2012年高考數(shù)學(xué)《直線和圓》專(zhuān)題圓的方程學(xué)案

1、-1 -第 5 課時(shí)圓的方程基礎(chǔ)過(guò)關(guān)2._圓的一般方程x1 2 3+ y2+ Dx+ Ey+ F= 0(其中 F+ E2-4F0)，圓心為_(kāi) ，半徑 r2 23._ 二元二次方程 Ax + Bxy + Cy + Dx+ Ey+ F= 0 表示圓的方程的充要條件 是5.過(guò)兩圓的公共點(diǎn)的圓系方程：設(shè)OC1： x2+ y2+ Dx+ Eiy +Fi= 0,OC2： x2+ y2+ Qx+ Ey +F2= 0,則經(jīng)過(guò)兩圓公共點(diǎn)的圓系方程為 _ .典型例題例 1.根據(jù)下列條件，求圓的方程.2經(jīng)過(guò) A(6 , 5), B(0 , 1)兩點(diǎn)，并且圓心在直線 3x + 10y + 9= 0 上.3經(jīng)過(guò) P(

2、2, 4) , Q(3, 1)兩點(diǎn)，并且在 x 軸上截得的弦長(zhǎng)為 6. 解：(1)TAB 的中垂線方程為 3x+ 2y 15= 0由jx+2y-5T解得嚴(yán)73x +10y +9 =0y =-3圓心為 C(7， 3)，半徑 r =65. .22故所求圓的方程為(x 7) + (y + 3) = 65設(shè)圓的一般方程為 x2+ y2+ Dx+ Ey+ F= 0 將 P、Q 兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得a -4E_F=203D _E +F =702令 y = 0 得 x + Dx+ F= 0由弦長(zhǎng) |x1 X2| = 6 得 D2 4F= 36 解可得 D= 2, E= 4, F= 8 或 D= 6, E=8, F

3、= 02222故所求圓的方程為 x + y 2x 4y 8= 0 或 x + y 6x 8y = 0變式訓(xùn)練 1:求過(guò)點(diǎn) A (2, 3) , B ( 2 , 5),且圓心在直線 x 2y 3=0 上的圓的方程.由 A (2, 3), B ( 2, 5),得直線 AB 的斜率為 kAB=線段 AB 的中點(diǎn)為(0 , 4),線段 AB 的中垂線方程為 y + 4= 2x,即 y + 2x + 4=0,1.圓心為 C(a、b)，半徑為 r 的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為-2 -_ .4.圓 C: (x a)2+ (y b)2= r2的參數(shù)方程為 _ .x2+ y2= r2的參數(shù)方程為5 ( 3)-3 -解方程組

4、2x y 4 =0得X1x_2y_3=0y二2圓心為(一 1,- 2),根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得半徑=寸(2+1)2+ ( - 3 + 2)2=屮02 2所求圓的方程為(X + 1) + (y + 2) =10例 2.已知圓 x2+y2+x-6y+m=0 和直線 x+2y-3=0 交于 P, Q 兩點(diǎn)，且 OPL0Q( 0 為坐標(biāo)原點(diǎn))，求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑| 解方法一將 x=3-?, 代入方程 x2+y2+x-+山二比 得 5y2-2lJy+l-iu=lJ.設(shè) P (X1,yJ ,Q(x2,y2),則屮、y2滿(mǎn)足條件：y1+y2=4,yy=12 m5TOPL OQ,.x伏2+丫“2一 0.

5、而 X1=3-2y1,x2=3-2y2Ix1X2=9-6(y1+y2)+4y yl- m=3 此時(shí)0,圓心坐標(biāo)為,3,半徑 r=5II2丿2方法二 如圖所示，設(shè)弦 PQ 中點(diǎn)為 M01MLpQ- -ko1M -21O1M 的方程為:y-3=2x1?I2丿即：y=2x+4.由方程組y=2x 4.x -+2y -3 =0解得 M 的坐標(biāo)為(-1 , 2) |則以 PQ 為直徑的圓可設(shè)為(x+1)2+ (y-2 )2=r2| OPLOQ 點(diǎn) O 在以 PQ 為直徑的圓上丨( 0+1)2+ (0-2 )2=r2，即 r2=5,MCf=r2|在 RtA01MQ 中，O&=OIVf+MQ1- (3

6、-2)2+5=1 (_6)2 _4m.24m=3.半徑為5,圓心為-1,3 I2I2丿方法三 設(shè)過(guò) P、Q 的圓系方程為xfx-6y+m+ - (x+2y-由 OPL OQ 知，點(diǎn) O( 0, 0)在圓上.書(shū)-3 .；,.=0,即m=3 |圓的方程可化為2 2X +y +x-6y+3 + x+2 . y-3 -4 -即 x2+(1+，)x+y2+2( .-3；y-ii圓心 M_1，2(3)，又圓在 PQ 上|I 2，2/I1亠-寺+2 (3- X)-3=0 ,日W圓心為_(kāi)1,3,半徑為5|I 2丿22 2 _變式訓(xùn)練 2：已知圓 C： (x-1 ) +( y-2) =25 及直線 l:(2m+

