復變函數與積分變換在電路中的應用

1、 <<復變函數與積分變換>>結業(yè)論文 復變函數與積分變換 在電路中的應用 系 別： 電氣與電子工程系專 業(yè)： 自動化姓 名： 444444444學 號： 555555555555555指導教師： 秦志新 摘要：眾所周知，復變函數在眾多專業(yè)課程中都有著非常重要的作用，就如在正弦穩(wěn)態(tài)電流分析中，將復雜的三角函數方程利用歐拉公式轉化為復平面內求解相量法或利用運算法拉斯變換，從而把正弦穩(wěn)態(tài)問題歸結為以相量或象函數為變量的線性代數方程。 關鍵詞：相量法，拉斯變換，正弦穩(wěn)態(tài)，電路分析，復變函數，運算法。相量法是分析研究正線電流穩(wěn)定狀態(tài)的一種簡單易行的方法，它是在數學理論和電路理論的

2、根底上建立的一種系統(tǒng)的方法。例1 ：R=15W, L=12mH, C=5mF, ， 求電路中的電流i和各元件的電壓相量，以及電路的等效導納和并聯(lián)等效電路。畫出相量模型 解；求出相關變 正弦穩(wěn)態(tài)電路方程是一組同頻正弦函數描述的代數方程，電路根本定律所涉及的正弦電流，電壓的運算，不會改變電流電壓同頻正弦量的性質，即正弦量乘常數Ri、正弦量的微分，正弦量的微分和同頻正弦量的代數和KCL、KVL等運算，其結果仍是同頻正弦量?？梢钥闯觯魍l正弦電流電壓之間，在有效值、初相上的“差異和聯(lián)系寓于正弦函數描述電壓、電流表達式及電路方程中。無疑，求解和分析正弦函數所描述的電路方程，將能獲得正確的結果或結論，但

3、這一方法對于復雜電路將顯得非常繁瑣，使分析求解相當困難?；谶@個問題，我們可以根據歐拉公式，將正弦函數用富指數函數表示，如前所述正弦量Us和i可表示為公式2(者不知道)上述變換說明，一個正弦量可以分解為一對共軛的復指數函數。根據疊加定理和數學理論，只要對其中一個分量進行求解就能寫出全部結果，大大簡化了求解的過程。例題 圖1所示電路中，, ， 求電壓和。 解：為了幫助理解和防止錯誤，可根據原電路圖畫出對應的相量模型，它是將時域中的正弦電壓、電流用相量標記，電路中的電阻、電感和電容元件根據VCR的相量形式分別用復數形式的R, ,標記，而其他與原電路相同。根據相量形式的電路圖就可以直接寫出相量形式的

4、電路方程。圖a所示電路相對應的相量形式的電路圖如圖b所示。圖中根據元件的的相量形式有根據,有 所以上述變換只是數學形式上的變換，與式編號相比，并無實質性的區(qū)別，但在形式上實現了非常有益的轉換，它將與時間有關的同頻正弦函數的電路方程轉化為與時間無關的復代數形式的電路方程。更重要的是，它將正弦穩(wěn)態(tài)中全部同頻的正弦電壓、電流轉化為由個正弦量的有效值和初相組合成的復數表示，如:寫出以下正弦電流對應的相量解：根據國家規(guī)定標準，統(tǒng)一用表示，因此，電流的表達式可改寫為 電流相量可按定義直接寫成 使同頻的各正弦量在有效值、初相上的“差異和聯(lián)系，在電路方程中表現的更清晰、更直觀，這將大大簡化對正弦穩(wěn)態(tài)的表述和分

5、析求解的過程。拉普拉斯變換在復頻域分析中的應用對于具有多個動態(tài)元件的復雜電路，除了將時域函數轉換到復平面范圍，利用歐拉公式轉化為相量式，并用相量法求解外，我們也可以利用積分變換法求解復頻域分析中的高階微分方程。積分變換法是通過積分變換，把的時域函數變換為頻域函數，從而把時域的微分方程化為頻域的代數方程。求出頻域方程后，再做反變換，返回時域，可以求得滿足電路初始條件的原微分方程的解答，而不需要確定積分常數。拉斯變換是一種重要的積分變換，是求解高階復雜動態(tài)電路的有效而重要的方法之一。例：t = 0時翻開開關 ,求電感電流和電壓。計算初值 畫運算電路注意： ， 所以有： 所以的;一階二階電路應用在研究一階電路和二階電路中，所應用的方法是根據電路定律和元件的電壓電流關系建立描述電路的方程，由上述討論知，我們可以用相量法求解，但是對于具有多個動態(tài)元件的復雜電路，用直接求解微分方程的方法比擬困難。例如對于一個n階微分方程，直接求解時需要知道變量及其各階導數(知道n-1階導數)在t=0時刻的值,而電路中給定的初始狀態(tài)是各電感電流和電容電壓在t=0時刻的值，從這些值求得所需初始條件的工作量很大。 為簡便求解各