實(shí)驗(yàn)一-曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

1、上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告 題目： 曲柄滑塊機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 姓名： 周 玲 院系： 理學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系 學(xué)號(hào)： 1112211115 指導(dǎo)老師： 許建強(qiáng) 2015年3月30日目錄一、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?二、 實(shí)際問(wèn)題3三、 數(shù)學(xué)模型3四、 數(shù)值積分方法2五、 實(shí)驗(yàn)任務(wù)4任務(wù)一4任務(wù)二5任務(wù)三7任務(wù)四7一、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康谋緦?shí)驗(yàn)主要涉及微積分中對(duì)函數(shù)特性的研究。通過(guò)實(shí)驗(yàn)復(fù)習(xí)函數(shù)求導(dǎo)法, Taylor公式和其他有關(guān)知識(shí)。著重介紹運(yùn)用建立近視似模型并進(jìn)行數(shù)值計(jì)算來(lái)研究討論函數(shù)的方法。二、 實(shí)際問(wèn)題3曲柄滑塊機(jī)構(gòu)是一種常用的機(jī)械結(jié)構(gòu),它將曲柄的轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為滑塊在直線上的往復(fù)運(yùn)動(dòng),是氣壓機(jī)、沖床、活塞式水泵等機(jī)械

2、的主機(jī)構(gòu)。右圖為其示意圖。記曲柄的長(zhǎng)為,連桿的長(zhǎng)為, 當(dāng)曲柄繞固定點(diǎn)以角速度旋轉(zhuǎn)時(shí), 由連桿帶動(dòng)滑塊在水平槽內(nèi)做往復(fù)直線運(yùn)動(dòng)。假設(shè)初始時(shí)刻曲柄的端點(diǎn)位于水平線段上, 曲柄從初始位置起轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為,而連桿與的銳夾角為(稱為擺角) 。在機(jī)械設(shè)計(jì)中要研究滑塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和擺角的變化規(guī)律, 確切的說(shuō),要研究滑塊的位移,速度和加速度關(guān)于的函數(shù)關(guān)系,擺角及其角速度和角加速度關(guān)于的函數(shù)關(guān)系, 進(jìn)而（1）求出滑塊的行程(即滑塊往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)左、右極限位置間的距離);（2）求出滑塊的最大和最小加速度(絕對(duì)值), 以了解滑塊在水平方向上的作用力;（3）求出的最大和最小角加速度(絕對(duì)值), 以了解連桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)滑塊的影

3、響;在求解上述問(wèn)題時(shí),我們假定:符號(hào)說(shuō)明:曲柄OQ的長(zhǎng); 連桿PQ的長(zhǎng)度; 擺角(連桿PQ與OP的銳夾角); 角速度; 滑塊; 滑塊的位移; 滑塊的加速度。三、 數(shù)學(xué)模型取O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OP方向?yàn)閤軸正方向，P在x軸上的坐標(biāo)為x，那么可用x表示滑塊的位移。利用三角關(guān)系，立即得到 （1.1）由于 ，故有 （1.2）而 （1.3）于是滑塊的速度 （1.4）進(jìn)而，可以得到滑塊的加速度為 （1.5）同樣，基于關(guān)系式 （1.6）我們有擺角的表達(dá)式 （1.7）式（1.6）對(duì)t求導(dǎo)， 可得 （1.8）由此再得 （1.9）利用（1.6），不難由上兩式導(dǎo)出 （1.10）和 （1.11）至此，我們得到了滑塊位移

4、和連桿擺角運(yùn)動(dòng)規(guī)律中有關(guān)變量依賴的表達(dá)式。四、 數(shù)值積分方法將位移的表達(dá)式（1.1）改寫為一般而言，是遠(yuǎn)比1小的數(shù)，于是利用 （1.12）得到滑塊位移的近似模型為 （1.13）從而有相應(yīng)的近似速度 （1.14）和近似加速度 （1.15）這里的速度和加速度是直接對(duì)近似位移模型求導(dǎo)得來(lái)的，而不是對(duì)和的精確表達(dá)式（1.4）和（1.5）的近似。當(dāng)然我們也可以直接從滑塊速度的解析式（1.4）進(jìn)行近似。仍利用公式（1.12）有把上式代入（1.4），就得到滑塊速度的近似模型 （1.16）從（1.16）出發(fā)，又可得近似加速度 （1.17）對(duì)擺角可以利用冪級(jí)數(shù)展開的Maclaurin公式 （1.18）得到擺角的

