勾股定理精彩試題分類

1、數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第十七章勾股定理【題型一】勾股定理的驗(yàn)證與證明1如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1，圖中三個(gè)正方形的面積分別是Si、S2、S3,則它們的面積關(guān)系是 ，直角 ABC的三邊的關(guān)系是參考答案：用數(shù)方格的方法或用面積公式計(jì)算三個(gè)正方形面積，得出S什 S2= S3，從而得到：AB 2+BC2 = AC2.2如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1，圖中三個(gè)正方形的面積分別是Si、S2、S3,則它們的面積關(guān)系是 ，直角 ABC的三邊的關(guān)系是參考答案：對(duì)于S3顯然用數(shù)方格的方法不合適，利用“相減法”或“相 加法”用面積公式計(jì)算三個(gè)正方形面積，得出S什 S2= S3，從而得到：AB2+BC2 = AC2.3如圖，

2、是由四個(gè)全等的 Rt 拼成的圖形，你能用它證明勾股定理嗎？參考答案：由 S大正方形=4SRt厶+S小正方形，得2 1 2c = 4 X - ab+(b a)2 a2+b2 = c24.如圖，是由四個(gè)全等的Rt 拼成的圖形，你能用它證明勾股定理嗎?參考答案：由 S大正方形=4SRt厶+S小正方形，得2 1 2(a+b) 2= 4 X - ab+c22 a2+b2 = c2.5如圖，已知/ A = Z B = 90°且厶AED BCE , A、E、B在同一直線上參考答案：先證明 DCE是等腰直角三角形，再根據(jù)梯形面積為三 個(gè)三角形面積之和得1 2 1 1 2 (a+b) 2= 2X ab

3、+ c2,2 2 2- a2+b 2= c2.ABAB根據(jù)此圖證明勾股定理E6如圖，一個(gè)直立的火柴盒倒下來就可以證明勾股定理，請(qǐng)你根據(jù)圖形，設(shè)計(jì)一種證明方法參考答案：方法類似第5題.7. （2011）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家爽為了證明勾股定理， 創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“爽弦圖”（如圖1 1）. 圖1 2由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成 記圖1 2中正方形ABCD，正方形EFGH， 正方形MNKT的面積分別為 3, S2, S3,若S1+S2+S3=10,則S2的值是 .10參考答案：38. （ 2010）問題情境b勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種 證明方法，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)

4、家爽根據(jù)弦圖，利用 面積法進(jìn)行證明，著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾提出把“數(shù)形關(guān)系”（勾股定理）帶到其他星球，作為 地球人與其他星球“人”進(jìn)行第一次“談話” 的語言。定理表述請(qǐng)你根據(jù)圖1中的直角三角形敘述勾股定理（用文字及符號(hào)語言敘述）嘗試證明以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)， 可以構(gòu)造出以a、b為底，以a+b為高的直角梯形（如圖2），請(qǐng)你利用圖2, 驗(yàn)證勾股定理；知識(shí)拓展利用圖2中的直角梯形，我們可以證明2.其證明步驟如下:BC a b, AD又在直角梯形ABCD中有BCAD （填大小關(guān)系），即2.參考答案：定理表述2 2 2 如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a、b,斜邊長(zhǎng)為c,那么a b c嘗試證明Rt A

5、BE g Rt ECD, AEB EDC,又EDCDEC 90 , AEB DEC 90AED 90 .S梯形ABCDSRt ABESRt DEC SRt AED ,C=1 111 (a b)(a b) ab abc2.2 22 22 , 2 2整理，得a b c .知識(shí)拓展AD 、2c, RC AD, a b , 2c【題型二】以勾股定理為基礎(chǔ)的有趣結(jié)論1如圖，根據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù)，確定正方形的面積A =參考答案：10, 144, 1600.2.如圖，直線I上有三個(gè)正方形 a、b、c若a和c的面積 分別為5和11,則b的面積為多少？參考答案：先證兩直角三角形全等，得FE= BC,從而得正方形b的面積

6、為16.AF3.如圖，以直角三角形的三邊向形外作等邊三角形，探 究Sa、Sb和Sc之間的關(guān)系.參考答案：顯然 Sa BCE =Sa ACD =翻2SaABF =C4又 a2+b 2= c2二 Sa+Sb = Sc.4.如圖，以直角三角形的三邊向形外作等腰直角三角形, 探究Sa> Sb和Sd之間的關(guān)系.參考答案：類似上一題.CabCFBEaCAD5.如圖，以直角三角形的三邊向形外作半圓，探究 和Sc之間的關(guān)系.Sa、Sb參考答案：類似上一題6. 如圖，已知 ABC中，/ ACB = 90°,以厶ABC的各邊為長(zhǎng)邊向形外 作矩形，使其寬為長(zhǎng)的一半，則這三個(gè)矩形的面積Si、S2、S3

