3.2.2對(duì)數(shù)函數(shù)

1、對(duì)數(shù)是中學(xué)初等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，那么當(dāng)初是誰(shuí)首創(chuàng)對(duì)數(shù)”這種高級(jí)運(yùn)算的呢？在數(shù)學(xué)史上，一般認(rèn)為對(duì)數(shù)的發(fā)明者是十六世紀(jì)末到十七世紀(jì)初的蘇格蘭數(shù) 學(xué)家一納皮爾（Napier ，1550-1617 年）男爵。在納皮爾所處的年代，哥白尼的 太陽(yáng)中心說”剛剛開始流行，這導(dǎo)致天文學(xué)成 為當(dāng)時(shí)的熱門學(xué)科?？墒怯捎诋?dāng)時(shí)常量數(shù)學(xué)的局限性，天文學(xué)家們不得不花費(fèi)很 大的精力去計(jì)算那些繁雜的天文數(shù)字”，因此浪費(fèi)了若干年甚至畢生的寶貴時(shí) 間。納皮爾也是當(dāng)時(shí)的一位天文愛好者， 為了簡(jiǎn)化計(jì)算，他多年潛心研究大數(shù)字 的計(jì)算技術(shù)，終于獨(dú)立發(fā)明了對(duì)數(shù)。當(dāng)然，納皮爾所發(fā)明的對(duì)數(shù)，在形式上與現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的對(duì)數(shù)理論并不完全一樣。 在納皮爾

2、那個(gè)時(shí)代， 指數(shù)”這個(gè)概念還尚未形成，因此納皮爾并不是像現(xiàn)行代 數(shù)課本中那樣，通過指數(shù)來(lái)引出對(duì)數(shù)，而是通過研究直線運(yùn)動(dòng)得出對(duì)數(shù)概念的。那么，當(dāng)時(shí)納皮爾所發(fā)明的對(duì)數(shù)運(yùn)算，是怎么一回事呢？在那個(gè)時(shí)代，計(jì)算 多位數(shù)之間的乘積，還是十分復(fù)雜的運(yùn)算，因此納皮爾首先發(fā)明了一種計(jì)算特殊 多位數(shù)之間乘積的方法。讓我們來(lái)看看下面這個(gè)例子：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11 、12、13、14、1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、這兩行數(shù)字之間的關(guān)系是極為明確的：第一行表示 2 的指數(shù)，第二行表示 2 的對(duì)應(yīng)幕。如果我們要計(jì)

3、算第二行中兩個(gè)數(shù)的乘積， 可以通過第一行對(duì)應(yīng)數(shù)字的 加和來(lái)實(shí)現(xiàn)。比如，計(jì)算 64X256 的值，就可以先查詢第一行的對(duì)應(yīng)數(shù)字：64 對(duì)應(yīng) 6, 256對(duì)應(yīng) 8 ;然后再把第一行中的對(duì)應(yīng)數(shù)字加和起來(lái)：6 + 8 = 14 ;第一行中的 14，對(duì)應(yīng)第二行中的 16384，所以有：64X256 = 16384。納皮爾的這種計(jì)算方法，實(shí)際上已經(jīng)完全是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中對(duì)數(shù)運(yùn)算”的思想了回憶一下，我們?cè)谥袑W(xué)學(xué)習(xí) 運(yùn)用對(duì)數(shù)簡(jiǎn)化計(jì)算”的時(shí)候，采用的不正是這種思 路嗎：計(jì)算兩個(gè)復(fù)雜數(shù)的乘積，先查常用對(duì)數(shù)表，找到這兩個(gè)復(fù)雜數(shù)的常用 對(duì)數(shù)，再把這兩個(gè)常用對(duì)數(shù)值相加，再通過常用對(duì)數(shù)的反對(duì)數(shù)表查出加和值 的反對(duì)數(shù)值，就是原先

