RS255,223糾錯(cuò)編碼的MATLAB仿真課程設(shè)計(jì)報(bào)告書

1、. . . . 編號：課程設(shè)計(jì)說明書題 目： RS(255,223)糾錯(cuò)編碼的 MATLAB仿真 院 （系）：專 業(yè)：學(xué)生：學(xué) 號：指導(dǎo)教師：2013 年 12月10日目 錄1 引言21.1信道編碼理論與技術(shù)的發(fā)展歷程與應(yīng)用21.2糾錯(cuò)編碼簡介42Reed Solomon編碼概述53Reed Solomon編碼抽象代數(shù)基礎(chǔ)63.1 群63.2環(huán)和域73.3有限域73.4歐幾里得算法84BCH碼、RS碼與其編碼94.1BCH碼、RS碼簡介94.2RS碼的構(gòu)造方法105RS碼的譯碼115.1關(guān)鍵方程的引入125.2多項(xiàng)式的歐幾里得算法135.3BCH/RS碼的解碼步驟156MATLAB主要程序與其

2、仿真結(jié)果187總結(jié)19致20參考文獻(xiàn)21附 錄2222 / 25摘 要在糾錯(cuò)碼領(lǐng)域中Reed-Solomon碼是一類具有嚴(yán)格代數(shù)結(jié)構(gòu)的線性分組碼。由于它突出的糾錯(cuò)能力(特別是糾突發(fā)錯(cuò)誤的能力),常被應(yīng)用于數(shù)據(jù)存儲以與現(xiàn)代數(shù)字通信系統(tǒng)中。在衛(wèi)星通訊中，差錯(cuò)控制編碼技術(shù)對降低誤碼率、提高通信的可靠性具有非常重要的作用。RS(Reed-Solomon)碼是差錯(cuò)控制領(lǐng)域中一種性能優(yōu)異的線性分組循環(huán)碼，由于其具有很強(qiáng)的隨機(jī)錯(cuò)誤和突發(fā)錯(cuò)誤的糾錯(cuò)能力，所以被CCSDS、NASA、ESA 等空間組織接受，廣泛用于深空探測中。目前我國還沒有高碼速率的 RS 硬件譯碼器，雖然“雙星計(jì)劃”已經(jīng)采用 RS糾錯(cuò)編碼技術(shù)

3、，在衛(wèi)星上使用 RS(255,223)硬件編碼器進(jìn)行編碼，但是由于硬件譯碼器的復(fù)雜性，地面接收系統(tǒng)采用的是軟件譯碼，無法保證通信的實(shí)時(shí)性。為此，本文在詳細(xì)介紹RS(255,223)編碼譯碼的基礎(chǔ)上，利用MATLAB軟件對該理論進(jìn)行仿真。關(guān)鍵詞：Reed-Solomon編碼；抽象代數(shù)；RS碼編碼；RS碼譯碼算法；RS(255,223)仿真；MATLAB1 引言1.1 信道編碼理論與技術(shù)的發(fā)展歷程與應(yīng)用Shannon 的信道編碼定理給出了有噪信道通信的最大速率，證明了好碼的存在性，但對該定理證明是非構(gòu)造性的，它沒有告訴我們怎么構(gòu)造好碼。如何通過不可靠信道進(jìn)行可靠的通信，是編碼理論所要研究的問題。半

4、個(gè)多世紀(jì)以來，眾多的學(xué)者為構(gòu)造逼近容量限的糾錯(cuò)碼做了大量的工作，但這一問題直到 45 年后才基本得到解決。但是，“過程比目標(biāo)更重要”，在應(yīng)對這一挑戰(zhàn)的過程中，編碼理論家和工程師們應(yīng)用組合數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論、有限域理論等數(shù)學(xué)工具，建立了糾錯(cuò)碼的性能參數(shù)限，發(fā)現(xiàn)了許多構(gòu)造糾錯(cuò)碼的方法，并設(shè)計(jì)了有效的編譯碼算法，為信息技術(shù)的蓬勃發(fā)展建立了不朽的功勛！在 Shannon 的論文發(fā)表之前，Richard Hamming 就已經(jīng)為早期的計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)了一種糾單個(gè)錯(cuò)誤的碼，邁出了信道編碼理論與技術(shù)研究的第一步。之后，信道編碼理論與與技術(shù)的大致經(jīng)歷了以下幾個(gè)發(fā)展階段：1. 50 年代至 60 年代初這是編碼理

5、論從無到有并得到迅速發(fā)展的年代，現(xiàn)代編碼理論的許多思想都起源于這一時(shí)期。1）發(fā)現(xiàn)了幾種線性分組碼，如 Golay 碼、Reed-Muller 碼（RM 碼）、Reed-Solomon 碼（RS 碼）、Bose-Chaudhuri-Hocquengham 碼（BCH 碼）、低密度校驗(yàn)碼（LDPC 碼）等，以與卷積碼；2）為這些碼設(shè)計(jì)了有效的譯碼算法，如用于 RS 碼和 BCH 碼譯碼的 PGZ 算法、用于卷積碼譯碼的 Fano 譯碼算法；3）證明了糾錯(cuò)碼的幾個(gè)最小碼距限，如 Hamming 限（H 限）、Singleton限、Plotkin 限（P 限）、Gilbert-Varshamove 限

6、（GV 限），其證明可以在編碼理論的基礎(chǔ)教材中找到；4）1957 年，Elias 提出了一種概念譯碼器表單譯碼器（List Decoder），以突破傳統(tǒng)的限定距離譯碼（BDD）的半最小碼距的糾錯(cuò)半徑；5）1961 年，W. W. Peterson 編寫了第一本關(guān)于糾錯(cuò)碼理論的專著，系統(tǒng)地闡述了糾錯(cuò)碼的基本理論。2. 60 年代至 70 年代初這是糾錯(cuò)碼發(fā)展最為活躍的時(shí)期之一。在此期間，以代數(shù)方法特別是以有限域理論為基礎(chǔ)的線性分組碼理論已趨成熟。1）提出了許多有效的編、譯碼方法。1965年，E. R. Berlekamp提出了一種實(shí)用分組碼的代數(shù)譯碼算法，1969年, J.L. Massey從序

7、列綜合的角度重新推導(dǎo)了這一算法，后人稱之為Berlekamp-Massey算法（BM算法）。BM算法的提出，是分組碼走向?qū)嵱玫囊粋€(gè)重要里程碑。1966年，G. D. Forney第一次采用簡單的分量碼構(gòu)造級聯(lián)碼，以提高碼的性能。第一個(gè)成功的級聯(lián)碼是采用卷積碼作碼、RS碼作外碼的串行級聯(lián)碼，其典型應(yīng)用是在衛(wèi)星通信、深空探測等領(lǐng)域，如Voyager、Galileo、Cassini等任務(wù)，這種編碼方式還被應(yīng)用于美國的數(shù)字電視（ATSC）、歐洲的數(shù)字視頻廣播（DVB）和數(shù)字音頻廣播（DAB）等系統(tǒng)中；另一種典型的級聯(lián)碼是C. Berrou于1993年發(fā)現(xiàn)的并行級聯(lián)卷積碼（PCCC），即我們通常所稱的T