7、之間有什么關(guān)系，并證明你的結(jié)論參考答案：類似上一題7. 如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形邊長(zhǎng)為7cm,則正方形 A、B、C、D的面積之和為多少？參考答案：49cm28如圖，在水平面上依次放置著七個(gè)正方形已知斜放置的三個(gè)正方形的Si、面積分別是a、b、c，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S2、S3，貝y Si + S2 + S3 + S4=.參考答案：a+c【題型三】利用勾股定理求邊長(zhǎng)和進(jìn)行論證【選擇題】1.在 Rt ABC 中，/C = 90°,a= 12, b = 16,貝U c 的長(zhǎng)為（）A.26B.18C.20D.21參考答案：C已知點(diǎn)P

8、的坐標(biāo)是（3,4），貝U OP的長(zhǎng)為（）2.在平面直角坐標(biāo)糸中,A.3B.4C.5D.參考答案：C3在 Rt ABC 中，/ C = 90°,/ B = 45° ,c= 10，貝U a 的長(zhǎng)為（）A.5B. 10 C.5 2D. 5參考答案：C4. 等邊三角形的邊長(zhǎng)為2, 則該三角形的面積為（A.43B. 3C.23D.3參考答案：B5若等腰三角形的腰長(zhǎng)為10,底邊長(zhǎng)為12,則底邊上的高為（）A.6B.7C.8D.9參考答案：C6若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為3、4、X，則使此三角形是直角三角形的x的值是（）A.5 B. 6 C. 7D.5 或 7參考答案：D7下列各組數(shù)中以a，b

9、，c為邊的三角形不是 Rt的是（）A.a=2， b=3, c=4B.a=7, b=24, c=25C.a=6, b=8, c=10D.a=3,b=4,c=5參考答案：A8. 要從電桿離地面5m處向地面拉一條長(zhǎng)為13m的電纜，則地面電纜固定點(diǎn)與電線桿底部的距離應(yīng)為（）.A.10mB.11mC.12mD.13m參考答案：C9. 現(xiàn)有兩根木棒，長(zhǎng)度分別為44 cm和55 cm.若要釘成一個(gè)三角形木架，其中有一個(gè)角為直角，所需最短的木棒長(zhǎng)度是（）.A.22 cmB.33 cmC.44 cmD.55 cm參考答案：B10. 個(gè)直角三角形，有兩邊長(zhǎng)分別為6和8，下列說確的是（）A.第三邊一定為10B.三角

10、形的周長(zhǎng)為25 C.三角形的面積為48D.第三邊可能為10參考答案：D11.直角三角形的斜邊為20cm，兩條直角邊之比為 3 : 4，那么這個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)為（A.27cm B.30cm參考答案：DC. 40cm D. 48cm12. 將直角三角形的三邊擴(kuò)大相同的倍數(shù)后，得到的三角形是（）A 直角三角形B 銳角三角形C鈍角三角形D 不能確定參考答案：A13. 已知，如圖，一輪船以 16海里/時(shí)的速度從港口 A出發(fā)向東北方向航行,船以12海里/時(shí)的速度同時(shí)從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時(shí)后，則兩船相距（）A . 25海里B. 30海里C. 35海里D. 40海里參考答案：D14. （

11、2010）如圖， ABC和 DCE都是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)B、 C、E在同一條直線上，連接BD，則BD的長(zhǎng)為（）A. .3B. 2、一3C.3、3D. 4.3參考答案：D15. （2010廣西市）如圖是一直角三角形的紙片，兩直角邊AC = 6 cm、BC=8 cm，現(xiàn)將 ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為 DE，貝U BE的長(zhǎng)為（ ）A.4 cmB.5 cm C.6 cm D.10 cm參考答案：B16. （2010廣西）圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1， ABC的三邊a,b,c的大小關(guān)系式（）A. a c b B. a b c C. c a b D. c b a參考答案：C17. （201

12、1）如圖是油路管道的一部分，延伸外圍的支路恰好構(gòu)成一個(gè)直角三角形，兩直角邊分別為6m和8m.按照輸油中心0到三條支路的距離相等來連接管道，則0到三條支路的管道總長(zhǎng)（計(jì)算時(shí)視管道為線，中心0為點(diǎn)）是（ ）A2mB.3mC.6mD.9m參考答案：C18. （ 2011 ）將一個(gè)有45度角的三角板的直角頂點(diǎn)放在一寬為3cm的紙帶邊沿上，另一個(gè)頂點(diǎn)在紙帶的另一邊沿上，測(cè)得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30度角，如圖，則三角板的最大邊的長(zhǎng)為（ ）A. 3cmB. 6cmC. 3 2 cm D. 6 .2 cm參考答案：D19. （2011）如圖， ABC 中，/ C=90°, AC=3，

