數(shù)列題型的解題技巧精品

1、近幾年高考題可見數(shù)列題命題有如下趨勢：1.等差（比）數(shù)列的基本知識是必考內(nèi)容，這類問題既有選擇題、填空題，也有解答題；難度易、中、難三類皆有.2.數(shù)列中an與Sn之間的互化關(guān)系也是高考的一個(gè)熱點(diǎn).3.函數(shù)思想、方程思想、分類討論思想等數(shù)學(xué)思想方法在解決問題中常常用到，解答試題時(shí)要注意靈活應(yīng)用.4.解答題的難度有逐年增大的趨勢,還有一些新穎題型,如與導(dǎo)數(shù)和極限相結(jié)合等.因此復(fù)習(xí)中應(yīng)注意：1.數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，學(xué)習(xí)時(shí)要善于利用函數(shù)的思想來解決.如通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等.2.運(yùn)用方程的思想解等差（比）數(shù)列，是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量a1、d（或q），掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程

2、三個(gè)環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡化運(yùn)算.3.分類討論的思想在本章尤為突出.學(xué)習(xí)時(shí)考慮問題要全面，如等比數(shù)列求和要注意q=1和q1兩種情況等等.4.等價(jià)轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中常常運(yùn)用的，數(shù)列也不例外.如an與Sn的轉(zhuǎn)化；將一些數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差（比）數(shù)列來解決等.復(fù)習(xí)時(shí)，要及時(shí)總結(jié)歸納.5.深刻理解等差（比）數(shù)列的定義，能正確使用定義和等差（比）數(shù)列的性質(zhì)是學(xué)好本章的關(guān)鍵.6.解題要善于總結(jié)基本數(shù)學(xué)方法.如觀察法、類比法、錯(cuò)位相減法、待定系數(shù)法、歸納法、數(shù)形結(jié)合法，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，定能達(dá)到事半功倍的效果.7數(shù)列應(yīng)用題將是命題的熱點(diǎn)，這類題關(guān)鍵在于建模及數(shù)列的一些相關(guān)知識的應(yīng)用.【考點(diǎn)透視】1

3、理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng).2理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解答簡單的問題.3理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解決簡單的問題.4數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要的地位.高考對本章的考查比較全面，等差數(shù)列，等比數(shù)列的考查每年都不會遺漏.解答題多為中等以上難度的試題，突出考查考生的思維能力，解決問題的能力，試題大多有較好的區(qū)分度.有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列知識和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和不等式的知識

4、綜合起來，試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列，求極限和數(shù)學(xué)歸納法綜合在一起。探索性問題是高考的熱點(diǎn)，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)。本章中還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，在主觀題中著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學(xué)方法.應(yīng)用問題考查的重點(diǎn)是現(xiàn)實(shí)客觀事物的數(shù)學(xué)化，常需構(gòu)造數(shù)列模型，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決.【例題解析】考點(diǎn)1 正確理解和運(yùn)用數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式理解數(shù)列的概念,正確應(yīng)用數(shù)列的定義，能夠根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式.典型例題例1在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1

5、層，就一個(gè)球；第2，3，4，堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個(gè)乒乓球，以f (n)表示第n堆的乒乓球總數(shù)，則；（答案用n表示）. 分析：從圖中觀察各堆最低層的兵乓球數(shù)分別是12,3,4, 推測出第n層的球數(shù)。解：顯然.第n堆最低層（第一層）的乒乓球數(shù)，第n堆的乒乓球數(shù)總數(shù)相當(dāng)于n堆乒乓球的低層數(shù)之和，即所以：例2將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，得到如圖所示的0-1三角數(shù)表從上往下數(shù)，第1次全行的數(shù)都為1的是第1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第3行，第次全行的數(shù)都為1的是第 行；第61行中1的個(gè)數(shù)是 第1行 1 1

