拉格朗日方程的應(yīng)用及舉例08講

1、.拉格朗日方程的應(yīng)用及舉例拉格朗日方程有以下幾個(gè)特點(diǎn)：（1）拉格朗日方程適用于完整系統(tǒng)，可以獲得數(shù)目最少的運(yùn)動(dòng)微分方程，即可以建立與自由度數(shù)目相同的n個(gè)方程，是一個(gè)包含n個(gè)二階常微分方程組，方程組的階數(shù)為2n。求解這個(gè)方程組可得到以廣義坐標(biāo)描述的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程。（2）拉格朗日方程的形式具有不變性。對(duì)于任意坐標(biāo)具有統(tǒng)一的形式，即不隨坐標(biāo)的選取而變化。特別是解題時(shí)有徑直的程序可循，應(yīng)用方便。（3）所有的理想約束的約束反力均不出現(xiàn)在運(yùn)動(dòng)微分方程中。系統(tǒng)的約束條件愈多，這個(gè)特點(diǎn)帶來(lái)的便利越突出。（4）拉格朗日方程是以能量的觀點(diǎn)建立起來(lái)的方程，只含有表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和表征主動(dòng)力作用的廣義力，避開(kāi)了力、速

2、度、加速度等矢量的復(fù)雜運(yùn)算。（5）拉格朗日方程不但可以建立相對(duì)慣性系的運(yùn)動(dòng)，還可以直接建立相對(duì)非慣性系的動(dòng)力學(xué)方程，只要寫(xiě)出的動(dòng)能是絕對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能即可，至于方程所描述的運(yùn)動(dòng)是對(duì)什么參考系的運(yùn)動(dòng)，則取決于所選的廣義坐標(biāo)?？v觀拉格朗日方程，看出分析力學(xué)在牛頓力學(xué)的基礎(chǔ)上，提出嚴(yán)密的分析方法，從描述系統(tǒng)的位形到建立微分方程都帶有新的飛躍。我們還應(yīng)看到，雖然拉格朗日方法在理論上和應(yīng)用上都有重要的價(jià)值，但是，牛頓力學(xué)的價(jià)值并未降低，特別是它的幾何直觀性和規(guī)格化的方法使人樂(lè)于應(yīng)用，由于計(jì)算機(jī)的廣泛使用，牛頓一歐拉方法又有所發(fā)展。我們將會(huì)看到，用拉格朗日方程求解，在獲得數(shù)量最少的運(yùn)動(dòng)微分方程時(shí)，其求導(dǎo)過(guò)程有

3、時(shí)過(guò)于繁瑣，并有較多的耦合項(xiàng)。應(yīng)用拉格朗日方程建立動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，應(yīng)首先建立以廣義坐標(biāo)q和廣義速度表示的動(dòng)能函數(shù)和廣義力Q。為此，首先討論動(dòng)能的計(jì)算和廣義力的計(jì)算，在此基礎(chǔ)上，再討論拉格朗日方程的應(yīng)用。一、動(dòng)能的計(jì)算對(duì)于系統(tǒng)的動(dòng)能，可以寫(xiě)出關(guān)于廣義速度的齊次函數(shù)的表達(dá)式。在實(shí)際計(jì)算中，應(yīng)用理論力學(xué)的有關(guān)知識(shí)就可以建立以廣義坐標(biāo)和廣義速度所表達(dá)的動(dòng)能函數(shù)。例1-1 已知質(zhì)量為m，半徑為r的均質(zhì)圓盤(pán)D，沿OAB直角曲桿的AB段只滾不滑。圓盤(pán)的盤(pán)面和曲桿均放置在水平面上。已知曲桿以勻角速度w1繞通過(guò)O點(diǎn)的鉛直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，試求圓盤(pán)的動(dòng)能。解：取廣義坐標(biāo)x和j，x為圓盤(pán)與曲桿接觸點(diǎn)到曲桿A點(diǎn)的距離，j為曲桿O