13、/ B=30。，點(diǎn) P 是邊上的動(dòng)點(diǎn)，貝U AP長(zhǎng)不可能是（）A.3.5B.4.2C.5.8D.7參考答案：DBC20. 直角三角形三邊的長(zhǎng)分別為3、4、X,則x可能取的值有（）.A. 1個(gè) 參考答案：B. 2個(gè)C. 3個(gè)D.無數(shù)多個(gè)B斜邊可以為4或X,故兩個(gè)答案.21. 如果Rt兩直角邊的比為 5 : 12，則斜邊上的高與斜邊的比為（）A.60 : 13B.5 : 12C.12 : 13D.60 : 169參考答案：D22. 直角三角形一直角邊長(zhǎng)為11,另兩邊均為自然數(shù)，則其周長(zhǎng)為（）A.121B.120C.132D.以上答案都不對(duì)參考答案：C【填空題】1. 已知直角三角形兩邊的長(zhǎng)為3和4，

14、則此三角形的周長(zhǎng)為參考答案：12或7 +弓 提示：因直角三角形的斜邊不明確， 結(jié)合勾股定理可求得第三邊的長(zhǎng)為5或7 ,所以直角三角形的周長(zhǎng)為3 + 4+ 5= 12或3 + 4+ 7 = 7+二7 .2. 直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為 3和4,則它斜邊上的高為 12參考答案：516913，再利用面3. 直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12,則它斜邊上的咼為 參考答案：一，提示：設(shè)斜邊的高為 X，根據(jù)勾股定理求斜邊為131 1積法得，5 12 2 13 "x6013 ；4. 如圖，學(xué)校有一長(zhǎng)方形花圃，長(zhǎng)4m,寬3m。，有極少數(shù)人為了避開拐角走捷徑，在花圃走出了一條“路”，他們僅僅少了 步路

15、（2步為lm）,卻踩傷了花草.參考答案：4.圖】5. 圖1是我國(guó)古代著名的“爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的若AC=6 BC=5，將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為6的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)（圖 2實(shí)線部分）是 .參考答案：76.6 .如圖，將一根長(zhǎng) 24 cm的筷子，置于底面直徑為5 cm，高為12 cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯外的長(zhǎng)度為 h cm,則h的取值圍是 .參考答案：1K h< 12.7在 Rt ABC 中，/ C=90 ° ,AB=15,BC:AC=3:4,貝U BC=參考答案：9.8已知：如圖，在 R

16、tA ABC中，/ B=90 ° , D、E分別是邊 AB、AC的中點(diǎn)，DE=4 ,AC=10，貝H AB=.參考答案：6.9已知兩條線段的長(zhǎng)為 9cm和12cm,當(dāng)?shù)谌龡l線段的長(zhǎng)為參考答案：15或3 7.cm時(shí),這三條線段能組成一個(gè)直角三角形10.在 RtA ABC 中，/ C=90 ° , (1)若 a=5, b=12，貝U c=S;(2) b=8, c=17，貝y S ABC參考答案：136011. （2010市）已知 ABC是邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，以 Rt ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個(gè)等腰 Rt ACD，再以RtA ACD的斜邊AD為直角邊，畫 第三個(gè)等腰

17、Rt ADE，依此類推，第n個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)是 .參考答案：（2）n12. （2010省）勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣. 行了二枚以勾股圖為背景的郵票所謂勾股圖是指以直角三角形 的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成，它可以驗(yàn)證勾股定理.在右圖的 勾股圖中，已知/ ACB=90。，/ BAC=30 ° , AB=4 .作 PQR 使得/ R=90。，點(diǎn)H在邊QR上，點(diǎn)D, E在邊PR上，點(diǎn)G , F 在邊_PQ上，那么 PQR的周長(zhǎng)等于 .參考答案：27 + 13.3.1955年希臘發(fā)13.(2010)如圖，四邊形 ABCD 中，AB=AC=AD, E 是 CB 的中點(diǎn)，

18、AE=EC , / BAC=3/ DBC , BD=6.26 6，貝U AB=.參考答案：1214. （2010）如圖，Rt ABC 中，/ C=90° , / ABC=30 ° , AB=6點(diǎn) D 在 AB邊上，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn) B、C重合），且DA=DE，貝U AD的取值 圍是.參考答案：2 W AD < 315. （2010 ）如圖是由4個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形構(gòu)成的“田字格”.只用沒有刻度的直尺在這個(gè)“田字格”中最多可以作出長(zhǎng)度為菽的線段 條.參考答案：8L 一廠一= I i I I I I i I I I11 i i ii I I I Iii16（201

19、0 ）Rt ABC中，/ BAC=90 ° , AB=AC=2 ,以AC為一邊，在厶ABC外部作等腰直角三角形 ACD ,則線段BD的長(zhǎng)為.參考答案：4或25或.1017. （2011綦江）一個(gè)正方體物體沿斜坡向下滑動(dòng)，其截面如圖所示.正方形DEFH的邊長(zhǎng)為2米，坡角/ A2 2 2=30。，/B = 90° ,BC = 6米.當(dāng)正方形 DEFH運(yùn)動(dòng)到什么位置，即當(dāng)AE =米時(shí)，有DC = AE + BC參考答案:143【解答題】1如圖，在 Rt ABC 中，/ ACB=90 ° , CD丄AB , BC=6 , AC=8 , 求AB、CD的長(zhǎng)參考答案：在 Rt

