第3章 線性控制系統(tǒng)

1、第3章 線性控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的重要性 系統(tǒng)仿真分析必須已知數(shù)學(xué)模型 系統(tǒng)設(shè)計必須已知數(shù)學(xué)模型 本課程數(shù)學(xué)模型是基礎(chǔ) 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的獲取 建模方法：從已知的物理規(guī)律出發(fā)，用數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方式建立起系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 辨識方法：由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 本章主要內(nèi)容線性連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與MATLABMATLAB表示線性離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型方框圖描述系統(tǒng)的化簡系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換線性系統(tǒng)的模型降階線性系統(tǒng)的模型辨識本章要點(diǎn)簡介 回顧：傳遞函數(shù) 零初始條件下，線性系統(tǒng)響應(yīng)（即輸出）量的拉普拉斯變換與激勵（即輸入）量的拉普拉斯變換之比。記作G（s）Y（s）U（s），其中Y（s）、U（s)分別

2、為輸出量和輸入量的拉普拉斯變換。傳遞函數(shù)是描述線性系統(tǒng)動態(tài)特性的基本數(shù)學(xué)工具之一，經(jīng)典控制理論的主要研究方法，頻率響應(yīng)法和根軌跡法，都是建立在傳遞函數(shù)的基礎(chǔ)之上。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與描述其運(yùn)動規(guī)律的微分方程是對應(yīng)的。可根據(jù)組成系統(tǒng)各單元的傳遞函數(shù)和它們之間的聯(lián)結(jié)關(guān)系導(dǎo)出整體系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，并用它分析系統(tǒng)的動態(tài)特性、穩(wěn)定性，或根據(jù)給定要求綜合控制系統(tǒng)，設(shè)計滿意的控制器。以傳遞函數(shù)為工具分析和綜合控制系統(tǒng)的方法稱為頻域法。它不但是經(jīng)典控制理論的基礎(chǔ)，而且在以時域方法為基礎(chǔ)的現(xiàn)代控制理論發(fā)展過程中，也不斷發(fā)展形成了多變量頻域控制理論，成為研究多變量控制系統(tǒng)的有力工具。傳遞函數(shù)中的復(fù)變量s在實(shí)部為零、虛部

3、為角頻率時就是頻率響應(yīng)。3.1 連續(xù)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與MATLAB表示-傳遞函數(shù)模型 (1)線性系統(tǒng)的微分方程Laplace變換MATLAB：num=b1, b2, , bm , bm+1; den=a1, a2, , an , an+1;G=tf (num, den);11211121( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnmmmmmmd y tdy tdy taaaay tdtdtdtd u tdu tdu tbbbbu tdtdtdt11211121( )mmmmnnnnb sb sb sbG sa sa sa sa3.1 連續(xù)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與MATLAB表示-

4、傳遞函數(shù)模型 (2)例31 傳遞函數(shù)模型num=12 24 12 20; den=2 4 6 2 2; G=tf(num,den);還可以： s=tf(s); G=(12*s3+24*s2+12*s+20)/(2*s4+4*s3+6*s2+2*s+2);3243212241220( )24622sssG sssss3.1 連續(xù)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與MATLAB表示-傳遞函數(shù)模型 (3)例32 傳遞函數(shù)s=tf(s); G=3*(s2+3)/(s+2)3/(s2+2*s+1)/(s2+5)例33 傳遞函數(shù) s=tf(s); G=(s3+2*s2+3*s+4)/(s3*(s+2)*(s+5)2+5)

5、應(yīng)該根據(jù)給出傳遞函數(shù)形式選擇輸入方法 23223(3)( )(2) (21)(5)sG sssss3232234( )(2)(5)5sssG ssss3.1 連續(xù)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與MATLAB表示-傳遞函數(shù)模型 (4)MATLAB的tf對象還允許攜帶其他屬性，set(tf)命令列出例33-4 延遲傳遞函數(shù) G.ioDelay=3 或者 set(G,ioDelay,3)假設(shè)復(fù)域變量為p,則 G.Variable=p 或者 set(G,Variable,p)傳遞函數(shù)參數(shù)提?。簄um, den=tfdata(G,v) 或者num=G.numi,j; den=G.deni,j;%第i輸入對第j輸出間

6、的傳函3( )sG s e3.1 連續(xù)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與MATLAB表示-線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型 (1)狀態(tài)方程模型p路輸入、q路輸出、n個狀態(tài)量、fi(.)和gi(.)可以是線性或非線性函數(shù)時變模型： 線性時不變模型：121121(,),1,(,),1,iinpiinpxf x xx uuinyg x xx uuiq ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )x tA t x tB t u ty tC t x tD t u t( )( )( )( )( )( )x tAx tBu ty tCx tDu t3.1 連續(xù)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與MATLAB表示-線性系統(tǒng)的

7、狀態(tài)方程模型 (2)線性時不變模型的MATLAB描述G=ss(A,B,C,D); A矩陣為nn方陣，B為np矩陣，C為qn矩陣，D為qp矩陣 例3-51217.216.811.91.50.268.68.4610.3( )( )( )68.78.46215.98.68.3600.520.500.8( )( )0.30.30.21x tx tu ty tx t3.1 連續(xù)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與MATLAB表示-線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型 (3) A=-12, -17.2, -16.8, -11.9; 6.8, 6, 8.4, 6; 6, 8.7, 8.4, 6; -5.9, -8.6, -8.3, -6

