電路分析課件：第05章.動(dòng)態(tài)元件與動(dòng)態(tài)電路導(dǎo)論

1、第五章第五章 動(dòng)態(tài)元件與動(dòng)態(tài)電路導(dǎo)論動(dòng)態(tài)元件與動(dòng)態(tài)電路導(dǎo)論包含動(dòng)態(tài)元件的電路稱為動(dòng)態(tài)電路。包含動(dòng)態(tài)元件的電路稱為動(dòng)態(tài)電路。元件的伏安關(guān)系涉及對(duì)電流、電壓的微分元件的伏安關(guān)系涉及對(duì)電流、電壓的微分或積分，則稱這種元件為動(dòng)態(tài)元件（或積分，則稱這種元件為動(dòng)態(tài)元件（dynamicdynamicelementelement）如電容、電感。）如電容、電感。5.1 5.1 電容元件電容元件5.2 5.2 電感元件電感元件5.3 5.3 動(dòng)態(tài)電路導(dǎo)論動(dòng)態(tài)電路導(dǎo)論5.4 5.4 動(dòng)態(tài)電路的初始狀態(tài)與初始條件動(dòng)態(tài)電路的初始狀態(tài)與初始條件5.5 5.5 一階線性常系數(shù)微分方程的求解一階線性常系數(shù)微分方程的求解1.

2、1. 電容元件的特性電容元件的特性l 重點(diǎn)：重點(diǎn)：2. 2. 電感元件的特性電感元件的特性返 回3. 動(dòng)態(tài)電路方程的初始條件的確定動(dòng)態(tài)電路方程的初始條件的確定下 頁上 頁返 回5.1 5.1 電容元件電容元件電容器電容器 在外電源作用下，正負(fù)電極上分別在外電源作用下，正負(fù)電極上分別帶上等量異號(hào)電荷，撤去電源，電極上的電帶上等量異號(hào)電荷，撤去電源，電極上的電荷仍可長(zhǎng)久地聚集下去，是一種儲(chǔ)存電能的荷仍可長(zhǎng)久地聚集下去，是一種儲(chǔ)存電能的部件。部件。_+ qqU電導(dǎo)體由絕緣材料分開就可以產(chǎn)生電容。電導(dǎo)體由絕緣材料分開就可以產(chǎn)生電容。注意返 回下 頁上 頁返 回1. 1. 定義定義電容元件電容元件儲(chǔ)存電

3、能的兩端元件。任何時(shí)儲(chǔ)存電能的兩端元件。任何時(shí)刻其儲(chǔ)存的電荷刻其儲(chǔ)存的電荷 q(t) 與其兩與其兩端的電壓端的電壓 u(t)能用能用qu 平面上平面上的一條曲線來描述。的一條曲線來描述。0)(),(tqtufuq庫伏庫伏特性特性o返 回下 頁上 頁返 回 任何時(shí)刻，電容元件極板上的電荷任何時(shí)刻，電容元件極板上的電荷q與電壓與電壓 u 成正比。成正比。qu 特性曲線是過原點(diǎn)的直線。特性曲線是過原點(diǎn)的直線。 Cuq quo2.2.線性非時(shí)變電容元件線性非時(shí)變電容元件tanuqC 電容電容器的器的電容電容如不加聲明，電容都是指線性非時(shí)變電容如不加聲明，電容都是指線性非時(shí)變電容返 回下 頁上 頁返 回

4、l 電路符號(hào)電路符號(hào)F (法拉法拉), 常用常用F，pF等表示等表示。l 單位單位1F=106 F1 F =106pFCui返 回下 頁上 頁返 回tuCtCutqidddddd3. 3. 電容的電壓電容的電壓電流關(guān)系電流關(guān)系電容元件電容元件VCR的微分形式的微分形式u、i 取關(guān)聯(lián)取關(guān)聯(lián)參考方向參考方向Cui Cuq 如不加聲明，電容都是指線性非時(shí)變電容如不加聲明，電容都是指線性非時(shí)變電容返 回下 頁上 頁返 回tuCidd當(dāng)當(dāng) u 為常數(shù)為常數(shù)( (直流直流) )時(shí)，時(shí)，i =0。電容相當(dāng)于開路，。電容相當(dāng)于開路，電容有電容有隔斷直流隔斷直流作用；作用；表明Cu+q-q某一時(shí)刻電容電流某一時(shí)

