動(dòng)態(tài)幾何變化問題

1、動(dòng)態(tài)幾何變化問題（）以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)探究幾何圖形部分變化規(guī)律的問題，稱之為動(dòng)態(tài)幾何問題動(dòng)態(tài)幾何問題充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“變”與“不變”的和諧統(tǒng)一，其特點(diǎn)是圖形中的某 些元素（點(diǎn)、線段、角等）或某部分幾何圖形按一定的規(guī)律運(yùn)動(dòng)變化，從而又引起了其它 一些元素的數(shù)量、位置關(guān)系、圖形重疊部分的面積或某部分圖形的形狀等發(fā)生變化，但是 圖形的一些元素?cái)?shù)量和關(guān)系在運(yùn)動(dòng)變化的過程中卻互相依存，具有一定的規(guī)律可尋1了解動(dòng)態(tài)幾何問題涉及的常見情況；2掌握講義中涉及的動(dòng)態(tài)幾何變換的思考策略與解題方法;3數(shù)形結(jié)合、空間想象能力和綜合分析能力的訓(xùn)練。知識(shí)結(jié)構(gòu)本部分建議時(shí)長5分鐘“知識(shí)結(jié)構(gòu)”這一部分的教學(xué)，老師在教學(xué)時(shí)刻根據(jù)每

2、種情況進(jìn)行簡單例舉，也可讓學(xué)生 進(jìn)行回顧例舉 考點(diǎn)一、建立動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)解析式動(dòng)點(diǎn)問題反映的是一種函數(shù)思想，由于某一個(gè)點(diǎn)或某圖形的有條件地運(yùn)動(dòng)變化 ，引起未知 量與已知量間的一種變化關(guān)系，這種變化關(guān)系就是動(dòng)點(diǎn)問題中的函數(shù)關(guān)系 下面結(jié)合中考試題 舉例分析一、應(yīng)用勾股定理建立函數(shù)解析式。二、應(yīng)用比例式建立函數(shù)解析式。三、應(yīng)用求圖形面積的方法建立函數(shù)關(guān)系式?？键c(diǎn)二、動(dòng)態(tài)幾何型壓軸題動(dòng)態(tài)幾何特點(diǎn)-問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關(guān)系；分析過程中，特別要關(guān)注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊 位置。）動(dòng)點(diǎn)問題一直是中考熱點(diǎn)，近幾年考查探究運(yùn)動(dòng)中的特殊性：等腰

3、三角形、直角三 角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。下面就 此問題的常見題型作簡單介紹，解題方法、關(guān)鍵給以點(diǎn)撥。一、以動(dòng)態(tài)幾何為主線的壓軸題。（一）點(diǎn)動(dòng)問題。（二）線動(dòng)問題。（三）面動(dòng)問題。二、 解決動(dòng)態(tài)幾何問題的常見方法有：1、特殊探路，一般推證。2、動(dòng)手實(shí)踐，操作確認(rèn)。3、建立聯(lián)系，計(jì)算說明。三、專題二總結(jié)，本大類習(xí)題的共性：1 代數(shù)、幾何的高度綜合（數(shù)形結(jié)合）；著力于數(shù)學(xué)本質(zhì)及核心容的考查 ；四大數(shù)學(xué)思想： 數(shù)學(xué)結(jié)合、分類討論、方程、函數(shù).2 以形為載體，研究數(shù)量關(guān)系；通過設(shè)、表、列獲得函數(shù)關(guān)系式；研究特殊情況下的函 數(shù)值?？键c(diǎn)三、雙動(dòng)點(diǎn)問題點(diǎn)動(dòng)、線