8、urbo碼，這是一種逼近Shannon限的碼。1967年，A. J. Viterbi提出了卷積碼的最大似然譯碼算法，實(shí)現(xiàn)了數(shù)字通信道編碼技術(shù)的一次實(shí)質(zhì)性突破。Viterbi算法還在其它領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。1974年，Bahl等提出了一種最大后驗(yàn)概率（MAP）譯碼算法（也稱為BCJR算法），其誤比特率（BER）性能優(yōu)于Viterbi算法。但由于計(jì)算復(fù)雜度大大增加，MAP算法直到1993年Berrou發(fā)現(xiàn)Turbo碼之后才得到廣泛應(yīng)用。由于硬判決譯碼通常較軟判決譯碼損失23dB，對分組碼的軟判決譯碼算法的研究也逐漸成為一個(gè)重要的課題。對于卷積碼，硬判決譯碼和軟判決譯碼通過一樣的格圖進(jìn)行譯碼，其復(fù)雜

9、度大體一樣。而對于分組碼，基于格圖的譯碼與代數(shù)譯碼相比，復(fù)雜度會大大增加，因此次優(yōu)的譯碼算法成為首選。在這方面，著名的有廣義最小距離（GMD）譯碼算法、Chase算法等。2）研究了與碼的性能有關(guān)的各種問題，如碼的重量分布、譯碼錯(cuò)誤概率和不可檢錯(cuò)誤概率的計(jì)算、信道的模型化等，所有這些問題的研究為信道編碼技術(shù)的實(shí)用化打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。3. 70 年代初至 80 年代這是信道編碼發(fā)展史中最具重要意義的時(shí)期，信道編碼在理論和實(shí)踐方面都取得了豐碩的成果。1）在理論上，以 Goppa 為首的一批學(xué)者在 70 年代初較系統(tǒng)地構(gòu)造了一類逼近 Shannon 限的有理多項(xiàng)式碼Goppa 碼，這在糾錯(cuò)碼的歷史上具

10、有劃時(shí)代的意義。80 年代初，Goppa 等將代數(shù)幾何的理論與方法系統(tǒng)地應(yīng)用于編碼理論中，由 Goppa 碼引出了代數(shù)幾何碼，使得 Goppa 碼日益引起了人們的極大興趣。1987 年，G. Ungerboeck 提出了著名的格圖編碼調(diào)制（TCM）技術(shù)，展示了如何將編碼和調(diào)制結(jié)合起來，改善系統(tǒng)的整體性能，這是編碼理論的又一重要里程碑。之后，眾多研究者開始對 TCM 進(jìn)行了深入研究，并將這一概念推廣到分組編碼調(diào)制（BCM）。2）這期間微電子技術(shù)的迅速發(fā)展，為編碼技術(shù)的實(shí)用化打下了堅(jiān)實(shí)的物質(zhì)基礎(chǔ)；各種實(shí)際應(yīng)用也帶動了信道編碼技術(shù)的發(fā)展，編碼技術(shù)的實(shí)用化得到了極大關(guān)注，并取得了巨大的進(jìn)展。例如，用于

11、 RS 碼譯碼的 BM 算法進(jìn)一步發(fā)展成熟，出現(xiàn)了無求逆的 BM（iBM）算法、Euclid 算法、Welch-Berlekamp 算法（WB 算法）等，其超大規(guī)模集成電路（VLSI）實(shí)現(xiàn)也得到了充分的發(fā)展。信道編碼技術(shù)最成功的應(yīng)用在于衛(wèi)星通信和深空探測領(lǐng)域，這使得宇宙飛船從遙遠(yuǎn)的太空傳回了許多極其寶貴的天文學(xué)資料。特別值得一提的是，在 1989年的 Galileo 任務(wù)中，由于主天線的故障，數(shù)據(jù)傳輸?shù)乃俾时仍O(shè)計(jì)指標(biāo)大大下降，噴氣式推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室（JPL）的科學(xué)家們從地面發(fā)送指令，重新配置板上計(jì)算機(jī)，在數(shù)據(jù)傳輸之前進(jìn)行了更多的編碼處理，使得由于硬件故障引起的數(shù)據(jù)傳輸速率下降得以部分恢復(fù)，從而挽救

12、了整個(gè)探測計(jì)劃。若不應(yīng)用信道編碼技術(shù)，這些成就的取得是不可企與的。此外，信道編碼技術(shù)還用于數(shù)據(jù)存儲系統(tǒng)，提高數(shù)據(jù)存儲密度；用于數(shù)據(jù)傳輸系統(tǒng)，提高數(shù)據(jù)傳輸速率；用于各種數(shù)字通信系統(tǒng)，提高通信質(zhì)量；用于數(shù)字音頻/視頻傳輸系統(tǒng)以與視聽娛樂設(shè)備，為我們的生活帶來美妙的音樂和完美的視覺享受；而且糾錯(cuò)碼技術(shù)還應(yīng)用于超大規(guī)模集成電路設(shè)計(jì)中，以提高集成電路芯片的成品率，降低芯片的生產(chǎn)成本。4. 90 年代以后這一時(shí)期，編碼理論的重大發(fā)現(xiàn)當(dāng)首推1993年Berrou等發(fā)現(xiàn)的Turbo碼。Turbo碼是一種利用偽隨機(jī)交織器構(gòu)造的具有隨機(jī)碼行為的長碼，它采用并行級聯(lián)卷積碼的方式進(jìn)行編碼，用最大后驗(yàn)概率（MAP）譯碼

13、器進(jìn)行迭代譯碼，分量譯碼器之間通過傳遞所謂的外信息來減少信息損失，其性能非常接近Shannon限，這一驚人的性能打破了長期以來的猜想：利用二元卷積碼和序列譯碼是達(dá)到截止速率R （即所謂的“實(shí)際容量”）的一種可實(shí)現(xiàn)的方法。在迭代譯碼器中，所采用的分量碼MAP譯碼器可以用軟入輸出Viterbi算法（SOVA）代替，這會使Turbo碼譯碼性能略有下降，但大大降低了計(jì)算復(fù)雜度和存儲量要求。更為實(shí)用的分量碼譯碼器是Koch等提出的Max-Log-MAP譯碼算法和Robertson等提出的Log-MAP譯碼算法。后來，Hagenauer、Pyndiah又分別將Turbo碼迭代譯碼的思想用于級聯(lián)二元分組碼和

