第四節(jié)_線段中點(diǎn)的應(yīng)用-學(xué)而思培優(yōu)

1、第四節(jié)線段中點(diǎn)的應(yīng)用一、課標(biāo)導(dǎo)航二、核心綱要線段的中點(diǎn)是幾何圖形中一個(gè)特殊的點(diǎn)， 他關(guān)聯(lián)著三角形中線、 直角三角形斜邊中線、 中心對(duì)稱(chēng)圖形、三角形、三角形中位線等豐富的知識(shí)，恰當(dāng)?shù)乩弥悬c(diǎn)，處理中點(diǎn)是解與中點(diǎn)有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵，由中點(diǎn)想到什么？常見(jiàn)的聯(lián)想路徑有以下幾種1 倍長(zhǎng)中線或類(lèi)中線（與中點(diǎn)有關(guān)的線段）構(gòu)造全等三角形與平行線2作直角三角形斜邊中線3構(gòu)造中位線4構(gòu)造等腰三角形三線合一5三角形的中線可以等分三角形的面積若 D是 BC邊上的中點(diǎn)，則s ABDs ACD6中點(diǎn)四邊形(1) 定義：順次連接四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形(2) 常見(jiàn)的中點(diǎn)四邊形任意四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形；

2、平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形；矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形；菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形；正方形的的中點(diǎn)四邊形是正方形；等腰梯形的中點(diǎn)四邊形是菱形本節(jié)重點(diǎn)講解：一個(gè)應(yīng)用（中點(diǎn)的應(yīng)用），一個(gè)四邊形（中點(diǎn)四邊形）三、全能突破基礎(chǔ)演練1順次連接矩形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是A正方形B矩形C菱形(D)等腰梯形2如圖 18 -4 1 所示，在 ABC 中， ABAC 5, BC 6, 點(diǎn) M為 BC中點(diǎn)， MNAC 于點(diǎn) N，則 MN的長(zhǎng)為( )69c.1216A. 5B. 55D.53如圖 18-4-2所示，在 ABC 中， D 為 AC邊的中點(diǎn)， E 為 BD中點(diǎn)， F 為 CE中點(diǎn)，若 ABD 的面積為

3、 4，則 BFC 的面積為 () A.2B.1C.1.5D.0.54如圖18-4-3所示， E、F、 G、 H 分別是BD、 BC、 AC、 AD 的中點(diǎn)，且ABCD. 下列結(jié)論：EG FH，四邊形EFGH是矩形， HF平分EHG , EG1 (BCAD ), 四邊形EFGH是菱形其中正確的2個(gè)數(shù)是()A.1B.2C.3D.45如圖 18-4-4所示，在四邊形ABCD中，DABBCD90 , M 為 BD中點(diǎn)， N 為 AC中點(diǎn)，求證：MNAC.6如圖 18-4-5所示，在等邊 ABC 中， P 為 AB 的中點(diǎn)， Q為 AC的中點(diǎn)， R 為 BC的中點(diǎn)， M為 RC上任一點(diǎn)， PMS為等邊三

4、角形，求證：RMQS.如圖18-4-6所示，在ABC中，點(diǎn)在AC上， ABCD, E、分別是、AD的中點(diǎn)，連接7AC>AB DFBCEF 并延長(zhǎng)，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，若EFC60 , 連接 GD，判斷AGD的形狀并證明能力提升8如圖 18-4-7所示，已知 ABC 周長(zhǎng)為 1，連接 ABC三邊中點(diǎn)構(gòu)成第二個(gè)三角形，再連接第二個(gè)三角形三邊中點(diǎn)構(gòu)成第三個(gè)三角形，以此類(lèi)推，第2013 個(gè)三角形的周長(zhǎng)為9如圖 18-4-8所示，在矩形ABCD中， AB=24，BC=26.先順次連接矩形各邊中點(diǎn)得菱形，又順次連接菱形各邊中點(diǎn)得矩形，再順次連接矩形各邊中點(diǎn)得菱形，以此類(lèi)推， ，第10 次連接的圖

5、形的面積是10. 如圖 18-4-9所示， ABC中，ACB90 , 點(diǎn) D 在 BC上，點(diǎn) E、F 分別是 AD、AB的中點(diǎn)， ADBD.求證： CF是 ECB的平分線，11. 如圖 18 -4 -10所示，在四邊形ABCD中， CDAB , AB 與 CD不平行， E、 F 分別是 AC、 BD的中點(diǎn)，求證： EF1 (CD AB).212. 如圖 18 -4 -11 所示，在 ABC 中， AD是三角形的高， D 為垂足，點(diǎn) E、 F、G分別是 BC、 AB、 AC的中點(diǎn)，求證：四邊形 EFGD是等腰梯形13如圖 18-4-12(a)所示，在 ACB 和 AED 中， AC BC, AE

6、 DE ,ACBAED 90 ,點(diǎn) E在AB上， F 是線段 BD的中點(diǎn)，連接 CE、 FE.(1) 請(qǐng)你探究線段CE與 FE 之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫(xiě)出結(jié)果，不需說(shuō)明理由）；(2) 將圖 18-4-12(a) 中的 AED 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使 AED 的一邊 AE恰好與 ACB 的邊 AC在同一條直線上 ( 如圖 18-4-12 (b) 所示），連接 BD，取 BD 的中點(diǎn) F，問(wèn) (1) 中的結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；(3) 將圖 18-4-12(a)中的 AED 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意的角度( 如圖 18-4-12(c)所示），連接 BD，取 BD的中點(diǎn) F，問(wèn) (1) 中的結(jié)