4、動(dòng)、形動(dòng)構(gòu)成的問題稱之為動(dòng)態(tài)幾何問題它主要以幾何圖形為載體，運(yùn)動(dòng)變化為主線，集多個(gè)知識(shí)點(diǎn)為一體，集多種解題思想于一題1以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，探求函數(shù)圖象問題。2以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，探求結(jié)論開放性問題。3以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，探求存在性問題。4以雙動(dòng)點(diǎn)為載體，探求函數(shù)最值問題。這類試題信息量大，解題時(shí)需要用運(yùn)動(dòng)和變化的眼光去觀察和研究問題，挖掘運(yùn)動(dòng)、變化的全過程，并特別關(guān)注運(yùn)動(dòng)與變化中的不變量、不變關(guān)系或特殊關(guān)系，動(dòng)中取靜，靜中求動(dòng)?？键c(diǎn)四、函數(shù)中因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題 考點(diǎn)五、以圓為載體的動(dòng)點(diǎn)問題動(dòng)點(diǎn)問題是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，中考經(jīng)?？疾?，有一類動(dòng)點(diǎn)問題，題中未說到圓，卻與圓有關(guān)，只要巧妙地構(gòu)造圓，以圓為

5、載體，利用圓的有關(guān)性質(zhì)，問題便會(huì)迎刃而解；此類 問題方法巧妙，耐人尋味。a 1S本部分建議時(shí)長25分鐘1、建立函數(shù)型悶溯題11. ()如圖，在邊長為4的形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿AB向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿BC t CD方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t, APQ的面積為S,則S與t的函數(shù)關(guān)系的圖象是()【分析】動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿BCt CD方向運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的時(shí)間為4十2=2秒。由題意得，當(dāng) 0< t< 2時(shí)，即點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在BC上，AP

6、=t, BQ=2t,1 12S AP BQ t 2t t，為開口向上的拋物線的一部分。2 2當(dāng)2 V t< 4時(shí)，即點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在DC上，AP=t, AP上的高為4,1 1S - AP 4- t 4 2t，為直線(一次函數(shù))的一部分。2 2觀察所給圖象，符合條件的為選項(xiàng)D。故選D。答案：D2. ()如圖，形 ABCD的邊長為4cm，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度 分別沿AtBC和AtC的路徑向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(單位：s),四邊形PBDQ2 2 2 1114w x< 8 時(shí)，y=S bcd Sacpq= X 4X 4 ? (8 x)?( 8 x) = -

7、(8 - x)2222+8, y與x之間的函數(shù)關(guān)系可以用兩段開口向下的二次函數(shù)圖象表示，縱觀各選項(xiàng)，只有B選項(xiàng)圖象符合。故選 B。答案：B3 一一3. ()直線 y x 6與坐標(biāo)軸分別交于 A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從0點(diǎn)4出發(fā)，同時(shí)到達(dá) A點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)停止.點(diǎn) Q沿線段0A 運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度，點(diǎn)P沿路線O t B t A運(yùn)動(dòng).(1 )直接寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2) 設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒， OPQ的面積為S,求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；t 48（3）當(dāng)S時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并直接寫出以點(diǎn)5M的坐標(biāo).0、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)A (8,QOA 8, OB 6AB0) B

8、 (0, 6)x10Q點(diǎn)Q由O到A的時(shí)間是88 （秒）16 10點(diǎn)P的速度是2 （單位/秒）8當(dāng)P在線段0B上運(yùn)動(dòng)（或0 < t < 3)時(shí),OQt,OP2t S t2當(dāng)P在線段BA上運(yùn)動(dòng)（或3 t < 8)時(shí)，OQt,AP6 10 2t,PDAP486t如圖，作PDOA于點(diǎn)D，由，得PDBOAB513 224S -0Q PDtt255“、8 248 2412241224(3) P h，一,M2M35 555555516 2t,1、解決這類問題，要善于探索圖形的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)和規(guī)律，抓住變化中圖形的性質(zhì)與特征，化 動(dòng)為靜，以靜制動(dòng)。2、 解決運(yùn)動(dòng)型試題需要用運(yùn)動(dòng)與變化的眼光去觀察和

9、研究圖形，把握圖形運(yùn)動(dòng)與變化的全過程，抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系，并特別關(guān)注一些不變量和不變關(guān)系或特殊關(guān)系3、動(dòng)中求靜，即在運(yùn)動(dòng)變化中探索問題中的不變性；動(dòng)靜互化，抓住“靜”的瞬間，使一 般情形轉(zhuǎn)化為特殊問題，從而找到“動(dòng)與靜”的關(guān)系我來試一試！1. （）如圖為反比例函數(shù) y=±在第一象限的圖象，點(diǎn) A為此圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) Ax分別作AB丄x軸和AC丄y軸，垂足分別為 B, C.則四邊形 OBAC周長的最小值為（）B.32. （）如圖，在梯形ABCD中，AD / BC, / A=60 ° ,動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s 的速度沿著 At B CtD的方向不停移動(dòng)，