8、 ; B=1.5, 0.2; 1, 0.3; 2, 1; 0, 0.5; C=2, 0.5, 0, 0.8; 0.3, 0.3, 0.2, 1; D=zeros(2, 2); G=ss (A, B, C, D);3.1 連續(xù)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與 MATLAB 表示-線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型 (4)帶時間延遲的狀態(tài)方程 數(shù)學(xué)模型MATLAB輸入語句：( )( )()( )( )(),( )()iiox tAx tBu tz tCx tDu ty tz tio=ss( , , , , InputDelay,OutputDelay, ) GA B C D3.1 連續(xù)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與 MATLAB

9、表示-線性系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型(1)零極點(diǎn)模型 是因式型傳遞函數(shù)模型 MATLAB表示:z=z1;z2;zm;p=p1;p2;pn;G=zpk(z,p,k);1212()()()( )()()()mnszszszG sKspspsp3.1 連續(xù)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與 MATLAB 表示-線性系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型(2)例3-5 零極點(diǎn)模型MATLAB輸入方法P=-1;-2;-3;-4; Z=-5;-2+2i;-2+2i;G=zpk(Z,P,6);另一種輸入方法s=zpk(s,); G=6*(s+5)*(s+2+2i)*(s+2-2i)/ (s+1)*(s+2)*(s+3)*(s+4)6(5)(22 )(2

10、2 )( )(4)(3)(2)(1)ssj sjG sssss+-=+3.1 連續(xù)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與MATLAB表示-多變量系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣模型(1)傳遞函數(shù)矩陣 為第i輸出對第j輸入的傳遞函數(shù)可以先定義子傳遞函數(shù)，再由矩陣定義G(s)111212122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )ppqqqpgsgsgsgsgsgsG sgsgsgs輊犏犏犏=犏犏犏犏臌LLMMOML( )ijgs3.1 連續(xù)線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與MATLAB表示-多變量系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣模型(2)例37 多變量模型方法1：g11=tf(0.1134,1.78 4.48 1,ioDelay,

11、0.72);g12=tf(0.924, 2.07 1); g21=tf(0.3378, 0.361 1.09 1,ioDelay, 0.3); g22=tf(-0.318,2.93 1,ioDealy, 1.29);G=g11, g12; g21,g22;方法2：G=tf(0.1134,1.78 4.48 1), tf(0.924, 2.07 1); tf(0.3378, 0.361 1.09 1), tf(-0.318,2.93 1); G.ioDelay=0.72 0; 0.3 1.29;0.7220.31.2920.11340.9242.0711.784.481( )0.33780.31

12、82.9310.3611.091sssesssG seesssZ變換（Z-transformation），是對離散序列進(jìn)行的一種數(shù)學(xué)變換。常用以求線性時不變差分方程的解。它在離散時間系統(tǒng)中的地位，如同拉普拉斯變換在連續(xù)時間系統(tǒng)中的地位。離散時間信號的Z變換已成為分析線性時不變離散時間系統(tǒng)問題的重要工具。在數(shù)字信號處理、計算機(jī)控制系統(tǒng)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。3.2 線性離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型-離散傳遞函數(shù)模型(1)一般單變量離散系統(tǒng) 差分方程：Z變換代替Laplace變換：MATLAB表示：num=b0,b1, ,bn-1,bn;(采樣周期T) den=a1,a2, ,an,an+1; H=tf(n

13、um, den, Ts,T);算子輸入方法：z=tf(z, T)121011()(1) (1) () ()(1) (1) () nnnna y kTa y kTa y knTay kn Tb u kTbu kTbu knTb u kn T1011121( )nnnnnnb zb zbH za za za3.2 線性離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型-離散傳遞函數(shù)模型(2)例 38 離散傳遞函數(shù)，采樣周期T=0.1秒輸入方法1：z=tf(z,0.1); H=(6*z2-0.6*z-0.12)/(z4-z3+0.25*z-0.125);輸入方法2：num=6 -0.6 -0.12; den=1 -1 0.25

14、 0.25 -0.125; H=tf(num, den, Ts,0.1);243260.60.12( )0.250.250.125zzH zzzzz3.2 線性離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型-離散傳遞函數(shù)模型(3)離散系統(tǒng)的時間延遲模型 延遲是采樣周期的整數(shù)倍 MATLAB輸入方法： H.ioDelay=m 或者 set(H, ioDelay,m)1011121( )nnmnnnnb zb zbH zza za za3.2 線性離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型-離散傳遞函數(shù)模型(4)濾波器型離散模型 記 ，則MATLAB表示方法：num=bn, bn-1, , b1, b0;den=an+1, an, an-1

15、 , , a1; H=tf(num, den, Ts,T,Variable, q); 11111011121()nnnnnnnnb zbzb zbH zaza za za 1qz1111011121( )nnnnnnnnb qbqb zbH qaza za za 3.2 線性離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型-離散傳遞函數(shù)模型(5)例 39 離線系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型 采樣周期T=0.1秒 z=1/2;1/2+j/2;1/2-j/2; p=-1/2;-1/3;-1/4;-1/5; H=zpk(z,p,1/20,Ts,0.1) (1/2)(1/2/2)(1/2/2)( )120(1/2)(1/3)(1/4)(1/

