測量平差練習題及參考答案

1、計算題1、如圖,圖中已知A 、B 兩點坐標,C 、D 、E 為待定點,觀測了所有內(nèi)角,試用條件平差的方法列出全部條件方程并線性化。解:觀測值個數(shù) n =12,待定點個數(shù)t =3,多余觀測個數(shù)r =n -2t =6 圖形條件4個:180(0180(0180(0180(0121110121110987987654654321321-+-=-+-+-=-+-+-=-+-+-=-+L L L w w v v v L L L w w v v v L L L w w v v v L L L w w v v v d d c c b b a a 圓周條件1個:360(0963963-+-=-+L L L w

2、w v v v e e 極條件1個:''-=-+sin sin sin sin sin sin 1(0cot cot cot cot cot cot 852741774411885522L L L L L L w w v L v L v L v L v L v L f f2、設(shè)有一函數(shù)2535+=x T ,6712+=y F 其中:+=+=n n nn L L L y L L L x 22112211 i =A 、i =B (i =1,2,n 是無誤差的常數(shù),L i 的權(quán)為p i =1,p ij =0(i j 。1求函數(shù)T 、F 的權(quán); 2求協(xié)因數(shù)陣Q 。 TF Ty Q 、2

3、、解:(1L 向量的權(quán)陣為:=100010001 p 則L 的協(xié)因數(shù)陣為:=-1000100011p Q LL (2531115253555253555253(*52535212122112211+ =+=+=+=+=n n n n n n L L L A AL AL AL L L L L L L x T (6711112671222671222671(*26712212122112211+ =+=+=+=+=n n n n n n L L L B BL BL BL L L L L L L y F 依協(xié)因數(shù)傳播定律 則函數(shù)T 的權(quán)倒數(shù)為:(2251115(*11151nA A Q A Q p

4、T LL TT T=則:2251nA p T =則函數(shù)F 的權(quán)倒數(shù)為:(241112(*11121nB B Q B Q p T LL FF F=則:241nB p F =(2( =+=+=n n n n L L L B BL BL BL L L L y 21212211111依協(xié)因數(shù)傳播定律(nABB Q A Q T LL Ty 5111(*1115=(nABB Q A Q T LL TF 101112(*1115=3、如圖所示水準網(wǎng),A 、B 、C 三點為已知高程點, D 、E 為未知點,各觀測高差及路線長度如下表所列。用間接平差法計算未知點D 、E 的高程平差值及其中誤差; C高差觀測值/

5、m 對應(yīng)線路長度/km已知點高程/m h 1= -1.348 h 2= 0.6911 1H A =23.000 H B =23.564h 3= 1.265 h 4= -0.662 h 5= -0.088 h 5= 0.763 1 1 1 1C B =23.6633、解:1本題n=6,t=2,r=n-t=4;選D 、E 平差值高程為未知參數(shù) 21X X 、則平差值方程為:1615142322211X H hH X h H X h H X h H X h X X h AA BAB -=-=-=-=-=-=則改正數(shù)方程式為:6165154143232221211l xv l xv l x v l x

6、v l x v l x xv -=-=-=-=-=-=取參數(shù)近似值255.24907.2220221011=+=+=h H X h h H X B B 、令C=1,則觀測值的權(quán)陣:=10111101P -=010*B -= -=+-= =7551000(01615014023022020110654321X H h H X h H X h H X h H X h X X h d BX h l l l l l l l C A B A B組法方程0=-W xN ,并解法方程: -=3114PB B N T -=107Pl B W T -= - =-3110741131111W N x求D 、E 平

7、差值:mx X X H m x X X H D C 258.24906.2220221011=+=+= 2求改正數(shù): -=-=664734l xB v 則單位權(quán)中誤差為:mm r pv v T 36.641620±=±=±=則平差后D 、E 高程的協(xié)因數(shù)陣為:=-41131111NQ X X 根據(jù)協(xié)因數(shù)與方差的關(guān)系,則平差后D 、E 高程的中誤差為:mmmm Q mm mm Q E D 84.31122932.322669220110±=±=±=±=4 、 如 圖 ， 在 三 角 形 ABC 中 ， 同 精 度 觀 測 了