10、直到點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)D后才停止.已知 PAD的 面積s （單位：錯(cuò)誤！未找到引用源。）與點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間t （單位：s）的函數(shù)關(guān)系式如 圖所示，則點(diǎn)P從開始移動(dòng)到停止移動(dòng)一共用了 秒（結(jié)果保留根號）.3. （）如圖（1）所示，E為矩形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P、Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿折線BE - ED - DC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，它們 運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/秒.設(shè)P、Q同發(fā)t秒時(shí)， BPQ的面積為ycm2.已知y與t的函數(shù)關(guān) 系圖象如圖（2）（曲線0M為拋物線的一部分），則下列結(jié)論：AD=BE=5 ;cos/ ABE=-：;5229當(dāng)OV tw 5時(shí)，y= t2 ；當(dāng)

11、t 秒時(shí)， ABEQBP :其中正確的結(jié)論是（填54序號）.4. （）在 Rt ABC 中，/ C=90 ° , AC = 3 , AB = 5 .點(diǎn) P 從點(diǎn) C 出發(fā)沿 CA 以每 秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn) A勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來的速度沿 AC返回；點(diǎn)Q從點(diǎn) A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn) B勻速運(yùn)動(dòng).伴隨著 P、Q的運(yùn)動(dòng)，DE保持垂直 平分PQ，且交PQ于點(diǎn)D，交折線QB-BC-CP于點(diǎn)E.點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn) Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) P也隨之停止.設(shè)點(diǎn) P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t> 0）.（1 ）當(dāng)t = 2時(shí)，AP =，點(diǎn)Q到AC的距離是;（2）在

12、點(diǎn)P從C向A運(yùn)動(dòng)的過程中，求 APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；（不必寫出t的取值圍）（3）在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形 QBED能否成為直 角梯形？若能，求t的值.若不能，請說明理由；（4）當(dāng)DE經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，請直接 寫出t的值.答案：1.A2.4 + 2 3384解：(1) 1,5(2)作 QF丄AC于點(diǎn) F，如圖 3, AQ = CP= t,二 AP 3 t .由厶AQFABC, bc . 5232圖414-S 尹 t) 5t，即 S-t2 6t .55(3 )能.當(dāng)DE / QB時(shí),如圖4 ./ DE 丄 PQ,. PQ 丄 QB ,四邊形QBED是直角梯形.此時(shí)/ AQP=90 &

13、#176;由厶 APQABC ,得也APACAB，即-口.解得t9358如圖5，當(dāng)PQ / BC時(shí)，DE丄BC,四邊形 QBED是直角梯形此時(shí)/ APQ =90 ° .由厶 AQPABC ,得AQAPABAC，即-* .解得t15538(4) t 5 或 t 45 .214點(diǎn)P由C向A運(yùn)動(dòng)，DE經(jīng)過點(diǎn)C .連接QC,作QG丄BC于點(diǎn)G,如圖6 .PC t , QC2 QG2 CG23(5 t)24 -(5 t)2 .R圖555由 PC2 QC2，得 t2 3(5 t)2 4 4(5 t)2，解得 t 5 .552點(diǎn)P由A向C運(yùn)動(dòng)，DE經(jīng)過點(diǎn)C,如圖7.2324245(6 t) (5

14、t)4(5 t) , t -551422、以圓為載體型例題21. ()如圖所示，已知 A點(diǎn)從點(diǎn)(1,0)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長的速度沿著x軸的向運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過t秒后，以0、A為頂點(diǎn)作菱形 OABC，使B、C點(diǎn)都在第一象限，且/ AOC=60 0,又以P (0, 4)為圓心，PC為半徑的圓恰好與 OA所在直線相切，則t=.答案：4 3 12. ()如圖， C為O O直徑AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) C的直線交O O于D, E兩點(diǎn)，且/ACD=45 ° , DF丄AB于點(diǎn)F, EG丄AB于點(diǎn)G,當(dāng)點(diǎn)C在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè) AF=x , DE=y ,F列中圖象中，能表示 y與x的函數(shù)關(guān)系式的圖象大致是(B