20、ABC中，BC=6 , AC=82 2AB =AC +BCAB= 36 84 = . 100 = 1 0AC BC=4.8AB102.如圖，是由五個(gè)邊長(zhǎng)相同的小正方形組成的“紅十字”形, 試求/ BAC的大小.參考答案：/ BAC=453. （2011）某園藝公司對(duì)一塊直角三角形的花圃進(jìn)行改造測(cè)得兩直角邊長(zhǎng)為6m、8m.現(xiàn)要將其擴(kuò)建成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以8m為直角邊的直角三角形求擴(kuò)建后的等腰三角形花圃的周長(zhǎng).參考答案：由題意可得，花圃的周長(zhǎng)=8+8+8.2 =16+8 P4. 如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形 邊長(zhǎng)都是1,每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格 點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫 三角形（涂

21、上陰影）在圖1中，畫一個(gè)三角形，使它的 三邊長(zhǎng)都是有理數(shù)；在圖2、圖3中，分別畫一個(gè)直角三 角形，使它的三邊長(zhǎng)都是無理數(shù).（兩個(gè)三角形不全等）5. 已知：如圖， ABC中，/ C=90 ° , D是AC的中點(diǎn). 求證：AB2+3BC2=4BD2.參考答案：ABC 中，/ C=90 ° , AB2= BC2+AC2,二 AB 2+3BC 2= 4BC 2+AC 2,又 BC2= BD2 CD2, AB 2+3BC 2= 4BD 2 4CD2+AC 2,又 AC = 2CD ,- AB 2+3BC2=4BD2.【題型四】勾股定理在非直角三角形中的應(yīng)用【選擇題】1若 ABC 中,

22、AB 13cm，AC 15cm，高 ad=12,則 BC 的長(zhǎng)為（）A、14B、4C、14或4D、以上都不對(duì)參考答案：C2 一木工師傅測(cè)量了一個(gè)等腰三角形的腰、底邊和底邊上的高的長(zhǎng)度，但他卻把這三個(gè)數(shù)據(jù)弄混了，請(qǐng) 你幫他找出來，應(yīng)該是（）A. 13, 12, 12 B 12, 12, 8 C. 13, 10, 12 D. 5, 8, 4參考答案：C【填空題】1等腰三角形 ABC的面積為12 cm 2,底上的高 AD = 3皿，則它的周長(zhǎng)為 參考答案：由面積求出底邊為8,進(jìn)而求出腰圍5，故周長(zhǎng)為18.2. （2010）已知，在 ABC 中，/ A= 45°, AC= '2, A

23、B= .3+1，則邊 為.參考答案：2.3. 某市在“舊城改造”中計(jì)劃在市一塊如圖所示的三角形空地上種植某種草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米售價(jià) a元，則購(gòu)買這種草皮 至少需要元.參考答案：150a.【解答題】1. 如圖， ABC 中，AC = 12,/ B = 45°,/ A = 60° 求厶ABC的面積.參考答案：54 + 18 . 3 （作CD丄AB于D）2. 已知等腰三角形腰長(zhǎng)為 10,底邊長(zhǎng)為16,求它的面積 參考答案：48 （作底邊上的高）3. 已知：如圖，在 ABC 中，AB = 15, BC = 14, AC = 13.求 ABC 的面積.參考答案：作任

24、一邊上的高，用勾股定理建立方程，求解【題型五】禾U用勾股定理求不規(guī)則圖形的面積1. 如圖，/ B = / D = 90°,/ A = 60°, AB = 4, CD = 2.求四邊形ABCD的面積.參考答案：6 3 （分別延長(zhǎng)AD、BC或分別延長(zhǎng)AB、DC轉(zhuǎn)化成特殊的直角三角形研究）2. 如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是 1,求圖中格點(diǎn)四邊形 ABCD的面積. 參考答案：25 （用正方形面積減去四個(gè)直角三角形面積或轉(zhuǎn)化成B2以AC為底的兩個(gè)三角形求解）3. 如圖，四邊形 ABCD 中，AB = 3cm , BC = 4cm, CD = 12cm , DA = 13cm, ABC

25、D的面積。參考答案：連接AC在 Rt ABC 中，AC 2 = AB 2 + BC 2AC = , 916 =5cm2中，ACAB BC 342Sabc =6cm2求四邊形2DA = AC2 2+CDRt AC DCSACD2工30 cm22 S 四邊形 ABCD= S abc+ S acd=6+30=36 cm 24.已知：如圖，四邊形 ABCD 中，/ B，/ D 是 Rt/，/A=45。，若 DC=2cm, AB=5cm,求AD和BC的長(zhǎng).參考答案：3, 5I 2,2 （分別延長(zhǎng) AD、BC或分別延長(zhǎng)AB、DC轉(zhuǎn)化成特殊C的面積直角三角形研究）5.四邊形 ABCD 中，AD 丄 DC ,

