第三章 隨機變量及其分布

1、第一節(jié)第一節(jié) 二維隨機變量二維隨機變量第二節(jié)第二節(jié) 邊緣分布邊緣分布第三節(jié)第三節(jié) 條件分布條件分布第四節(jié)第四節(jié) 相互獨立的隨機變量相互獨立的隨機變量第五節(jié)第五節(jié) 兩個隨機變量的函數的分布兩個隨機變量的函數的分布 注注 二維隨機變量二維隨機變量(X,Y)的性質不僅與的性質不僅與X 和和Y有關有關,且且 還依賴于兩者的相互關系還依賴于兩者的相互關系. 設設E是一個隨機試驗是一個隨機試驗, 樣本空間樣本空間S=e. 設設X=X(e)和和Y=Y(e)是定義在是定義在S上的兩個隨機變量上的兩個隨機變量, 向量向量(X,Y)叫做叫做二維隨機向量二維隨機向量或或二維隨機變量二維隨機變量. 設隨機試驗設隨機試

2、驗E的樣本空間的樣本空間S=e. X1, X2, ,Xn是定是定義在義在S上的上的n個隨機變量個隨機變量, 則稱向量則稱向量 (X1, X2, ,Xn )為為n維隨機變量維隨機變量（向量）向量）. 設設(X,Y)是二維隨機變量是二維隨機變量, , 對于任意實數對于任意實數x, ,y, , 稱稱F( (x, ,y) )為二維隨機變量為二維隨機變量(X,Y)的的分布函數分布函數, ,或稱為或稱為隨機變量隨機變量X 和和Y 的的聯合分布函數聯合分布函數. .,)()(),(yYxXPyYxXPyxF xyO(x,y),(),(),(),(,211112222121yxFyxFyxFyxFyYyxXx

3、P xOx1y2x2y1y定義定義1) F(x,y)是變量是變量 x 和和 y 的不減函數的不減函數,即即 對任意固定的對任意固定的y, 當當x2 x1時時,有有F(x2, y) F(x1 ,y); 對任意固定的對任意固定的x ,當當y2 y1時時,有有F(x, y2) F(x ,y1).2) 0 F(x,y) 1,且且 F(- , y)=0, F(x, - )=0, F(- ,- )=0, F(+ ,+ )=1 .3) F(x,y)關于關于 x右連續(xù)右連續(xù), 關于關于 y右連續(xù)右連續(xù),4) 對于任意對于任意x1 x2 , y1 y, 0 y 1時，時， 1(3) xydvduvufyxF),

4、(),(當當x0 或或 y0 時時, F(x,y) = 04008yuvdudvyv 當當x y1, 0 x1 時，時，422028xyxuvdvduxyu v=u10uv),( yxF(x,y)(x,y)(x,y)(x,y),( yxF(x,y)當當y 1, 0 x y, 0 y 1時，時，(3) xydvduvufyxF),(),(0, 當當x0 或或 y0 時時, 4y當當x y1, 0 x1 時，時，4222xyx 當當y 1, 0 x 0， 若對于任意實數若對于任意實數x，極限，極限 存在，則稱此極限值為在條件存在，則稱此極限值為在條件Y=y下隨機變量下隨機變量X的的 條件分布函數條

5、件分布函數, ,記為記為Y|PXyx )|(FY|Xyx0limP|YXx yy PY0yy 或或類似可定義類似可定義 .)|(FX|YxyX|Y(|)Fx y 0limP|Yy xXx u連續(xù)型隨機變量的條件分布連續(xù)型隨機變量的條件分布定義定義2 設設(X,Y)的概率密度的概率密度f(x, y) , (X,Y)關于關于Y的邊緣的邊緣概率密度為概率密度為 fY(y). 若對固定的若對固定的y, fy(y)0, 則稱則稱)(),()|(|xfyxfxyfXXY )(),()|(|yfyxfyxfYYX 推導u連續(xù)型隨機變量的條件分布連續(xù)型隨機變量的條件分布為在為在X= x,的條件下的條件下Y的的