5、近似模型。粗略一些，可以取 （1.19）（當(dāng)較小時(shí)可用此式）。而必要時(shí)可以取 （1.20）相應(yīng)的近似角速度為 （1.21）或 （1.22）近似角加速度為 （1.23）或 （1.24）五、 實(shí)驗(yàn)任務(wù)任務(wù)一試用擺角的角加速度的三種表達(dá)式, 即式（1.11）、（1.23）和（1.24），取步長(zhǎng)為，的值如前，計(jì)算當(dāng)變化時(shí)角加速度的值,并列表加以比較。實(shí)驗(yàn)程序：function m1_2(t)r=100;l=300;w=240/60*2*pi;a0=-r*w2*sin(t)*(l2-r2)./(l2-r2*sin(t).2).(3/2)a1=-w2*r*sin(t)/la2=-w2*(r*sin(t)/

6、l+r3*(sin(t).3-sin(2*t).*cos(t)/(2*l3)>> m1_1(0:pi/12:pi)運(yùn)行結(jié)果如下：t/rada0/(rad/s2)a1/(rad/s2)a2/(rad/s2)0000pi/12-48.9857-54.4948-48.04822*pi/12-97.6175-105.2758-97.9653pi/12-144.1871-148.8824-144.74684pi/12-184.6798-182.343-184.87555pi/12-213.0328-203.3772-212.4053pi/2-223.3237-210.5516-222.248

7、97pi/12-213.0328-203.3772-212.40538pi/12-184.6798-182.343-184.87559pi/12-144.1871-148.8824-144.746810pi/12-97.6175-105.2758-97.96511pi/12-48.9857-54.4948-49.0482pi000從結(jié)果中可以看出誤差的大小,取決于近似表達(dá)式的精度,在利用泰勒公式求近似模型時(shí),如果展開的精度越高,則誤差就越小,在數(shù)據(jù)表中也可以看出, 取得精度比高,所以結(jié)果與真實(shí)值相差的更小。任務(wù)二利用（1.12）式，對(duì)角擺角的角速度（1.10）式和角速度（1.11）式進(jìn)行簡(jiǎn)化，

8、將結(jié)果與（1.21）(1.24)式進(jìn)行比較，并與上題的計(jì)算結(jié)果相比較。解析： 由式 （1.12） (1.10)可以化簡(jiǎn)為 (1.11)可以化簡(jiǎn)為 將化簡(jiǎn)結(jié)果與（1.21）(1.24)式進(jìn)行比較，可以發(fā)現(xiàn)有類似的項(xiàng)。實(shí)驗(yàn)程序：function m2_1(t)r=100;l=300;w=240/60*2*pi;b0=r*w*cos(t)./sqrt(l2-r2*sin(t).2)b1=w*r*cos(t)/lb2=w*(r*cos(t)/l+r3*sin(t).2.*cos(t)/(2*l3)b3=r*w/l*(cos(t)+r2*sin(2*t).*sin(t)/(4*l2)a0=-r*w2*s

9、in(t)*(l2-r2)./(l2-r2*sin(t).2).(3/2)a1=-w2*r*sin(t)/la2=-w2*(r*sin(t)/l+r3*(sin(t).3-sin(2*t).*cos(t)/(2*l3)a3=-r*w2*(l2-r2)/l3*(sin(t)+3*r2*sin(t).3/(2*l2)>> m2_1(0:pi/12:pi)運(yùn)行結(jié)果如下：角速度：t/radb/(rad/s)b1/(rad/s)b2/(rad/s)b3/(rad/s)0 8.3776 8.3776 8.3776 8.3776 pi/128.1224 8.0921 8.1222 8.12222

10、*pi/127.3581 7.2552 7.3560 7.3560 3pi/126.0956 5.9238 6.0884 6.08844pi/124.3750 4.1888 4.36334.36335pi/122.2902 2.1683 2.28072.2807pi/20.0000 0.0000 0.00000.00007pi/12-2.2902-2.1683-2.2807-2.28078pi/12 -4.3750 -4.1888 -4.3633 -4.3633 9pi/12-6.0956 -5.9238 -6.0884-6.0884 10pi/12-7.3581 -7.2552 -7.356

11、0-7.356011pi/12-8.1224 -8.0921 -8.1222 -8.1222pi-8.3776-8.3776-8.3776-8.3776角加速度：t/rada0/(rad/s2)a1/(rad/s2)a2/(rad/s2)a3/(rad/s2)00 0 0 0 pi/12-48.9857-54.4948-49.0482 -48.98062*pi/12-97.6175-105.2758-97.9650 -97.47763pi/12-144.1871-148.8824-144.7468-143.36834pi/12-184.6798-182.3430-184.8755-182.34