4、AB的轉(zhuǎn)角，j = w1t。應(yīng)用柯尼希定理求圓盤(pán)的動(dòng)能。為此，先求圓盤(pán)質(zhì)心C的速度和相對(duì)于質(zhì)心平動(dòng)坐標(biāo)系的角速度。若以曲桿OAB為動(dòng)參考系，C為動(dòng)點(diǎn)，再應(yīng)用剛體繞二平行軸轉(zhuǎn)動(dòng)的合成方法，圓盤(pán)的角速度為于是圓盤(pán)的動(dòng)能為若將動(dòng)能表達(dá)式展開(kāi)，得到可以看出，圓盤(pán)的動(dòng)能包含廣義速度的二次項(xiàng)，廣義速度的一次項(xiàng)和它的零次項(xiàng)。二、廣義力的計(jì)算概括地說(shuō)，廣義力有三種計(jì)算方法：1）根據(jù)廣義力的定義，有我們可以按照這個(gè)公式來(lái)計(jì)算，但是，有時(shí)計(jì)算是繁冗的。2）我們知道，作用在系統(tǒng)上的諸主動(dòng)力對(duì)于任何虛位移元功之和等于諸廣義力對(duì)于相應(yīng)的廣義坐標(biāo)的虛位移元功之和，即對(duì)于完整系統(tǒng)，廣義坐標(biāo)的變分dq1，dq2，dqn是彼此

5、獨(dú)立的。若給出某一廣義坐標(biāo)的變分為dqj，而令其它坐標(biāo)變分均為零，即dqj0，dq1 = dq2 = = dqj1 = dqj1 = =dqn = 0則上式為于是由于系統(tǒng)的主動(dòng)力在給定的虛位移中元功之和的計(jì)算是我們熟悉的，則廣義力Qj可較易地計(jì)算出。依次給出不同序數(shù)的坐標(biāo)變分的同時(shí)，令其它坐標(biāo)變分為零，則可依次計(jì)算出與廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義力。這種方法是我們經(jīng)常應(yīng)用的。3）若作用于系統(tǒng)上的主動(dòng)力有勢(shì)，則通過(guò)勢(shì)能函數(shù)即可求出廣義力。設(shè)勢(shì)能函數(shù)為V，則可應(yīng)用式進(jìn)行廣義力的計(jì)算。例1-3 均質(zhì)桿OA和AB在A點(diǎn)鉸鏈連接，并在O點(diǎn)用鉸鏈支承。桿重分別為P1和P2，F(xiàn)1為作用于B點(diǎn)的水平力，試求對(duì)應(yīng)于j和y

6、的廣義力。解：系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度。依題意，取j和y為廣義坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)于j和y的廣義力以Qj和Qy表示。于是，當(dāng)j獲得變分dj，而y保持不變，即dy = 0時(shí)，當(dāng)y獲得變分dy，而dj = 0時(shí)，三、拉格朗日方程的應(yīng)用應(yīng)用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，一般采用以下步驟：1）分析系統(tǒng)的約束條件，判斷系統(tǒng)的類型是否為完整系統(tǒng)，是定常還是非定常的，是保守的還是非保守的。2）若系統(tǒng)為完整的，在確定其自由度數(shù)目后，選擇恰當(dāng)?shù)膹V義坐標(biāo)。3）計(jì)算出以廣義速度表達(dá)的動(dòng)能T(q，t)、勢(shì)能V(q，t)或廣義力Q(q，t)，若主動(dòng)力有勢(shì)，計(jì)算出拉格朗日函數(shù)L(q，t)。4）列出拉格朗日方程。例1-4 半徑為R、