6、條件概率密度條件概率密度.)|(xyFY|XdvxfvxfyX )(),()|(yxFX|YduyfyufxY )(),(條件分布函數條件分布函數若對固定的若對固定的x, fX(x)0, 則稱則稱為在為在Y= y的條件下的條件下X的的條件概率密度條件概率密度；Y|X000XX0XXXF( |)lim PY|XPX,YlimPXF(, )-F( , )limF ()-F ( )F(, )-F( , )limF ()-F ( )F( , )( , )F ( )( )yXy xy xxxxyxxxyx yxxxyx yxxx yf x v dvxdxfxdx 返回 設設(X,Y)的聯合概率密度如下，

7、的聯合概率密度如下，其它其它xyxxyyxf 2, 0,24),(其它其它, 10 , 0 ,242 xdyxyxx其其它它xyxxxy 222,0,)1(2對于任意給定的值對于任意給定的值x (0 x1),在在X=x條件下條件下,有有O dyyxfxfX),()(11求條件概率密度求條件概率密度.其它其它, 10 , 0),1(1223 xxx)(),()|(|xfyxfxyfXXY xyyx其它其它, 10, 0,24 ydxxyyy其其它它yxyyyxyfyxfyxfYYX , 0,2)(),()|(2|對于對于y (0y 0 時時,1121211012()(1)() ()zzzettd

8、t 121211012(),() ()zzexzxdxxzt 令，令，A11212()()zze 亦即亦即Z=X1+X2服從參數為服從參數為 1+ 2, 的的 分布分布1( )Zfz dz 12()A 12111012(1)() ()Attdt A A的計算：的計算： 注注 函數函數: :10( ). (0)xtxte dtx 若若X1,X2,Xn相互獨立，且相互獨立，且Xi服從參數為服從參數為 i, (i=1,2,n)的的 的分布，則的分布，則X1+X2+Xn服從參服從參數為數為 1+ 2+.+ n, 的的 分布分布.1210()()zAzedz 12()A 設設X,Y是二維連續(xù)型隨機變量是

9、二維連續(xù)型隨機變量, 其概率密度為其概率密度為f(x,y),則則Z=Y/X 、Z=XY仍為連續(xù)型隨機變量，其概率密度仍為連續(xù)型隨機變量，其概率密度分別為分別為dxzxxfxzfXY),(|)(/ dxxzxfxzfXY),(|1)( H當當X,Y 相互獨立時相互獨立時, ,dxzxfxfxzfYXXY)()(|)(/ dxxzfxfxzfYXXY)()(|1)( H證證: zxyXYdxdyyxfzXYPzF/),(/)( 21),(),(GGdxdyyxfdxdyyxf 0),(dxdyyxfzxy=xzyxoG1G2y=xzyxo (z0)G1G2 0),(dxdyyxfzx (z0, 0

10、,. 試求聯接方式為：試求聯接方式為： (1) 串聯，串聯，(2) 并聯并聯,(3)備用時系統(tǒng)備用時系統(tǒng)L的壽命的壽命Z的概率密度的概率密度 . 0, 0, 0,1)(FXxxexx . 0, 0, 0,1)(FYyyeyy . 0, 0, 0,1)()( zzezFzZ . 0, 0, 0,)()()()( zzezFzfzZZ (1)串聯系統(tǒng)：此時有串聯系統(tǒng)：此時有 Z=minX,Y)(F1 )(F1 1)(FYXminzzzL2XYL1. 0, 0, 0,)(. 0, 0, 0,)( yyeyfxxexfyYxX 0(1)(1),( )( )( )00,zzZXYzeeF zF zF zz 00, 0,)()()(zzeeezfzzzZ (2)并聯系統(tǒng)：并聯系統(tǒng)：L2XYL1此時有此時有 Z=maxX, Y