14、乘積碼?，F(xiàn)在，Turbo碼的迭代算法已經(jīng)成為“Turbo原理”，廣泛應(yīng)用于各種級聯(lián)系統(tǒng)，如均衡、編碼調(diào)制、信源壓縮、信源信道聯(lián)合編碼以與信號檢測等。另一方面，在探究Turbo碼迭代算法的過程中，Mackay和Neal于1996年重新發(fā)現(xiàn)了Gallager于60年代提出的具有稀疏校驗(yàn)矩陣的線性分組碼LDPC碼，基于Tanner圖進(jìn)行迭代譯碼，其性能與Turbo碼差不多。最近，采用BCH碼作外碼、LDPC碼作碼的級聯(lián)碼已經(jīng)被DVB-S2采納。1998年，Tarokh、Seshadri和Calderbank提出的格圖空時(shí)碼，在時(shí)間和空間上都引入了編碼，集前向糾錯(cuò)（FEC）、發(fā)送分集和接收分集于一體，

15、能獲得較大的編碼增益和分集增益，實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的高速傳輸。幾個(gè)月后，Alamouti發(fā)明了低復(fù)雜度的分組空時(shí)碼?？諘r(shí)碼的基本思想是采用多個(gè)發(fā)射天線和多個(gè)接收天線來提高系統(tǒng)容量，關(guān)于空時(shí)碼已有許多研究文獻(xiàn)。由于RS碼在眾多數(shù)字通信系統(tǒng)、數(shù)據(jù)存儲系統(tǒng)中的成功應(yīng)用，以與其軟判決譯碼性能的巨大潛力，RS碼的軟判決譯碼問題也得到了很大的關(guān)注。其中，Sudan于1997年提出了多項(xiàng)式復(fù)雜度的表單譯碼（List Decoding）算法，將RS譯碼問題轉(zhuǎn)化成有限域上的曲線擬合問題，給出并證明了幾個(gè)重要的定理，奠定了RS碼表單譯碼的基礎(chǔ)。但Sudan算法只適用于碼率不大于1/3的RS碼，而1999年提出的Gurusw

16、ami-Sudan算法則可適用于任意碼率的RS碼和代數(shù)幾何碼。另一方面，Koetter和Vardy基于Guruswami-Sudan算法，將接收符號的軟信息轉(zhuǎn)化為一系列的代數(shù)條件，用代數(shù)方法實(shí)現(xiàn)了RS碼的軟判決譯碼。1.2 糾錯(cuò)編碼簡介我們知道,在計(jì)算機(jī)和數(shù)據(jù)通信中,經(jīng)常需要將二進(jìn)制數(shù)字信號進(jìn)行傳遞,這種傳遞的距離近則數(shù)米!數(shù)毫米,遠(yuǎn)則超過數(shù)千公里。在傳遞信息過程中,由于存在著各種干擾,可能會使二進(jìn)制信號產(chǎn)生失真現(xiàn)象,即在傳遞過程中二進(jìn)制信號O可能會變成1,1可能會變成0。試想一個(gè)二進(jìn)制信號傳遞的簡單模型,它有一個(gè)發(fā)送端和一個(gè)接收端,二進(jìn)制信號串從發(fā)送端發(fā)出經(jīng)傳輸介質(zhì)而至接收端。由于存在著干擾

17、,因而接收端接收到的二進(jìn)制信號串可能與原來的二進(jìn)制信號串不相等,從而產(chǎn)生了二進(jìn)制信號的錯(cuò)誤傳遞。由于在計(jì)算機(jī)和數(shù)據(jù)通信系統(tǒng)中的信號傳遞是非常的頻繁與廣泛,因此,如何防止傳輸錯(cuò)誤就變得相當(dāng)重要了,當(dāng)然,要解決這個(gè)問題可以有不同的途徑。人們所想到的第一個(gè)途徑是提高設(shè)備的抗干擾能力和信號的抗干擾能力。但是,大家都知道,這種從物理角度去提高抗干擾能力并不能完全消除錯(cuò)誤的出現(xiàn)。第二個(gè)途徑就是我們所要談到的采用糾錯(cuò)碼(Errorcorrectingcode)的方法以提高抗干擾能力。這種糾錯(cuò)碼的方法是從編碼上下功夫,使得二進(jìn)制數(shù)碼在傳遞過程中一旦出錯(cuò),在接收端的糾錯(cuò)碼裝置就能立刻發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤,并將其糾正。由于這

18、種方法簡單易行,因此目前在計(jì)算機(jī)和數(shù)據(jù)通信系統(tǒng)中被廣泛采用"采用這種方法后,二進(jìn)制信號傳遞模型就可以變?yōu)榧m錯(cuò)碼模型了。由糾錯(cuò)碼模型可以想到,當(dāng)二進(jìn)制信號串從發(fā)送端發(fā)送時(shí),需按規(guī)定轉(zhuǎn)換成具有抗干擾能力的糾錯(cuò)碼,然后才發(fā)送出去。在接收端,當(dāng)接收到二進(jìn)制信號串后立即對接收到的糾錯(cuò)碼進(jìn)行檢查,查對在途中是否失真,如失真則負(fù)責(zé)糾正。該模型的一個(gè)典型實(shí)現(xiàn),就是在遠(yuǎn)程數(shù)據(jù)傳輸系統(tǒng)中具有糾錯(cuò)能力的數(shù)據(jù)傳輸裝置,該裝置的糾錯(cuò)過程是二進(jìn)制信號發(fā)生器發(fā)出信號(二進(jìn)制信號發(fā)生器可以是計(jì)算機(jī),或者是由人控制的某些裝置如終端),經(jīng)差錯(cuò)控制器形成糾錯(cuò)碼,然后經(jīng)調(diào)制器使二進(jìn)制信號變成為適宜于信道傳播的電信號,這種信

19、號通過信道傳輸至接收端,首先通過解調(diào)器將其還原為原來的二進(jìn)制信號,再經(jīng)差錯(cuò)控制器檢驗(yàn)經(jīng)信道傳輸后是否產(chǎn)生失真,并采取措施進(jìn)行糾正。經(jīng)糾正后的二進(jìn)制信號送入二進(jìn)制信號接收器,從而完成整個(gè)傳輸過程"二進(jìn)制信號接收器可以是計(jì)算機(jī),或其他接收裝置如終端等。但是,為什么糾錯(cuò)碼具有發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤!糾正錯(cuò)誤的能力呢?糾錯(cuò)碼又是按什么樣的原理去編的呢?為了說明這些問題,我們首先介紹一些基本概念:由0和1組成的串稱為字(Word),一些字的集合稱為碼(Code)。碼中的字稱為碼字(CodeWord)。不在碼中的字稱為廢碼(InvalidCode)。碼中的每個(gè)二進(jìn)制信號0或1稱為碼元(Code Letter)