15、三D.3. ()如圖，邊長為 6的形ABCD部有一點(diǎn)P,BP=4,/ PBC=60。，點(diǎn) Q為形邊上一動(dòng)點(diǎn)，且 PBQ是等腰三角形，則符合條件的Q點(diǎn)有個(gè)【分析】如圖，符合條件的 Q點(diǎn)有5個(gè)。當(dāng)BP=BQ時(shí)，在AB，BC邊上各有1點(diǎn)；當(dāng)BP=QP時(shí)，可由銳角三角函數(shù)求得點(diǎn)P到AB的距離為2，到CD的距離為4,到BC的距離為2 3，到AD的距離為6 2 3，故在BC，CD，DA邊上各有1點(diǎn);當(dāng)BQ=PQ時(shí)，BP的中垂線與 AB，BC各交于1點(diǎn)，故在 AB，BC邊上各有1點(diǎn)。又當(dāng)Q在BC邊上時(shí)，由于 BPQ是等邊三角形，故 3點(diǎn)重合。因此，符合條件的 Q點(diǎn)有5個(gè)。答案：51 24. ()在平面直角坐

16、標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù) y x mx n的圖象經(jīng)過點(diǎn)4A(2,0)和點(diǎn)B(1, 3)，直線I經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)且與 y軸垂直，垂足為 Q .4(1) 求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2) 設(shè)拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B處出發(fā)沿拋物線向上運(yùn)動(dòng)，其縱坐標(biāo) yi隨時(shí)間t(t > 0)的變化規(guī)律為yi3 2t.現(xiàn)以線段OP為直徑作e C4 當(dāng)點(diǎn)P在起始位置點(diǎn) B處時(shí)，試判斷直線I與e C的位置關(guān)系，并說明理由；在點(diǎn) P運(yùn) 動(dòng)的過程中，直線I與e C是否始終保持這種位置關(guān)系 ？請說明你的理由； 若在點(diǎn)P開始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，直線I也向上平行移動(dòng)，且垂足Q的縱坐標(biāo)y2隨時(shí)間t的變化規(guī)律為y21 3t,則當(dāng)t在什么圍

17、變化時(shí)，直線I與e C相交？此時(shí)，若直線I被e C所截得的弦長為a ,試求a2的最大值.3答案：解：(1)將點(diǎn)A(2,0)和點(diǎn)B(1,)的坐標(biāo)代入y41 x2 mx n，得412m n 013，解得_m n _441 2二次函數(shù)的表達(dá)式為 y ' x21 o4(2)當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B處時(shí)，直線I與eC相切。理由如下:3 13點(diǎn)P(1, ) ,圓心的坐標(biāo)為C(, 一)， e C的半徑為4 283|又拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0, 1),即直線I上所有點(diǎn)的巫坐標(biāo)均為一1,3 5從而圓心C到直線1的距離為d 8( 1)8 r。直線1與e C相切。在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，直線1與e C始終保持相切的位置關(guān)系。

18、 理由如下:設(shè)點(diǎn)P(x0, 3 2t)，則圓心的坐標(biāo)為C(X°, 3 t)，4 283 5圓心C到直線I的距離為d ( t) ( 1) t。883 1又一2t x021 ,Xo28t1。4 4則 eC 的半徑為 r (Xo)2| 3t|28t1t23t9(t 5)2t 5 d。V28 V 4464 Y 88直線I與eC始終相切。5由知e C的半徑為r t 58，3816d (t)(1 3t)5 2t。則由d88此時(shí)0t w5。163又圓心C的縱坐標(biāo)為t，直線I上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1 3t ,835( i)當(dāng) t >1 3t，即t W 時(shí)，圓心C到直線I的距離為r，得 5 2t t