16、5)zzjzjH zzzzz3.2 線性離散時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型-離散狀態(tài)方程模型一般的離散狀態(tài)方程MATLAB表示： H=ss(F, G, C, D, Ts,T);帶有延遲的離散系統(tǒng)狀態(tài)方程MATLAB表示：H=ss(F, G, C, D, Ts, T, ioDelay, m);(1) ()()()()()x kTFx kTGu kTy kTCx kTDu kT(1) ()() ()()() x kTFx kTGu km Ty kTCx kTDu km T3.3 方框圖描述系統(tǒng)的化簡浙江大學(xué)電氣學(xué)院系統(tǒng)系 包哲靜前面介紹的傳遞函數(shù)、狀態(tài)方程等都是單環(huán)節(jié)模型實(shí)際系統(tǒng)為若干個子模型互連的如何通過等

17、效變化進(jìn)行化簡主要內(nèi)容控制系統(tǒng)的典型連接結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)移動時的等效變換復(fù)雜系統(tǒng)模型的簡化3.3 方框圖描述系統(tǒng)的化簡-控制系統(tǒng)的典型連接結(jié)構(gòu)(1)系統(tǒng)串、并聯(lián) 串聯(lián)傳遞函數(shù)：并聯(lián)傳遞函數(shù)：21( )( )( )G sG s G sG1(s)G2(s)u(t)y(t)G1(s)G2(s)u(t)y(t)(a) 串聯(lián)結(jié)構(gòu)(b) 并聯(lián)結(jié)構(gòu)12( )( )( )G sG sG s3.3 方框圖描述系統(tǒng)的化簡-控制系統(tǒng)的典型連接結(jié)構(gòu)(2)串聯(lián)系統(tǒng)的狀態(tài)方程：并聯(lián)系統(tǒng)的狀態(tài)方程：1111221222112122120 xAxBuxB CAxB DxyD CCD Dux1111222211212200()xAxB

18、uxAxBxyCCDD ux3.3 方框圖描述系統(tǒng)的化簡-控制系統(tǒng)的典型連接結(jié)構(gòu)(3)若一個模型為傳遞函數(shù)、另一個為狀態(tài)方程，如何處理？【將二者變換成同樣結(jié)構(gòu)再計算！】基于MATLAB的計算方法串聯(lián) G=G2*G1 (多變量系統(tǒng)注意次序) 并聯(lián) G=G2+G1 3.3 方框圖描述系統(tǒng)的化簡-控制系統(tǒng)的典型連接結(jié)構(gòu)(4)反饋連接正反饋 負(fù)反饋112( )( )1( )( )G sG sG s G s112( )( )1( )( )G sG sG s G sG1(s)G2(s)u(t)y(t)G1(s)G2(s)u(t)y(t)(a) 正反饋結(jié)構(gòu)(a) 負(fù)反饋結(jié)構(gòu)3.3 方框圖描述系統(tǒng)的化簡-控制

19、系統(tǒng)的典型連接結(jié)構(gòu)(5)負(fù)反饋連接的數(shù)學(xué)模型：其中，若 ，則簡化為1112112112212212221111212,()xAB ZD CB ZCxB ZuxB ZCAB D ZCxB D ZxyZCD ZCD Z ux112()ZID D120DD111211221221120, 0 xAB CxBuxB CAxxyCx 3.3 方框圖描述系統(tǒng)的化簡-控制系統(tǒng)的典型連接結(jié)構(gòu)(6)反饋連接的MATLAB求解： G=feedback(G1,G2); %負(fù)反饋 G=feedback(G1,G2,1); %正反饋feedback()函數(shù)僅能用于G1,G2為具體參數(shù)指定的模型，通過適當(dāng)擴(kuò)展，可以處理符

20、號運(yùn)算(置于sym目錄下)：function H=feedback(G1,G2,key) if nargin=2 key=-1 end H=G1/(sym(1)-key*G1*G2); H=simple(H);3.3 方框圖描述系統(tǒng)的化簡-控制系統(tǒng)的典型連接結(jié)構(gòu)(7)例3-10 s=tf(s); G=(12*s3+24*s2+12*s+20)/(2*s4+4*s3+6*s2+2*s+2); Gc=(5*s+3)/s; H=1000/(s+1000); GG=feedback(G*Gc,H)3243212241220( )24622sssG sssss53( )csG ssGc(s)H(s)R(

21、s)Y(s)G(s)1000( )1000H ss3.3 方框圖描述系統(tǒng)的化簡-控制系統(tǒng)的典型連接結(jié)構(gòu)(8)例3-11 受控對象狀態(tài)方程控制器為對角陣A=-12,-17.2,-16.8,-11.9; 6,8.6,8.4,6;6,8.7,8.4,6;-5.9 -8.6 -8.3 -6; B=-1.5,0.2;1,0.3;2,1;0,0.5; C=2,0.5,0,0.8;0.3,0.3,0.2,1; D=zeros(2,2);G=ss(A,B,C,D); s=tf(s); g11=(2*s+1)/s; g22=(5*s+2)/s; Gc=g11 0;0 g22; H=eye(2); GG=feed

