概率論和數(shù)理統(tǒng)計期末考試試題及答案

1、20052006學年第一學期概率論和數(shù)理統(tǒng)計B期末試卷(A 卷)考試時間：2006.1.9 注意：答案一律要寫在答題紙上！ ！一、選擇題(本大題分5小題，每小題3分，共15分) (1)設A、B互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，則必有(A) P(B|A) 0(B)P(A B) =P(A)(C) P(A B) =0(D)P(AB) =P(A)P(B)(2)某人花錢買了 A、的，中獎的概率分別為獎券中獎此人就一定賺錢，則此人賺錢的概率約為(A) 0.05(B) 0.06(C) 0.07三種不同的獎券各一張.已知各種獎券中獎是相互獨立p(A) =0.03, P(B) =0.01, p

2、(C) =0.02 ,如果只要有一種2X N (l,4 ), Y N (l,5(A)對任意實數(shù)，卩 =p(C)只對.1的個別值，才有設隨機變量X的密度函數(shù)為則對任意實數(shù)(A) F(-a)(C) F(-a)(D)0.08a成立的是2),P1P1P2f (x)a=1 - o f(x)dx-F (a)PX 乞一4, p2二 PY * 5，則(B)對任意實數(shù)(D)對任意實數(shù)，且 f (_x)二 f (x),(B)(D)二維隨機變量(X, Y)服從二維正態(tài)分布，則(A) EX(B)(C) EX 2(D)二、填空題(本大題5小題,(1)P( A) =0.4 , P(B)-, P1 ： P2I，都有 P1

3、P2F (x)是X的分布函數(shù),ao f (x) dxF ( _a) =2F (a) -1X+Y與X- Y不相關的充要條件為2 2 2EX-EX = EY2 、 2EX EX 二 EY每小題4分，共20分)-EY22 2EY= 0.3 , P(A 一 B) = 0.4 ,貝 U P( AB )=設隨機變量X有密度f (x)=34x ,0 ： x ：: 10,則使 P(X Aa) = P(X <a) 其它的常數(shù)a =設隨機變量XN (2,二2 )，若P0 :： X:4 =0.3 ,貝U PX : 0-1設兩個相互獨立的隨機變量X和Y均服從N(1,)，如果隨機變量 X-aY+25滿足條件 D

4、(X -aY 2)=E(X -aY - 2)2,已知 X B(n, p),且 E(X ) =8, D (X ) =4.8 ,則門=三、解答題(共65分)1、(10分)某工廠由甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，每個車間的產(chǎn)量分別占全廠的25%,35%,40%,各車間產(chǎn)品的次品率分別為5%,4%,2%,求：(1)全廠產(chǎn)品的次品率(2)若任取一件產(chǎn)品發(fā)現(xiàn)是次品，此次品是甲車間生產(chǎn)的概率是多少？(10分)設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為k(6x y), 0£X£2,0<yc42八c ,其它求：(1)常數(shù)k(2) P(X 丫空 4)(10分)設X與Y兩個相互獨立的隨機變

5、量，其概率密度分別為4fX(x，0,0豈x乞1;其它.fY (y)y 0；0,y < 0.求：隨機變量Z = X Y的概率密度函數(shù).(8分)設隨機變量X具有概率密度函數(shù)f X (x)I x 8,0 :： x :： 4;0, 其他，求：隨機變量丫=eX -1的概率密度函數(shù).(8分)設隨機變量X的概率密度為：1 bif ( x) = ex ：":2求：X的分布函數(shù).6、(9分)假設一部機器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為 工作，若一周5個工作日里無故障，可獲利潤 潤5萬元；發(fā)生二次故障所獲利潤 0元；發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損 萬元，求一周內(nèi)期望利潤是多少？0.2 ,10萬元；發(fā)生一次

6、故障可獲利2機器發(fā)生故障時全天停止7、(10 分)設 X N (0,1), Y N (0,1),且相互獨立 U 二 X Y1,V 二 XY1 ,求：(1)分別求U,V的概率密度函數(shù)；(2) U,V的相關系數(shù)L ；訂，20052006學年第一學期期末考試 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 B試卷(A)標準答案和評分標準一、選擇題(5 X 3分)題號12345答案CBABB、填空題(5 X 4 分)1、 0.12、3、0.354、35、20三、計算題(65 分)1、解：A為事件“生產(chǎn)的產(chǎn)品是次品”,B1為事件“產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的”,B2為事件“產(chǎn)品是乙廠生產(chǎn)的”,B3為事件“產(chǎn)品是丙廠生產(chǎn)的”(1)解:解:易見B1

7、 , B2, B3是的一個劃分由全概率公式，得由Bayes公式有:233P(A)=» P(ABi)=» P(BjP(A Bj =25%5% 35%4% 40 %2% =0.0345i _1i _LP(ABJP(B1)25%X5% 25P(B1 A)= =0.034569送 P(AB)P(Bi)i A(1)由于 f(x,y)dxdy =1，' Y -HD所以24dx k( y)dy =1，0 '-0可得k =丄2417dxrLU由卷積公式得510x 1(6 x y)dy2421 1 2 8(x 6x -.-16 ) dx =24 o 29510fz= .(x&