26、 AD=8 , DC=6 , CB=24 , 參考答案：144 （連接AC ）AB=26.求四邊形ABCD【題型六】勾股定理與方程（組）【選擇題】1.小明想測(cè)量教學(xué)樓的高度.他用一根繩子從樓頂垂下，下端拉開6m后，發(fā)現(xiàn)繩子下端剛好接觸地面，則教學(xué)樓的高為（A. 8 m B. 10 m C. 12 m D. 14 mB2 m,當(dāng)他把繩子的發(fā)現(xiàn)繩子垂到地面后還多了）.參考答案：A 解：設(shè)教學(xué)樓的高為 x,根據(jù)題意得：&2）2X 36 ,解方程得:x=8.2 2 2 +CD =25+144=169 , DA =132=169,2.如果梯子的底端離建筑物9 m,那么15 m長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑

27、物的高度是（A. 10 m B. 11 m C. 12 m D. 13 m2 2 2參考答案：C解：設(shè)建筑物的高度為 x,根據(jù)題意得：15 9 X，解方程得：X=12.3. 已知 Rt ABC 中，/ C=90 ° , a+b=14, c=10，則 RtA ABC 的面積是（ ）A.24B.36C.48D.60參考答案：A.24.（方程組）4.等腰三角形底邊上的高為8，周長(zhǎng)為32，則三角形的面積為（）A.56B.48C.40D.32參考答案：B.48.5已知，如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長(zhǎng)方形折疊, 使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為 EF,則厶ABE的面積為（）c

28、m2.A. 6B. 8C. 10D. 12參考答案：A.6. 如圖，梯子AB靠在墻上，梯子的底端A到墻根0的距離為2m，梯子的頂端B到地 面的距離為7m，現(xiàn)將梯子的底端 A向外移動(dòng)到 A '，使梯子的底端 A '到墻根0的 距離等于3m 同時(shí)梯子的頂端 B下降至B '，那么BB '（）.A .小于1m B.大于1m C .等于1m D .小于或等于 1m參考答案：A提示：移動(dòng)前后梯子的長(zhǎng)度不變，即Rt AOB和Rt A ' OB '的斜邊相等.由勾股定理，得 32 + B ' O2= 22 + 72 , B ' O= 44,6v

29、B' O V 7,則 Ov BB 'v 1.7. 如圖，Rt ABC中，兩直角邊 AC=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將直角邊 AC沿直線AD折疊， 使它落在斜邊 AB上，且與AE重合，則CD等于（）m.A.2B.3C.4D.5C參考答案：B.【填空題】1.在平靜的湖面上，有一支紅蓮，高出水面1米，陣風(fēng)吹來，紅蓮被吹到一邊，花朵齊及水面，已知紅蓮移動(dòng)的水平距離為 2米，問這里水深是m.參考答案：1.5.2 .在 ABC中，CE是AB邊上的中線， CD丄AB于D,且AB=5,BC=4,AC=6,貝U DE的長(zhǎng)為.參考答案：2.3 .在一棵樹的10米高處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹

30、20米處的池塘的A處.另一只爬到樹頂后直接躍到A處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，則這棵樹高 參考答案：15米.4. （2011）如圖，在 Rt ABC 中，/ C=90 ° , BC=6cm , AC=8cm，按圖中所示方法將 BCD沿BD折疊，使點(diǎn) C落在AB邊的C '點(diǎn)，那么 ADC '的面積 是.參考答案：6cm25、 如右圖將矩形 ABCD沿直線 AE折疊,頂點(diǎn)D恰好落在 BC邊上F處，已知CE=3,AB=8,則 BF=參考答案：6.【解答題】F/ C=90 ° , AD 平分/ CAB , CD=1.5 , BD=2.5，求 AC

31、 的長(zhǎng).1 .已知，如圖，在 Rt ABC中, 參考答案：3.（作DE丄AB于E）2如圖，鐵路上 A、B兩點(diǎn)相距25 km, C、D為兩村莊，DA丄AB于A , CB丄AB于B，已知 DA = 15畑,參考答案：設(shè)E站應(yīng)修建在離A站x千米處則BE=25-x。2由題意知：ADAE2BE2BC25522即15 x10(25x)2。修建在離A站多少千米處?C處用側(cè)角儀測(cè)得樹頂端CB = 10 m,現(xiàn)在要在鐵路 AB上修建一個(gè)土特產(chǎn)收購(gòu)站 E，使得C、D兩村到E站的距離相等，則 E站應(yīng)x=103如圖，某公園有一棵大樹，為測(cè)量樹高，小明DC = 1.4m, BC = 30米，請(qǐng)幫助小明計(jì)算出樹高AB .