6、第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 分析：計(jì)算圖形中相應(yīng)1的數(shù)量的特征，然后尋找它們之間的規(guī)律。解：第1次全行的數(shù)都為1的是第=1行，第2次全行的數(shù)都為1的是第=3行，第3次全行的數(shù)都為1的是第=7行，······，第次全行的數(shù)都為1的是第行；第61行中1的個(gè)數(shù)是=32應(yīng)填，32考點(diǎn)2 數(shù)列的遞推關(guān)系式的理解與應(yīng)用 在解答給出的遞推關(guān)系式的數(shù)列問題時(shí)，要對其關(guān)系式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，轉(zhuǎn)化為常見的類型進(jìn)行解題。如“逐差法”若且；我們可把各個(gè)差列出來進(jìn)行求和，可得到數(shù)列的通項(xiàng)

7、. 再看“逐商法”即且，可把各個(gè)商列出來求積。另外可以變形轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列與等比數(shù)列，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)解決問題。例3數(shù)列中，（是常數(shù)，），且成公比不為的等比數(shù)列（I）求的值；（II）求的通項(xiàng)公式分析：（1）由成公比不為的等比數(shù)列列方程求；（2）可根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)，然后分析每一項(xiàng)與該項(xiàng)的序號之間的關(guān)系，歸納概括出an與n之間的一般規(guī)律，從而作出猜想，寫出滿足前4項(xiàng)的該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.解：（I），因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，解得或當(dāng)時(shí)，不符合題意舍去，故（II）當(dāng)時(shí)，由于， ， ，所以又，故當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以小結(jié)：從特殊的事例，通過分析、歸納、抽象總結(jié)出一般規(guī)律，再進(jìn)行科學(xué)

8、地證明，這是創(chuàng)新意識的具體體現(xiàn)，這種探索問題的方法，在解數(shù)列的有關(guān)問題中經(jīng)常用到，應(yīng)引起足夠的重視.例4已知數(shù)列滿足，若， 則 ( B )（） （） （） （） 思路啟迪：對遞推關(guān)系變形，運(yùn)用疊加法求得，特別注意的是對兩邊同時(shí)運(yùn)用.解答過程：， .相疊加.， .， ， ，.解答過程2：由得：， ，因?yàn)?所以：.解答過程3：由得：，從而 ；.疊加得：.， . ， 從而.小結(jié)：數(shù)列遞推關(guān)系是近幾年高高數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)，主要是一些能轉(zhuǎn)化為等差等比數(shù)列的遞推關(guān)系式。對連續(xù)兩項(xiàng)遞推，可轉(zhuǎn)化為；對連續(xù)三項(xiàng)遞推的關(guān)系如果方程有兩個(gè)根，則上遞推關(guān)系式可化為或.考點(diǎn)3 數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系與應(yīng)用與的關(guān)系：，

9、數(shù)列前n項(xiàng)和和通項(xiàng)是數(shù)列中兩個(gè)重要的量，在運(yùn)用它們的關(guān)系式時(shí)，一定要注意條件，求通項(xiàng)時(shí)一定要驗(yàn)證是否適合。解決含與的式子問題時(shí)，通常轉(zhuǎn)化為只含或者轉(zhuǎn)化為只的式子.例5 在等比數(shù)列中,前項(xiàng)和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列,則等于（ ）(A) (B) (C) (D)點(diǎn)評：本題考查了等比數(shù)列的定義和求和公式，著重考查了運(yùn)算能力。過程指引因數(shù)列為等比，則，因數(shù)列也是等比數(shù)列，則即，所以，故選擇答案C.例6.已知在正項(xiàng)數(shù)列a n中，S n表示前n項(xiàng)和且，求a n.分析：轉(zhuǎn)化為只含或者只含的遞推關(guān)系式.解1：由已知，得當(dāng)n=1時(shí)，a1=1；當(dāng)n2時(shí)，a n= S nS n1，代入已知有，.，又，故.，是以1為首項(xiàng)