4、那兩個(gè)復(fù)雜數(shù)的乘積了。這種化乘除為加減”，從而達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的思路，不正是對(duì)數(shù)運(yùn)算的明顯特征嗎？經(jīng)過多年的探索， 納皮爾男爵于 1614 年出版了他的名著 奇妙的對(duì)數(shù)定律 說明書 ，向世人公布了他的這項(xiàng)發(fā)明，并且解釋了這項(xiàng)發(fā)明的特點(diǎn)。利用對(duì)數(shù)， 那納爾制作了0-90 度每隔 1 分的八位三角函數(shù)表。將對(duì)數(shù)將以改造使之廣泛流傳的是納皮爾的朋友布里格斯， 他通過研究奇妙的 對(duì)數(shù)定律說明書，感到其中的對(duì)數(shù)用起來(lái)很不方便，于是與納皮爾商定，使 1的對(duì)數(shù)為 0 ,10 的對(duì)數(shù)為 1，這樣就得到了現(xiàn)在意義的以 10 為底的常用對(duì)數(shù)，由于我們的數(shù)系是十進(jìn)制，因此它在數(shù)值計(jì)算上具有優(yōu)越性，1624 年，布里格斯

5、出版了對(duì)數(shù)算術(shù)，公布了 10 為底包含 1 至 20000 及 90000 至 100000的 14 位常用對(duì)數(shù)表。所以，納皮爾是當(dāng)之無(wú)愧的對(duì)數(shù)締造者”，理應(yīng)在數(shù)學(xué)史上享有這份殊榮。偉 大的導(dǎo)師恩格斯在他的著作自然辯證法中，曾經(jīng)把笛卡爾的坐標(biāo)、納皮爾的 對(duì)數(shù)、牛頓和萊布尼茲的微積分共同稱為十七世紀(jì)的三大數(shù)學(xué)發(fā)明。法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家拉普拉斯（Pierre Sim on Laplace，1749-1827 ）曾說:對(duì)數(shù)，可以縮短計(jì)算時(shí)間，在實(shí)效上等于把天文學(xué)家的壽命延長(zhǎng)了許多倍 ”。伽利略也說過： 給我空間、時(shí)間、和對(duì)數(shù)，我就可以創(chuàng)造一個(gè)宇宙?！?6 世紀(jì)末至 17 世紀(jì)初的時(shí)候，當(dāng)時(shí)在自

6、然科學(xué)領(lǐng)域（特別是天文學(xué)）的發(fā)展上 經(jīng)常遇到大量精密而又龐大的數(shù)值計(jì)算，于是數(shù)學(xué)家們?yōu)榱藢で蠡?jiǎn)的計(jì)算方法 而發(fā)明了對(duì)數(shù)。德國(guó)的史提非（1487-1567 ）在 1544 年所著的整數(shù)算術(shù)中，寫出了兩個(gè)數(shù) 列，左邊是等比數(shù)列（叫原數(shù)），右邊是一個(gè)等差數(shù)列（叫原數(shù)的代表，或稱指 數(shù)，德文是 Exponent，有代表之意）。欲求左邊任兩數(shù)的積（商），只要先求出其代表（指數(shù)）的和（差），然后再把 這個(gè)和（差）對(duì)向左邊的一個(gè)原數(shù)，則此原數(shù)即為所求之積（商），可惜史提非 并未作進(jìn)一步探索，沒有引入對(duì)數(shù)的概念。納皮爾對(duì)數(shù)值計(jì)算頗有研究。他所制造的納皮爾算籌，化簡(jiǎn)了乘除法運(yùn)算， 其原理就是用加減來(lái)代替乘除法

7、。他發(fā)明對(duì)數(shù)的動(dòng)機(jī)是為尋求球面三角計(jì)算的簡(jiǎn)便方法，他依據(jù)一種非常獨(dú)等的與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)有關(guān)的設(shè)想構(gòu)造出所謂對(duì)數(shù)方法， 其核心思想表現(xiàn)為算術(shù)數(shù)列與幾何數(shù)列之間的聯(lián)系。在他的1619 年發(fā)表奇妙的對(duì)數(shù)表的描述中闡明了對(duì)數(shù)原理，后人稱為納皮爾對(duì)數(shù)，記為 Nap 炯 x，它與自然對(duì)數(shù)的關(guān)系為Nap .log x=10 In （107/x）由此可知，納皮爾對(duì)數(shù)既不是自然對(duì)數(shù)，也不是常用對(duì)數(shù)，與現(xiàn)今的對(duì)數(shù)有一定 的距離。瑞士的彪奇（1552-1632 ）也獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了對(duì)數(shù)，可能比納皮爾較早，但發(fā)表較遲（1620 ）。英國(guó)的布里格斯在 1624 年創(chuàng)造了常用對(duì)數(shù)。1619 年，倫敦斯彼得所著的新對(duì)數(shù)使對(duì)數(shù)與自然對(duì)