7、1)x+(m+1)y=7m+4(m R(1) 證明：不論 m 取什么實(shí)數(shù)，直線 l 與圓 C 恒相交；(2)求直線 l 被圓 C截得的弦長(zhǎng)的最短長(zhǎng)度及此時(shí)的直線方程|(1) 證明直線 l 可化為 x+y-4+m(2x+y-門(mén)-山即不論 m 取什么實(shí)數(shù)，它恒過(guò)兩直線x+y-4=0 與 2x+y-7=0 的交點(diǎn)|兩方程聯(lián)立，解得交點(diǎn)為(3, 1),2 2又有(3-1 ) + (1-2 ) =5 25,點(diǎn)(3, 1)在圓內(nèi)部，不論 m 為何實(shí)數(shù)，直線 I 與圓恒相交|(2) 解從(1)的結(jié)論和直線 I 過(guò)定點(diǎn) M( 3, 1 )且與過(guò)此點(diǎn)的圓 C 的半徑垂直時(shí)，截的弦長(zhǎng)|AB|最短，由垂徑定理得|A

8、B|=2r2-CM2=2 25一(3一1)2(1二2)2 5.此時(shí)，kt=-丄，從而 kt=-二 2.kCM1一31的方程為 y-1=2(x-3), 即 2x-y=5.例 3.知點(diǎn) P (x, y)是圓(x+2)2+y2=1 上任意一點(diǎn)丨(1) 求 P 點(diǎn)到直線 3x+4y+12=0 的距離的最大值和最小值；(2) 求 x-2y 的最大值和最小值；(3) 求y一2的最大值和最小值丨x 7解 (1)圓心 C (-2 , 0)到直線 3x+4y+12=0 的距離為d=3 () 4 0 12 =6 |J32+425P點(diǎn)到直線 3x+4y+12=0 的距離的最大值為d+r=6+1=11，最小值為 d-

9、r=6-1=1I5555l 被圓所-5 -（2）設(shè) t=x-沐則直線 x-2y-t=0 與圓（x+2）2+y2=1 有公共點(diǎn) I” Tw1. - 5-21當(dāng)且僅當(dāng) a=b 時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，5d=1,d 取得最小值.a 1a . 1由 a=b 及 2b4 5=a2+ 1 得 一或 一 ，進(jìn)而得 r2=2b=1b = 12222所求圓的方程為(x 1) + (y 1) =2 或(x + 1) + (y + 1) =24 本節(jié)主要復(fù)習(xí)了圓的軌跡方程，要明確：必須具備三個(gè)獨(dú)立條件， 才能確定一個(gè)圓的方程.5求圓的方程時(shí)一般用待定系數(shù)法：若已知條件與圓心、半徑有關(guān)，可先由已知條件求出圓的半結(jié)歸用標(biāo)準(zhǔn)方程

10、求解；解法二同解法一，得d=，所以 a 2b= 5 d-7 -a2=4b245 bd + 5d2，將 a2= 2b2 1 代入整理得 2b24. 5 bd + 5d2+ 仁 0（探）把（探）看成關(guān)于 b 的二次方程，由于方程有實(shí)數(shù)根，故40即8（5d2 1） 0, 5d21可見(jiàn) 5d2有最小值 1，從而 d 有最小值亠 f-，將其代入（探）式得 2b24b52 2 2 2+2=0, b=1, r =2b =2, a =2b仁1, a=1由Ia 2bI=1 知 a、b 同號(hào)故所求圓的方程為（x 1） + （y 1） =2 或（x + 1） + （y + 1） =2變式訓(xùn)練 4:如圖，圖 O 和圓 Q 的半徑都等于 1, OQ = 4,過(guò)動(dòng)點(diǎn) P 分別作圓 O 和圓 O2的切線 PM PN（M N 為切點(diǎn)），使得 Pg JO PN,試解：以 O、Q 的中點(diǎn)為原點(diǎn)，OQ 所在的直線為 x 軸， 建立平面直角坐標(biāo)系，貝 U0( 2, 0)、Q(2,0).如圖:由 PM=2PN 得 PM = 2PN22 PO1 1 = 2(PQ 1)，設(shè) P(x，y)2 2 2 2 (x + 2) + y 1= 2(x 2) + y 12 2即(x 6) + y = 33 為所求點(diǎn) P 的軌跡方程