高中數(shù)學(xué)必修二立體幾何知識(shí)點(diǎn)梳理

1、立體幾何初步1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱：定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的幾何體。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱 ABCDE a'b'c'd'e'或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱 AD幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。棱錐定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體 分類：以底面多邊形的邊數(shù)

2、作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐 p a'b'c'd'e'幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。(3)棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等._. . 、. > .> ' ' ' ' '表不：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái) P A B C D E幾何特征：上下底面是相似的平行多邊形側(cè)面是梯形側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)(4

3、)圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形。(5)圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是一個(gè)圓；母線交于圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。(6)圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特征：上下底面是兩個(gè)圓；側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)弓形。(7)球體：定義： 以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征：球的截面是圓；球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑

4、。2、空間幾何體的三視圖定義三視圖：正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影)；側(cè)視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下) 注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度;俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度;側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。3、空間幾何體的直觀圖一一斜二測(cè)畫(huà)法斜二測(cè)畫(huà)法特點(diǎn)： 原來(lái)與x軸平行的線段仍然與 x平行且長(zhǎng)度不變；原來(lái)與y軸平行的線段仍然與 y平行，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積(1)幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。2(2)特殊幾何體表面積公式(c為底面周長(zhǎng)，h為高，

5、h為斜高，1為母線)S直棱柱側(cè)面積chS圓柱側(cè)2 rhS正棱錐側(cè)面積1ch 2S圓錐側(cè)面積rlS 正棱臺(tái)側(cè)面積129 C2)hS圓臺(tái)側(cè)面積(r R) 1S圓柱表2 r r 1S圓臺(tái)表r2 rl Rl R2(3)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式ViSh , V圓柱ShV臺(tái) 1(S' JS'S S)hr2h V錐:1Sh 3VWr2h丫圓臺(tái)1(S' S'S S)h 1 (r2 rR R2)h 339432(4)球體的表面積和體積公式:丫球=7 R ；容求面=4 R35、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系 平面的概念：A.描述性說(shuō)明； B.平面是無(wú)限伸展的; 平面的表示：通常用希

6、臘字母a、3、丫表示，如平面a (通常寫(xiě)在一個(gè)銳角內(nèi))；也可以用兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來(lái)表示，如平面BG點(diǎn)與平面的關(guān)系： 點(diǎn)A在平面 內(nèi)，記作A ；點(diǎn)A不在平面 內(nèi)，記作A點(diǎn)與直線的關(guān)系： 點(diǎn)A的直線l上，記作：AC l ；點(diǎn)A在直線l外，記作A l ；直線與平面的關(guān)系：直線l在平面a內(nèi)，記作l a ；直線l不在平面a內(nèi)，記作l a。(2)公理1:如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。(即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過(guò)直線)應(yīng)用：檢驗(yàn)桌面是否平；判斷直線是否在平面內(nèi)用符號(hào)語(yǔ)言表示公理 1 ：AC LBC LAC aBC a(Z a(3)公理2:經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)

7、，有且只有一個(gè)平面。推論：一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。公理2及其推論作用：它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)它是證明平面重合的依據(jù)符號(hào)表不為：A、B、C三點(diǎn)不共線=> 有且只有一個(gè)平面a,使 AC a、BC a、CC a。(4)公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線符號(hào)：平面a和3相交，交線是 a,記作“0 3= a。符號(hào)語(yǔ)言：P AI B AI B l,P l公理3的作用：它是判定兩個(gè)平面相交的方法。它說(shuō)明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過(guò)公共點(diǎn)。它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)

8、。(5)公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線a / b ,=> =>a II cc / b J強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。(6)空間直線與直線之間的位置關(guān)系異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。異面直線判定：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過(guò)該店的直線是異面直線異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O,分別引直線a' / a, b' b b,則把直線a'和b'所成的銳角(

9、或直角)叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是(0° ,90。,若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。說(shuō)明：(1)判定空間直線是異面直線方法：根據(jù)異面直線的定義；異面直線的判定定理(2)在異面直線所成角定義中，空間一點(diǎn)。是任取的，而和點(diǎn) O的位置無(wú)關(guān)。求異面直線所成角步驟：A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上。 B、證明作出的角即為所求角 C、利用三角形來(lái)求角(7)等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)。(8)空間直線與平面之間的位置關(guān)系直線在平面內(nèi)一

10、一有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn).直線不在平面內(nèi)J相交一一只有一個(gè)公共點(diǎn).(或直線在平面外)(平行一一沒(méi)有公共點(diǎn).三種位置關(guān)系的符號(hào)表不' ：a a a A a = A a / a(9)平面與平面之間的位置關(guān)系：平行一一沒(méi)有公共點(diǎn)；a / 3相交有一條公共直線。a n 3 = b6、空間中的平行問(wèn)題(1)直線與平面平行的判定及其性質(zhì)線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡(jiǎn)記為：線線平行線面平行符號(hào)表示：a色a 1b 匚 3 => a II a a/ b -線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線

11、平行。線面平行線線平行符號(hào)表示：a II a、a C 3=>aII ba n 3 = b j作用：利用該定理可解決直線間的平行問(wèn)題。(2)平面與平面平行的判定及其性質(zhì)兩個(gè)平面平行的判定定理(1)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行(線面平行一面面平行)，a U 3 一b匚3a n b = p =>3/aa / ab/ a(2)如果在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行。(線線平行一面面平行)，(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理(1)如果兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行。(面面平行一線面平行)(2)如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。(面面平行一線線平行)符號(hào)表示：a / 3a A y = a =>a II b3 A y = b作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行7、空間中的垂直問(wèn)題(1)線線、面面、線面垂直的定義兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。線面垂直：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面垂直。平面和平面垂直：如果兩個(gè)平面相交，所成的二面角(從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形)是 直二面角(平面角是直角)，就說(shuō)這兩個(gè)平面垂直。(2)垂直