8、三 個 內(nèi) 角 ： L1 = 60°00¢04¢¢ ， L2 = 70°00¢05¢¢ ， L3 = 50°00¢¢07¢¢ ，按間接平差法列出誤差方程式。 、X ，并令 X = L 、 X = L ， 解：必要觀測數(shù) t=2，選取 L1 、 L2 的平差值為未知數(shù) X 1 2 1 1 2 2 0 0 則 = X 0 + dx = L + dx X 1 1 1 1 1 0 = X + dx = L + dx X 2 2 2 2 2 L1 + v1 = X 1 L2

9、+ v2 = X 2 -X L3 + v3 = 180 - X 1 2 - L = dx v1 = X 1 1 1 v2 = X 2 - L2 = dx2 -X + L = -dx - dx - 16 v3 = 180 - X 1 2 3 1 2 5、如圖為一大地四邊形，試判斷各類條件數(shù)目并列出改正數(shù)條件方程式。 解：觀測值個數(shù) n=8，待定點個數(shù) t=2，多余觀測個數(shù) r = n - 2t = 4 3 個圖形條件，1 個極條件。 v1 + v2 + v3 + v4 - wa = 0 v3 + v4 + v5 + v6 - wb = 0 v5 + v6 + v7 + v8 - wc = 0 w

10、d = -(1 - wa = -( L1 + L2 + L3 + L4 - 180 wb = -( L3 + L4 + L5 + L6 - 180 wc = -( L5 + L6 + L7 + L8 - 180 cot L1v1 - cot L2v2 + cot L3v3 - cot L4v4 + cot L5v5 - cot L6v6 + cot L7 v7 - cot L8v8 - wd = 0 sin L2 sin L4 sin L6 sin L8 r ¢¢ sin L1 sin L3 sin L5 sin L7 6、 如下圖所示， 為未知 P 點誤差曲線 （圖中細線

11、） 圖和誤差橢圓圖 （圖中粗線） ， A、B 為已知點。 1）試在誤差曲線上作出平差后 PA 邊的中誤差，并說明； 2）試在誤差橢圓上作出平差后 PA 方位角的中誤差，并說明； 3）若點 P 點位誤差的極大值 E5mm，極小值 F2mm，且 j F = 52° ,試計算方 位角為 102º 的 PB 邊的中誤差。 b a A c P B 解：1）在誤差曲線上作出平差后 PA 邊的中誤差； 連接 PA 并與誤差曲線交點 a，則 Pa 長度為平差后 PA 邊的中誤差 PA = Pa s 2）在誤差橢圓上作出平差后 PA 方位角的中誤差； 作垂直與 PA 方向的垂線 Pc，作垂直

12、與 Pc 方向的垂線 cb，且與誤差橢圓相切， u PA 垂足為 c 點，則 Pc 長度為平差后 PA 邊的橫向誤差 s 則平差后 PA 方位角的中誤差： a s PA » u s PA S PA r ¢¢ = Pc r ¢¢ S PA 3）因為 j F = 52° 則： j E = 142° 則： Y = a - j E = 102° - 142° = -40° 所以： 2 2 j Y s =s = E 2 cos 2 Y + F 2 sin 2 Y = 25 * cos 2 (-40

13、6; + 4 * sin 2 (-40° = 16.323 j = s Y = ±4.04mm 方位角為 102º 的 PB 邊的中誤差： s 證明題 如下圖所示，A，B 點為已知高程點，試按條件平差法求證在單一附合水準路 線中，平差后高程最弱點在水準路線中央。 A h1 S h2 B 證明：設(shè)水準路線全長為 S，h1 水準路線長度為 T，則 h2 水準路線長度為 S-T； 設(shè)每公里中誤差為單位權(quán)中誤差，則 h1 的權(quán)為 1/T，h2 的權(quán)為 1/(S-T；則其權(quán)陣為： 0 ö æ1 / T P=ç ÷ ç 0 1

14、 /( S - T ÷ ø è 平差值條件方程式為： +h - HB = 0 HA+ h 1 2 則 A=( 1 1 N = AP -1 AT = S 由平差值協(xié)因數(shù)陣： QL L = QLL - Q LL A N T -1 AQLL 則高差平差值的協(xié)因數(shù)陣為： -1 T QL L = QLL - QLL A N AQLL = T ( S - T æ 1 - 1ö ç ç -1 1 ÷ ÷ S è ø 則平差后 P 點的高程為： ö = H + (1 0 )æ ç h1 ÷ HP =