22、back(G*Gc,H)1217.216.811.91.5268.68.4610.3( )( )( )68.78.46215.98.68.3600.520.500.8( )( )030.30.21x tx tu ty tx t(21)/0( )0(52)/cssG sss3.3 方框圖描述系統(tǒng)的化簡-結(jié)點(diǎn)移動的等效變換(1)考慮模型需要將A點(diǎn)等效移至輸出端Y(s)G1(s)H(s)R(s)Y(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)H3(s)A3.3 方框圖描述系統(tǒng)的化簡-結(jié)點(diǎn)移動的等效變換(2)節(jié)點(diǎn)移動等效變換G1(s)G2(s)/G1(s)BAG1(s)G2(s) G1(s)BAG1(

23、s)G2(s) BAG1(s)G2(s)BA節(jié)點(diǎn)前移節(jié)點(diǎn)后移3.3 方框圖描述系統(tǒng)的化簡-復(fù)雜系統(tǒng)模型的簡化(1)例3-12 原系統(tǒng)等效變換為syms G1 G2 G3 G4 H1 H2 H3 %定義各個子模塊為符號變量 c1=feedback(G4*G3,H3); %最內(nèi)層閉環(huán) c2=feedback(c1*G2, H2/G4); %第二層閉環(huán) G=feedback(c2*G1,H1); pretty(G) %總系統(tǒng)模型G1(s)H(s)R(s)Y(s)G2(s)G3(s)G4(s)H2(s)/ G4(s)H3(s)3.3 方框圖描述系統(tǒng)的化簡-復(fù)雜系統(tǒng)模型的簡化(2)例3-13 電機(jī)拖動模

24、型輸入r(t)單獨(dú)激勵syms Ka Kr c1 c2 c Ra T1 T2 Km Kb s Ga=feedback(1/Ra/(T1*s+1)*Km*1/c/(T2*s+1),Kb); G1=c1*feedback(Ka*Kr*Ga/s,c2); G1=collect(G1,s);a11/1RT s21/1cT skrc2r(t)n(t)1/skbc1kakmM(t)3.3 方框圖描述系統(tǒng)的化簡-復(fù)雜系統(tǒng)模型的簡化(3) M(t)單獨(dú)輸入G2=-feedback(1/c/(T2*s+1)/s,Km/Ra/(T1*s+1)*(Kb*s+c2*Ka*Kr); G2=collect(simplif

25、y(G2),s);G=G1 G2;krn(t)kaM(t)1/s21/1cT sskbkma11/1RT sc23.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換前面介紹的各種模型之間的相互等效變換主要內(nèi)容連續(xù)模型和離散模型的相互轉(zhuǎn)換系統(tǒng)傳遞函數(shù)的獲取控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程實(shí)現(xiàn)狀態(tài)方程的最小實(shí)現(xiàn)傳遞函數(shù)與符號表達(dá)式的相互轉(zhuǎn)換3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換-連續(xù)模型與離散模型的相互轉(zhuǎn)換(1)連續(xù)模型離散化連續(xù)狀態(tài)方程的解析解：采樣周期T，選擇得到離散模型記則離散狀態(tài)方程模型00()()( )(0)( )tA t tA ttx texeBud0,(1)tkT tkT (1)(1)(1)()( )kTATAkTkTxkTex kT

26、eBud0(1)()()TATAxkTex kTedBu kT0,TATAFeGedB(1) ()()x kTFx kTGu kT3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換-連續(xù)模型與離散模型的相互轉(zhuǎn)換(2)MATLAB函數(shù)直接求解：還可采用Tustin變換(雙線性變換)：例314 雙輸入模型，T=0.12(1)/ (1)szT z1217.216.811.91.50.268.68.4610.3( )( )( )68.78.46215.98.68.3600.520.500.8( )0.30.30.21kx tx tu tyx t1c2d(,)GG TG:傳遞函數(shù)或狀態(tài)方程模型，還可處理延遲環(huán)節(jié)3.4 系統(tǒng)模型

27、的相互轉(zhuǎn)換-連續(xù)模型與離散模型的相互轉(zhuǎn)換(3)A=-12, -17.2,-16.8,-11.9;6,8.6,8.4,6;6,8.7,8.4,6;-5.9,-8.6,-8.3,-6; B=1.5,0.2;1,0.3;2,1;0,0.5; C=2,0.5,0,0.8;0.3,0.3,0.2,1; D=zeros(2,2); G=ss(A,B,C,D); T=0.1; Gd=c2d(G,T); 得到模型：10.149961.64811.60761.140.184230.127230.573541.8820.80180.573540.266840.103620.576450.836151.80590.

28、576450.36790.174010.566450.82610.795870.42360.165650.023263kkxx20.500.80.30.30.21kkkuyx3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換-連續(xù)模型與離散模型的相互轉(zhuǎn)換(4)例315 時間延遲系統(tǒng)的離散化(采樣周期T=0.1秒)s=tf(s); G=1/(s+2)3; G.ioDelay=2;分別用零階保持器和Tustin算法進(jìn)行離散化G1=c2d(G,0.1) 零階保持器變換G2=c2d(G,0.1,tustin) %Tustin變換231( )(2)sG ses220320.00014360.00049460.0001064(

29、)2.4562.0110.5488ZOHzzGzzzzz532520329.391*100.00028170.00028179.391*10( )2.4552.0080.5477ZOHzzzGzzzzz僅從數(shù)值結(jié)果無法判斷兩個模型好壞3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換-連續(xù)模型與離散模型的相互轉(zhuǎn)換(5)離散模型連續(xù)化 對變換 ，進(jìn)行逆變換 Tustin反變換： MATLAB求解：例316 對前面的連續(xù)狀態(tài)方程模型離散化，對結(jié)果再連續(xù)化A=-12, -17.2,-16.8,-11.9;6,8.6,8.4,6;6,8.7,8.4,6;-5.9,-8.6,-8.3,-6; B=1.5,0.2;1,0.3;2