19、5，解得 t 0,8 835d ( 1 3t)(ot)2t88則由dr,得 2t5t 5，解得t88(11)當(dāng) 8 七 *13t，即t >555。此時(shí)一v t41645綜上所述，當(dāng)0 t 時(shí),直線I與e C相交。4當(dāng) 0 t55時(shí)，圓心C到直線I的距離為d455時(shí)，圓心C到直線I的距離為165|2t|，又半徑為r822225 25 22575a2 4(r2 d2) 4(t)2 12t|212t2 15t= 12 t +。8 8 8 165 275當(dāng)t 時(shí)，a取得最大值為一。8 161. 關(guān)于圓的動(dòng)點(diǎn)問題要考慮圓的對稱性；2. 建立函數(shù)模型解決動(dòng)點(diǎn)問題是很好的突破口;3. 空間想象能力的培

20、養(yǎng)注重平時(shí)的積累。本部分建議時(shí)長10分鐘1.()如圖，O 01和O 02切于A ,O 01的半徑為3,0 02的半徑為2,點(diǎn)P為O 01BP上的任一點(diǎn)(與點(diǎn)A不重合)，直線PA交O 02于點(diǎn)C,PB 切O 02 于點(diǎn)B,則PC的值為為線段BC , CD ,(B)33(C) 2_6(D)2A0菱形 ABCD 中,AB=2，/ A=120。，點(diǎn)P, Q, K分別BD上的任意一點(diǎn)，貝U PK+QK的最小值為03.()如圖，已知直線m、線y = (x>0)交于點(diǎn)B(2,X作x軸的平行線分別交雙曲線I經(jīng)過點(diǎn)1).過點(diǎn)D .3 + 1< 0)于點(diǎn) M、N .(1)求m的值和直線I的解析式；若點(diǎn)

21、P在直線y= 2上，求證： PMB s PNA ；(3)是否存在實(shí)數(shù)p，使得SaAMN = 4SaAMP ?若存在，請求出所有滿足條件的p的值；若不存在，請說明理由.4.()已知拋物線5y ax2 bx c經(jīng)過 P( 3, 3, E, 02及原點(diǎn)O(0,0)(1)求拋物線的解析式.2 2(由般式得拋物線的解析式為 yx.35 3x)3(2 )過P點(diǎn)作平行于x軸的直線PC交y軸于C點(diǎn)，在拋物線對稱軸右側(cè)且位于直線PC下方的拋物線上，任取一點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作直線QA平行于y軸交x軸于A點(diǎn)，交直線PC于B點(diǎn)，直線QA與直線PC及兩坐標(biāo)軸圍成矩形 OABC 是否存在點(diǎn)Q ,使得 OPC與 PQB相似？若存

22、在，求出 Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.(3) 如果符合(2)中的Q點(diǎn)在x軸的上方，連結(jié) OQ，矩形OABC的四個(gè)三角形 OPC, PQB, OQP, OQA之間存在怎樣的關(guān)系？為什么?答案：1.B2.B3解：由點(diǎn)B(2, 1)在y= £上，有2 =巴，即 m= 2。1設(shè)直線I的解析式為y kxb，由點(diǎn) A(1 , 0)，點(diǎn) B(2,2k b 1解之，得1 , b= 1所求直線l的解析式為(2)Q點(diǎn)P(p , p- 1)在直線y= 2上, P在直線l上,是直線y= 2和I的交點(diǎn)，見圖(1)。根據(jù)條件得各點(diǎn)坐標(biāo)為N (- 1 , 2), M (1, 2), P (3 ,7V Jh丿Q

23、 /? *(1>1)在y kx b上，得2)。 NP = 3-(- 1)= 4, MP = 3 1 = 2, AP = 22 228 2 2 ,BP = .12 12.2BP 2 °NP AP 在 PMB 禾叱 PNA 中，/ MPB = / NPA，麗1Ssmn =1 1 2 2。下面分.情況討論:當(dāng)1v pv3時(shí)，延長MP交X軸于Q,見圖（線MP為y kxb則有kpK b解得p 3p 1p 11設(shè)直則直線MP為當(dāng)y=0時(shí)，x =即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（則S AMP S AMQAPQp 1廠L 13 p0)。2p 4p 33 p，2由2= 4 處芒有2p2 9p3 p0，解之，p= 3 （不合,3舍去），