5、刻電容電流 i 的大小取決于電容電壓的大小取決于電容電壓 u 的的變化率變化率,而與該時(shí)刻電壓而與該時(shí)刻電壓 u 的大小無關(guān)。電容是的大小無關(guān)。電容是動(dòng)態(tài)元件；動(dòng)態(tài)元件；返 回下 頁上 頁返 回實(shí)際電路中通過電容的電流實(shí)際電路中通過電容的電流 i 為有限值，為有限值，則電容電壓則電容電壓 u 必定是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)。必定是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)。i dtdu tiCt ud)(1)( 00d)(1d)(1 tttiCiC )(00d1 ttiCuttu0返 回下 頁上 頁返 回 )()(00d1 ttiCuutt某一時(shí)刻的電容電壓值與某一時(shí)刻的電容電壓值與-到該時(shí)刻的所到該時(shí)刻的所有電流值有關(guān)，即電容元

6、件有記憶電流的有電流值有關(guān)，即電容元件有記憶電流的作用，故稱電容元件為記憶元件。作用，故稱電容元件為記憶元件。表明研究某一初始時(shí)刻研究某一初始時(shí)刻t0 以后的電容電壓，需以后的電容電壓，需要知道要知道t0時(shí)刻開始作用的電流時(shí)刻開始作用的電流 i 和和t0時(shí)刻的時(shí)刻的電壓電壓 u（t0）。）。電容元件電容元件VCR的積的積分形式分形式返 回下 頁上 頁返 回當(dāng)電容的當(dāng)電容的 u，i 為非關(guān)聯(lián)方向時(shí)，上述微為非關(guān)聯(lián)方向時(shí)，上述微分和積分表達(dá)式前要冠以負(fù)號(hào)分和積分表達(dá)式前要冠以負(fù)號(hào) ; ;注意上式中上式中u(t0)稱為電容電壓的初始值，它反稱為電容電壓的初始值，它反映電容初始時(shí)刻的儲(chǔ)能狀況，也稱為初

7、始映電容初始時(shí)刻的儲(chǔ)能狀況，也稱為初始狀態(tài)。狀態(tài)。 tuCidd )()(00)d1( ttiCuutt返 回下 頁上 頁返 回4.4.電容的功率和儲(chǔ)能電容的功率和儲(chǔ)能tuCuuipdd當(dāng)電容充電，當(dāng)電容充電， p 0, 電容吸收功率。電容吸收功率。當(dāng)電容放電，當(dāng)電容放電，p 0, 電感吸收功率。電感吸收功率。當(dāng)電流減小，當(dāng)電流減小，p0)+uCUsRCi+- -)(SCtuuRituCiddC例例RC電路電路返 回下 頁上 頁返 回)(SLtuuRi)(ddStutiLRi應(yīng)用應(yīng)用KVL和電感的和電感的VCR得得：tiLuddL若以電感電壓為變量：若以電感電壓為變量：)(dSLLtuutuL

8、RttutuuLRd)(dddSLL (t 0)+uLUsRi+- -RL電路電路返 回下 頁上 頁返 回有源有源 電阻電阻 電路電路 一個(gè)動(dòng)一個(gè)動(dòng)態(tài)元件態(tài)元件一階一階電路電路結(jié)論 含有一個(gè)動(dòng)態(tài)元件電容或電感的線性電含有一個(gè)動(dòng)態(tài)元件電容或電感的線性電路，其電路方程為一階線性常微分方程，稱路，其電路方程為一階線性常微分方程，稱一階電路。一階電路。返 回下 頁上 頁返 回)(ddddSCC2C2tuutuRCtuLC)(SCtuuuRiL二階電路二階電路tuCiddC2C2ddddtuLCtiLuL (t 0)+uLUsRi+- -CuCRLC電路電路應(yīng)用應(yīng)用KVL和元件的和元件的VCR得得： 含