20、。我們下面舉出幾個(gè)關(guān)于糾錯(cuò)碼的例子。設(shè)有長度為2的字,它們一共可有2x2=4個(gè),創(chuàng)門所組成的字集S,=00,01,10,11。當(dāng)選取編碼為52時(shí),這種編碼不具有抗干擾能力。因?yàn)楫?dāng)52中的一個(gè)字如10,在傳遞過程中其第一個(gè)碼元1變?yōu)?,因而整個(gè)字成為00時(shí),由于00也是52中的字,故我們不能發(fā)現(xiàn)傳遞中是否出錯(cuò)。但是,當(dāng)我們選取52的一個(gè)子集如C2二00,川作為編碼時(shí)就會發(fā)生另一種完全不同的情況。因?yàn)榇藭r(shí)01和10均為廢碼,而當(dāng)H在傳遞過程中第一個(gè)碼元由1變?yōu)镺,即整個(gè)字成為01時(shí),由于01是廢碼,因而我們發(fā)現(xiàn)傳遞過程中出現(xiàn)了錯(cuò)誤。對00也有同樣的情況。但是,這種編碼有一個(gè)缺點(diǎn),即它只能發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤而

21、不能糾正錯(cuò)誤,因此我們還需要選擇另一種能糾錯(cuò)的編碼"現(xiàn)在我們考慮長度為3的字,它們一共可有2!3=8個(gè),它們所組成的字集凡000,001,010,011,100,101,110,111中我們選取編碼q二001,110。利用此編碼我們不僅能發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤而且能糾正錯(cuò)誤。因?yàn)榇a字001出現(xiàn)錯(cuò)誤后將變?yōu)?000,011,101,而碼字110出現(xiàn)錯(cuò)誤后將變?yōu)?111,100,010。故如碼字001在傳遞過程中任何一個(gè)碼元出現(xiàn)了錯(cuò)誤,整個(gè)碼字只會變?yōu)?01!011或000,但是都可知其原碼為001。對于碼字110也有類似的情況"故對編碼q,我們不僅能發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤而且能糾正錯(cuò)誤"當(dāng)然,

22、上述編碼還有一個(gè)缺點(diǎn),就是它只能發(fā)現(xiàn)并糾正單個(gè)錯(cuò)誤。當(dāng)錯(cuò)誤超過兩個(gè)碼元時(shí),它就既不能發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤,更無法糾正了。2 Reed Solomon編碼概述Reed-Solomon 碼（RS 碼）是 Reed和 Solomon于 1960 年發(fā)現(xiàn)的一類多元最大距離可分（MDS）碼，其最小距離達(dá)到了 Singleton 限mind = n k+ 1，從這個(gè)意義上講，RS 碼是最佳的。之后幾十年里，RS 碼的硬判決譯碼得到了深入的研究，其理論和技術(shù)都已經(jīng)非常成熟。因而，RS碼在現(xiàn)代數(shù)字通信、數(shù)據(jù)存儲系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用，見下表應(yīng)用領(lǐng)域編碼方案硬盤驅(qū)動器RS(32, 28, 5)碼CD交叉交織 RS 碼（CI

23、RC）DVDRS(208, 192, 17)碼、RS(182, 172, 11)碼乘積碼DAB、DVB碼為卷積碼、外碼為 RS(204, 188, 17)碼的級聯(lián)碼ATSC碼為卷積碼、外碼為 RS(207, 187, 21)碼的級聯(lián)碼深空通信碼為卷積碼、外碼為 RS(255, 223, 33)碼的級聯(lián)碼光纖通信RS(255, 239, 17)碼有限域算術(shù)是 RS 碼的基礎(chǔ)，并行通用有限域乘法器的時(shí)延決定了 RS 碼譯碼器的工作頻率。如何用現(xiàn)場可編程門陣列（FPGA）實(shí)現(xiàn)通用有限域乘法器，降低其運(yùn)算時(shí)延，是軟件無線電中 RS 碼譯碼子系統(tǒng)設(shè)計(jì)過程中要考慮的一個(gè)關(guān)鍵的問題。在工程實(shí)踐常采用的“直接

24、二級邏輯設(shè)計(jì)”僅僅依靠綜合工具對所設(shè)計(jì)的電路進(jìn)行優(yōu)化，不能有效地利用 FPGA 所提供的資源，降低有限域乘法器的時(shí)延。就作者所知，目前還沒有一種系統(tǒng)的方法，可以用來設(shè)計(jì)高速并行有限域乘法器。RS 碼的硬判決譯碼器不能充分地利用接收信息，造成了一定的性能損失。眾所周知，從最小化不正確譯碼概率的意義上講，最大似然譯碼（MLD）是最好的方法。在 AWGN 信道條件下，RS 碼的最大似然譯碼與硬判決距離譯碼相比，會有 2.53.2dB 的軟判決譯碼增益；在衰落信道條件下，其軟判決譯碼增益會更大。2005 年，Guruswami 和 Vardy90在 IEEE 信息論會刊上撰文指出，RS 碼的最大似然譯

25、碼是 NP-Hard 問題。因此，低復(fù)雜度的次優(yōu)譯碼算法成為人們研究的熱點(diǎn)?，F(xiàn)有的 RS 碼軟判決譯碼算法主要有以下四類：l 基于代數(shù)譯碼器的軟判決譯碼：主要有糾錯(cuò)糾刪譯碼、廣義最小距離（GMD）譯碼算法、Chase 算法、Lacan 算法、有序統(tǒng)計(jì)量譯碼（OSD）算法等；l 基于格圖的譯碼：主要有 Vardy 和 Beery提出的比特級軟判決譯碼算法、Ponnampalam 和 Vucetic提出的簡化的比特級軟判決譯碼算法等；l 基于 Tanner 圖的譯碼：基于自適應(yīng)校驗(yàn)矩陣的軟判決譯碼算法、基于臨界抽取濾波器組表示的軟判決譯碼算法等；l 表單譯碼：主要有 Koetter-Vardy 算

26、法等。這些譯碼算法各有千秋，就實(shí)用性而言，GMD算法、Chase-II算法和Koetter-Vardy算法略勝一籌。3 Reed Solomon編碼抽象代數(shù)基礎(chǔ)3.1 群定義 設(shè)G是一個(gè)非空集合，稱映射為G上的一個(gè)二元運(yùn)算，即對于G中仍以兩個(gè)元a和b，唯一確定(a,b).記為,為了方便起見，可寫成c=ab.定義 設(shè)G是一個(gè)非空集合，是G上的一個(gè)二元運(yùn)算，如果G滿足下列條件：a) （結(jié)合律）對于任意,有b) （單位元）G中存在單位元，對于任意，滿足c) （逆元）對于任意，存在的逆元，滿足則稱G為群，記為.如果群滿足交換律，即對于任意，滿足則稱群 為交換群或阿貝爾群.3.2 環(huán)和域定義 設(shè)R是一個(gè)