32、 （ J3取1.732,結(jié)果保留三個(gè)有效數(shù)字）參考答案：過點(diǎn)D作DE丄AB于點(diǎn)E，貝U ED = BC = 30米，EB = DC = 1.4米.設(shè) AE = x 米，在 Rt ADE 中，/ ADE = 30。，貝U AD = 2x.由勾股定理得： AE2+ ED2= AD2，即卩 x2 + 302=（ 2x） 2，解得 x= 103 17.32. AB = AE + EB17.32 + 1.4 18.7（米）.答：樹高AB約為18.7米.4. 小東拿著一根長(zhǎng)竹竿進(jìn)一個(gè)寬為3米的城門，他先橫著拿不進(jìn)去，又豎起來拿，結(jié)果竹竿比城門高1米,當(dāng)他把竹竿斜著時(shí)，兩端剛好頂著城門的對(duì)角，問竹竿長(zhǎng)多少米

33、？參考答案：由題意得：設(shè)城門高為x,（x+1）2 =x 2 +3 22 2x +2x+1=x+92x=8x = 4竹竿長(zhǎng)為4+1 = 5米。答：竹竿長(zhǎng)為5米。4. 小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高度。參考答案：由題意得：（x+1） 2 = x 2 + 2 52 2x +2x+1=x+252x = 24x=12答：旗桿的高度為12米。5. 如圖，小紅用一長(zhǎng)方形紙片 ABCD進(jìn)行折紙，已知該紙片寬 頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處（折痕為AE ）.想一想，此時(shí) 參考答案：設(shè)EC為x,/ADE 與AAFE 對(duì)折 EF

34、 = DE=8 x在 Rt AB F中，EF 2 = AF 2 AB 2BF= ' 10064 =6FC=BCBF=106=4在 Rt AFCE 中，EC=x,EF=8 x,FC = 4,(8 x) =x +46416x+x2=x2+1616x = 48x = 3 EC=36如圖，平面直角坐標(biāo)系中,AB丄AC,求點(diǎn)B的坐標(biāo).參考答案：設(shè) OB=x 貝 U BC=x + 1 ;0C=1,0A=2.在 RtA OAB 中，AB 2=OA 2+ OB2,在 AC2,： X2+ 4= (X + 1) 2( 22 十 12), x=4，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為7如圖，已知將一矩形紙片ABCD沿著對(duì)角線B

35、D折疊，使點(diǎn)C落在C'處，AD=8cm , AB=4cm，求重疊部分A BED的面積。Rt A ABC 中,AB 2=BC2參考答案：由折疊知，/ EBD= / CBD，由 AD / BC,知/ EDB= / CBD,/ EBD= / EDB , EB=ED 設(shè) EB = ED=Xcm，貝U AE= (8x) 在 Rt ABE 中，AE2+ AB2=be2,.(8X)2十 42=x2, X=5 , SA BED=10 (cm).(4, 0)BC ' 交AD于點(diǎn)E,已知【題型七】利用勾股定理求最值1 . ( 2009年北)如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15,寬為10,高為20,點(diǎn)B離點(diǎn)C的距

36、離為5，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn) A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是()a . 5.21 B . 25 C. 10 - 5 5 D. 35參考答案：B.主要利用圖形的展開、勾股定理Zl._B 5 ZnC2一只螞蟻從長(zhǎng)為4cm、寬為3 cm，高是5 cm的長(zhǎng)方體紙箱的 A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是 cm。參考答案：.743. (10分)如圖，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn) B D作AB丄BD , ED丄BD , 連結(jié) AC、EC,已知 AB=5 , DE=1 , BD=8，設(shè) CD=xA(1)用含x的代數(shù)式表示 AC十CE的長(zhǎng);(2)試求AC十CE的最小值；參考答案：(

37、1) AC+CE=、千 二宀F存:(2)最小值134.如圖所示，無蓋玻璃容器，高18cm，底面周長(zhǎng)為60cm，在外側(cè)距下底1 cm的點(diǎn)C處有一蜘蛛，與蜘蛛相對(duì)的容器的上口外側(cè)距開口1 cm的F處有一蒼蠅，試求急于撲貨蒼蠅充饑的蜘蛛，所走的最短路線的長(zhǎng)度參考答案：將曲線沿 AB展開，如圖所示，過點(diǎn) C作CE丄AB于E.大全在 Rt CEF, CEF 90 , EF=18-1-仁16 ( cm ),CE=2. 6030(cm),由勾股定理，得 CF= ,CE2 EF2.302 162 34(cm)5.如圖，一個(gè)牧童在小河的南 4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋 西8km北7km處，他想把他的馬牽

38、到小河邊去飲水，然后回家 件事情所走的最短路程是多少？參考答案：如圖，作出A點(diǎn)關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)A '，連接A'P,則A' B就是最短路線.在Rt A' DB 中,由勾股定理求得B的他要完成這B交MN于點(diǎn)A' B=17km.【題型八】勾股定理逆定理及其應(yīng)用【選擇題】1 下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫叺娜切尾皇侵苯侨切蔚氖牵ˋ 1.5, 2, 3 B. 7, 24, 25C 6, 8, 10參考答案：A2.分別以下列四組為一個(gè)三角形的三邊的長(zhǎng)： 能構(gòu)成直角三角形的有（）.A.4組B.3組參考答案：B,對(duì).3 （ 2010 ）在厶 ABC 中，AB=6 , AC

