平面一般力系平衡方程的其他形式

1、第九講內(nèi)容一、平面一般力系平衡方程的其他形式前面我們通過(guò)平面一般力系的平衡條件導(dǎo)出了平面一般力系平衡方程的基本形式，除了這種形式外，還可將平衡方程表示為二力矩形式及三力矩形式。1.1.二力矩形式的平衡方程在力系作用面內(nèi)任取兩點(diǎn) A A、B B 及 X X 軸，如圖 4 41313 所示，可以證明平面一般力系的平衡方程可改寫(xiě)成兩個(gè)力矩方程和一個(gè)投影方程的形式，即X0MA0(4-6)(4-6)MB0式中 X X 軸不與 A A、B B 兩點(diǎn)的連線(xiàn)垂直。證明：首先將平面一般力系向 A A 點(diǎn)簡(jiǎn)化，一般可得到過(guò) A A 點(diǎn)的一個(gè)力和一個(gè)力偶。若MA0 成立，則力系只能簡(jiǎn)化為通過(guò) A A 點(diǎn)的合力 R

2、R 或成平衡狀態(tài)。如果MB0 又成立，說(shuō)明 R R 必通過(guò) BoBo 可見(jiàn)合力 R R 的作用線(xiàn)必為 ABAB 連線(xiàn)。又因 X0 成立，則RXX0,即合力 R R 在 X X 軸上的投影為零，因 ABAB 連線(xiàn)不垂直 X X 軸，合力 R R 亦不垂直于 X X 軸，由RX0 可推得 R0?？梢?jiàn)滿(mǎn)足方程(4 46)的平面一般力系，若將其向 A A 點(diǎn)簡(jiǎn)化，其主矩和主矢都等于零，從而力系必為平衡力系。13134-1affl4T4-1affl4T4 42.2.三力矩形式的平衡方程在力系作用面內(nèi)任意取三個(gè)不在一直線(xiàn)上的點(diǎn) A A、B B、C,C,如圖 4 41414所示，則力系的平衡方程可寫(xiě)為三個(gè)力

3、矩方程形式，即MA0MB0（47）MC0式中，A A、B B、C C 三點(diǎn)不在同一直線(xiàn)上。同上面討論一樣，若MA0 和 MB0 成立，則力系合成結(jié)果只能是通過(guò) A A、B B 兩點(diǎn)的一個(gè)力（圖 4 41414）或者平衡。如果MC0 也成立,則合力必然通過(guò) C C 點(diǎn)，而一個(gè)力不可能同時(shí)通過(guò)不在一直線(xiàn)上的三點(diǎn)，除非合力為零，MC0 才能成立。因此，力系必然是平衡力系。綜上所述，平面一般力系共有三種不同形式的平衡方程，即式（4-54-5）、式（4 46 6）、式（4 47 7）, ,在解題時(shí)可以根據(jù)具體情況選取某一種形式。無(wú)論采用哪種形式，都只能寫(xiě)出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，求解三個(gè)未知數(shù)。任何第四個(gè)方

4、程都不是獨(dú)立的，但可以利用這個(gè)方程來(lái)校核計(jì)算的結(jié)果。【例4 47 7】某屋架如圖 4-154-15（a a）所示，設(shè)左屋架及蓋瓦共重P3kN,右屋架受到風(fēng)力及荷載作用，其合力 P27kN,P2與 BCBC 夾角為 80，試求 A A、B B 支座的反力?！窘狻咳≌麄€(gè)屋架為研究對(duì)象，畫(huà)其受力圖，并選取坐標(biāo)軸 X X 軸和 Y Y軸，如圖 4-154-15（b b）所示，列出三個(gè)平衡方程X0XAP2cos700XAP2cos7070.3422.39kNMA0YB164PP2sin7012P2cos704tan304R12P2sin704耳cos70tan30B16431270.94470.3420.577165.34kNMB016YA12PP2sin704P2cos704tan3012R4P2sin704P2cos70tan30164.24kN校核YYAYBPP2sin704.245.34370.940YA說(shuō)明計(jì)算無(wú)誤?！纠? 48 8】梁 ACAC 用三根支座鏈桿連接，受一力 P50kN