27、非空集合，R上有兩個(gè)二元運(yùn)算和，分別成為加法和乘法，如果R滿足下列條件a) 為加法阿貝爾群b) （結(jié)合律）對于任意,有c) （分配律）對于任意,有稱R為環(huán)，記為，如果他對乘法滿足交換律，即對任何稱環(huán)為交換環(huán)定義 設(shè)為交換環(huán)，表示R中所有非零元的集合，如果在乘法運(yùn)算下構(gòu)成交換群，則稱為域。3.3 有限域定義 設(shè)F為一個(gè)域，如果F只含有有限個(gè)元素，稱F為有限域，含有q個(gè)元素的有限域記為，有限域也成為伽羅華域(Galois field)，用GF(q)或表示q階有限域。最簡單的有限域是二元域GF(2)=0,1。定義 對于GF(q)上的每個(gè)非零元素，存在最小整數(shù)k,使成立，則稱為k階元素。定義 對于GF

28、(q)上的每個(gè)非零元素，如果其階數(shù)是q-1,則稱為本原元素。定義上的一個(gè)m次多項(xiàng)式，如果他的所有根都是中的本原元素，則稱是m次本原多項(xiàng)式。例如，對于m = 8時(shí)上的m次本原多項(xiàng)式為對于m = 7時(shí)上的m次本原多項(xiàng)式為定義 設(shè)為中的元素，多項(xiàng)式是上使的最低次多項(xiàng)式，則稱為最小多項(xiàng)式。具有一樣最小多項(xiàng)式的元素，構(gòu)成同一共軛系。3.4 歐幾里得算法歐幾里得算法給定兩個(gè)正整數(shù)a,b，可以用歐幾里得除法得到其最大公約數(shù)(a,b)，并求得A，B，滿足(a,b)=Aa+Bb。用歐幾里得除法求(a,b)的步驟如下：第一步：不失一般性，假設(shè)a>b，且令第二步：用除以得到其商數(shù)和余數(shù)，亦即第三步：如果，停止

29、運(yùn)算，并記；否則，轉(zhuǎn)第二步。歐幾里得算法又被稱為輾轉(zhuǎn)相除法，這里是單調(diào)下降序列。用歐幾里得算法可以求得A、B，沿用上述除法得到的和n，其方法如下：第一步：令第二步：計(jì)算第三步：如果，停止運(yùn)算，此時(shí),否則轉(zhuǎn)第二步事實(shí)上，只是其中的一個(gè)特例。4 BCH碼、RS碼與其編碼4.1 BCH碼、RS碼簡介如前所述，BCH碼是糾錯(cuò)能力可能的循環(huán)碼，由Bose、Chandhari和Hocquenghem在19501960年間分別獨(dú)立地提出。最初的BCH碼定義在二元域上，成為二元BCH碼，后來推廣到多源于上。對于設(shè)計(jì)糾錯(cuò)能力為t的循環(huán)碼，器生成多項(xiàng)式含有2t個(gè)連續(xù)冪次的根，這樣的循環(huán)碼稱為BCH碼。如果BCH碼

30、的根是本原元，成為本原BCH碼。如果BCH碼的根是非本原元，稱為非本原BCH碼。如果定義在上的本原元以與共2t個(gè)連續(xù)冪次都是定義在上的生成多項(xiàng)式的根，那么該BCH碼成為設(shè)計(jì)糾錯(cuò)能力為t的二元本原BCH碼。對于任意的證書m和糾錯(cuò)數(shù)t，都可以構(gòu)造出最小距離為d的二元本原BCH碼，n, k, d，滿足。另外，實(shí)際的糾錯(cuò)能力t，可能會大于設(shè)計(jì)糾錯(cuò)能力的t.同理，如果定義在上的非本原元以與共2t個(gè)連續(xù)冪次都是定義在上的生成多項(xiàng)式的根，那么該BCH碼成為設(shè)計(jì)糾錯(cuò)能力為t的二元非本原BCH碼。進(jìn)一步假設(shè)非本原元和本原元滿足關(guān)系，其中，如果成立，那么，也就是說是n階非本原元。如果成立，那么可以構(gòu)造出最小距離為

31、d的二元非本原BCH碼，n, k, d，滿足。另外，實(shí)際的糾錯(cuò)能力t，可能會大于設(shè)計(jì)糾錯(cuò)能力的t.BCH碼的編碼是在二元域完成的，對比特進(jìn)行編碼，與普通的二進(jìn)制循環(huán)碼并無不同。而RS的編碼是在多元域上完成的（p是質(zhì)數(shù)），對符號進(jìn)行編碼，因?yàn)镽S碼又被視為多元域上的本原BCH碼。如果定義在上的生成多項(xiàng)式，其中是定義在上的本原元，那么該BCH碼被稱為糾錯(cuò)能力為t的RS碼。4.2 RS碼的構(gòu)造方法第一步，由關(guān)系式算出m，查本原多項(xiàng)式表得到一個(gè)m次的本原多項(xiàng)式，從而產(chǎn)生一個(gè)的擴(kuò)域，使域元素（符號）與m重向量建立起一一對應(yīng)的關(guān)系本原多項(xiàng)式表mM本原多項(xiàng)式2345678第二步：根據(jù)設(shè)計(jì)糾錯(cuò)能力t，直接計(jì)算

32、定義在上的生成多項(xiàng)式。利用和等運(yùn)算規(guī)則，可以將展開并化簡為。第三步：已知生成多項(xiàng)式，根據(jù)關(guān)系式，對信息位多項(xiàng)式編碼得到碼字多項(xiàng)式，這就完成了RS碼的編碼過程。這里的、和都是上的多項(xiàng)式。而對于長度為mk的二進(jìn)制的輸入序列，以m個(gè)比特位一組劃分可以得到k個(gè)m重向量，再將每個(gè)m重向量映射為上的元素，從而得到長度為k的多元序列。得到長度為n的多元序列后，對于每一個(gè)上的元素，再映射為m重向量，從而得到長度為nm的二進(jìn)制編碼序列。例如，對于信息輸入比特序列100,101,010，首先根據(jù)表格的各次冪將序列映射為上的序列，則其信息位多項(xiàng)式。那么可以求得上的碼字多項(xiàng)式。從而得到上的編碼序列。再根據(jù)表格的各次冪