12、305pi/12-213.0328-203.3772-212.4053-208.8914pi/2-223.3237-210.5516-222.2489 -218.34987pi/12-213.0328-203.3772-212.4053-208.89148pi/12 -184.6798 -182.3430-184.8755 -182.34309pi/12 -144.1871 -148.8824-144.7468-143.3683 10pi/12-97.6175-105.2758 -97.9650-97.477611pi/12 -48.9857 -54.4948-49.0482-48.9806

13、pi-0.0000 -0.0000-0.0000-0.0000從上表中可看出與最接近真值，最接近真值。由此看來(lái)，方案三最優(yōu)。任務(wù)三給定一機(jī)構(gòu)如右圖所示。設(shè)連桿QP長(zhǎng)度l=300mm，曲柄OQ的長(zhǎng)為r=100mm，距離e=20mm，曲柄的角速度w=240轉(zhuǎn)/min。對(duì)在一個(gè)周期（即）中計(jì)算滑塊的位移、行程、速度、加速度和擺角及其最值。解析：這個(gè)機(jī)構(gòu)的特點(diǎn)是:滑塊的運(yùn)動(dòng)軌跡仍然在原來(lái)的平面上,且與軸線平行,但運(yùn)動(dòng)軌跡與有距離(稱為偏心距)。這樣進(jìn)程時(shí)間將與退程時(shí)間不同。由于P點(diǎn)始終在直線上,所以我們只需要考慮滑塊在方向上的位移,不需要再考慮在軸上的位移。取O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿x軸向右方向?yàn)檎?，P在x

14、軸上的坐標(biāo)為x,用x表示滑塊的位移，利用三角關(guān)系有： （2.1）由于，故有 （2.2） 求導(dǎo)程序：>> syms r l e t>> x=r*cos(t)+sqrt(l2-(r*sin(t)-e).2);>> diff(x,t)得 即 （2.3）于是滑塊的速度 (2.4)從而，得到滑塊的加速度為(2.5)由關(guān)系式 (2.6）得擺角的表達(dá)式為 (2.7)滑塊的行程： 實(shí)驗(yàn)程序：（1）滑塊的位移：function m3_1(t)r=100;l=300;e=20;x=r*cos(t)+sqrt(l2-(r*sin(t)-e).2)>>m3_1(0:pi

15、/12:2*pi)（2）滑塊的速度：function m3_2(t)r=100;l=300;w=240/60*2*pi;e=20;v=-w*r*sin(t)-(w*r*cos(t).*(r*sin(t)-e)/sqrt(l2-(r*sin(t)-e).2)>>m3_2(0:pi/12:2*pi)（3）滑塊的加速度：function m3_3(t)r=100;l=300;w=240/60*2*pi;e=20;a=w2*(-r*cos(t)-(r2*cos(2*t)+r*e*sin(t).*(l2-(r*sin(t)-e).2)+r2*cos(t).2.*(r*sin(t)-e).2)

16、./(l2-(r*sin(t)-e).2).(3/2)>> m3_3(0:pi/12:2*pi)（4）擺角及其最值：function m3_4(t)r=100;l=300;w=240/60*2*pi;e=20;b=asin(r*sin(t)-e)/l)>> m3_4(0:pi/12:2*pi)運(yùn)行結(jié)果如下：t/radx/mmv/(mm/s)1.0e+003 *a/(mm/s2)1.0e+004 *b/rad0399.3326 0.0071 -8.4362-0.0667pi/12396.5349-0.6434-8.03490.01962pi/12385.0988-1.24

17、95 -6.75600.10023pi/12366.3937-1.7701-4.80000.16994pi/12342.5134 -2.1695-2.48060.22395pi/12315.9398 -2.4205-0.17980.2582pi/2289.1366-2.50621.74770.2699 7pi/12264.1760-2.42053.08990.25828pi/12242.5134-2.1695 3.83600.22399pi/12224.9723 -1.7701 4.13290.169910pi/12211.8937-1.24954.18460.1002 11pi/12203.

18、3498-0.64344.16780.0196 pi199.33260.0071 4.1969 -0.0667 13pi/12199.87810.65764.3189-0.153514pi/12205.1165 1.26374.5107-0.235515pi/12215.24661.78434.6677-0.307216pi/12 230.4209 2.18374.5933-0.363317pi/12250.5348 2.43474.0281-0.39923pi/2274.95452.52042.7568-0.411519pi/12302.29862.43470.7584 -0.399220pi/12330.42092.1837-1.7232-0.3633 21pi/12356.66801.7843-4.2652 -0.3072 22pi/12378.3216