30、,1;0,0.5; C=2,0.5,0,0.8;0.3,0.3,0.2,1; D=zeros(2,2); G=ss(A,B,C,D); T=0.1; Gd=c2d(G,T); G1=d2c(Gd)0,TATAFeGe d B11ln,()AF BFIAGT(1/2)(1/2)zsTsT1d2c()GG3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換-系統(tǒng)傳遞函數(shù)的獲取(1)已知狀態(tài)方程兩端Laplace變換則得到傳遞函數(shù) 難點(diǎn)是求取 ，基于Fadeev-Fadeeva算法能得到較為精確的解由零極點(diǎn)模型，直接展開分子分母，得到傳遞函數(shù)模型用MATLAB求解：( )( )( )( )( )( )x tAx tBu ty

31、 tCx tDu t( )( )( )( )( )( )sIX sAX sBU sY sCX sDU s1( )()( )X ssIABU s11( )( )( )()G sY s UsC sIABD1()sIA1tf ()GG3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換-系統(tǒng)傳遞函數(shù)的獲取(2)例3-17 多變量模型，求傳遞函數(shù)矩陣A=-12, -17.2,-16.8,-11.9;6,8.6,8.4,6;6,8.7,8.4,6;-5.9,-8.6,-8.3,-6; B=1.5,0.2;1,0.3;2,1;0,0.5; C=2,0.5,0,0.8;0.3,0.3,0.2,1; D=zeros(2,2); G=s

32、s(A,B,C,D); G1=tf(G);得到傳遞函數(shù)矩陣32324324323232432433.5144.120.690.83720.9564.139.1610.3740.350.050.00240.350.050.0024( )1.1536.326.2250.13390.8515.712.6190.045590.350.050.00240.3ssssssssssssssG sssssssssssss250.050.0024ss3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換-控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程實(shí)現(xiàn)(1)由傳遞函數(shù)到狀態(tài)方程的轉(zhuǎn)換 不同狀態(tài)變量的選擇，結(jié)果不唯一 默認(rèn)狀態(tài)方程實(shí)現(xiàn)，MATLAB函數(shù)：G1=ss(

33、G) 適用于有時間延遲的、離散的、多變量的系統(tǒng)3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換-控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程實(shí)現(xiàn)(2)例3-18 連續(xù)多變量模型g11=tf(0.1134,1.78 4.48 1, ioDelay,0.72); g12=tf(0.924,2.07 1); g22=tf(-0.318,2.93 1, ioDelay, 1.29); g21=tf(0.3378,0.361 1.09 1, ioDelay, 0.3); G=g11, g12;g21, g22; G1=ss(G);0.7220.31.2920.11340.9242.0711.784.481( )0.33780.3182.9310.36

34、11.091sssesssG seesss3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換-控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程實(shí)現(xiàn)(3)得到狀態(tài)方程模型ioDelay矩陣122.51690.280900000.25020000000(0.3)003.01940.69252000.250( )( )( )0040000000000.48309001000000.341300.2500.12742000.446380( )0000.935730u tx tx tu tz t12(0.42)( ),( )(1.29)0.43413z tx ty tz t0.42001.29T3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換-控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程實(shí)現(xiàn)(4)該模型

35、可以轉(zhuǎn)換回傳遞函數(shù)矩陣得出的轉(zhuǎn)換結(jié)果21tf()GG0.72220.31.2920.063710.44640.48312.5170.56180.93750.10850.34133.0192.77sssesssGeesss 3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換-控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程實(shí)現(xiàn)(5)均衡實(shí)現(xiàn)為了將各個狀態(tài)變量在整個控制系統(tǒng)中的重要程度表示出來，需要進(jìn)一步變換 用MATLAB求解： 得出均衡實(shí)現(xiàn)的模型 得出排序的Gram矩陣 b, , balreal( )Gg TG3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換-狀態(tài)方程的最小實(shí)現(xiàn)(1)例319 觀察單變量系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型若不進(jìn)行變換，則不能發(fā)現(xiàn)該模型有哪些特點(diǎn)求取零極點(diǎn)

36、模型：G=tf(5 50 155 150,1 11 41 61 30); zpk(G) %得到零極點(diǎn)模型零極點(diǎn)模型32432550155150( )11416130sssG sssss5(3)(2)(5)( )(5)(3)(2)(1)sssG sssss3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換-狀態(tài)方程的最小實(shí)現(xiàn)(2)零極點(diǎn)對消后，得到一階模型完全對消相同零極點(diǎn)后的模型，又稱為最小實(shí)現(xiàn)問題：若系統(tǒng)模型為多變量模型，如何獲得最小實(shí)現(xiàn)？MATLAB中最小實(shí)現(xiàn)的方法：5( )1rG ssmminreal( )GG3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換-狀態(tài)方程的最小實(shí)現(xiàn)(3)例3-20多變量模型不能直接看出是否是最小實(shí)現(xiàn)61