9、有二個(gè)動(dòng)態(tài)元件的線性電路，其電路方程含有二個(gè)動(dòng)態(tài)元件的線性電路，其電路方程為二階線性常微分方程，稱二階電路。為二階線性常微分方程，稱二階電路。返 回下 頁上 頁返 回一階電路一階電路一階電路中只有一個(gè)動(dòng)態(tài)元件一階電路中只有一個(gè)動(dòng)態(tài)元件, ,描述描述電路的方程是一階線性微分方程。電路的方程是一階線性微分方程。描述動(dòng)態(tài)電路的電路方程為微分方程；描述動(dòng)態(tài)電路的電路方程為微分方程；動(dòng)態(tài)電路方程的階數(shù)通常等于動(dòng)態(tài)電路方程的階數(shù)通常等于（化簡(jiǎn)后）（化簡(jiǎn)后）電路中動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù)。電路中動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù)。0)(dd01ttexatxa0)(dddd01222ttexatxatxa二階電路二階電路二階電路中有二個(gè)

10、動(dòng)態(tài)元件二階電路中有二個(gè)動(dòng)態(tài)元件, ,描述描述電路的方程是二階線性微分方程。電路的方程是二階線性微分方程。結(jié)論返 回下 頁上 頁返 回高階電路高階電路電路中有多個(gè)動(dòng)態(tài)元件，描述電路中有多個(gè)動(dòng)態(tài)元件，描述電路的方程是高階微分方程。電路的方程是高階微分方程。0)(dddddd01111ttexatxatxatxannnnnn動(dòng)態(tài)電路的分析方法動(dòng)態(tài)電路的分析方法根據(jù)根據(jù)KVL、KCL和和VCR建立微分方程；建立微分方程；返 回下 頁上 頁返 回復(fù)頻域分析法復(fù)頻域分析法時(shí)域分析法時(shí)域分析法求解微分方程求解微分方程經(jīng)典法經(jīng)典法狀態(tài)變量法狀態(tài)變量法數(shù)值法數(shù)值法卷積積分卷積積分拉普拉斯變換法拉普拉斯變換法狀

11、態(tài)變量法狀態(tài)變量法付氏變換付氏變換本章本章采用采用 工程中高階微分方程應(yīng)用計(jì)算機(jī)輔助分析求解。工程中高階微分方程應(yīng)用計(jì)算機(jī)輔助分析求解。返 回下 頁上 頁返 回穩(wěn)態(tài)分析和動(dòng)態(tài)分析的區(qū)別穩(wěn)態(tài)分析和動(dòng)態(tài)分析的區(qū)別穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài)動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)換路發(fā)生很長(zhǎng)時(shí)間后狀態(tài)換路發(fā)生很長(zhǎng)時(shí)間后狀態(tài)微分方程的特解微分方程的特解恒定或周期性激勵(lì)恒定或周期性激勵(lì)換路發(fā)生后的整個(gè)過程換路發(fā)生后的整個(gè)過程微分方程的通解微分方程的通解任意激勵(lì)任意激勵(lì)SUxatxa01dd0 dtdx tSUxa 0直流時(shí)直流時(shí)返 回下 頁上 頁返 回 t = 0與與t = 0的概念的概念認(rèn)為換路在認(rèn)為換路在t=0時(shí)刻進(jìn)行時(shí)刻進(jìn)行0 換路前一瞬間換路前