7、質(zhì)量為m的圓環(huán)掛在一半徑為r的固定圓柱上。設(shè)圓環(huán)與圓柱間有足夠大的摩擦力阻止相對(duì)滑動(dòng)，試寫(xiě)出圓環(huán)的運(yùn)動(dòng)微分方程，并求微幅擺動(dòng)的周期。解：圓環(huán)具有一個(gè)自由度，是完整系統(tǒng)。取q為廣義坐標(biāo)，圓環(huán)的動(dòng)能為其中，瞬心為A，則于是主動(dòng)力有勢(shì)，系統(tǒng)的勢(shì)能為V=mg (Rr) cosq代入拉格朗日方程，得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程：即考慮到微幅，有周期為由于主動(dòng)力有勢(shì)，可以寫(xiě)出拉格朗日函數(shù)：代入式（1-25）中同樣可以得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。2. 已知擺線繞在固定圓柱上，尺寸如圖；求此擺的運(yùn)動(dòng)微分方程。解 這是單自由度保守系統(tǒng)，選q為廣義坐標(biāo)，選q= 0為系統(tǒng)的零勢(shì)能位置，則將T、V代入保守系統(tǒng)的拉格朗日方程或?qū)⒗窭?/p>

8、日函數(shù)L =T -V代入如下形式的拉格朗日方程皆可得運(yùn)動(dòng)微分方程3. 已知三均質(zhì)齒輪，半徑皆為r，質(zhì)量都是m，此機(jī)構(gòu)位于水平面內(nèi)，若無(wú)重系桿受矩為M的力偶作用；求系桿的角加速度a。解 這是單自由度非保守系統(tǒng)，選系桿的轉(zhuǎn)角j為廣義坐標(biāo)，則有關(guān)的角速度和速度為該系統(tǒng)的廣義力為Qj=M動(dòng)能為代入拉格朗日方程得例1-9試求例1-1中圓盤(pán)的運(yùn)動(dòng)微分方程。又，若t=0時(shí)，x=10cm，= 0，求當(dāng)x=20cm時(shí)，為多少.例1-1 已知質(zhì)量為m，半徑為r的均質(zhì)圓盤(pán)D，沿OAB直角曲桿的AB段只滾不滑。圓盤(pán)的盤(pán)面和曲桿均放置在水平面上。已知曲桿以勻角速度w1繞通過(guò)O點(diǎn)的鉛直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，試求圓盤(pán)的動(dòng)能。解：由例1-

9、1已求得動(dòng)能T為水平臺(tái)為零勢(shì)面，則圓盤(pán)的勢(shì)能為V = 0系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)L為代入拉格朗日方程，有由于系統(tǒng)是非定常的，雖然作用于圓盤(pán)上的主動(dòng)力有勢(shì)，但并不存在能量積分，由于拉格朗日函數(shù)L不顯含時(shí)間t，系統(tǒng)有廣義能量積分。由動(dòng)能表達(dá)式得到圓盤(pán)的廣義能量積分為T(mén)2T0 + V常數(shù).于是得到整理后，有當(dāng)t = 0時(shí)，x0 = 10cm，= 0，則于是有當(dāng)x = 20cm時(shí)，cm/s例9 質(zhì)量為m，半徑為r的圓環(huán)O豎立在一粗糙平面上。圓環(huán)的邊緣上剛連一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)A。試寫(xiě)出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：由圓環(huán)O和質(zhì)點(diǎn)A組成的系統(tǒng)只能在地面上作純滾動(dòng)，自由度為1，取OA與鉛垂線的夾角為廣義坐標(biāo)，以系統(tǒng)為研究對(duì)象，O點(diǎn)處水平面為零勢(shì)能面，則系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別為于是有代入拉格朗日方程，導(dǎo)出例1-7 三角楔塊A可沿水平光滑面作直線運(yùn)動(dòng)，楔塊A的質(zhì)量為m1，其上受有簡(jiǎn)諧力FHsinwt的作用（H和w均為常量）。楔塊斜邊BD上有一質(zhì)量為m2、半徑為r的圓柱體，沿BD滾動(dòng)而不滑動(dòng)，二彈簧的剛體系數(shù)分別為k1和k2。試建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。解