37、.5249.56462.52512.555( )( )( )50.250.53.59.753410.5011.502211233120.750.51.52.75( )( )01.251.51.52.25x tx tu ty tx t3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換-狀態(tài)方程的最小實(shí)現(xiàn)(4)A=-6,-1.5,2,4,9.5;-6,-2.5,2,5,12.5;-5,0.25,-0.5,3.5,9.75;-1,0.5,0,-1,1.5;-2,-1,1,2,3 ; B=6,4;5,5;3,4;0,2;3,1; C=2,0.75,-0.5,-1.5,-2.75;0,-1.25,1.5,1.5,2.25; D

38、=zeros(2,2); G=ss(A,B,C,D); G1=minreal(G)2.41251.17290.170226.48434.0942( )0.739460.123330.37256( )5.15173.7888( )0.650671.67661.71083.2275.55720.842350.0737980.048876( )( )0.250850.361290.46861x tx tu ty tx t 3.4 系統(tǒng)模型的相互轉(zhuǎn)換-傳遞函數(shù)與符號表達(dá)式相互轉(zhuǎn)換傳遞函數(shù)到符號表達(dá)式 function P=tf2sym(G) P=poly2sym(G.num1,s)/poly2sym(

39、G.den1,s); 表達(dá)式到傳遞函數(shù) function G=sym2tf(P) n,d=numden(P); G=tf(sym2poly(n),sym2poly(d);置于sym目錄下符號表達(dá)式必須是系數(shù)已知的有理函數(shù)形式3.5 線性系統(tǒng)模型降階與最小實(shí)現(xiàn)不同用低階模型近似高階模型最早由Edward J. Davison提出(1966)本節(jié)主要內(nèi)容Pad與Routh降階算法時間延遲模型的Pad近似帶有延遲的最優(yōu)降階算法狀態(tài)空間的降階算法3.5 線性系統(tǒng)模型降階-Pad與Routh降階算法(1)原始模型：尋求降階模尋求降階模型型： ，其中假設(shè)展開原模型其中時間矩量 可以遞推求出 1121/11

40、21( )rrrr kkkkkssGssss11211121( )mmmmnnnnbsb sb sbG sa sa sa sa11kkn2012( )G scc sc sic101,110,1,2,ikikijnijjcbcbc ai 3.5 線性系統(tǒng)模型降階-Pad與Routh降階算法(2)若已知狀態(tài)方程模型，則時間距量的MATLAB求解：function M=timmomt(G,k)G=ss(G); C=G.c; B=G.b; iA=inv(G.a);iA1=iA; M=zeros(1,k);for i=1:k, M(i)=-C*iA1*B; iA1=iA*iA1; endPad降階思想：

41、保留前r+k+1時間距量!(1)!01( ),0,1,!iisd G scCABiids iiiiiisc ssiiiiiic sssG(s)=C(SI-A)-1B+D3.5 線性系統(tǒng)模型降階-Pad與Routh降階算法(3)對比系數(shù)，則1010111 010211 01211000rrkrkrk rrkrk rrkrk rk rkk rrrcccccccccccccccc 3.5 線性系統(tǒng)模型降階-Pad與Routh降階算法(4)這樣可以得出11121121.rrrkrrrkk rk rrr kcccccccccc 011010110010rkrrrk rcccccc 3.5 線性系統(tǒng)模型降

42、階-Pad與Routh降階算法(5)Pad降階求解函數(shù)function G_r=pademod(G_Sys,r,k)c=timmomt(G_Sys,r+k+1); G_r=pade_app(c,r,k);function Gr=pade_app(c,r,k)w=-c(r+2:r+k+1);vv=c(r+1:-1:1);zeros(k-1-r,1);W=rot90(hankel(c(r+k:-1:r+1),vv);V=rot90(hankel(c(r:-1:1);x=1 (Ww); dred=x(k+1:-1:1)/x(k+1);y=c(1) x(2:r+1)*V+c(2:r+1);nred=y

43、(r+1:-1:1)/x(k+1); Gr=tf(nred,dred);3.5 線性系統(tǒng)模型降階-Pad與Routh降階算法(6)例3-21原始模型Pad近似G=tf(1 7 11 5,1 7 21 37 30); Gr=pademod(G,1,2);得到結(jié)果324327115( )7213730sssG sssss20.85440.6957( )1.0914.174sG sss3.5 線性系統(tǒng)模型降階-Pad與Routh降階算法(7)Pad降階算法并不能保持原系統(tǒng)的穩(wěn)定性例3-22 原始模型求取零極點(diǎn)模型num=0.067 0.6 1.5 2.016 1.55 0.6; den=0.067

44、0.7 3 6.67 7.93 4.63 1; G=tf(num,den);zpk(G)得到穩(wěn)定的零極點(diǎn)模型5432654320.0670.61.52.0161.550.6( )0.0670.736.677.934.631sssssG sssssss22(5.92)(1.221)(0.897)(0.91711.381)( )(2.805)(1.856)(1.025)(0.501)(4.2615.582)sssssG sssssss3.5 線性系統(tǒng)模型降階-Pad與Routh降階算法(8)Pad近似Gr=pademod(G,1,3); zpk(Gr)得到不穩(wěn)定的降階模型 Pad降階方法不能保證降

45、階模型的穩(wěn)定性20.6328(0.7695)( )(2.598)(1.1080.3123)rsG ssss3.5 線性系統(tǒng)模型降階-Pad與Routh降階算法(9)Routh算法(Hutton提出的)（較煩瑣，從略）function G_r=routhmod(G_Sys,nr)num=G_Sys.num1;den=G_Sys.den1;n0=length(den);n1=length(num);a1=den(end:-1:1);b1=num(end:-1:1) zeros(1,n0-n1-1);for k=1:n0-1, k1=k+2;alpha(k)=a1(k)/a1(k+1);beta(k