12、一瞬間 0 換路后一瞬間換路后一瞬間5.4 5.4 動(dòng)態(tài)電路的初始狀態(tài)與初始條件動(dòng)態(tài)電路的初始狀態(tài)與初始條件)(lim)0(00tfftt)(lim)0(00tfftt初始條件為初始條件為 t = 0時(shí)時(shí)u ，i 及其各階導(dǎo)數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的值。的值。注意0f(t)0()0( ff00)0()0( fft返 回下 頁上 頁返 回圖示為電容放電電路，電容原先帶有電壓圖示為電容放電電路，電容原先帶有電壓Uo,求求開關(guān)閉合后電容電壓隨時(shí)間的變化。開關(guān)閉合后電容電壓隨時(shí)間的變化。例例解解0ddccutuRC)0( 0tuRic特征根方程：特征根方程：01RCpRCp1通解：通解：oUk RCtptcke

13、ketu)(代入初始條件得：代入初始條件得：RCtoceUtu )( 在動(dòng)態(tài)電路分析中，初始條件是得在動(dòng)態(tài)電路分析中，初始條件是得到確定解答的必需條件。到確定解答的必需條件。明確R+CiuC(t=0)返 回下 頁上 頁返 回d)(1)(tCiCtud)(1d)(100tiCiCd)(1)0(0tCiCut = 0+ 時(shí)刻時(shí)刻d)(1)0()0(00iCuuCCiucC+-電容的初始條件電容的初始條件0當(dāng)當(dāng)i()為有限值時(shí)為有限值時(shí)證：由于有限電流證：由于有限電流 i ic c 在無窮小區(qū)間內(nèi)的積零，在無窮小區(qū)間內(nèi)的積零，因此因此返 回下 頁上 頁返 回q (0+) = q (0)uC (0+)

14、 = uC (0) 換路瞬間，若電容電流保持為有限值，換路瞬間，若電容電流保持為有限值， 則電容電壓（電荷）換路前后保持不變。則電容電壓（電荷）換路前后保持不變。q =C uC電荷電荷守恒守恒結(jié)論返 回下 頁上 頁返 回d)(1)(tLuLtid) )(1d)(100tuLuLd)(1)0()0(00uLiiLL電感的初始條件電感的初始條件t = 0+時(shí)刻時(shí)刻0d)(1)0(0tLuLi當(dāng)當(dāng)u為有限值時(shí)為有限值時(shí)iLuL+-返 回下 頁上 頁返 回L (0)= L (0)iL(0)= iL(0)LLi 磁鏈磁鏈?zhǔn)睾闶睾?換路瞬間，若電感電壓保持為有限值，換路瞬間，若電感電壓保持為有限值， 則電

15、感電流（磁鏈）換路前后保持不變。則電感電流（磁鏈）換路前后保持不變。結(jié)論返 回下 頁上 頁返 回L (0+)= L (0)iL(0+)= iL(0)qc (0+) = qc (0)uC (0+) = uC (0)換路定律換路定律電容電流和電感電壓為有限值是換路定電容電流和電感電壓為有限值是換路定律成立的條件。律成立的條件。 換路瞬間，若電感電壓保持換路瞬間，若電感電壓保持為有限值，則電感電流（磁鏈）為有限值，則電感電流（磁鏈）換路前后保持不變。換路前后保持不變。 換路瞬間，若電容電流保持換路瞬間，若電容電流保持為有限值，則電容電壓（電荷）為有限值，則電容電壓（電荷）換路前后保持不變。換路前后保

16、持不變。換路定律反映了能量不能躍變。換路定律反映了能量不能躍變。注意返 回下 頁上 頁返 回電路初始值的確定電路初始值的確定(2)由換路定律由換路定律 uC (0+) = uC (0)=8VmA2 . 010810)0(Ci(1) 由由0電路求電路求 uC(0)uC(0)=8V(3) 由由0+等效電路求等效電路求 iC(0+)iC(0)=0 iC(0+)例例1求求 iC(0+)電電容容開開路路+-10ViiC+uC-S10k40k+-10V+uC-10k40k+8V-0+等效電路等效電路+-10ViiC10k電容電容用用電電壓源壓源替代替代注意返 回下 頁上 頁返 回)0()0(LLuuiL(