33、將其映射為二進(jìn)制編碼序列即可得到RS碼。表格 的各次冪即約多項(xiàng)式3重向量00001001010100011110111101RS碼是糾正短突發(fā)差錯(cuò)的首選糾錯(cuò)碼，廣泛應(yīng)用于無線通信的存儲系統(tǒng)中。例如，美國宇航局（NASA）在探險(xiǎn)者號（Voyager）上用了256進(jìn)制的255,223,33RS碼，其生成擴(kuò)域的本原多項(xiàng)式是，生成多項(xiàng)式是。是本原多項(xiàng)式的根，因?yàn)楹?2個(gè)連續(xù)冪次的根，因而改碼的糾錯(cuò)能力為符號個(gè)符號（256進(jìn)制）或者等效長度是的二進(jìn)制特發(fā)差錯(cuò)。5 RS碼的譯碼由于BCH碼和R-S碼都是循環(huán)碼，所以可以采用一般的梅杰特解碼器，但是BCH碼和R-S碼的設(shè)計(jì)糾錯(cuò)能力都比較髙，從而使得梅杰特解

34、碼器的實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度BCH碼和RS碼的解碼原理是一樣的，其髙效解碼算法的基礎(chǔ)在于一個(gè)關(guān)鍵方程的引入和基于多項(xiàng)式的歐幾里德算法。在BCH/RS碼的解碼算法的發(fā)展歷史上，彼得森（Peterson)于1960年提出了第一個(gè)BCH的解碼算法。之后，錢（Chien)、福尼（Formey)、梅西（Massey)和巴勒坎普（Berlekamp)相繼提出了更高效的BCH解碼算法。到了 1975 年，Sugiyama、Kasahara、Hirasawa和Namekawa發(fā)現(xiàn)也可以采用歐幾里德(Euclid)算法對BCH/RS碼解碼，并發(fā)現(xiàn)巴勒坎普（Berlekamp) 解碼算法與歐幾里德（Euclid)算法相比僅差

35、一個(gè)很小的常數(shù)因子。而歐幾里德（Euclid)算法更容易理解些，所以得到了更廣泛的應(yīng)用。具體解碼又可以分為時(shí)域解碼和頻域解碼。5.1 關(guān)鍵方程的引入令F是一個(gè)含有n階單元本原元的域，那么根據(jù)定義有，再令V是F上的一個(gè)n維向量，稱為時(shí)域向量。又令，是V的離散傅里葉變換（DFT），成為頻域向量；DFT（離散傅里葉變換）：那么，可以證明，從頻域到時(shí)域的IDFT（逆離散傅里葉變換）也成立；IDFT（逆離散傅里葉變換）：設(shè)F是，p是質(zhì)數(shù)，那么特征是p。IDFT中的是以特征p為模的同余類。易知，所以，根據(jù)歐幾里得算法有。對于,在定義V和的生成多項(xiàng)式：和。那么，可以將上述的離散傅里葉變換寫為：對于V，定義他

36、的支持集，亦即I是V中非零元素的索引集。在定義V的位置多項(xiàng)式。對于，再定義i階穿孔位置多項(xiàng)式。最后，定義V的數(shù)值多項(xiàng)式。那么，可以證明。定理 關(guān)鍵方程：對于固定的向量V，多項(xiàng)式，和滿足一下關(guān)鍵方程有了上述的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，就可以引入BCH/RS碼的關(guān)鍵方程了。設(shè)編碼向量為，信道錯(cuò)誤圖案為向量，那么接收向量，解碼的第一步是計(jì)算伴隨式向量 ,的定義如下那么，令時(shí)域向量，那么易知，伴隨式向量S與頻域向量滿足關(guān)系，亦即，伴隨式向量S是的錢2t個(gè)分量，這是可以直接觀測到的，而的后（n-2t）個(gè)分量不能直接觀測到。記伴隨式多項(xiàng)式解碼算法的目的是已知伴隨式向量S求錯(cuò)誤圖案向量E，從而得到解碼向量，由于只是知道頻域

37、向量的前2t個(gè)分量，需要用對關(guān)鍵方程降次。所以得到BCH/RS的關(guān)鍵方程由于V的支持集是發(fā)生誤碼的標(biāo)號集合，所以又被成為錯(cuò)誤位置多項(xiàng)式，而又被成為錯(cuò)誤數(shù)值多項(xiàng)式，其中，t是最高次的數(shù)字。t是BCH/RS碼的設(shè)計(jì)糾錯(cuò)能力。5.2 多項(xiàng)式的歐幾里得算法BCH解碼的目標(biāo)是已知，通過求解關(guān)鍵方程，得到和，進(jìn)而求出。求解的關(guān)鍵算法是歐幾里得算法。在抽象代數(shù)基礎(chǔ)已經(jīng)介紹了歐幾里得算法，這里將其推廣到多項(xiàng)式上。多項(xiàng)式上的歐幾里得算法給定兩個(gè)有限域F上的兩個(gè)多項(xiàng)式可以用歐幾里得除法得到其最大公約數(shù)，并求得，滿足歐幾里得除法求的步驟如下：第一步：不失一般性，假設(shè)且令第二步：用除以，得到其商數(shù)和余數(shù)，亦即第三步：

38、如果，停止運(yùn)算，并記；否則，轉(zhuǎn)第二步。歐幾里得處理又被成為輾轉(zhuǎn)相除法，這里是單調(diào)下降序列。用歐幾里得算法可以求得。沿用上述除法得到和，其方法如下：第一步：第二步：計(jì)算第三步：如果，停止運(yùn)算，此時(shí)，；否則，轉(zhuǎn)第二步。這里，是單調(diào)遞增函數(shù)，而也是單調(diào)遞增函數(shù)。容易得到以下兩條性質(zhì)：從而推出以下性質(zhì)：進(jìn)一步有如下定理：定理 設(shè)和是非零多項(xiàng)式，是非零負(fù)整數(shù)，滿足：進(jìn)一步假設(shè)和是對應(yīng)用歐幾里得算法得到的多項(xiàng)式序列。那么存在且唯一存在標(biāo)號使得用一個(gè)歐幾里得抽象函數(shù)表示上述結(jié)果。進(jìn)而存在一個(gè)常數(shù)多項(xiàng)式，使得：這個(gè)定理表明完全可以用歐幾里得算法解決BCH/RS碼的關(guān)鍵方程。5.3 BCH/RS碼的解碼步驟有了