39、=8 , BC=10 , A .銳角三角形 參考答案：B4.下列各組數(shù)據(jù)中，8、10 : 5、C.2組D.1組B 直角三角形不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)的是（53A.9 , 12, 15 B. - ,1,一44C.0.2 , 0.3 , 0.4)D. 3, 4,12、則該三角形為（鈍角三角形D.40, 41, 9參考答案：C5滿足下列條件的三角形中,不是直角三角形的是（A.三個(gè)角比為1 : 2 : 1B.三邊之比為1 :2:5C.三邊之比為3 : 2 :D.三個(gè)角比為參考答案：C6已知三角形兩邊長(zhǎng)為2和6，要使這個(gè)三角形為直角三角形,A. 2 B.2 10C4 2或 2 10D.以上都不對(duì)參考答案

40、：C(A)(B)7.五根小木棒，其長(zhǎng)度分別為參考答案：CA13;& 15、17; 7、8、9,其中）D 等腰直角三角形則第三邊的長(zhǎng)為（20(C)25(D)15 , 20, 24, 25，現(xiàn)將他們擺成兩個(gè)直角三角形，其中正確的是（8三角形的三邊 a、b、c滿足關(guān)系：（a十b） 2=c2 + 2ab,則這個(gè)三角形是（）A 直角三角形B、銳角三角形C 鈍角三角形D條件不足，不能確定參考答案：A9 .若 ABC 的三邊 a、b、c 滿足 a2+ b2+ c2十 338= 10a+ 24b+ 26c,則厶 ABC 的面積是（）A.338B.24C.26D.30參考答案：D10. A ABC 的三

41、邊 a、b、c 滿足 a3+b3+a2b+ab2-ac2-bc2=0，則 ABC 的形狀是（）A、直角三角形；B、等邊三角形；C、等腰三角形；D、等腰直角三角形。 參考答案：A11 如果Rt的兩直角邊長(zhǎng)分別為n2- 1, 2n （ n>1）,那么它的斜邊長(zhǎng)是（）A.2 nB.n+1參考答案：DC.n 2- 1D.n 2+1【填空題】2 221.若一個(gè)三角形的三邊滿足c ab ，則這個(gè)三角形是參考答案：直角三角形.2. ABC的三邊分別是 7、24、 25,則三角形的最大角的度數(shù)是參考答案：90° .3三邊為9、12、15的三角形，其面積為 .參考答案：54.4. 已知三角形 A

42、BC的三邊長(zhǎng)為a,b, c滿足a b 10, ab 18 , c 8，則此三角形為 三角形參考答案：直角三角形.5. 在三角形 ABC 中，AB=12 cm , AC=5 cm , BC=13 cm，貝U BC 邊上的高為 AD=cm .60參考答案：一136. 已知兩條線段的長(zhǎng)為 5cm和12cm,當(dāng)?shù)谌龡l線段的長(zhǎng)為 cm時(shí)，這三條線段能組成一個(gè)直角三角形參考答案：13cm或一 119A【解答題】1.如圖，已知四邊形 ABCD 中，/ B=90 ° , AB=3 , BC=4 , CD=12 , AD=13，求四邊形 ABCD的面積.參考答案：36 （連接AC ）2.如圖，E、F分

43、別是正方形 ABCD中BC和CD邊上的點(diǎn)，且1AB=4 , CE= BC , F為CD的中點(diǎn)，連接ADFE4AF、AE，問 AEF是什么三角形？請(qǐng)說明理由參考答案：由勾股定理得 AE2=25, EF2=5,AF2=20,t AE2= EF2 +AF2, aef是直角三角形3. 在厶 ABC 中，BC=m2-n2, AC=2mn , AB=m 2+n2(m > n). 求證： ABC是直角三角形.參考答案：證(m2 n2)2+(2mn)2= (m2+n2)24. 老師在一次“探究性學(xué)習(xí)”課中設(shè)計(jì)了如下的數(shù)表：n2345a22 - 132 - 142 - 152 - 1b46810c22 +

44、 132 + 142 + 152 + 1請(qǐng)你分別觀察 a b c與n之間的關(guān)系，并用含自然數(shù) n(n>1)的式子表示：a=b=, c=.猜想：以a、b、c為邊的三角形是否為直角三角形？并證明你的猜想。參考答案：n 2-1,2 n,n2+1參考答案：第七組,2 7 115,b2 7 (71)112,c1121113.第 n組，a 2n 1,b 2n(n 1),c2n(n 1)1猜想：以abc為邊的三角形為直角三角形。證明略5.觀察下列勾股數(shù):第一組：3=2 X 1 + 1,4=2 X 1 X(1+1),5=2 X 1 X(1 + 1)+1 ；第二組：5=2 X 2+ 1,12=2X 2X(