17、0+)= iL(0) =2AV842)0(Lu例例 2t = 0時(shí)閉合開關(guān)時(shí)閉合開關(guān)k , ,求求 uL(0+)先求先求A24110)0(Li應(yīng)用換路定律應(yīng)用換路定律: :電電感感用用電電流流源源替替代代)0( Li解解電感電感短路短路iL+uL-L10VS14+-iL10V14+-由由0+等效電路求等效電路求 uL(0+)2A+uL-10V14+-注意返 回下 頁上 頁返 回求初始值的步驟求初始值的步驟: :1.1.由換路前電路（穩(wěn)定狀態(tài)）求由換路前電路（穩(wěn)定狀態(tài)）求uC(0)和和iL(0)；2.2.由換路定律得由換路定律得 uC(0+) 和和 iL(0+)。3.3.畫畫0+等效電路。等效電

18、路。4.4.由由0+電路求所需各變量的電路求所需各變量的0+值。值。b. b. 電容（電感）用電壓源（電流源）替代。電容（電感）用電壓源（電流源）替代。a. a. 換路后的電路換路后的電路（?。ㄈ?+時(shí)刻值，方向與原假定的電容電壓、電時(shí)刻值，方向與原假定的電容電壓、電感電流方向相同）。感電流方向相同）。小結(jié)返 回下 頁上 頁返 回iL(0+) = iL(0) = iSuC(0+) = uC(0) = RiSuL(0+)= - RiS求求 iC(0+) , uL(0+)0)0(RRiiiSsC例例3解解由由0電路得電路得：由由0+電路得電路得：S(t=0)+uLiLC+uCLRiSiCRiS0電

19、路電路uL+iCRiSRiS+返 回下 頁上 頁返 回V24122)0()0(CCuuA124/48)0()0(LLii例例4求求k k閉合瞬間各支路電流和電感電壓閉合瞬間各支路電流和電感電壓解解A83/ )2448()0(CiA20812)0(iV2412248)0(Lu由由0 0電路得電路得：由由0 0+ +電路得電路得：iL+uL-LS2+-48V32CiL2+-48V32+uC12A24V+-48V32+-iiC+-uL返 回下 頁上 頁返 回求求k閉合瞬間流過它的電流值閉合瞬間流過它的電流值解解 確定確定0值值A(chǔ)12020)0()0(LLiiV10)0()0(CCuu給出給出0等效電

20、路等效電路A2110101020)0(kiV1010)0()0(LLiuA110/ )0()0(CCui例例5iL+20V-10+uC1010iL+20V-LS10+uC1010C1A10Vki+uLiC+20V-10+1010返 回下 頁上 頁返 回t t0+ 0+ 時(shí)刻的電容電壓和電感電流值為電路的初始狀態(tài)。時(shí)刻的電容電壓和電感電流值為電路的初始狀態(tài)。初始狀態(tài)初始狀態(tài)求解電路微分方程所需求解電路微分方程所需t t0+ 0+ 時(shí)刻各電流電壓值。時(shí)刻各電流電壓值。初始條件初始條件返 回下 頁上 頁返 回電路的換路定則電路的換路定則證：由于有限電流證：由于有限電流 i ic c 在無窮小區(qū)間內(nèi)的

21、積零，在無窮小區(qū)間內(nèi)的積零，因此因此)()(1)()(00000tudiCtutuCttCC)()(,)()(0000tqtqtutuCCCC電容的換路定則電容的換路定則若換路瞬間電容電流若換路瞬間電容電流 i ic c 為有限值，則為有限值，則返 回下 頁上 頁返 回電感的換路定則電感的換路定則若換路瞬間電感電壓若換路瞬間電感電壓 u uL L 為有限值，則為有限值，則)()(,)()(0000tttitiLLLL返 回下 頁上 頁返 回根據(jù)換路前的電路求出根據(jù)換路前的電路求出 u uc c( (t t0 0- -) ) 和和 i iL L( (t t0 0- -) )。 初始狀態(tài)與初始條件