39、關(guān)鍵方程和歐幾里得抽象函數(shù)，討論BCH/RS解碼的步驟就水到渠成了。假設(shè)已經(jīng)求得了錯(cuò)誤位置多項(xiàng)式和錯(cuò)誤數(shù)值多項(xiàng)式，為了求差錯(cuò)圖案多項(xiàng)式，有時(shí)域和頻域處理兩種方法。求出后，解碼碼字向量時(shí)域算法的本質(zhì)就是對錯(cuò)誤位置多項(xiàng)式進(jìn)行驗(yàn)根。由于，那么；反之，如果，那么含有因子。所以，如果，說明第個(gè)位置上的接收向量，存在誤碼，否則第個(gè)位置上的接收向量是正確的。對于二元域BCH碼，比較簡單，如果，那么，否則。而對于多元域上的RS碼，是多元域元素，還需要進(jìn)一步求出。對于RS碼，如果，那么，亦即，否則。首先用C語言偽代碼說明BCH碼的時(shí)域解碼算法，如下所示：/*二元域BCH碼的屬于解碼算法*/*碼長n，設(shè)計(jì)糾錯(cuò)能力

40、t，接收向量R，錯(cuò)誤圖案向量E，解碼碼字向量*/for(j = 1 to 2t);/;if()printf("接收碼字正確，無誤碼");else/用歐幾里得算法解關(guān)鍵方程;if()printf("誤碼超出了糾錯(cuò)能力t，不可解碼");else;for(i = 0 to n-1)if()elsefor(i = 0 to n-1)printf("接收到的碼字為：");解碼中需要?dú)w一化。因?yàn)?，所以，從而歸一化是必須的。如果，那么無法歸一化，這通常是因?yàn)檎`碼超過了糾錯(cuò)能力t，從而不可解碼。由于BCH碼的簡單性，無需用到。下面說明RS碼的解碼算法

41、，如下所示：/*RS解碼算法*/*碼長n，設(shè)計(jì)糾錯(cuò)能力t，接收向量R，錯(cuò)誤圖案向量E，解碼碼字向量*/for(j = 1 to 2t);/;if()printf("接收碼字正確，無誤碼");else/用歐幾里得算法解關(guān)鍵方程;if()printf("誤碼超出了糾錯(cuò)能力t，不可解碼");elsefor(i = 0 to n-1)if()elsefor(i = 0 to n-1)printf("接收到的碼字為：");至此，RS編碼解碼的代數(shù)基礎(chǔ)、編碼理論與方法，解碼理論與方法均已介紹完畢，下面利用MATLAB進(jìn)行仿真。6 MATLAB主要

42、程序與其仿真結(jié)果利用MATLAB編寫仿真程序如下所示：% 信源編碼clc; clear;m = 8; % GF(2m) = GF(28)伽羅瓦域n = 2m-1; k = 223; %定義編碼長度RS(n, k) = RS(2m - 1, k) = RS(255, 223)data = ceil(255*rand(1, 223); % 構(gòu)建1個(gè)隨機(jī)生成的數(shù)據(jù)包數(shù)據(jù)圍0255，共223個(gè)數(shù)據(jù)msg = gf(data,m); % 生成伽羅華域，限定msg信息的運(yùn)算圍，所有關(guān)于msg的運(yùn)算都將進(jìn)行mod(2m)運(yùn)算、Code = rsenc(msg,n,k); % 在伽羅瓦域?qū)sg進(jìn)行編碼。使用

43、RS(255, 223)編碼 %code = GF(28) array. 特征多項(xiàng)式Primitive polynomial = D8+D4+D3+D2+1 % 構(gòu)建018個(gè)隨機(jī)生成的隨機(jī)信道誤碼，RS(255,223)可以糾正(n-k)/2=16個(gè)隨機(jī)位置錯(cuò)誤Err_cut_t = round(18 * rand(1);%隨機(jī)構(gòu)建018個(gè)隨機(jī)生成的錯(cuò)誤，RS(255,223)可以糾正(n-k)/2=16個(gè)隨機(jī)位置錯(cuò)誤Err_pos = randperm(223,Err_cut_t); %隨機(jī)生成Err_cut_t個(gè)不重復(fù)位置錯(cuò)誤Errs = ceil(255*rand(1, Err_cut_

44、t);%隨機(jī)構(gòu)建Err_cut_t個(gè)數(shù)據(jù)突發(fā)錯(cuò)誤，Error = zeros(1,255);%全零信道誤碼，即無信道誤碼。for j = 1 : Err_cut_t Error(Err_pos(j) = Errs(j);%給出現(xiàn)突發(fā)數(shù)據(jù)錯(cuò)誤的位置賦予突發(fā)數(shù)據(jù)錯(cuò)誤endErrors = gf(Error,m);%信道噪聲加入完畢，下面進(jìn)行解碼% Recv為接收到的信號。rsdec函數(shù)進(jìn)行解碼Recv = Code + Errors; % 二進(jìn)制模2m加，在伽羅華域中運(yùn)算，所有大于255的數(shù)都將進(jìn)行模運(yùn)算 R = E + Cdec,cnumerr = rsdec(Recv,n,k); % 解碼us

45、e RS decoder umerr是一個(gè)列向量，記載了每一行糾正的錯(cuò)誤數(shù)，-1表示糾錯(cuò)失敗 % 驗(yàn)證正確性。%畫信源圖程序代碼運(yùn)行結(jié)果如下：由MATLAB仿真結(jié)果可以看到，只要信道噪聲小于16個(gè)隨機(jī)突發(fā)錯(cuò)誤，利用RS（255，223）編碼后的信號通過隨機(jī)信道噪聲加成后再利用解碼算法可以完美的還原信源。7 總結(jié)我國的航天事業(yè)正處于蓬勃發(fā)展的階段，月球探測等今后的重大項(xiàng)目都對數(shù)據(jù)的傳輸提出了越來越高的要求，高速的數(shù)據(jù)傳輸系統(tǒng)必將得到更多的推廣。本課題中 RS(255,223)譯碼器仿真對以后的航天項(xiàng)目中的地面高速接收系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和星上數(shù)據(jù)接收系統(tǒng)的設(shè)計(jì)均有著很大的意義。本文詳細(xì)介紹了糾錯(cuò)碼的相關(guān)理

46、論，包括編碼定理、有限域運(yùn)算法則、BCH 碼、RS 碼的基礎(chǔ)知識，還介紹了RS碼的譯碼，為后續(xù)MATLAB仿真奠定了本論文的理論基礎(chǔ)。RS碼一直是國際通信領(lǐng)域研究的熱點(diǎn),由于其良好的對隨機(jī)錯(cuò)誤和突發(fā)錯(cuò)誤的糾錯(cuò)能力,尤其是對突發(fā)錯(cuò)誤的糾錯(cuò),已經(jīng)廣泛被應(yīng)用于各種數(shù)字通信系統(tǒng)中，本論文采用的是時(shí)域譯碼算法，另外頻域算法也是比較常用的一種算法。隨著對 RS 碼研究的深入，新算法也層出不窮，設(shè)計(jì)高效的算法必將大幅度提升系統(tǒng)的性能、提高處理速度和減少對軟硬件資源的占用。，因此如何設(shè)計(jì)高效的算法將是以后的努力方向。還有從功能實(shí)現(xiàn)和性能的角度來看，本設(shè)計(jì)還有較大的改進(jìn)空間。通過采用高效的算法與優(yōu)秀的代碼將會大