10、，1為公差的等差數(shù)列，故.解2：由已知，得當(dāng)n=1時(shí)，a1=1；當(dāng)n2時(shí)因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所?考點(diǎn)4 等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì)的理解與應(yīng)用在等差、等比數(shù)列中，已知五個(gè)元素或，中的任意三個(gè)，運(yùn)用方程的思想，便可求出其余兩個(gè)，即“知三求二”。本著化多為少的原則，解題時(shí)需抓住首項(xiàng)和公差（或公比）。另外注意等差、等比數(shù)列的性質(zhì)的運(yùn)用.例如（1）等差數(shù)列中，若，則；等比數(shù)列中，若，則 . （2）等差數(shù)列中，成等差數(shù)列。其中是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列中（），成等比數(shù)列。其中是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）在等差數(shù)列中，項(xiàng)數(shù)n成等差的項(xiàng)也稱等差數(shù)列. （4）在等差數(shù)列中，； .在復(fù)習(xí)時(shí)，要注意深

11、刻理解等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其等價(jià)形式.注意方程思想、整體思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.典型例題例8在數(shù)列an中，a1=2,an+1=0，則a2008= ( ) A. B. C. D. 分析：考查等差數(shù)列的性質(zhì)。解析：由an+1=-為等差數(shù)列，且公差為1，首項(xiàng)為0，則例9某國采用養(yǎng)老儲備金制度，公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲備金，數(shù)目為a1，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加 d（d>0）, 因此，歷年所交納的儲備金數(shù)目a1, a2, 是一個(gè)公差為 d 的等差數(shù)列. 與此同時(shí)，國家給予優(yōu)惠的計(jì)息政府，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利. 這就是說，如果固定年利率為r（r>0

12、）,那么, 在第n年末，第一年所交納的儲備金就變?yōu)?a1（1+r）n1，第二年所交納的儲備金就變成 a2（1+r）n2，. 以Tn表示到第n年末所累計(jì)的儲備金總額.（）寫出Tn與Tn1（n2）的遞推關(guān)系式；（）求證Tn=An+ Bn，其中An是一個(gè)等比數(shù)列，Bn是一個(gè)等差數(shù)列.分析：本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本概念和基本方法，考查學(xué)生閱讀資料、提取信息、建立數(shù)字模型的能力，考查應(yīng)用所學(xué)知識分析和解決實(shí)際問題的能力. 解：（I）我們有 （II）反復(fù)使用上述關(guān)系式，得 在式兩端同乘1+r，得 ，得2解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時(shí)

13、應(yīng)用考點(diǎn)5 等差、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的理解與應(yīng)用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式要深刻理解，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù).等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式（），因此可以改寫為是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.例10已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=n29n,第k項(xiàng)滿足5<ak<8,則k=A9B8C7D6分析：本小題主要考查數(shù)列通項(xiàng)和等差數(shù)列等基本知識，考查邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力解：此數(shù)列為等差數(shù)列，由5<2k-10<8得到k=8例11已知數(shù)列an和bn滿足:且bn是以q為公比的等比數(shù)列. （）證明：； （）若證明數(shù)列是等比數(shù)列； （）求和：.分析：本小題主要考查等比數(shù)列的定

14、義，通項(xiàng)公式和求和公式等基本知識及基本的運(yùn)算技能，考查分析問題能力和推理能力解法1：（I）證：由，有， （II）證：，是首項(xiàng)為5，以為公比的等比數(shù)列（III）由（II）得，于是當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故解法2：（I）同解法1（I）（II）證：，又，是首項(xiàng)為5，以為公比的等比數(shù)列（III）由（II）的類似方法得，下同解法1考點(diǎn)6 數(shù)列與函數(shù)，解析幾何的綜合問題由函數(shù)迭代的數(shù)列問題是進(jìn)幾年高考綜合解答題的熱點(diǎn)題目，此類問題將函數(shù)與數(shù)列知識綜合起來，考察函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)問題的研究方法在數(shù)列中的應(yīng)用，涉及的知識點(diǎn)由函數(shù)性質(zhì)、不等式、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、解析幾何的曲線等，另外函數(shù)迭代又有極為深刻的理論背景和實(shí)際背景，它與