46、)=b1(k)/a1(k+1); for i=k1:2:n0-1 a1(i)=a1(i)-alpha(k)*a1(i+1);b1(i)=b1(i)-beta(k)*a1(i+1);end,endnn=;dd=1;nn1=beta(1);dd1=alpha(1),1;nred=nn1;nred=dd1;for i=2:nr, nred=alpha(i)*nn1,beta(i);dred=alpha(i)*dd1,0; n0=length(dd); n1=length(dred); nred=nred+zeros(1,n1-n0),nn; dred=dred+zeros(1,n1-n0),dd;

47、nn=nn1; dd=dd1;nn1=nred;dd1=dred;EndG_r=tf(nred(nr:-1:1),dred(end:-1:1);3.5 線性系統(tǒng)模型降階-Pad與Routh降階算法(10)Routh算法中由于利用了Routh因子的近似方法對于穩(wěn)定系統(tǒng)總能得到漸進(jìn)穩(wěn)定的降階模型例3-23 仍考慮穩(wěn)定模型 num=0.067 0.6 1.5 2.016 1.55 0.6; den=0.067 0.7 3 6.67 7.93 4.63 1; G=tf(num,den);Gr=zpk(routhmod(G,3)得到穩(wěn)定的降階模型：5432654320.0670.61.52.0161.5

48、50.6( )0.0670.736.677.934.631sssssG sssssss2r20.37792(0.94720.3423)( )(0.4658)(1.150.463)ssG ssssRouth算法得出的降階模型分子階次總是比分母階次少13.5 線性系統(tǒng)模型降階-時間延遲模型的Pad近似(1)假設(shè)，純時間延遲項(xiàng) 的k階傳遞函數(shù)矩陣為MATLAB近似函數(shù)se23123,23231/2()()( 1)()( )1/2()()()nknkknspspspsPsspspsps , pade( , )n dk缺點(diǎn)：分子和分母的階次相同3.5 線性系統(tǒng)模型降階-時間延遲模型的Pad近似(2)純時

49、間延遲項(xiàng)可用Maclaurin級數(shù)近似：編寫MATLAB函數(shù)function n,d=paderm(tau,r,k)c(1)=1;for i=2:r+k+1, c(i)=-c(i-1)*tau/(i-1);endGr=pade_app(c,r,k); n=Gr.num1(k-r+1:end);d=Gr.den1;其中r/k任意選擇223311111!2!3!sesss 3.5 線性系統(tǒng)模型降階-時間延遲模型的Pad近似(3)例3-24 純延遲模型MATLAB求解tau=1; n1,d1=pade(tau,3);G1=tf(n1,d1) n2,d2=paderm(tau,1,3);G2=tf(n

50、2,d2) 兩種方法得到結(jié)果( )sG se321321260120( )1260120sssG ssss132624( )61824sG ssss3.5 線性系統(tǒng)模型降階-時間延遲模型的Pad近似(4)例3-25 已知帶有延遲的線性模型通過以下命令得到近似模型cd=1;tau=2; for i=1:5, cd(i+1)=-tau*cd(i)/i; end; cd G=tf(3 1,1,3,3,1); c=timmomt(G,5); c_hat=conv(c,cd); Gr=zpk(pade_app(c_hat,1,3);2331( )(1)ssG ses20.20122(0.04545)(

51、)(0.04546)(0.40270.2012)sG ssss3.5 線性系統(tǒng)模型降階-帶有時間延遲的次最優(yōu)降階算法(1)降階模型的降階效果誤差定義ISE準(zhǔn)則( )TsG s e/( )sr mGs e( )r t( )e t222200( )( )( )hh t dtw t e t dt3.5 線性系統(tǒng)模型降階-帶有時間延遲的次最優(yōu)降階算法(2)原模型降階模型降階誤差定義111111( )nTsTsnnnnnnb sbsbG s eesa sasa11/111( )rssrrr mmmmmssGs eesss/( ) ( )( ) ( )Tssr mE sG s eGs eR s3.5 線性

52、系統(tǒng)模型降階-帶有時間延遲的次最優(yōu)降階算法(3)參數(shù)向量誤差MATLAB實(shí)現(xiàn)（略）調(diào)用格式111(, )mr220min( )( , )Jw t e tdt0opt_app( , ,key,)rGG r mG若降階模型或原模型中有延遲環(huán)節(jié)，要對延遲采用Pad3.5 線性系統(tǒng)模型降階-帶有時間延遲的次最優(yōu)降階算法(4)例3-26 對傳遞函數(shù)進(jìn)行降階num=68.6131,80.3787,67.087,29.9339,8.8818,1; den=0.0462,3.5338,16.5609,28.4472,21.7611,7.6194,1; Gr=zpk(opt_app(tf(num,den),2,

53、3,0)得出降階模型為2345234561 8.881829.933967.08780.378768.6131( )1 7.619421.761128.447216.56093.53380.0462sssssG sssssss221523.6536(0.34920.2482)( )(74.85)(3.8715.052)rssG ssss3.5 線性系統(tǒng)模型降階-帶有時間延遲的次最優(yōu)降階算法(5)例3-27 已知高階模型den=conv(conv(conv(conv(5,1,2,1),0.7,1),1,1),0.4,1); G=tf(432,den);Gr=zpk(opt_app(G,0,2,1