22、的確定初始狀態(tài)與初始條件的確定對(duì)對(duì) t t0 0 等效電路求解，求出所需初始電流和電壓。等效電路求解，求出所需初始電流和電壓。根據(jù)下述方法畫出根據(jù)下述方法畫出 t t0 0 時(shí)刻的等效電路：時(shí)刻的等效電路：換路后的電路；換路后的電路；每一電感用一電流源替換，其值為每一電感用一電流源替換，其值為 i iL L( (t t0 0) )；每一電容用一電壓源替換，其值為每一電容用一電壓源替換，其值為 u uc c( (t t0 0) )；若獨(dú)立源為時(shí)間函數(shù)，則取若獨(dú)立源為時(shí)間函數(shù)，則取 t t0 0 時(shí)刻的函數(shù)值；時(shí)刻的函數(shù)值；依據(jù)換路定則確定依據(jù)換路定則確定 u uc c( (t t0 0) ) 和

23、和 i iL L( (t t0 0) )。返 回下 頁上 頁返 回例1：電路如圖，已知電路換路前已達(dá)穩(wěn)態(tài)，求 uc(0) 和 ic(0)。 uc5ViC(t=0)+-25K100K100K解：)(4510025100)0(VKKKuC由于換路瞬間 ic 不可能為無窮大（否則電阻上有無窮大電壓，KVL將不成立。），因此VuuCC4)0()0(4 V1 0 0 K 1 0 0 K iC(0+)由0等效電路可求得)(08. 0)504()0(mAKiC返 回下 頁上 頁返 回例2：電路如圖，已知電路換路前已達(dá)穩(wěn)態(tài)，求 uL(0) 、 i (0)、 i1(0) 和iL(0)。 110V4(t=0)uL

24、+-ii1iL解：)(24110)0(AiL由于換路瞬間 uL 不可能為無窮大（否則4電阻有無窮大電流，KCL將不成立。），因此AiiLL2)0()0(110V4+-i1(0+)2Ai (0+)uL(0+)由0等效電路可求得Ai10)0(Ai8)0(1VuL8)0(返 回下 頁上 頁返 回5.5 5.5 一階線性常系數(shù)微分方程的求解一階線性常系數(shù)微分方程的求解一階齊次方程的求解一階齊次方程的求解 )11(0 Axdtdx)21()(00 Xtx其中其中 x(t) 為待求變量，為待求變量，A 及及X0 均為常數(shù)。均為常數(shù)。方程和初始條件方程和初始條件返 回下 頁上 頁返 回設(shè)設(shè))31()(tse

25、Ktx則則)41()(tsesKdttxd將（將（1 13 3）、（）、（1 14 4）代入（）代入（1 11 1），得），得)51(0)( AseKts)61(0 As（1 16 6）式為微分方程的特征方程，其根稱為微）式為微分方程的特征方程，其根稱為微分方程的特征根或固有頻率。可求得分方程的特征根或固有頻率。可求得)71()(,tAeKtxAs求通解求通解（滿足（滿足（1 11 1）式且含有一個(gè)待定常數(shù)的解。）式且含有一個(gè)待定常數(shù)的解。）返 回下 頁上 頁返 回確定待定常數(shù)確定待定常數(shù)K K將初始條件（將初始條件（1 12 2）式代入通解（）式代入通解（1 13 3）式，得）式，得000)(XeKtxts即即00tseXK 于是得到原問題的解。于是得到原問題的解。例：求解方程例：求解方程,05xdtdx2)0(x解：解： 特征方程特征方程05 s特征根特征根5s通解通解teKtx5)(代入初始條件，得代入初始條件，得2K原問題的解為原問題的解為tetx52)(返 回下 頁上 頁返 回)12(w