47、幅度提高性能。可以預(yù)見，隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步和研究的深入，糾錯(cuò)碼理論將進(jìn)一步地發(fā)展，必將得到更廣泛的應(yīng)用。致 在本次課設(shè)中，自己復(fù)習(xí)了有關(guān)MATLAB程序和信息論相關(guān)理論知識，在之前信號與系統(tǒng)與數(shù)字信號處理的實(shí)驗(yàn)課程中初步學(xué)習(xí)了有關(guān)MATLAB軟件對于信號仿真與分析中的應(yīng)用，RS碼作為現(xiàn)代通信領(lǐng)域的熱點(diǎn)，首先自己有一定的興趣去學(xué)習(xí)，在所翻閱的資料中，有了關(guān)于RS碼的較為詳盡的介紹與應(yīng)用舉例，在此對這些論著與文獻(xiàn)的作者表示感，接著感在此次課設(shè)中給予我?guī)椭耐瑢W(xué)們，對于MATLAB軟件操作自己開始有一些的生疏給予了指導(dǎo)，最后感此次的指導(dǎo)老師熬珺老師在自己學(xué)習(xí)過程中所遇困惑給予的解答與幫助，作為通信專

48、業(yè)的畢業(yè)生，在大四的課設(shè)中接觸到一些應(yīng)用性較強(qiáng)的前沿知識，自己得到了鍛煉，對于以后走向工作崗位有很大的幫助，老師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)術(shù)態(tài)度與本著對學(xué)生負(fù)責(zé)的想法令人敬佩，本次課設(shè)自己以認(rèn)真的態(tài)度和花費(fèi)較多的時(shí)間與精力完成，如有不足之處，望老師給予指教與包涵，！參考文獻(xiàn)1 美 Robert J.McEliece,斗 等譯信息論與編碼理論第二版2 世鎰、魯生信息論與編碼理論3 美Ranjan Bose 武傳坤譯信息論、編碼與密碼學(xué)4 美Robert H.Morelos-Zaragoza著 立軍譯糾錯(cuò)編碼的藝術(shù)5 吳湛擊 著 王文博 審現(xiàn)代糾錯(cuò)編碼與調(diào)制理論與應(yīng)用6 宋文俊 華東師大學(xué)碩士學(xué)位論文RS碼的譯碼研

49、究7 石俊峰 中國科學(xué)院研究生院碩士學(xué)位論文RS(255,223)譯碼器的FPGA實(shí)現(xiàn)與其性能測試8 徐朝軍 電子科技大學(xué)博士學(xué)位論文RS碼譯碼算法與其實(shí)現(xiàn)的研究附 錄MATLAB仿真程序：% 信源編碼clc; clear;m = 8; % GF(2m) = GF(28)伽羅瓦域n = 2m-1; k = 223; %定義編碼長度RS(n, k) = RS(2m - 1, k) = RS(255, 223)data = ceil(255*rand(1, 223); % 構(gòu)建1個(gè)隨機(jī)生成的數(shù)據(jù)包數(shù)據(jù)圍0255，共223個(gè)數(shù)據(jù)msg = gf(data,m); % 生成伽羅華域，限定msg信息的運(yùn)

50、算圍，所有關(guān)于msg的運(yùn)算都將進(jìn)行mod(2m)運(yùn)算、Code = rsenc(msg,n,k); % 在伽羅瓦域?qū)sg進(jìn)行編碼。使用RS(255, 223)編碼 %code = GF(28) array. 特征多項(xiàng)式Primitive polynomial = D8+D4+D3+D2+1 x = input('手動輸入隨機(jī)信道誤碼則請輸入非零數(shù)，隨機(jī)輸入隨機(jī)信道誤碼則請輸入0:');if(x = 0) % 構(gòu)建018個(gè)隨機(jī)生成的隨機(jī)信道誤碼，RS(255,223)可以糾正(n-k)/2=16個(gè)隨機(jī)位置錯(cuò)誤 Err_cut_t = round(16 * rand(1);%隨機(jī)

51、構(gòu)建018個(gè)隨機(jī)生成的錯(cuò)誤，RS(255,223)可以糾正(n-k)/2=16個(gè)隨機(jī)位置錯(cuò)誤 Err_pos = randperm(223,Err_cut_t); %隨機(jī)生成Err_cut_t個(gè)不重復(fù)位置錯(cuò)誤 Errs = ceil(255*rand(1, Err_cut_t);%隨機(jī)構(gòu)建Err_cut_t個(gè)數(shù)據(jù)突發(fā)錯(cuò)誤， Error = zeros(1,255);%全零信道誤碼，即無信道誤碼。 for j = 1 : Err_cut_t Error(Err_pos(j) = Errs(j);%給出現(xiàn)突發(fā)數(shù)據(jù)錯(cuò)誤的位置賦予突發(fā)數(shù)據(jù)錯(cuò)誤 end Errors = gf(Error,m);else

52、 % 數(shù)據(jù)輸入 Err_cut_t = input('請輸入Err_cut_t個(gè)突發(fā)隨機(jī)錯(cuò)誤個(gè)數(shù)，RS(255,223)只能糾錯(cuò)16個(gè)以的編碼！:'); if(Err_cut_t > 16 | Err_cut_t < 0) display('不能正確糾錯(cuò)' num2str(Err_cut_t) '個(gè)錯(cuò)誤，請重新運(yùn)行程序'); return; else display(num2str(Err_cut_t) '個(gè)突發(fā)錯(cuò)誤') end Err_pos = input('請輸入' num2str(Err_cut

53、_t) '個(gè)不重復(fù)隨機(jī)位置錯(cuò)誤向量 Err_pos = :'); while(1) if(length(Err_pos) = Err_cut_t)%如果長度不相等 Err_pos = input('輸入數(shù)據(jù)長度不匹配，請重新輸入'); else if(sum(Err_pos > 255, 2) + sum(Err_pos < 0, 2)%如果超出圍 display('超出數(shù)據(jù)圍,請重新輸入，請重新運(yùn)行程序') return; else break; end end end Errs = input('請?jiān)趯?yīng)錯(cuò)位位置輸入錯(cuò)誤Err_cut_t個(gè)的數(shù)據(jù)Errs = :'); Error = zeros(1,255);%全零信道誤碼，即無信道誤碼。 while(1) if(length(Errs) = Err_cut_t)%如果長度不相等 Errs = input('輸入數(shù)據(jù)長度不匹配，請重新輸入'); else if(sum(Errs > 255, 2) + sum(Errs < 0, 2)%如果超出圍 display('超出