí)行后得l est =l -3 1 0l -7 0 1l -4 -13 -1080 MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中也提供了很多函數(shù)用來(lái)進(jìn)行系統(tǒng)的最優(yōu)控制設(shè)計(jì)，相關(guān)函數(shù)如表8-3

43、所示。81l設(shè)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為l (8-31)l式中 A:nn;B:nr;C:mnl并設(shè)目標(biāo)函數(shù)為二次型性能指標(biāo)l (8-32)l式中 Q(t)為nn半正定實(shí)對(duì)稱矩陣，R(t)為rr正定實(shí)對(duì)稱矩陣。一般情況下，假定這兩個(gè)矩陣為定常矩陣，它們分別決定了系統(tǒng)暫態(tài)誤差與控制能量消耗之間的相對(duì)重要性。S為對(duì)稱半正定終端的加權(quán)陣，它為常數(shù)。)()()()()(tCxtytButAxtx f0d)()()()()()(21)()(21TTffTttttutRtutxtQtxtSxtxJ82l 當(dāng)x(tf)值固定時(shí)，則為終端控制問(wèn)題，特別是當(dāng)x(tf)0 時(shí)，則為調(diào)節(jié)器問(wèn)題；當(dāng)t0 , tf均固定時(shí)，則為暫態(tài)過(guò)程最優(yōu)控制。l 最優(yōu)控制問(wèn)題是為給定的線性系統(tǒng)式（8-31）尋找一個(gè)最優(yōu)控制律u*(t)，使系統(tǒng)從初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)x(tf)，且滿足性能指標(biāo)式（8-32）最小。它可以用變分法、極大值原理和動(dòng)態(tài)規(guī)劃等三種方法中的任一種求解。這里我們采用極大值原理求解u*(t)。83l MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱中也提供了完整的解決線性二次型最優(yōu)控制的函數(shù)，其中命令lqr( )和lqry( )可以直接求解二次型調(diào)節(jié)器問(wèn)題及相關(guān)的