8、數(shù)更接近（以 e=2.71828.為底）。對(duì)數(shù)的發(fā)明為當(dāng)時(shí)社會(huì)的發(fā)展起了重要的影響，簡(jiǎn)化了行星軌道運(yùn)算問題。正如 科學(xué)家伽利略（1564-1642 ）說：給我時(shí)間，空間和對(duì)數(shù)，我可以創(chuàng)造出一個(gè) 宇宙。又如十八世紀(jì)數(shù)學(xué)家拉普拉斯（1749-1827 ）亦提到：對(duì)數(shù)用縮短 計(jì)算的時(shí)間來(lái)使天文學(xué)家的壽命加倍。最早傳入我國(guó)的對(duì)數(shù)著作是 比例與對(duì)數(shù)，它是由波蘭的穆尼斯（1611-1656 ） 和我國(guó)的薛鳳祚在 17 世紀(jì)中葉合 編而成的。當(dāng)時(shí)在 lg2=0.3010 中，2 叫真 數(shù)，0.3010 叫做假數(shù)，真數(shù)與假數(shù)對(duì)列成表，故稱對(duì)數(shù)表。后來(lái)改用假 數(shù)為對(duì)數(shù)。我國(guó)清代的數(shù)學(xué)家戴煦（1805-1860

9、）發(fā)展了多種求對(duì)數(shù)的捷法，著有對(duì)數(shù)簡(jiǎn) 法（1845 ）、 續(xù)對(duì)數(shù)簡(jiǎn)法 （1846）等。1854 年，英國(guó)的數(shù)學(xué)家艾約瑟（1 825-1905 ）看到這些著作后，大為嘆服。當(dāng)今中學(xué)數(shù)學(xué)教科書是先講指數(shù)，后以反函數(shù)形式引出對(duì)數(shù)的概念。但 在歷史上，恰恰相反，對(duì)數(shù)概念不是來(lái)自指數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)尚無(wú)分指數(shù)及無(wú)理指數(shù) 的明確概念。 布里格斯曾向納皮爾提出用幕指數(shù)表示對(duì)數(shù)的建議。 1742 年 J 威 廉(1675-1749)在給 G .威廉的對(duì)數(shù)表所寫的前言中作出指數(shù)可定義對(duì)數(shù)。而歐拉在他的名著無(wú)窮小 分析尋論(1748 )中明確提出對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函 數(shù)的逆函數(shù)，和現(xiàn)在教科書中的提法一致。e，作為數(shù)學(xué)常數(shù)，

10、是自然對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)。有時(shí)稱它為歐拉數(shù)(Euler number)， 以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉命名；也有個(gè)較鮮見的名字納皮爾常數(shù)，以紀(jì)念蘇格蘭數(shù)學(xué)家 約翰？納皮爾引進(jìn)對(duì)數(shù)。它就像圓周率n和虛數(shù)單位 i，e 是數(shù)學(xué)中最重要的常數(shù) 之一。它的數(shù)值約是(小數(shù)點(diǎn)后 100 位):e2.71828 18284 59045 23536 02874 7135266249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 4571382178 52516 64274第一次提到常數(shù) e，是約翰？納皮爾于 1618 年出版的對(duì)數(shù)著作附錄中的一張表。但它沒有記錄這常

11、數(shù)，只有由它為底計(jì)算出的一張自然對(duì)數(shù)列表， 通常認(rèn)為是由 威廉？奧特雷德(William Oughtred)制作。 第一次把e看為常數(shù)的是雅各？伯努利 (JacobBerno ulli).已知的第一次用到常數(shù) e,是萊布尼茨于 1690 年和 1691 年給惠更斯的通信，以 b 表示。1727 年歐拉開始用 e 來(lái)表示這常數(shù)；而 e 第一次在出版物用到，是 1736 年歐拉的力學(xué)(Mechanica)。雖然以后也有研究者用字母 c 表示，但 e 較常 用，終于成為標(biāo)準(zhǔn)。用 e 表示的確實(shí)原因不明，但可能因?yàn)?e 是 指數(shù)”(exponential) 字的首字母。 另一看法則稱 a，b，c 和 d 有其他經(jīng)常用途，而 e 是第一個(gè)可用字母。不過，歐 拉選這個(gè)字母的原因，不太可能是因?yàn)檫@是他自己名字 Euler 的首字母，因?yàn)樗?是個(gè)很謙虛的人，總是