7、論是否仍然成立，并說(shuō)明理由14. 如圖 18-4-13(a) 所示，在矩形 ABCD中， BC=2AB， M為 AD的中點(diǎn)，連接 BM.(1) 請(qǐng)你判斷并寫(xiě)出 BMD是 ABM的幾倍；(2) 如圖 18-4-13(b) 所示，在平行四邊形 ABCD中， BC=2AB， M為 AD的中點(diǎn)， CEAB 于點(diǎn) E，連接 EM、CM，請(qǐng)問(wèn)： AEM與 DME是否也具有 (1) 中的倍數(shù)關(guān)系？若有，請(qǐng)證明；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由，15如圖 18 -4 -14所示，正方形ABCD和正方形 CGEF (CGBC ), 連接 AE，取線段 AE 的中點(diǎn) M.求證：FMMD ,且FMMD .16. 小明數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀

8、，他平時(shí)善于總結(jié)，并把總結(jié)出的結(jié)果靈活運(yùn)用到做題中是他成功的經(jīng)驗(yàn)之一，例如，總結(jié)出“依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形（即原四邊形的中點(diǎn)四邊形）一定是平行四邊形”后，他想到曾經(jīng)做過(guò)的這樣一道題：如圖18-4-15(a)所示，點(diǎn)P 是線段 AB 的中點(diǎn)，分別以AP和 BP為邊在線段AB 的同側(cè)作等邊三角形APC和等邊三角形BPD，連接 AD和 BC，他想到了四邊形ABDC的中點(diǎn)四邊形一定是菱形，于是，他又進(jìn)一步探究：如圖 18-4-15(b)所示，若P 是線段 AB上任一點(diǎn)，在AB 的同側(cè)作 APC 和 BPD，使 PCPA,PDPB ,APCBPD ,連接 CD，設(shè)點(diǎn) E、 F、 G、H

9、 分別是 AC、AB、BD、CD的中點(diǎn)，順次連接E、F、 G、H請(qǐng)你接著往下解決三個(gè)問(wèn)題：(1) 猜想四邊形ABDC的中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀，直接回答，不必說(shuō)明理由；(2) 當(dāng)點(diǎn) P 在線段 AB 的上方時(shí)，如圖18-4-15 (c) 所示，在 APB 的外部作 APC 和 BPD，其他條件不變， (1) 中結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由；(3) 如果 (2) 中，APCBPD90 , 其他條件不變， 先補(bǔ)全圖 18-4-15(d)所示，再判斷四邊形EFGH的形狀，并說(shuō)明理由17. 已知：在 ABC 中，以 AC、 BC為邊分別向形外作等邊三角形ACD和 BCE， M為 CD中點(diǎn)， N為 CE中點(diǎn)，

10、P 為 AB中點(diǎn)(1)如圖 18-4-16(a) 所示，當(dāng)ACB120時(shí)， MPN的度數(shù)為(2)如圖 18-4-16 (b) 所示，當(dāng)ACB(0180 ) 時(shí)， MPN的度數(shù)是否變化？給出你的證明18在平行四邊形ABCD中，ADBC , 過(guò)點(diǎn) D 作 DEDF , 且EDFABD , 連接 EF、EC， N、 P分別為 EC、 BC的中點(diǎn)，連接NP.(1) 如圖 18-4-17(a) 所示，若點(diǎn) E 在 DP上， EF 與 DC交于點(diǎn) M，試探究線段 NP與線段 NM的數(shù)量關(guān)系及 ABD與 MNP滿(mǎn)足的等量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論；(2) 如圖 18-4-17(b) 所示，若點(diǎn) M在線段 EF

11、 上，當(dāng)點(diǎn) M在何位置時(shí)，你在 (1) 中得到的結(jié)論仍然成立，寫(xiě)出你確定的點(diǎn) M的位置，并證明 (1) 中的結(jié)論19(1) 如圖 18-4-18(a)所示，以等腰直角 ABC 的直角邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角ABE 和 ACD，M是 BC的中點(diǎn)，則DE與 AM之間的數(shù)量關(guān)系為；(2) 如圖 18-4-18(b) 所示，以任意直角 ABC 的直角邊 AB、 AC為直角邊向外作等腰直角 ABE 和 ACD，M是 BC的中點(diǎn)，則DE與 AM之間的數(shù)量關(guān)系為；(3) 如圖 18-4-18(c) 所示，以任意非直角 ABC 的邊 AB、 AC為直角邊向外作等腰直角 ABE 和 ACD， M 是

12、BC的中點(diǎn)，試判斷 DE與 AM之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(4) 如圖 18-4-18(d) 所示，若以 ABC 的邊 AB、AC為直角邊，向內(nèi)作等腰直角 ABE 和 ACD，其他條件不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段 DE與 AM之間的數(shù)量關(guān)系中考鏈接20. （ 2012 貴州黔西南）如圖18 -4 -19所示，在ABC 中，ACB90 , D 是 BC 的中點(diǎn) ，DEBC, CF / AD 若 AC2,CE4, 則四邊形 ACEB的周長(zhǎng)為21. （ 2012畢節(jié)地區(qū)）我們把順次連接四邊形四條邊的中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形現(xiàn)有一個(gè)對(duì)角線分別為6cm和 8cm 的菱形，它的中點(diǎn)四邊形 的懟角線長(zhǎng)是cm。22（ 2012孝感）我們把依次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形，如圖18-4-20所示，在四邊形 ABCD中， E、 F、G、 H 分別是邊 AB、 BC、 CD、 DA的中點(diǎn)，依次連接各邊中點(diǎn)得到的中點(diǎn)四邊形 EFGH(1) 這個(gè)中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀是；(2) 請(qǐng)證明你的結(jié)論，巔峰突破2