8、#39;zx) dx又因為X與Y相互獨立，所以fz (z)-to_-：fX(X)fY(z-X)dX當Z込0時，fz (z)=fx (x)fY(z -x)dx = 0;當 0 : z ：:1 時，fz(z)=fx(x)fY(z-x)dx 二J fVjze'dx =1 -e;當z _1時，fz (z)二-toJx(X)fY(z-X)dX 二1.(z _x)edx 二 e He1);所以fz(z)二-be二 fX(x)fY(zX)dX 二:z : 1;10分分分分分分分分e "(e -1)z _14、解：Y =e -1的分布函數(shù)FY (y).xln( y 十)Fy(y)二 P(Y

9、_y)二P(e 1 _y)二P(X - ln( y T)二f x (x)dx0,-1 2；|n (y 1),16y : 0;0 _ y ：: e4 -1;e4 1 _ y.于是Y的概率密度函數(shù)dfY ( y) Fy ( y) dy壬ln( y T)二 8(y1)0,0 ：. y ：: e 4 -1其他.x5、解： F (x)二(t)dt當 x ：:0,F(x)二匕 tdt =1et2 a 23當 x _0,1 0 tF (x) e dt2 &十 f e't =1 _；e 丄86、解由條件知 X B(5,0.2),即 PX 二k二 5 0.2 k0.85 上，k = 0,1,，5

10、 3一飛丿一"10, X =0;5, X =1;丫 =g(X) »6'0, X =2;_2, X _35EY =Eg (X ) =、g(k)PX = kk _0=10 PX =0 5 PX =10 P X =29-2 P X =3 - P X =4 PX =5=100.328- 50.410 -20.057 =5.216(萬元)7、解：()因為 X N (0,1), YN (0,1)，且相互獨立，所以U = X Y 1,V二XY - 1都服從正態(tài)分布，EU= E(XY 1) = EXEY E1 =1DU=D (XY 1) = DXDY =2所以UN (1,2)，所以

11、2 u1 一 fu (U) ：e 4同理EV := E(X _Y - 1)=EX - EY E1 = 13DU = D (X -丫 1) = DX DY =22U1 所以 V N(1,2)，所以 fV(u)： _e 45V4兀(2) EUV =E(X Y 1)( X-Y 1) = E(X2-Y2 2X - 1)=EX2 2 2 2-EY 2EX 1 = DX (EX )- (DY (EY ) )2 EX - 1=1所以:-UVEUV - EUEV.0. DU . DV10訂，20052006學年第一學期期末考試 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 B試卷（B）標準答案和評分標準、選擇題（5 X 3 分）題號12

12、345答案DBBAD二、填空題（5 X 4 分）1、0.12、1；23、0.35201、解:計算題（65分）A為事件“生產(chǎn)的產(chǎn)品是次品”B1為事件“產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的”,B2為事件“產(chǎn)品是乙廠生產(chǎn)的”,B3為事件“產(chǎn)品是丙廠生產(chǎn)的”8080易見B1 , B2, B3是門的一個劃分8080解:解:由全概率公式，得由Bayes公式有:P(A)P(ABJP(BjP(A Bj =25%5% 35%4% 40 %2%P(B2 A)(1)由于 | jf(x,y)dxdy =1 ,-=O -HD2dX0_ 1(6 - x - y)dy 024P( A B2) P( B2)35 % X 4%8所以= 0.034

13、5 .10F(x)二f (t)dtP(A Bi)P(Bi )0 .0345232dx0 -21一(cXk(6 x y)dy =1 , 02 8 _6x +16)dx =- 24029可得k241080當 X <0,80當 x _0,1F (x)20etdtx亠I e丄dt 亠1 2 e丄24. 解:=eX -1的分布函數(shù)Fy (y).Fy(y)二P(丫 乞 y)二P(e-1乞 y) =P(X<ln( y T)二ln( y 山)f X (X)dx0,y : 0;116 ln2(y1),4 -1801,_1 遼 y.8080于是Y的概率密度函數(shù)fY (y)d:FY(y)ln( y -

14、1)dy4/0 :： y : e 1;0,其他.5 解:由卷積公式得fz（Z）二ibOf (x, - x)dx又因為X與丫相互獨立，所以fz（Z）-to_-：fX(X)fY(z-X)dX8080fz(z) =_fx (x) fY(z x)dx = 0;8080當 0 : z : 1 時,fz(z)二 x (X) fY(z x)dx =ze""dx 二 1e j當z _1時,fZ(zPfX(x) fY(Z-X)dX 二1 )e z _ dx 二 ee1);8010z乞。 所以 fZ (z)二 f x (x) fY (zx)dx 二 1 -.e -0 , z : 1;e 上(e

15、 _1)z 工16、解：(1)因為XN (0,1), YN (0,1)，且相互獨立，所以 U =X_Y 1,V=X - Y - 1都服從正態(tài)分布，EU =E(X _Y 1) =EX _EY E1 =1DU =D(X _Y 1) =DX DY =23uJ-=o所以 U N (1,2)，所以 fU (u) J e_4同理 EV =E(X Y 1)=EX EY E1 =1DU =D(X Y 1) =DX DY =.2u2所以 V N(1,2),所以 fV(u) =15(4兀(2) EUV =E(X _Y - 1)( X Y E (X 2 _Y 22X - 1)2 2 2 2=EX - EY 2 EX 1 = DX (EX )_ (DY (EY ) )2 EX - 1=1 所以:-UVEUV - EUEV0DU DV107、解由條件知XB(5,0.