15、當(dāng)前國際數(shù)學(xué)主流之一的動(dòng)力系統(tǒng)（拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)、微分動(dòng)力系統(tǒng)）密切相關(guān)，數(shù)學(xué)家們極為推崇，函數(shù)迭代一直出現(xiàn)在各類是數(shù)學(xué)競賽試題中，近幾年又頻頻出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)試題中.例12函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，R)，記函數(shù)的圖象在處的切線為l，(1)求在0，1上的解析式；(2)求切線l的方程；(3)點(diǎn)列B1(b1，2)，B2(b2，3)，Bn(bn，n + 1)在l上，A1(x1，0)，A2(x2，0)，An(xn，0)依次為x軸上的點(diǎn)，如圖，當(dāng)N*，點(diǎn)An、Bn、An + 1構(gòu)成以為底邊的等腰三角形，若，且數(shù)列是等差數(shù)列，求a的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式(1) 解：，是周期為2的周期函數(shù).(2) 當(dāng)0x1

16、時(shí)，22 + x1，整理得.，由于. (2)解：由題意切點(diǎn)為即，l的斜率為，由直線點(diǎn)斜式方程知l的方程為 (3)解：點(diǎn)在直線上，.又為等腰三角形，即由此有：.兩式相減得：.數(shù)列的所有奇數(shù)項(xiàng)、所有偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以2為公差的等差數(shù)列又.，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，為等差數(shù)列.此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式為例13設(shè)，不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)?，把?nèi)的整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）按其到原點(diǎn)的距離從近到遠(yuǎn)排列成點(diǎn)列：（1） 求；（2） 設(shè)數(shù)列滿足求證：時(shí)，；（3） 在（2）的條件下，比較與4的大小。解:（1）由及得，因?yàn)?，所以又與的交點(diǎn)為，所以內(nèi)的整點(diǎn)，按由近到遠(yuǎn)排列為：（1，1），（1，2），（2）證明：時(shí)，所以，兩

17、式相減得：（3）時(shí)，時(shí)，可猜想：時(shí)，事實(shí)上時(shí)，由（2）知所以-考點(diǎn)7 數(shù)列綜合應(yīng)用與創(chuàng)新問題數(shù)列與其它數(shù)學(xué)知識的綜合性問題是高考的熱點(diǎn)，全面考察數(shù)學(xué)知識的掌握和運(yùn)用的情況，以及分析問題解決問題的能力和思維的靈活性、深刻性、技巧性等，涉及的數(shù)學(xué)思想方法又從一般到特殊和從特殊到一般的思想、函數(shù)與方程的思想、探索性思想等。例14在m（m2）個(gè)不同數(shù)的排列P1P2Pn中，若1ijm時(shí)PiPj（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），則稱Pi與Pj構(gòu)成一個(gè)逆序. 一個(gè)排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù). 記排列的逆序數(shù)為an，如排列21的逆序數(shù)，排列321的逆序數(shù).求a4、a5，并寫出an的表達(dá)式；分析：考查排列

18、、數(shù)列知識.過程導(dǎo)引：由已知得，.例15設(shè)是定義在上的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù).已知對于任意正數(shù)，都有，且.（）求，并求的值；（）令，證明數(shù)列是等差數(shù)列；（）設(shè)是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率（），數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.思路啟迪：根據(jù)已知條件求出函數(shù)的關(guān)系式，求出的遞推關(guān)系式然后可求解題中要求解：（）??；再取，則，或1（舍去）.（）設(shè)，則，再令，即或，又，則，由，所以是等差數(shù)列. （3）由（2）得則所以；又當(dāng)時(shí)，則，故. 例16已知函數(shù)，是方程f(x)=0的兩個(gè)根，是f(x)的導(dǎo)數(shù)；設(shè)，（n=1,2,）（1）求的值；（2）證明：對任意的正整數(shù)n，都有>a；（3）記（n=1,2,），求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn分析：（1）注意應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系求的值；（2）注意先求；（3）注意利用的關(guān)系解：（1），是方程f(x)=0的兩個(gè)根， （2），=，由基本不等式可知（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），同，樣，（n=1,2,） （3），而，即，同理，又?jǐn)?shù)列學(xué)習(xí)建議：1“巧用性質(zhì)、減少運(yùn)算量”在等差、等比數(shù)列的計(jì)算中非常重要，但用“基本量法”并樹立“目標(biāo)意識”，“需要