54、)得到降階模型432( )(51)(21)(0.71)(1)(0.41)G ssssss1.5r31.4907( )(0.3283)(0.222)sG sess3.5 線性系統(tǒng)模型降階-狀態(tài)方程模型的降階算法(1)均衡實(shí)現(xiàn)模型的降階算法MATLAB求解函數(shù) Gr=modred(G,elim)111121111222122222,xAAxBxuyCCDuxAAxBx 1111112222111122221112222112222()()()()xAA A AxBA A B uyCC A AxDC A B u銷去狀態(tài)變量x23.5 線性系統(tǒng)模型降階-狀態(tài)方程模型的降階算法(2)例3-28G=tf(

55、1,7,24,24),1,10,35,50,24); G_b,g=balreal(ss(G) 得到Gram向量g=0.5179,0.0309,0.0124,0.0006T 銷去第3，4狀態(tài)變量G_r=modred(G_b,3，4)；zpk(G_r) 得到r0.025974(4.307)(22.36)( )(1.078)(2.319)ssG sss3.5 線性系統(tǒng)模型降階-狀態(tài)方程模型的降階算法(2)基于Schur均衡實(shí)現(xiàn)模型的降階算法MATLAB求解函數(shù)：Gr=schmr(G, 1, k)例3-29 高階傳遞函數(shù)思路：先轉(zhuǎn)換成狀態(tài)方程，再降階 num=68.6131,80.3787,67.08

56、7,29.9339,8.8818,1; den=0.0462,3.5338,16.5609,28.4472,21.7611,7.6194,1; G=ss(tf(num,den); Gh=zpk(schmr(G,1,3)得到Schur降階模型：2345234561 8.881829.933967.08780.378768.6131( )1 7.619421.761128.447216.56093.53380.0462sssssG sssssss2r21485.3076(0.17890.2601)( )(71.64)(3.8814.188)ssG ssss3.5 線性系統(tǒng)模型降階-狀態(tài)方程模型的降

57、階算法(3)最優(yōu)Hankel范數(shù)的降階模型近似MATLAB求解函數(shù)： Gr=ohklmr(G, 1, k)例3-30 仍采用前面模型 num=68.6131,80.3787,67.087,29.9339,8.8818,1; den=0.0462,3.5338,16.5609,28.4472,21.7611,7.6194,1; G=ss(tf(num,den); Gr=zpk(ohklmr(G,1,3)得到2r21527.8048(0.27640.2892)( )(73.93)(3.8554.585)ssG ssss3.5 線性系統(tǒng)模型降階-降階算法綜述狀態(tài)方程方法不能任意選擇分母分子階次，而許

58、多傳遞函數(shù)方法可以降階效果比較，下章給出時域響應(yīng)比較頻域響應(yīng)比較降階模型的應(yīng)用仿真應(yīng)用（用途越來越?。┛刂破髟O(shè)計應(yīng)用3.6 線性系統(tǒng)的模型辨識模型辨識由已知實(shí)測數(shù)據(jù)獲得系統(tǒng)模型的方法實(shí)測數(shù)據(jù)時域響應(yīng)數(shù)據(jù)、頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)主要內(nèi)容離散系統(tǒng)辨識方法辨識信號生成多變量系統(tǒng)辨識離散系統(tǒng)在線辨識3.6 線性系統(tǒng)的模型辨識-離散系統(tǒng)的模型辨識(1)離散傳遞函數(shù)模型對應(yīng)的差分方程模型已知實(shí)測信號： 輸入 輸出 12121111( )mmdmmnnnnb zb zbzbG zzza zaza12121( )(1)(2)()()(1)(1)( )nmy ta y ta y ta y tnbu tdb u tdbu

59、tdmt (1), (2), ()Tuuuu M (1), (2), ()Tyyyy M3.6 線性系統(tǒng)的模型辨識-離散系統(tǒng)的模型辨識(2)由數(shù)據(jù)可以得出矩陣形式 ，其中1111111(1)(0)(1)(1)()(1)(2)(1)(2)(2)(1)(2)()(1)nmnmya ya ynbudbu mdya ya ynbudbumdy Ma y M 11()()(1)()nma y Mnbu Mdbu MdmMy(0)(1)(1)()(1)(2)(2)(1)(1)()()(1)yynudu m dyynudum dy My Mnu Mdu Mm d 3.6 線性系統(tǒng)的模型辨識-離散系統(tǒng)的模型辨

60、識(3)定義殘差最小指標(biāo)最小二乘解系統(tǒng)辨識工具箱求解：T=arx(y,u,m,n,d) 其中，T為結(jié)構(gòu)體變量，T.a,T.b,tf(T)當(dāng)然，由前面的公式也能直接求解121,Tnmaaa bb 21min( )Mii1y 3.6 線性系統(tǒng)的模型辨識-離散系統(tǒng)的模型辨識(4)例3-31實(shí)測數(shù)據(jù)如表3-1所示基于MATLAB求解 u=;y=; t1=arx(y,u,4,4,1) 可得系統(tǒng)模型為 還可以寫成81234112344.83 1060.59990.1196()10.250.250.125qqqqG zqqqq8324324.83 1060.59990.1196( )0.250.250.12