45、2+1 ),13=2X 2X(2+1)+ 1 ；第三組：7=2 X 3+ 1,24=2X 3X(3+1 ),25=2X 3X(3+1)+ 1 ；第三組：9=2 X 4+ 1,40=2X 4X(4+1 ),41=2X 4X(4+1)+ 1 ；觀察以上各組勾股數(shù)的組成特點(diǎn)，你能求出第七組的a,b,c各應(yīng)是多少嗎？第 n組呢?).B.18mC.25mD.26mA依勾股定理先求出底邊為12,而地毯長(zhǎng)等于兩直角邊的和,即 12+5=17.6. ( 2011)王偉準(zhǔn)備用一段長(zhǎng) 30米的籬笆圍成一個(gè)三角形形狀的小圈，用于飼養(yǎng)家兔已知第一條邊長(zhǎng)為a米，由于受地勢(shì)限制，第二條邊長(zhǎng)只能是第一條邊長(zhǎng)的2倍多2米.(

46、1)請(qǐng)用a表示第三條邊長(zhǎng)；問第一條邊長(zhǎng)可以為 7米嗎？為什么？請(qǐng)說明理由，并求出 a的取值圍；能否使得圍成的小圈是直角三角形形狀，且各邊長(zhǎng)均為整數(shù)？若能，說明你的圍法；若不能，請(qǐng)說明理由參考答案：(1)第一條邊為a,第二條邊為2a+2,第三條邊為30-a- (2a+2) =28-3a不可以是7,v第一條邊為7,第二條邊為16,第三條邊為7,不滿足三邊之間的關(guān)系，不 可以構(gòu)成三角形。乎> a> 5(3)5,12,13,可以圍成一個(gè)滿足條件的直角三角形【題型九】勾股定理及逆定理與實(shí)際問題1如圖，在高為5m,坡面長(zhǎng)為13m的樓梯表面鋪地毯， 地毯的長(zhǎng)度至少 李兩 ( 需<(A.17

47、m參考答案：2將一根24cm的筷子，置于底面直徑為15cm，高8cm的圓柱形水杯中，如圖所示,設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度為hem，則h的取值圍是（）.A . h < 17cmB. h > 8emC. 15cm< h< 16cmD. 7cm< h< 16cm參考答案：D3木工師傅要做一個(gè)長(zhǎng)方形桌面，做好后量得長(zhǎng)為80cm,寬為60cm,對(duì)角線為100cm,則這個(gè)桌面 .（填“合格”或“不合格”）參考答案：合格4.輪船在大海中航行，它從A點(diǎn)出發(fā)，向正北方向航行20畑，遇到冰山后，又折向東航行輪船與a點(diǎn)的距離為 m.參考答案：255. （2009年）長(zhǎng)為4m的梯子搭

48、在墻上與地面成 45°角，作業(yè)時(shí)調(diào)整為 示），則梯子的頂端沿墻面升高了 m.參考答案：2（ 32），利用勾股定理即可15 km,則此時(shí)60°角（如圖所6. 如圖，A城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在 A城正西方向320km的B處，以每小時(shí)40km的速度向北偏東 60° 的BF方向移動(dòng)，距離臺(tái)風(fēng)中心200km的圍是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域.若A城受到這次臺(tái)風(fēng)影響，那么 A城遭受這次臺(tái)風(fēng)影響有多長(zhǎng)時(shí)間？ 參考答案：過點(diǎn)A做AC丄BF于點(diǎn)C,由A、B、C三點(diǎn)構(gòu)造直角三角形, 160< 200 A城受到這次臺(tái)風(fēng)的影響（2）以點(diǎn)A為圓心以200為半徑畫圓弧交根據(jù)勾股定理求出直角邊 AC=

49、160 ,BF 于 D、E, 2 2在 Rt ACD 中，CD AD AC 所以 DE=240 , A城遭受這次臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間為240 40=6 （小時(shí)）7. 如圖1, 一個(gè)梯子 AB長(zhǎng)2.5m，頂端A靠在墻AC上，這時(shí)梯子下端角C距離為1.5m，梯子滑動(dòng)后停在 DE的位置上，如圖 2,測(cè)得BD長(zhǎng)為0.5m，求梯子頂端 A下落了多少米.參考答案：在 Rt ABC 中，AB2 = AC2+ BC2 2.52 = AC2+ 1.52,. AC = 2 （ m）.在 RtA EDC 中，DE2 = CE2+ CD2,： 2.52= CE2+ 22'. CE2= 2.25,： CE = 1.5

50、 （m）, AE = AC CE = 2 1.5= 0.5 （m）答：梯子頂端A下落了 0.5m.8. 如圖，矩形零件上兩孔中心A、B的距離是多少（精確到個(gè)位）？參考答案：43 （提示：做矩形兩邊的垂線，構(gòu)造Rt ABC，利用勾股定理,AB2= AC2+ BC2= 192+ 392 = 1882, AB 43）2002 1602120B與墻AC圖1C1rj3J2103B DA城是否受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？為什么?C9. （2009年）如圖，在一次數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，小明同學(xué)在點(diǎn)P處測(cè)得教學(xué)樓 A位于北偏東60°方向，辦公樓 B位于南偏東45°方向.小明沿正向前進(jìn) 60米到達(dá)C處，此時(shí)測(cè)得教學(xué)樓 A恰好位于正北方向，辦公樓 B正好位于正南方向求教學(xué)樓A與辦公